A es de 2 2 y tiene dos valores propios distintos, por lo tanto es diagonalizable sobre IR.

Transcripción

1 Sergio Ynsen Núñez. Se A Muestre que A es digonlizle sore IR. Soluión: Los vlores propios de A sony3 A es de y tiene dos vlores propios distintos, por lo tnto es digonlizle sore IR. Otr form de justifir, es determinndo dos vetores propios L.I de A. Vetores propios soidos : Reemplzndo el vlor se otiene: L mtriz eslond reduid es: Vlores y vetores propios

2 Sergio Ynsen Núñez 5 3 es vetor propio soido l vlor propio Vetores propios soidos 3 : Reemplzndo el vlor 3 se otiene: L mtriz eslond reduid es: ; IR es vetor propio soido l vlor propio 3 A es de y tiene vetores propios L.I. Por tnto, A es digonlizle sore IR. Vlores y vetores propios

3 Sergio Ynsen Núñez ) Se A on IR Determine el onjunto de todos los vlores de IR tles que A se digonlizle sore IR? Soluión: Los vlores propios de A son : y Pr, A tiene vlores propios distintos. Como es de, entones es digonlizle sore IR. Pr, se tiene que A, l ul es un mtriz digonl. Luego, A es digonlizle sore IR pr todo IR. Vlores y vetores propios

4 Sergio Ynsen Núñez 3) Se A on, IR Es A digonlizle sore IR? Soluión: Los vlores propios de A son : y Como, IR, entones y son distintos. A es digonlizle sore IR pues A es de y tiene vlores propios diferentes. Vlores y vetores propios

5 Sergio Ynsen Núñez 4. Se A 3 3 Determine tods l ondiiones que deen umplir y IR tles que A se digonlizle sore IR. Soluión: 3 3 Los vlores propios de A son y Si, entones A tiene dos vlores propios distintos. Como A es de, entones A es digonlizle sore IR. Si, entones A A tiene dos vlores propios igules, o se es vlor propio de multipliidd. Vetores propios soidos : x y Reemplzndo el vlor se otiene: x y x y x y x y x y x x x Vlores y vetores propios

6 Sergio Ynsen Núñez es vetor propio soido l vlor propio A es de y el espio propio soido l vlor propio (de multipliidd ) tiene dimensión por lo tnto, A no es digonlizle sore IR. Tmién se puede justifir que A no es digonlizle, pues no hy un se de vetores propios de A,prIR Luego, si,entones A es digonlizle sore IR. Vlores y vetores propios

7 Sergio Ynsen Núñez 5. Determine vlores y vetores propios de l mtriz A ) Determine vlores y vetores propios de l mtriz ) Es A digonlizle en IR? Soluión: ) Losvlorespropiosson,6,9.Sepuederesponder l pregunt ), A es digonlizle en IR puesesde3 3 y tiene 3 vlores propios distintos. Vetores propios soidos l vlor propio : Reemplzndo se otiene: L mtriz eslond reduid es: Vlores y vetores propios

8 Sergio Ynsen Núñez es vetor propio soido l vlor propio Vetores propios soidos l vlor propio Reemplzndo 6 se otiene: L mtriz eslond reduid es: Vlores y vetores propios

9 Sergio Ynsen Núñez es vetor propio soido l vlor propio 6 Vetores propios soidos l vlor propio 9 : Reemplzndo 9 se otiene: L mtriz eslond reduid es: Vlores y vetores propios

10 Sergio Ynsen Núñez es vetor propio soido l vlor propio 9 ) Otr form de justifi que A es digonlizle es: A es de 3 3 tiene tres vetores propios L.I, ser,, (Los vetores son L.I, pues están soidos vlores propios distintos) Vlores y vetores propios

11 Sergio Ynsen Núñez 6. Es l mtriz A digonlizle sore IR? En so firmtivo, determine un mtriz P invertile tl que P AP se un mtriz digonl, uál mtriz digonl? Soluión: Los vlores propios de A son:, 4 (repetido vees) Vetores propios soidos l vlor propio Reemplzndo se otiene: L mtriz eslond reduid es: Vlores y vetores propios

12 Sergio Ynsen Núñez es vetor propio soido l vlor propio Vetores propios soidos l vlor propio Reemplzndo 4 se otiene: L mtriz eslond reduid es: ;, IR Vlores y vetores propios

13 Sergio Ynsen Núñez y son vetores propios soidos l vlor propio 4 A es de 3 3 y tiene 3 vetores propios L.I. Por tnto, A es digonlizle sore IR. P P P AP 4 4 l ul es un mtriz digonl. Vlores y vetores propios

14 Sergio Ynsen Núñez 7. Es l A Soluión: 3 4 digonlizle sore IR? Vlor propio de A : 3 (repetido 3 vees) Vetores propios soidos l vlor propio Reemplzndo 3 se otiene: L mtriz eslond reduid es: ;, IR Vlores y vetores propios

15 Sergio Ynsen Núñez y son vetores propios de A soidos l vlor propio 3 A es de 3 3 y no tiene 3 vetores propios L.I. Por tnto, A no es digonlizle sore IR. Vlores y vetores propios

16 Sergio Ynsen Núñez 8. Se A 8 8 ) Muestre que A es digonlizle sore IR. ) Usndo el heho de que A es digonlizle, lule A. Soluión: ) 8 8 Los vlores propios de A sony A es de y tiene dos vlores propios distintos, por lo tnto es digonlizle sore IR. Vetores propios soidos : 8 8 Reemplzndo el vlor se otiene: L mtriz eslond reduid es: Vlores y vetores propios

17 Sergio Ynsen Núñez 4 5 es vetor propio soido l vlor propio Vetores propios soidos : 8 8 Reemplzndo el vlor se otiene: L mtriz eslond reduid es: ; IR es vetor propio soido l vlor propio A es de y tiene vetores propios L.I. Por tnto, A es digonlizle sore IR. ) Como A es digonlizle, se tiene que existe P invertile, tl que P AP es un mtriz digonl P 4 5 ; P 5 4 P AP D donde D Vlores y vetores propios

18 Sergio Ynsen Núñez A PDP Clulndo ls primers potenis de A se puede preir que: A PDP PDP PD P A 3 PD P PDP PD 3 P A 4 PD 3 P PDP PD 4 P Por tnto, se puede onjeturr que: A n PD n P Demostrión por induión: Se pn : A n PD n P ; n IN i) p : A PDP ii) Supongmos que A n PD n P es verddero on n IN A n A A n APD n P PP APD n P PP APD n P A n P D D n P P D D n P PD n P Luego, pn es Verdrer on n IN Luego, A n PD n P es verddero pr todo n IN A PD P Como D es digonl, lrmente se tiene que: D A PD P A Vlores y vetores propios