CATEDRA 1 3 METODOS NUMERICOS. Ingeniería Civil. Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil

Transcripción

1 CATEDRA Fcultd de Ingenierí de Mins Geologí y Civil Deprtmento cdémico de ingenierí de mins y civil METODOS NUMERICOS Ingenierí Civil

2 Cpitulo XIII AUTOVALORES Y AUTOVECTORES

3 CNTENIDO II. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES.. Aspectos básicos... Teorem de Schur y Gershgorin.. Problems propios de un mtriz..4. Fctorizciones Ortogonles y problems de mínimos cudrdos.5. Método de QR de Frncis pr problems de vlores propios.6. Método mixtos evlución de l determinnte Iterción en un subespcio 8//

4 Competencis:. Explic los conceptos de vlores y vectores propios de un mtriz cudrd.. Explic los conceptos de polinomio crcterístico y ecución crcterístic de un mtriz.. Explic el concepto de bse propi.. Explic el concepto de mtriz digonlizble.. Determin cundo un mtriz es digonlizble y hllr l mtriz de trnsición necesri pr digonlizrl.

5 VECTOR Y VALOR PROPIO Definición: Dd l Mtriz A nxn se llm vlor propio de A l esclr y vector propio de A l vector no nulo v nx tl que: AV= V vector propio vlor propio

6 POLINOMIO Y ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SEA A nxn y SEA V NO NULO nx Tl que AV = V entonces : P( ) = det ( A- I) polinomio crcterístico det ( A - I ) = ecución crcterístic

7 CONJUNTO DE VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ SEA UN VALOR PROPIO DE A nxn EL CONJUNTO: E = { V (A- I)V = } nx CONTIENE TODOS LOS VECTORES PROPIOS DE A CORRESPONDIENTES AL VALOR PROPIO observe que los v son ls soluciones del sistem homogéneo (A - I)V=

8 PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS DE UNA MATRIZ. Se hll los vlores propios que son ls ríces... n de p( ) = det(a- I )=. Pr determinr los vectores propios se resuelve el sistem homogéneo (A- I)v= correspondiente cd vlor propio i ( son los v i )

9 EJEMPLO: Hllr los vlores y vectores propios de A= 4

10 .. Aspectos básicos... ASPECTOS BÁSICOS Pr ingresr los estudios de los vlores propios de un mtriz debemos tener ciert fmiliridd con mtrices y determinntes los números complejos. MATRICES DEFINICIÓN INTERPRETACIÓN DEFINICIÓN: Llmremos mtriz un rreglo rectngulr de entes (números funciones etc) ordendos en fils y columns. 8//

11 ... ORDEN DE UNA MATRIZ: Se llm sí l producto de ls fils y columns 8//.. Aspectos básicos. n m mn mi m m n i n i n i columns fils ij n m ij

12 .. Aspectos básicos.... MATRIZ FILA Y MATRIZ COLUMNA MATRIZ FILA: Llmremos mtriz fil o vector fil quell mtriz que posee sólo un fil y n columns. L representmos del siguiente modo: A... n n MATRIZ COLUMNA: Llmremos mtriz column o vector column quell mtriz que posee sólo un column y m fils. A 8// m L representmos del siguiente modo: mx

13 .. Aspectos básicos...4. IGUALDAD DE MATRICES: Ls mtrices son igules si tienen el mismo orden; es decir el número de fils y columns de cd un deben de ser igules y demás cd elemento de un de ells tiene que ser igul l correspondiente de l otr. Su representción mtricil es: A B ij b ij ; i... m j... n..5. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ A m n mn 8//

14 .. Aspectos básicos...5.suma DE MATRICES: Dds ls mtrices A l sum de mbs es otr mtriz en l que cd elemento de es igul l sum de los elementos correspondientes de. Su representción mtricil es: ij y B b mn ij mn C ij bij ( b mn ij mn A B ) 8// 4

15 .. Aspectos básicos...6. PRODUCTO DE MATRICES El producto de DOS es un mtriz. El producto de ls mtrices estrá definido correctmente si ; es decir si el número de columns de l mtriz es igul l número de fils de l mtriz. Su representción mtricil es: A ij B b m p ij C A B c pn ij mn ; p cij ik. bkj ; i... m ; j... n k 8// 5

16 ..7. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES:.MATRIZ CUADRADA: Cundo m=n ; se llm mtriz cudrd de orden y se denot por. 8// 6.. Aspectos básicos. n n A ij A ' A 7

17 .. Aspectos básicos..matriz TRIANGULAR SUPERIOR: Llmremos mtriz tringulr superior quell mtriz cuyos elementos son ceros pr ; y se represent como: A n n n nn 8// 7

18 .. Aspectos básicos..matriz TRIANGULAR INFERIOR: Llmremos mtriz tringulr inferior quell mtriz cuyos elementos son ceros pr ; y se represent como:... A m m m 4.MATRIZ DIAGONAL: Llmremos mtriz digonl quell mtriz donde todos sus elementos son ceros pr y se represent de l siguiente form: 8// nn A nn

19 .. Aspectos básicos. 5. MATRIZ ESCALAR: Es quell mtriz digonl donde todos los elementos son igul un constnte ; y se represent de l siguiente mner: 6. MATRIZ IDENTIDAD: Es un mtriz esclr con ; y se represent de l siguiente mner 7. MATRIZ TRANSPUESTA: Dd un mtriz A ij mn ; llmremos trnspuest de A denotd por t l mtriz ji A nm K A K K K A A m m m (5) (6) (7) n n n mn A t n n n m m m mn 8// 9

20 8. MATRIZ SIMÉTRICA: Se dice que un mtriz cudrd es simétric si se cumple que los elementos ; es decir. 9. MATRIZ ANTISIMÉTRICA: Un mtriz cudrd se llm nti simétric si.matriz HERMITIANAS Ls mtrices cudrds cuyos elementos tienen simetrí conjugd se le llm mtriz Hermitins es decir: en donde * indic l conjugd complej (9) () 8//.. Aspectos básicos. j i ji ij ; t A A t A A t t A A A

21 . MATRIZ BANDA Es un mtriz cudrd en donde l myor prte de los elementos son ceros y los elementos con vlor significtivo están grupdos lrededor de su digonl principl en este cso se llm mtriz bnd. 8//.. Aspectos básicos. A

22 .. Aspectos básicos. Obs. Ls línes prlels l digonl principl se le llm codigonles. El número totl de digonl y codigonles con elementos significtivos es el ncho de bnd ( en este ejemplo). Pr mtrices simétrics puede tmbién hblrse de un ncho de semi bnd; que incluye l digonl principl ( en el ejemplo precedente). Un mtriz bnd tiene bj densidd. Considerndo densidd como l rzón entre el número de elementos con vlor significtivo y el número totl de elementos. 8//

23 .. Aspectos básicos...8 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ Definición: Determinnte de un mtriz A denotd por det(. A) A A det( A) MENOR COMPLEMENTARIO Definición: Llmremos menor complemento" Mij " de un elemento de un mtriz A de tercer orden l determinnte de un mtriz cudrd de segundo orden que se obtiene después de eliminr l fil i y l column j;. ( M ij ) El menor complementrio de ij se denot por. M ij 8//

24 .. Aspectos básicos. Ejemplo A ij el menor complementrio de: es M de es M..8.. COFACTOR DE UN ELEMENTO Se ij un elemento de un mtriz A denotremos cofctor A ij y se define como: i j ij A ij M A M M A A M M A A M M M M M 8// 4

25 ..8.. Propieddes:. Si se intercmbin un fil por un column en su determinnte su vlor no se lter.. Si todos sus elementos de un fil o column son ceros el determinnte es cero.. Si se intercmbin dos fils o dos columns continus el determinnte cmbi de signo. 8// 5.. Aspectos básicos. c b c b c b c c c b b b c c c b b b c c c b b b

26 ..8.. Propieddes: 4. Si un determinnte tiene dos fils ó dos columns igules o proporcionles su vlor es cero. 5. Todos los elementos de un fil o column de un determinnte se multiplic por un número el vlor del determinnte qued multiplicdo por el número. 8// 6.. Aspectos básicos. c c c k k k c c c b b b k c c c kb kb kb c c kc b b kb k

27 ..8.. Propieddes: 6. Si todos los elementos de un fil o column son expresdos como l sum de dos o más números el determinnte puede expresrse como l sum de dos o más determinntes 7. Si cd uno de los elementos de un fil o column se le multiplic por m y este resultdo se le sum otr fil o column el vlor del determinnte no se lter 8// 7.. Aspectos básicos. c c z b b y x c c c b b b c c z c b b y b x c c mc c b b mb b m c c c b b b

28 .. Aspectos básicos Observciones L determinnte de un mtriz tringulr es igul l producto de los elementos de su digonl principl MATRIZ DE COFACTORES Selmtriz A entonces llmmos mtriz de cofctores de l mtriz A l mtriz A A A ; donde A A CA ij A A A A A i j ij M A CA // 8

29 MATRIZ ADJUNTA Se llm sí l mtriz trnspuest de l mtriz de cofctores y se denot por MATRIZ INVERSA. Supongmos l mtriz cudrd tiene entonces l invers de l mtriz A denotd por es 8// 9.. Aspectos básicos. ) ( A A A A A A A A A CA A dj t ) ( A dj CA A A CA A dj A A t ) (

30 .. Aspectos básicos RANGO DE UNA MATRIZ: Se llm rngo de un mtriz A de orden nxn l orden de l mtriz cudrd ms grnde contenid en A cuyo determinnte es diferente de cero y se denot r(a) = rngo de A. Debemos resltr que el r(a) min:{mn} donde l mtriz A en de orden de mxn LONGITUD DE UN VECTOR Supongmos x un vector en R sulongituddenotdopor x es definido como un número positivo o cero En términos de producto punto. 8//

31 .. Aspectos básicos. ANGULO ENTRE VECTORES El coseno entre dos vectores es ddo por Ejemplo Sen los vectores PERPENDICULARIDAD DE VECTORES Dos vectores son ortogonles si el coseno entre ellos es cero es decir si solo si Ejemplo:Sen los vectores x=(4) y =(4-7-5) son ortogonles pues X*y=*4+(-)+*7+4(-5)= 8//

32 .. Aspectos básicos...9. ESPACIO VECTORIAL C n El espcio vectoril C n est compuesto de todos los vectores X en donde Si l vector complejo x es multiplicdo por tmbién complejo el resultdo es otro vector complejo sí:... NORMA DE VECTORES L norm Euclidin se define: 8//

33 .. Aspectos básicos.... VALOR PROPIO DE UN MATRIZ A Ahor consideremos A un mtriz de orden nxn cuyos elementos pueden ser complejos y se un esclr (numero complejo). Si l ecución () Tiene un solución no trivil es decir entonces es un vlor propio de A. Un vector x distinto de cero que stisfce l ecución () es un vector propio de A correspondiente l vlor propio Ejemplo: Consideremos l Ecución siguiente. 8//

34 .. Aspectos básicos. Est ecución nos firm que - es un vlor propio de mtriz x y que (-4) T es un vector propio correspondiente. L condición de que l ecución () teng un solución no trivil es equivlente cd un de ls siguientes firmciones. mpe lgún vector distinto de cero en () es singulr () (4) 8// 4

35 ... ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE LA MATRIZ A Debemos decir que podemos resolver l relción (4) pr ls incógnits y de est mner determinmos los vlores propios dea.resltndoqueestrelciónseleconocecomoecución crcterístic de l mtriz A. Nosotros podemos escribir est ecución ms detlldmente sí: 8// 5.. Aspectos básicos det nn nj n n n in ij i i i n j n j

36 .. Aspectos básicos.... POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE A Podemos observr que l ecución (4) tiene l form de un polinomio de grdo n en l vrible esto se le llm polinomio crcterístico de A de lo cul podemos decir que un mtriz de nxn tiene exctmente n vlores propios siempre y cundo se cuenten con ls multipliciddes que tienen como ríces de l ecución crcterístic. x Ax Ax x Ax x Ax x 8// 6

37 .. Aspectos básicos. Ejemplo Se l mtriz clculr los utovlores de A Los utovlores de A son Un uto vector de A socido con un solución de sí que Ejemplo Dd l mtriz A determinr 8// 7

38 .. Aspectos básicos.... RADIO ESPECTRAL DE UNA MATRIZ Rdio espectrl de un mtriz A se define sí: en donde es un utovlor de A Ejemplo: Consideremos l mtriz sus utovlores son: El rdio espectrl se encuentr estrechmente vinculd con l norm de un mtriz. Pr l norm mtricil 8// 8

39 .. Aspectos básicos. INDEPENDENCIA LINEAL Diremos que los vectores no nulos son linelmente independientes si el único conjunto de números reles tl que es: en cso contrrio se dirá que los vectores son dependientes. Ejemplo Ddos los vectores del vector 8// 9

40 .. Aspectos básicos. INDEPENDENCIA LINEAL Si es un conjunto Linelmente Independiente denvectoresenr n entonces pr cd vector x en R n existe un único conjunto de número reles tl que en este cso se dice que es un bse de R n. Ejemplo: Sen losvectores.silos números son tles que como 8// 4

41 .. Aspectos básicos. Pues l únic solución l sistem es entonces el conjunto es Linelmente independiente en R y por lo tnto es un bse de R. Entonces culquier vector en R puede escribirse de l siguiente mner: 8// 4

42 .. INDEPENDENCIA LINEAL INDEPENDENCIA LINEAL DE AUTOVECTORES Si A es un mtriz y son utovlores distintos de A con utovectores correspondientes entonces es linelmente independiente. Un conjunto de vectores es ortogonl si y demás es ortogonl. entonces el conjunto 8// 4

43 .. INDEPENDENCIA LINEAL INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES ORTOGONALES Un conjunto ortogonl de vectores que no conteng el vector cero es linelmente independiente. Ejemplo: El conjunto de vectores formn un conjunto ortogonl pues pr estos vectores tenemos que: 8// 4

44 .. INDEPENDENCIA LINEAL Este conjunto formn un conjunto ortogonl ortogonlidd de por heredr l Diremos que un mtriz Q de dimensiones nxn es un mtriz ortogonl si debemos clrr que est terminologí provienen del hecho de que ls columns de un mtriz ortogonl formn un conjunto ortogonl. 8// 44

45 .. INDEPENDENCIA LINEAL Ejemplo. Considerndo el ejemplo nterior l mtriz ortogonl será: Observemos que: Q*Q t =I Además se tiene que 8// 45

46 .. INDEPENDENCIA LINEAL AUTOVALORES Y AUTOVECTORES DE MATRICES SEMEJANTES Se dice que dos mtrices A y B de dimensiones nxn son semejntes si existe un mtriz P tl que A=P - BP. Dos mtrices semejntes tienen los mismos utovectores. Supongmos que ls mtrices A y B son semejntes de orden nxn y que es un utovlor de A con un utovector socido x. En ests condiciones diremos que es un utovlor de B y demás si A=P - BP. entonces Px es un utovector de B socido 8// 46

47 .. INDEPENDENCIA LINEAL Obsérvese que l determinción de los utovlores de un mtriz tringulr de orden nxn es reltivmente sencill pues en este cso es l solución de l ecución lgún i. sisolosi pr 8// 47

48 ..5. TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN Teorem. Tods ls mtrices semejntes tienen los mismos vlores propios. Pues supongmos que A y B son dos mtrices semejntes esto es Vemos que A y B tienen el mismo polinomio crcterístico 8// 48

49 ..5. TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN * Obsérvese: Que se considerdo que el determinnte del producto de dos mtrices es el producto de sus determinntes y el determinnte de l invers de un mtriz es el reciproco de su determinnte. 8// 49

50 ..5. TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN TEOREMA DE SCHUR. Se A un mtriz de orden nxn culquier entonces existe un mtriz U ortogonl tl que T=U - AU donde T es tringulr superior cuyos elementos digonles son los utovlores de l mtriz A. Debemos mnifestr que el teorem de Schur grntiz que l mtriz tringulr existe pero su prueb no proporcion l construcción de T. En otrs plbrs SCHUR firmo que tod mtriz cudrd es unitrimente semejnte un mtriz tringulr. 8// 5

51 ..5. TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN Corolrio : tod mtriz cudrd es semejnte un mtriz tringulr. Corolrio. Tod mtriz Hermitin es semejnte unitrimente un mtriz digonl. Pues si A es Hermitin entonces A=A * y se U un mtriz untrí tl que UAU * es tringulr superior. En este cso (UAU * )* es tringulr inferior pero (UAU * )*= U ** A* U * = UAU * De est mner l mtriz UAU * es tringulr superior e inferior en consecuenci se trt de un mtriz digonl 8// 5

52 ..5. TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN Ejemplo LOCALIZACIÓN DE LOS VALORES PROPIOS TEOREMA DE GERSHGORIN Se A un mtriz nxn y denotemos por R i el círculo del plno complejo con centro en ii y rdio es decir 8// 5

53 ..5. TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN En donde C denot el conjunto de los números complejos. Entonces los utovlores de l mtriz A están contenidos en es más si l unión de estos k círculos no se cortn con los demás n-k círculos entonces dich unión contiene precismente k utovlores contndo ls multipliciddes Ejemplo Los círculos del teorem de Gershgorin son: 8// 5

54 ..5. TEOREMA DE SCHUR Y GERSHGORIN Como los R y R son disjuntos de R existen dos utovlores en y uno con R Eje Imginrio Eje Rel 8// 54

55 .. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS Enítemsnterioresysehseconceptulizounespcio complejo C n En este espcio el producto nos permite definir el concepto de ortogonlidd es decir dos vectores x y son ortogonles si lo que podemos generlizrlo considerndo un conjunto en C n diremos que los vectores v i yv j son ortogonles si. Si en este cso se dice que el conjunto de los vectores es ortonorml 8// 55

56 .. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS Ejemplo. Determinr si los vectores son ortogonles x =[] y. x =[-] Pues Sin embrgo si tenemos x =[] y. x =[-.] son csi ortogonles lo que induce l estudio de criterios de Ortgonlizcion 8// 56

57 .. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS... MÉTODO DE ORTAGONALIZACION DE GRAM SCHMIDT Consideremos dos vectores x y x en el plno XY linelmente Independientes prtir de estos vectores construymos los vectores e ye ortogonles. Supongmos x = e y e como componente de e perpendiculr x en consecuenci gráficmente es X e X X =e E 8// 57

58 .. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS En donde debemos de encontrr es decir: de tl mner que Consecuentemente se tiene que De est mner e se encuentr en función de x yx yse h ortogonlizdo dichos vectores. 8// 58

59 .. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS Ejemplo. Ortogonlizr x =[46] t y. x =[8] t Hcemos Primero: considermos el primer vector Segundo: determinmos 8// 59

60 .. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS Tercero: determinmos el segundo vector ortogonl. Gráficmente //

61 .. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS * Pr un conjunto de n vectores Linelmente Independientes de n componentes. A prtir de ellos se puede construir un conjunto de ortogonl de l siguiente mner. Primero: considermos el primer vector Segundo: Tercero: 8// 6

62 .. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS Afirmción.Un sucesión de vectores ortogonles gener un bse ortogonl del espcio generdo por pr. Cundo el proceso de Ortgonlizcion de Grm-Schmidt se plic ls columns de un mtriz se puede interpretr el resultdo como un fctorizción mtricil. 8// 6

63 .. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS Pues los productos internos que precen en el clculo se gurd en un mtriz que será uno de los fctores. Aplicmos el proceso ls columns A A...A n de un mtriz A de mxn y finlmente se lleg después de n psos un mtriz B de mxn cuys columns formn un conjunto de ortogonl 8// 6

64 .. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS... PROBLEMA DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS El problem de los mínimos cudrdos pr sistems de ecuciones lineles es justmente un plicción de ls fctorizciones ortogonles. Consideremos un sistem de m ecuciones con n incógnits es decir Ax=b En este sistem de ecuciones A es un mtriz de mxn x es de nx y b es de mx 8// 64

65 .. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS Vmos considerr que el rngo de A es n de donde. Por lo generl el sistem no tiene solución como consecuenci de que b no pertenece l espcio C m de dimensión n. generdo por ls columns de A. En consecuenci generlmente se quiere encontrr un x que minimice l norm del vector residul b-ax. L solución en mínimos cudrdos del sistem plntedo es el vector x que hce de un mínimo el cul x será único según el supuesto del rngo de A. 8// 65

66 .. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS LEMA: Si x es tl que A * (Ax-b)= entonces x es un solución del problem de mínimos cudrdos. Si suponemos que A se fctorizdo de l form A= BT l solución en mínimos cudrdos del sistem Ax=b será l solución exct del sistem nxn Tx=(B * B) - B * b. el cul se verific usndo el lem nterior A * Ax=(BT) * BTx=T * B * BTx = T * B * B(B * B) - B * b=t * B * b=a * b Veer demostrcion en Anlisis numerico de Dvid Kincid; Wrd Cheney 8// 66

67 .. FACTORIZACIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE MÍNIMOS CUADRADOS L mtriz (B * B) - es un mtriz digonl est digonl es clculdo por el lgoritmo modificdo de Grm-Schmidt cuyo lgoritmo evit el clculo de ríces cudrds. Otr mner de bordr el problem de mínimos cudrdos socido l sistem Ax=b es utilizr directmente el lem citdo de est mner será un mínimo si A * (Ax-b)=. 8// 67

68 .4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER Es uno de los métodos ms útiles pr fctorizr ortogonlmente. L ide es fctorizr un mtriz A de orden mxn como un producto A=QR En donde Q es un mtriz unitri de mxm y R un mtriz tringulr superior de mxn vle destcr que el lgoritmo de fctorizción produce Q * A=R Construyéndose Q * pso pso como un producto de mtrices unitris que tiene l form de 8// 68

69 .4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER Esto se le conoce con el nombre de trnsformciones de Householder Primero determinmos el vector con l crcterístic que l-vv * se untrí de tl mner que (I-vv * )A inicie con tener l form de R es decir un mtriz tringulr superior de orden mxm es decir su primer column debe de tener l form y denotmos l primer column de A con A Queremos que esto se reliz como sigue: 8// 69

70 .4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER Primero elegimos un número complejo se rel. Segundo hcer En donde Obsérvese que quí se dmite dos vlores pr en este cso nosotros elegimos l que permit relizr menos cncelciones l clculr el vlor de v es decir 8// 7

71 .4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER Los siguientes psos son similres l primero pues después de k psos se hbrí conseguido multiplicr por l izquierd por k mtrices untrís obteniendo de est mner lo siguiente En donde J : es un mtriz tringulr superior de KxK : es l mtriz nul de (m-k)xk H: es un mtriz de kx(n-k) W: es un mtriz (m-k)x(n-k) 8// 7

72 .4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER Sefirmqueexisteunvector tlquei-w * es un mtriz unitri de orden m-k con l crcterístic de que (I-W * ) tiene ceros por debjo del elemento en su primer column esto es. En est relción es un mtriz unitri y lo denotmos por U k+ y el proceso termin cundo l column (n-) - ésim de R qued en l form propid y consecuentemente tenemos Q * A = R en donde Q * denot el producto de tods ls mtrices unitris que se hn usdo como fctores ddo que Q es un mtriz unitri A=QR. 8// 7

73 .4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER Observemos que Q * =Q n- Q n-...q en este cso siendo se puede observr que U k es Hermitin consecuentemente tenemos 8// 7

74 .4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER Ejemplo. Selmtriz Pso I Primero: Clculmos como pues A es rel Segundo hcer 8// 74

75 *.4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER En este cso el primero fctor unitrio Tercero.ClculmosU A 8// 75

76 .4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER Pso II Primero: Clculmos Segundo hcer 8// 76

77 .4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER En este cso el primero fctor unitrio Tercero. Clculmos U U A 8// 77

78 .4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER Pso III Primero: Clculmos Segundo En este cso el primero fctor unitrio 8// 78

79 .4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER En este cso el primero fctor unitrio En este cso l mtriz tringulr superior es 8// 79

80 .4. FACTORIZACIÓN QR DE HOUSEHOLDER Tercero.ClculmosQ * U U U A Luego A=QR 8// 8

81 DESCOMPOSICION DE LOS VALORES SINGULARES Y SEUDOINVERSAS L descomposición en vlores singulres es otr mner de fctorizr mtrices que tiene un diversidd de plicciones en el mundo rel. Se firm que tod mtriz complej A de orden mxn se puede fctorizr en l form A=PDQ En donde P= es un mtriz de orden mxm D= es un mtriz de orden mxn Q= es un mtriz de orden nxn 8// 8

82 DESCOMPOSICION DE LOS VALORES SINGULARES Y SEUDOINVERSAS Ejemplo Se tiene que: 8// 8

83 * DESCOMPOSICION DE LOS VALORES SINGULARES Y SEUDOINVERSAS Entonces A=PDQ 8// 8

84 Muchs Grcis 84