1. Algunas deniciones y resultados del álgebra lineal

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1 . Algunas deniciones y resultados del álgebra lineal Denición. (Espacio vectorial o espacio lineal sobre R) Un espacio vectorial o espacio lineal sobre el campo de los números reales, R, es un conjunto de objetos, V, denotados por a, b,..., llamados vectores, para los cuales está denida una operación binaria suma, a+ b, y la multiplicación por un real α, α a. Estas operaciones tienen las siguientes propiedades: Sean a, b, c,... elementos de V y α, β, γ elementos de R Propiedad de cerradura Suma: ( a + b) V Multiplicación por un real: α a V Propiedad asociativa Suma: ( a + b) + c = a + ( b + c) Multiplicación por un real: α(β a) = (αβ) a Propiedad distributiva. La combinación de la suma y la multiplicación por un escalar es distributiva α( a + b) = α a + α b (α + β) a = α a + β a Propiedad conmutativa de la suma: a + b = b + a Existencia de la identidad para la suma. Existe un único elemento en V, denotado como 0, tal que a + 0 = a. Existencia del inverso aditivo. Para todo vector a existe un único elemento en V denominado como a, tal que a + ( a) = 0. Ejemplo. (Espacios vectoriales R n ) Los espacios vectoriales de mayor utilidad en este documento se denominan como R n que son n-adas ordenadas de números reales. La suma y la multiplicación por un escalar se denen como Suma (v, v,..., v n ) + (w, w,..., w n ) = (v + w, v + w,..., v n + w n )

2 a b a 3 z b a b.5 y x.5 Figura : Interpretación geométrica de la resta de vectores a b Multiplicación por un escalar α(v, v,..., v n ) = (αv, αv,..., αv n ) No es difícil vericar que R n con las operaciones denidas anteriormente tiene todas las propiedades de un espacio vectorial (Denición.) Denición. (Resta de vectores) La resta de los vectores a b es la suma de vectores a + ( b) donde b es tal que b + ( b) = 0 Ejemplo. La resta de los vectores a = (,, 3) y b = (, 0, 4) en R 3 es (,, 3) + ( (, 0, 4)) = (,, 3) + (, 0, 4) = (,, ) donde se ilustra que en R n es posible restar componente a componente. La resta de vectores en R n tiene una importante interpretación geométrica que se ilustra en la Figura : el vector a b es el vector que parte de b hacia a

3 Denición.3 (Producto cartesiano de dos conjuntos) Sean A y B dos conjuntos. El producto cartesiano de A y B, denotado como A B, es el conjunto de los pares ordenados A B = {(a, b) tal que a A, b B} Ejemplo.3 El espacio vectorial R es el producto cartesiano del conjunto de los números reales consigo mismo, es decir, R = R R R = {(a, b) tal que a R, b R} Denición.4 (Función) Sean A y B dos conjuntos. Una función, f, de A en B, denotada como, f : A B es una asociación de cada elemento de A con uno y solo un elemento de B. El elemento de B que se asocia con a A se representa como f(a). Ejemplo.4 Sea A el intervalo abierto A = (, ) = {x tales que < x < }. Algunas funciones de A en R, son f(t) = 5, es decir a cada elemento de A se le asocia el número 5. g(t) = t + t, con g(/) = (/) + / = 3/4 y g(0) = = 0. h(t) = cos t, con h(0) = cos 0 = π/ Ejemplo.5 El producto punto dentro de un espacio vectorial, V, que se dene a continuación es una función de V V en los números reales. Denición.5 (Producto escalar o producto punto) Sea V un espacio vectorial. Un producto escalar o producto punto en V es una función V V R, denotada como a b ( a, b V ) que es Lineal: (α a + β b) c = α( a c) + β( b c) Conmutativa: = b a Positiva denida: a a 0 y a a = 0 si y solo si a = 0 La linealidad y la conmutatividad del producto escalar implican (α a + β b) (γ c + δ d) = αγ( a c) + αδ( a d) + βγ( b c) + βδ( b d) En lo sucesivo se referirá a un espacio vectorial V sobre R simplemente como un espacio vectorial. 3

4 Ejemplo.6 Si {β i, i =,,..., n} son números positivos, un producto escalar en R n es n v w = β i v i w i i= No es difícil vericar que esta función de V V en los reales es lineal, conmutativa y denida positiva. El producto punto canónico en R n es aquel en que β i = para todo i, es decir n v w = v i w i () i= Ésta es la denición de producto punto que se utiliza en el curso. Denición.6 (Norma y espacio vectorial normado) Una norma en un espacio vectorial, V, es una función del espacio vectorial en los reales denominada como x que Es positiva denida: x 0 x V y x = 0 x = 0 α x = α x α R, x V Satisface la desigualdad del triángulo: a + b a + b Si un espacio vectorial tiene una norma se dice que es un espacio vectorial normado. Ejemplo.7 Se puede demostrar que un producto escalar en un espacio vectorial V induce una norma, es decir, ( x x) / es una norma en V, esto es x = ( x x) / es una función de V en los reales que satisface las tres propiedades de la Denición.6. Esta demostración se hace al nal del documento para no perder continuidad en la exposición. En el curso y en el documento se adopta la siguiente denición de norma Denición.7 (Norma Euclideana en R n ) La norma euclideana en R n es aquella inducida por el producto punto canónico. x = n x i () i= La norma inducida por el producto punto canónico se conoce como norma euclideana debido a que en ella se satisfacen los teoremas de la geometría euclideana como el Teorema de Pitágoras que se ilustra en la Figura en R 3. 4

5 3.5 z a + b = x + y + z (x, y, z) x a = x + y y b = z = z.5 (x, y, 0) Figura : Teorema de Pitágoras en R 3 Ejemplo.8 La norma euclideana del vector (,, 3) en R 3 es (,, 3) = ((,, 3) (,, 3)) / = ( ) / = 4 El vector (/, / ) es un vector unitario en R bajo la norma euclideana ( (/, / ) (/, / ) ( / ) = + ) / = Denición.8 (Vector unitario) Un vector unitario, û, en un espacio vectorial normado es aquel que tiene norma igual a. Nótese el acento circunejo en la denominación de un vector unitario. Ejemplo.9 (/, / ) es un vector unitario bajo la norma euclideana porque (, ) ( =, ) (, ) = + = = De la misma manera se puede demostrar que î = (, 0) y ĵ = (0, ) son vectores unitarios en R al igual que î = (, 0, 0), ĵ = (0,, 0) y k = (0, 0, ) en R 3. 5

6 Denición.9 (Dirección) Una dirección en un espacio vectorial es un vector unitario. Si x 0, entonces x/ x es la dirección de x. Teorema. En los espacios vectoriales R y R 3 el producto escalar canónico es tal que = a b cos φ (3) donde la norma es la euclideana y φ es el ángulo entre a y b. Demostración: Si uno de los dos vectores a o b es 0, claramente se satisface (3), luego se tiene que analizar los casos en los que a, b 0. Si existe un número real α tal que, b = α a entonces, φ = 0 o φ = π cuando α es positiva o negativa respectivamente, además por la ecuación (7) se cumple que = α a a = ( a a) / ( b b) / = a b o lo que es lo mismo = ± a b si α > 0, φ = 0 entonces, = α( a a) > 0 y por ende = a b cos(φ) = a b De manera semejante, si α < 0, luego, = α( a a) < 0 y además φ = π, entonces = a b cos(π) = a b Resta demostrar el Teorema cuando a, b 0 y que, para toda α R, a α b. En tal caso, los vectores están en un plano único. En R se hace uso de la Figura 3 Si a = (x a, y a ) y b = (x b, y b ), entoces = x a x b + y a y b Tras dividir por a b se tiene a b = que de acuerdo con la Figura 3 equivale a x ax b a b + y ay b a b a b = cos ψ cos θ + sen ψsen θ = cos(ψ θ) 6

7 (x a, y a ).5 ψ y a (x b, y b ) ψ θ 0.5 b θ x Figura 3: En R y R 3 se cumple que = a b cos(, a, b). donde ψ y θ son los ángulos que hacen a y b con el eje positivo de las x respectivamente, y por ende ψ θ es el ángulo entre los dos vectores, con lo que se ha demostrado el Teorema para R. Es importante notar que, debido a la paridad de la función coseno, si se hubiera considerado que b hacía un ángulo mayor con la dirección positiva del eje x que a, se hubiese llegado al mismo resultado, dado que cos(ψ θ) = cos(θ ψ) La demostración para R 3 consiste en considerar el plano que contiene a los vectores a y b, y un par de vectores que generan este plano y expresar a y b en términos de estos vectores. Después se siguen los mismos pasos que para la demostración en R Denición.0 (Ortogonalidad) Sea V un espacio vectorial con un producto escalar. Si = 0 se dice que los vectores son ortogonales bajo dicho producto escalar. Ejemplo.0 Los vectores (,, ) y (,, ) son ortogonales bajo el producto punto canónico (,, ) (,, ) = ( )() + ()() + ()( ) = 0 y de acuerdo con el Teorema. estos dos vectores hacen un ángulo de 90 o entre sí. Denición. (Ángulos directores) Sea x 0 R 3 Los ángulos directores de x son los 7

8 ángulos que hace x con î, ĵ y k y se denominan α, β y γ. Denición. (Proyección de un vector sobre otro) Sea y 0. La proyección de x sobre y, p, se dene como p = x ŷ = x y y (4). Un producto punto induce una norma en un espacio vectorial Una norma se puede inducir a través de un producto punto. El primer paso de una manera de demostrar esto es notar que para cualquier producto punto se cumple que si a y b son dos vectores cualesquiera y b 0 entonces ( ) a b b = b b = 0 b b b b Este resultado se utiliza en la demostración del siguiente Teorema Teorema. (Desigualdad de Schwarz) Para cualquier producto escalar en cualquier espacio vectorial () ( a a)( b b) (5) y la igualdad se cumple cuando existe un real, α tal que a = α b o b = α a Demostración: Es claro que si a o b son el vector 0 se satisface la igualdad en (5) y claramente existe un real, 0, tal que, a = 0 b, en el caso en que a sea 0; o bien b = 0 a si b = 0. Cuando a, b 0 se tiene que ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b = a b a a b b b b b b b b b b = b b ( a ) () b a = a a 0 (6) b b b b Al multiplicar por b b y posteriormente sumar ( a b) en ambos lados de la desigualdad se llega a la desigualdad de Schwarz, que es la expresión (5). Si a, b 0 y b = α a (o de manera equivalente a = α b, ya que α 0) a b b b = a α( a a) α ( a a) 8 α a = a a = 0

9 y entonces se cumple la igualdad en la ecuación (6) y por ende en (5). Una manera útil en la que se puede escribir la desigualdad de Schwarz es ( a a) / ( b b) / (7) Teorema. (Relación entre el producto escalar y la norma) ( a a) / es una norma en un espacio vectorial V Demostración: ( a a) / es una función de V en los reales que Es positiva denida: Debido a que el producto punto es positivo denido, entonces ( a a) / = a 0 y ( a a) / = a = 0 si y solo sí a = 0. α a = (α a α a) / = (α ( a a)) / = α ( a a) / = α a. Se satisface la desigualdad del triángulo: Puesto que ya se demostró que la función en cuestión, ( a a) / es positiva denida y se sabe que la función x es una función creciente en el intervalo [0, ) se tiene que ( a + b ) ( a + b ) a + b a + b y se procede a demostrar el lado izquierdo de la equivalencia anterior ( a + b ) = a + a b + b = a a + ( a a) / ( b b) / + b b Debido a la ecuación (7) se tiene que ( a + b ) a a + + b b a a + + b b = ( a + b) ( a + b) = a + b que era lo que se quería demostrar. 9

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