Diagonalización. Tema Valores y vectores propios Planteamiento del problema Valores y vectores propios

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1 61 Matemáticas I : Álgebra Lineal Tema 6 Diagonalización 61 Valores y vectores propios 611 Planteamiento del problema Problema general de diagonalización Dado un operador lineal f sobre un espacio vectorial V, nos planteamos el problema de cuándo es posible encontrar una base de V respecto de la cuál la matriz de f sea diagonal Si A es la matriz del operador f con respecto a una determinada base B, el planteamiento anterior es equivalente a preguntarse cuándo existe un cambio de base tal que la matriz del operador en la nueva base B sea diagonal Esa nueva matriz viene dada por P 1 AP, donde P es la matriz de paso de la nueva base B a la base B (Teorema de Semejanza Problema de la diagonalización ortogonal Dado un operador lineal f sobre un espacio vectorial V con producto interior, nos planteamos el problema de cuándo es posible encontrar una base ortonormal de V respecto de la cuál la matriz de f sea diagonal Si V es un espacio con producto interior y las bases son ortonormales entonces se tendrá que P será ortogonal Podemos pues formular los dos problemas anteriores en términos de matrices 1- Dada una matriz cuadrada A, existe una matriz P inversible tal que P 1 AP sea diagonal? - Dada una matriz cuadrada A, existe una matriz ortogonal P tal que P t AP sea diagonal? Definición 146- Se dice que una matriz A cuadrada es diagonalizable si existe una matriz P inversible tal que P 1 AP es diagonal En ese caso se dice que P diagonaliza a la matriz A Si existe una matriz ortogonal P tal que P 1 AP es diagonal, entonces se dice que A es diagonalizable ortogonalmente y que P diagonaliza ortogonalmente a A 61 Valores y vectores propios Supongamos que la matriz A n n es diagonalizable y sea D la matriz diagonal Entonces: P inversible tal que P 1 AP = D o, equivalentemente, P inversible tal que AP = P D Si denotamos por p 1, p,, p n a las columnas de P, las matrices son ( ( Ap 1 Ap Ap n AP = A p 1 p p n = p 11 p 1 p 1n λ λ 1 p 11 λ p 1 λ n p 1n ( p 1 p p n 0 λ 0 λ 1p 1 λ p λ np n P D = = = λ 1 p 1 λ p λ n p n p n1 p n p nn 0 0 λ n λ 1 p n1 λ p n λ n p nn y, como son iguales: Ap i = λ i p i, para todo i = 1,, n Es decir, han de existir n vectores linealmente independientes p i (P es inversible y n números λ i que lo verifiquen Definición 147- Si A es una matriz de orden n, diremos que λ es un valor propio, valor característico, eigenvalor o autovalor de A si existe algún p IR n, p 0, tal que Ap = λp Del vector p diremos que es un vector propio, vector característico, eigenvector o autovector de A correspondiente al valor propio λ Del comentario anterior, obtenemos la primera caracterización para la diagonalización de la matriz: Teorema 148- Sea A una matriz de orden n, entonces: A es diagonalizable A tiene n vectores propios linealmente independientes ITI en Electricidad

2 6 Matemáticas I : Álgebra Lineal 6 Diagonalización Por lo anterior, se tiene que: A es una matriz diagonalizable P inversible y D diagonal tal que AP = P D P inversible y D diagonal tal que ( ( AP = Ap 1 Ap Ap n = λ 1 p 1 λ p λ n p n = P D existen n vectores linealmente independientes tales que Ap 1 = λ 1 p 1,, Ap n = λ n p n A tiene n vectores propios linealmente independientes En consecuencia, el problema de la diagonalización se reduce a la busqueda de los vectores propios de la matriz, y comprobar si de entre ellos pueden tomarse n linealmente independientes 6 Diagonalización La primera simplificación de la búsqueda se produce, no sobre los vectores propios, sino sobre los autovalores correspondientes: Teorema 149- Si A es una matriz de orden n, las siguientes proposiciones son equivalentes: a λ es un valor propio de A b El sistema de ecuaciones (λi Ax = 0 tiene soluciones distintas de la trivial c det(λi A = 0 λ es un valor propio de A existe un vector x IR n, x 0, tal que Ax = λx el sistema λx Ax = (λi Ax = 0 tiene soluciones distintas de la trivial λi A = 0 Definición 150- Sea A una matriz de orden n Al polinomio en λ de grado n, P(λ = λi A, se le denomina polinomio característico de la matriz A Si λ { un valor propio de A, llamaremos } espacio característico de A correspondiente a λ al conjunto V (λ = x IR n : (λi Ax = 0 Es decir, V (λ es el conjunto formado por todos los vectores propios de A correspondientes a λ, más el vector cero Así pues, los autovalores son las raices del polinomio carácterístico y los vectores propios, los vectores distintos de cero del espacio característico asociado Observación 151- V (λ es un subespacio y dim V (λ 1: En efecto, es un subespacio por ser el conjunto de soluciones de un sistema homogéneo y como λ es valor propio de A, existe x 0 en{ V (λ, luego lin{x} V (λ } y 1 = dim(lin{x} dim V (λ Además, dim V (λ = dim x IR n : (λi Ax = 0 = n rg(λi A Antes de seguir: en el estudio realizado hasta ahora, hemos buscado la diagonalización de matrices, separándolo del operador lineal que aparece en el planteamiento inicial del problema Sin embargo, todo lo anterior (y lo siguiente es válido y aplicable en los términos del operador Pueden verse los resultados que lo justifican en el Anexo 1, pág 78 Teorema 15- Sean v 1, v,, v k vectores propios de una matriz A asociados a los valores propios λ 1, λ,, λ k respectivamente, siendo λ i λ j, i j Entonces el conjunto de vectores {v 1, v,, v k } es linealmente independiente Corolario 153- Una matriz de orden n con n autovalores distintos, es diagonalizable Si la matriz tiene n autovalores distintos λ 1, λ,, λ n y de cada espacio característico V (λ k podemos tomar un vector propio v k 0, tenemos n vectores propios, v 1, v,, v n que son, por el resultado anterior, linealmente independientes ITI en Electricidad

3 63 Matemáticas I : Álgebra Lineal 6 Diagonalización Proposición 154- Sea A de orden n y λ k un autovalor de A de multiplicidad m k Entonces 1 dim V (λ k m k Teorema fundamental de la diagonalización 155- Sea A una matriz de orden n Entonces A es diagonalizable si y sólo si se cumplen las condiciones: 1- El polinomio característico tiene n raices reales Es decir, λi A = (λ λ 1 m1 (λ λ k m k con m 1 + m + + m k = n - Para cada espacio característico V (λ i, se cumple que dim V (λ i = m i Aunque omitimos aquí la demostración por ser demasiado técnica (puede verse en el Anexo, en ella se aporta el método para encontrar los n vectores propios linealmente independientes necesarios en la diagonalización: Si dim V (λ i = m i para todo i = 1,, k y m m k = n, podemos tomar de cada V (λ i los m i vectores de una base para conseguir el total de n vectores Ejemplo 156 Para la matriz A = , su polinomio característico es: λ 0 4 P (λ = λi A = 0 λ 4 0 = (λ 4 λ λ 4 λ = (λ 4(λ 4 = (λ 4 (λ + 4 luego los autovalores de A son λ 1 = 4 con m 1 = y λ = 4 con m = 1 Como λ 1, λ IR y m 1 + m = + 1 = 3 = n, se cumple la primera condición del Teorema Veamos el punto : como 1 dim V ( 4 m = 1 la condición dim V ( 4 = 1 se cumple de manera inmediata (y se cumple siempre para cualquier autovalor con multiplicidad 1 Para el otro autovalor, λ 1 = 4: dim V (4 = 3 rg(4i A = 3 rg = 3 rg = 3 1 = = m luego también se cumple y, en consecuencia, la matriz diagonaliza Como los elementos de V (4 son las soluciones del sistema homogéneo (4I AX = 0, tenemos que V (4 = lin{(1, 0, 1, (0, 1, 0}; y los elementos V ( 4 las soluciones del sistema ( 4I AX = 0, tenemos que V ( 4 = lin{(1, 0, 1} En consecuencia, los tres vectores son autovectores y linealmente independientes, cumpliéndose que: P 1 AP = = = D Ejemplo La matriz A = tiene por polinomio característico P (λ = (λ 4 (λ + 4, luego tiene 4 0 por autovalores λ 1 = 4 con m 1 = y λ = 4 con m = 1 Como m 1 + m = + 1 = 3 se cumple el primer punto; y por ser m = 1, también se cumple que dim V ( 4 = 1 Veamos para el otro autovalor: rg(4i A = rg = rg = = 3 dim V (4 luego dim V (4 = 3 = 1 m 1 = En consecuencia, la matriz A no diagonaliza (Si dim V (4 = 1 y dim V ( 4 = 1 de cada uno de ellos podemos conseguir, a lo más, un vector propio linealmente independiente; luego en total, podremos conseguir a lo más dos autovectores linealmente independientes No conseguimos los tres necesarios, luego no diagonaliza ITI en Electricidad

4 64 Matemáticas I : Álgebra Lineal 63 Diagonalización ortogonal 63 Diagonalización ortogonal Teorema 157- Sea A una matriz de orden n, entonces son equivalentes: 1- A es diagonalizable ortogonalmente - A tiene un conjunto de n vectores propios ortonormales En efecto, A es diagonalizable ortogonalmente existe P ortogonal tal que P t AP = D (con D diagonal existe P ortogonal tal que AP = P D Si llamamos p 1, p,, p n a los vectores columnas de P, éstos vectores son ortonormales y lo anterior es λ λ 0 lo mismo que escribir Ap 1 = λ 1 p 1,, Ap n = λ n p n, supuesto que D =, y como al ser 0 0 λ n P inversible se tiene que p 1, p,, p n son linealmente independientes y por tanto no nulos A tiene n vectores propios ortonormales Lema 158- Si A es una matriz simétrica, entonces los vectores propios que pertenecen a valores propios distintos son ortogonales Sean λ 1 y λ valores propios distintos de una matriz simétrica A y sean u y v vectores propios correspondientes a λ 1 y λ respectivamente Tenemos que probar que u t v = 0 (Notar que u t Av es un escalar Se tiene que u t Av = (u t Av t = v t Au = v t λ 1 u = λ 1 v t u = λ 1 u t v, y por otra parte que u t Av = u t λ v = λ u t v, por tanto λ 1 u t v = λ u t v (λ 1 λ u t v = 0 y como λ 1 λ 0, entonces u t v = 0 Teorema fundamental de la diagonalización ortogonal 159- Una matriz A de orden n es diagonalizable ortogonalmente si y sólo si A es simétrica El Lema 158 y el resaltado que apostilla el Teorema fundamental de diagonalización 155 nos indican la manera de encontrar los n vectores propios ortonormales linealmente independientes: Si tomamos en cada V (λ i los vectores de una base ortonormal, conseguiremos el total de n vectores ortonormales Ejemplo La matriz A = del Ejemplo 156, es simétrica luego diagonaliza ortogonalmente y V (4 = lin{(1, 0, 1, (0, 1, 0} y V ( 4 = lin{(1, 0, 1} Si tomamos una base ortonormal en cada uno de ellos, por ejemplo V (4 = lin{( 1 1, 0,, (0, 1, 0} y V ( 4 = lin{( 1, 0, 1 }, los tres vectores juntos forman un conjunto ortonormal, cumpliéndose que: P t AP = t = = D Ejercicios 650 Hallar los polinomios característicos, los valores propios y bases de los espacios característicos de las siguientes matrices: ( 7 a b c ITI en Electricidad

5 65 Matemáticas I : Álgebra Lineal 64 Ejercicios 651 Sea T : M M el operador lineal ( definido por: ( a b c a + c T = c d b c d Hallar los valores propios de T y bases para los subespacios característicos de T 65 Demostrar que λ = 0 es un valor propio de una matriz A si y sólo si A es no inversible 653 Probar que el término constante del polinomio característico P (λ = λi A de una matriz A de orden n es ( 1 n det(a 654 Demostrar que si λ es un valor propio de A entonces λ es un valor propio de A Demostrar por inducción que, en general, λ n es un valor propio de A n, n IN 655 Estudiar si son o no diagonalizables las siguientes matrices y en caso de que lo sean hallar una matriz P tal que P 1 AP = D con D matriz diagonal: a ( b c Sea T : IR 3 IR 3 el operador lineal T x 1 x = x 1 x x 3 x 1 x 3 Hallar una base de IR 3 respecto x 3 x 1 + x + x 3 de la cual la matriz de T sea diagonal 657 Sea P 1 (x el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a 1 Sea T : P 1 (x P 1 (x el operador lineal T (a 0 + a 1 x = a 0 + (6a 0 a 1 x Hallar una base de P 1 (x respecto de la cual la matriz de T sea diagonal 658 Sea A una matriz de orden n y P una matriz inversible de orden n Demostrar por inducción que (P 1 AP k = P 1 A k P, k IN ( Calcular A 40 siendo A = Estudiar la diagonalizabilidad de la matriz A, dada en función de los parámetros a y b, siendo A = a En los casos posibles diagonalizarla 3 0 b 661 Sea A una matriz de orden tal que A = I Probar que A es diagonalizable 66 Hallar una matriz P que diagonalice ortogonalmente a A y calcular P 1 AP para cada una de las siguientes matrices: ( a b 1 1 c a Demostrar que si D es una matriz diagonal con elementos no negativos entonces existe una matriz S tal que S = D b Demostrar que si A es una matriz diagonalizable con valores propios no negativos entonces existe una matriz S tal que S = A 664 Probar que A y A t tienen los mismos valores propios siendo A una matriz de orden n 665 Sea A una matriz de orden n y P (λ = λi A Probar que el coeficiente de λ n 1 en P (λ es el opuesto de la traza de A 666 Sea A una matriz de orden n inversible, demostrar que los valores propios de A 1 son los inversos de los valores propios de A 667 Sea A una matriz de orden n ortogonal, probar que todos los valores propios de A son uno o menos uno ITI en Electricidad

6 66 Matemáticas I : Álgebra Lineal 64 Ejercicios 668 Se sabe que (1, 0, 0, (1, 1, 0, (0, 1, 0 y (0, 0, 1 son vectores propios de una matriz de orden 3 y que hay vectores de IR 3 que no lo son Calcular todos los vectores propios de la matriz { un = 3u 669 Se dan las siguientes ecuaciones de recurrencia: n 1 + 3v n 1 v n = 5u n 1 + v n 1 calcular u n y v n en función de n, sabiendo que u 0 = v 0 = 1 Utilizar la diagonalización para 670 Los dos primeros términos de una sucesión son a 0 = 0 y a 1 = 1 Los términos siguientes se generan a partir de a k = a k 1 + a k ; k Hallar a El propietario de una granja para la cría de conejos observó en la reproducción de éstos que: i Cada pareja adulta (con capacidad reproductora tiene una pareja de conejos cada mes ii Una pareja recién nacida tarda dos meses en tener la primera descendencia Si partimos de una pareja adulta y siendo a n el número de parejas nacidas en el n-ésimo mes (a 0 = 0, se pide: a Obtener una fórmula recurrente para a n en función de términos anteriores b Probar que a n = (1 + 5 n (1 5 n n 5 a n+1 c Calcular, si existe: lím n a n 67 Sea el determinante n n siguiente: D n = Dar una expresión de D n en función de los determinantes de tamaño menor que n y obtener las ecuaciones de recurrencia para hallar su valor 673 Determinar para qué valores de a, b y c son diagonalizables simultáneamente las matrices A = 1 a b 0 c y B = 1 a b 0 1 c Estudiar para qué valores de a, b y c es diagonalizable la matriz A = c b a 0 0 a 0 b c 675 Dada la matriz A = a a 0 Estudiar para qué valores de a y b la matriz A es diagonalizable a a 0 b 0 b 676 Sea f: IR 3 IR 3 el operador lineal cuya matriz asociada a la base canónica es: m 0 0 A = 0 m 1 1 n m a Determinar para qué valores de m y n existe una base de IR 3 de tal forma que la matriz en esa base sea diagonal En los casos que f sea diagonalizable calcular una base en la cuál la matriz de f sea diagonal b Si n = 0, observando la matriz A y sin hacer ningún cálculo, determinar un valor propio y un vector propio asociado a dicho valor propio, razonando la respuesta ITI en Electricidad

7 67 Matemáticas I : Álgebra Lineal 64 Ejercicios 677 Dada la matriz A = a b d 1 1 c e f 1 Encontrar para qué valores de los parámetros a, b, c, d, e, f IR la matriz A es diagonalizable Para dichos valores encontrar las matrices P y D tales que P 1 AP = D, donde D es una matriz diagonal 678 En IR 4 consideramos el subconjunto: S = {(x 1, x, x 3, x 4 / x x 4 = 0} Sea T : IR 4 IR 4 el operador lineal que verifica: (i ker(t = {x IR 4 / < x, y >= 0, y S} (ii T (1, 0, 0, 0 = ( 1, 3, 1, (iii T (1, 1, 1, 1 = ( 3, m, n, p { x1 + x (iv El subespacio solución del sistema: + x 3 + x 4 = 0 x + x 3 + x 4 = 0 correspondientes a un mismo valor propio de T es el conjunto de vectores propios Se pide: a Probar que S es un subespacio vectorial de IR 4 b Hallar ker(t c Encontrar una base para el subespacio de vectores propios de la propiedad (iv d Una matriz de T, indicando las bases de referencia 679 Sean f : IR 4 IR 4 un operador lineal, y B = {e 1, e, e 3, e 4 } la base canónica de IR 4, verificando lo siguiente: (i f(e 1 H = {x IR 4 / x = 0} (ii f(e S = {x IR 4 / x = 1 y x 4 = 0} (iii f(e 3 = (α, β, 1, ; f(e 4 = (1, 0,, γ (iv ker f es el conjunto de soluciones del sistema: x 1 + x + x 3 x 4 = 0 3x 1 + 3x + x 3 + x 4 = 0 x 1 x x 3 + 3x 4 = 0 (v Las ecuaciones implícitas de la imagen de f son y 1 y 3 y 4 = 0 (vi El operador f es diagonalizable Hallar una matriz de f, indicando las bases de referencia ITI en Electricidad