Población y Muestra, Variables Estadísticas, Diagramas y Medidas de Centralización en 3º de ESO

Transcripción

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3 ANEXO 1: Tablas facltadas al alumnado Las sguentes tablas serán rellenadas por parte de los grupos de estudantes que se realzarán en el aula, tal y como se comenta en el presente trabajo. Tabla de Género (rellénala con V para varón o con H para hembra) Tabla de altura (rellénala con la altura en centímetros, con un decmal: 145,3; 173,0 ) Tabla de color de pelo (rellénala con Negro, Moreno, Rubo, Pelrrojo, Otro ) Tabla de color de ojos (rellénala con Negro, Marrón, Azul, Verde, Otro )

4 Tabla de longtud codo-muñeca (rellénala en centímetros, con un decmal: 30,7; 5,1 ) Tabla de número de hermanos y hermanas (rellénala ncluyéndote a t) Tabla de asstr al nsttuto (rellénala con En bus, En coche, Andando, En bc, En tranvía, Otra forma ) Tabla de lectura: Cuántos lbros lees al mes? (rellénala con 0, 1,, 3, 4 o más)

5 Tabla de peso (el docente la rellenará en kg, con un decmal: 53,4; 66,9 ) Tabla de talla de calzado (Rellénala con 36, 37, 38, 39, 40, 41, 4, 43 ) Tabla de horas frente al ordenador (rellénala con De 0 a 1 hora, De 1 a horas, De a 3 horas, 3 a 4 horas ) Tabla de horas vendo la televsón (rellénala con De 0 a 1 hora, De 1 a horas, De a 3 horas, De 3 a 4 horas )

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7 ANEXO : Tablas completadas por el alumnado Las sguentes tablas que se presentan aparecen rellenadas, smulando los datos que el alumnado haya do recogendo. De esta forma, se podrá usar a lo largo del tratamento del objeto matemátco. A los estudantes se les facltaría las tablas y no los gráfcos que sguen. Éstos se presentan aquí para completar los datos expuestos: Tabla de Género (rellénala con V para varón o con H para hembra). 1 V 7 H 13 V 19 V H 8 H 14 V 0 H 3 H 9 H 15 H 1 H 4 V 10 V 16 H H 5 V 11 V 17 H 3 V 6 H 1 H 18 H 4 H Resumen de resultados: 9 varones y 15 hembras Tabla de altura (rellénala con la altura en centímetros, con un decmal: 145,3; 173,0 ) , , , ,3 173, 8 168, , , , 9 158, , , , , ,4 156, , , , , , , ,0 4 16,9 Resumen de resultados. Agrupando los resultados en ntervalos de 5cm: 49

8 [145,150) 3 [150,155) 1 [155,160) 5 [160,165) [165,170) 6 [170,175) 5 [175,180) 1 [180,185) 1 Tabla de color de pelo (rellénala con Negro, Moreno, Rubo, Pelrrojo, Otro ). 1 Negro 7 Pelrrojo 13 Pelrrojo 19 Moreno Moreno 8 Moreno 14 Otro 0 Rubo 3 Moreno 9 Negro 15 Negro 1 Moreno 4 Rubo 10 Rubo 16 Moreno Negro 5 Moreno 11 Moreno 17 Moreno 3 Moreno 6 Rubo 1 Rubo 18 Rubo 4 Rubo Resumen de resultados: 4 Negro 4 Moreno 10 Rubo 7 Pelrrojo Otro 1 Tabla de color de ojos (rellénala con Negro, Marrón, Azul, Verde, Otro ). 1 Negro 7 Verde 13 Verde 19 Azul Marrón 8 Marrón 14 Marrón 0 Azul 3 Azul 9 Marrón 15 Azul 1 Marrón 4 Marrón 10 Negro 16 Marrón Negro 5 Marrón 11 Marrón 17 Otro 3 Marrón 6 Azul 1 Azul 18 Marrón 4 Marrón 4 50

9 Resumen de resultados: Negro 3 Marrón 1 Azul 6 Verde Otro 1 4 Tabla de longtud codo-muñeca (rellénala en centímetros, con un decmal: 30,7; 5,1 ) 1 4,9 7 5,6 13 7,1 19 4,7 5,0 8 8,5 14 7,9 0 5,3 3 6,4 9 7,4 15 6,8 1 6,0 4 6,3 10 6, 16 8,3 5,6 5 7, 11 6,6 17 8,9 3 7, 6 4,8 1 5,4 18 5,3 4 8,1 Resumen de resultados: 51

10 [4,5) 3 [5,6) 6 [6,7) 6 [7,8) 5 [8,9) 4 Tabla de número de hermanos y hermanas (rellénala ncluyéndote a t) Resumen de resultados: Tabla de asstr al nsttuto (rellénala con En bus, En coche, Andando, En bc, En tranvía, Otra forma ). 1 En bus 7 En tranvía 13 En bus 19 Otra forma En bus 8 En bus 14 En tranvía 0 En bus 3 En coche 9 En bus 15 En coche 1 En coche 4 Andando 10 En coche 16 En bus Andando 5 En bus 11 Andando 17 En coche 3 Andando 6 En bc 1 Andando 18 Andando 4 En bus 4 5

11 Resumen de resultados: En bus 9 En coche 5 Andando 6 En bc 1 En tranvía Otra forma 1 4 Tabla de lectura: Cuántos lbros lees al mes? (rellénala con 0, 1,, 3, 4 o más) o más 4 1 Resumen de resultados: 53

12 o más 1 4 Tabla de peso (el docente la rellenará en kg, con un decmal: 53,4; 66,9 ). 1 49,9 7 48,7 13 5, ,9 57,0 8 69, ,3 0 68,3 3 59,6 9 74, ,6 1 74,0 4 66,7 10 7, ,0 79,3 5 64, , ,4 3 77,9 6 7, 1 79, , 4 53,8 Resumen de resultados: [40,50) [50,60) 5 [60,70) 7 [70,80) 8 [80,90) Tabla de talla de calzado (Rellénala con 36, 37, 38, 39, 40, 41, 4, 43 )

13 Resumen de resultados: Tabla de horas frente al ordenador (rellénala con De 0 a 1 hora, De 1 a horas, De a 3 horas, 3 a 4 horas ). 1 De 0 a 1 7 De 1 a 13 De 1 a 19 De 1 a De a 3 8 De 0 a 1 14 De a 3 0 De 0 a 1 3 De 1 a 9 De a 3 15 De 0 a 1 1 De a 3 4 De 3 a 4 10 De 1 a 16 De a 3 De 3 a 4 5 De 0 a 1 11 De 0 a 1 17 De 1 a 3 De 1 a 6 De 0 a 1 1 De 1 a 18 De 1 a 4 De 1 a Resumen de resultados: 4 55

14 De 0 a 1 7 De 1 a 10 De a 3 5 De 3 a 4 4 Tabla de horas vendo la televsón (rellénala con De 0 a 1 hora, De 1 a horas, De a 3 horas, De 3 a 4 horas ). 1 De 0 a 1 7 De 1 a 13 De 0 a 1 19 De 0 a 1 De a 3 8 De 0 a 1 14 De a 3 0 De 0 a 1 3 De 1 a 9 De a 3 15 De 0 a 1 1 De a 3 4 De 3 a 4 10 De 0 a 1 16 De 0 a 1 De 1 a 5 De 0 a 1 11 De 0 a 1 17 De 1 a 3 De 1 a 6 De 0 a 1 1 De 1 a 18 De 1 a 4 De 1 a Resumen de resultados: De 0 a 1 11 De 1 a 8 De a 3 4 De 3 a

15 ANEXO 3: Lbro de texto de referenca Mostramos en las sguentes págnas el lbro de texto que hemos empleado, tanto en el Práctcum del Máster de Profesorado como en este Trabajo Fn de Máster, como una mportante referenca para tratar el objeto matemátco que hemos estudado. 57

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35 ANEXO 4: Tecnologías, Técncas, Ejerccos, Ejemplos y Problemas de Estadístca En este anexo, se presenta una gran cantdad de ejerccos, ejemplos y problemas, técncas y tecnología relaconadas con la Estadístca y, en concreto, con el objeto matemátco tratado en este trabajo. Nos gustaría resaltar el enorme trabajo que ha supuesto la realzacón de este anexo. Es certo que parte pudo ser empleado durante el Práctcum II y III del Máster de Profesorado, pero tambén es verdad que se han desarrollado y soluconado actvdades que nos han servdo como ayuda en el presente trabajo, además de servr como referenca en consultas relaconadas con determnadas tecnologías y técncas. 77

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37 TEMA 13: ESTADÍSTICA El tema está dvddo en 6 apartados. 1. Conceptos Báscos La Estadístca es la cenca que se encarga de recoplar y ordenar datos referdos a dversos fenómenos para su posteror análss e nterpretacón. 1.1 Poblacón y Muestra Poblacón: Todos los elementos que son objeto de estudo. Muestra: Parte de la poblacón que estudamos. Indvduo: Cada elemento de la poblacón o la muestra. Tamaño: Número de elementos que tene la poblacón o la muestra. Importante: S la muestra no se escoge ben, las conclusones del estudo pueden ser erróneas. Ver el ejemplo 1 (págna 46). Hacer los ejerccos 1,, 3 y 4 de la págna 46. Los que no den tempo, para hacer en casa. Ejercco 1: Queremos realzar un estudo estadístco de la talla de calzado que usan los alumnos de 3º ESO de un nsttuto. a) Cuál sería la poblacón? La poblacón estaría formada por los alumnos de 3º ESO del nsttuto. b) Elge una muestra. Qué tamaño tene? Podríamos coger 10 alumnos de cada grupo de 3º ESO. S tenemos tres grupos de 3º ESO 30 alumnos. Ejercco : Señala en qué caso es más convenente estudar la poblacón o una muestra. a) Longtud de los tornllos que, nnterrumpdamente, produce una máquna Muestra b) Estatura de todos los turstas en un año Muestra c) El peso de un grupo de cnco amgos Poblacón 79

38 Ejercco 3: Este es el ttular de un peródco. EL PESO MEDIO DE LOS ESPAÑOLES ES 69KG.. a) Cómo crees que se llega a esta conclusón? Se habrá estudado a toda la poblacón? Se llega a esta conclusón tomando una muestra sgnfcatva de españoles. No se ha estudado a toda la poblacón española. b) Qué característcas debe tener la muestra? Podrían ser todos los ndvduos de la muestra de la msma edad? S todos son mujeres, Sería correcta la muestra? La muestra tene que ser representatva de la socedad española y tener dferentes tpos de personas, de dversas edades, de ambos sexos No podrían ser todos los ndvduos de la msma edad. S todos son mujeres la muestra no sería correcta. Ejercco 4: Pensa y escrbe un ejemplo de poblacón para hacer un estudo estadístco. Qué muestra podríamos tomar? Indca los ndvduos y el tamaño de la muestra. Número de personas mayores de 30 años con estudos unverstaros en Zaragoza. Muestra que podríamos tomar: unas 100 personas de cada barro de Zaragoza Los ndvduos serían personas mayores de 30 años resdentes en Zaragoza y el tamaño de la muestra entre unas 1000 y 1500 personas. 1. Varables Estadístcas Tpos Propedades Ejemplos Cualtatvas Cuanttatvas Los valores de la varable no son números, sno cualdades. Los valores que toma la varable son números Dscretas Contnuas En cada tramo, la varable solo puede tomar un número fnto de valores La varable puede tomar tantos valores como queramos, por pequeño que sea el tramo. - Sexo (mujer, varón) - Color de pelo (moreno, rubo ) - Peso - Número de hermanos - Número de amgos: entre y 5 solo puedo tener 3 ó 4 amgos, pero no 3,5 ó 3,6 - Altura: entre 1,70 y 1,80 m de altura tenemos 1,71 m; 1, 715 m; 1,767 m 80

39 Una varable estadístca es cada una de las propedades o característcas que podemos estudar de un conjunto de datos. Las varables estadístcas, dependendo de los posbles valores que puedan tomar, se clasfcan según el anteror cuadro. Ver el ejemplo (págna 47). Hacer los ejerccos 5, 6 y 7 de la págna 47. Los que no den tempo, para hacer en casa. Ejercco 5: Determna s las varables estadístcas son cualtatvas o cuanttatvas. a) Año de nacmento Varable Cuanttatva Dscreta b) Color del pelo Varable Cualtatva c) Profesón de una persona Varable Cualtatva d) Perímetro torácco Varable Cuanttatva Contnua e) Estado cvl Varable Cualtatva f) Perímetro de la cntura Varable Cuanttatva Contnua g) Número de veces que se ha vajado en avón Varable Cuanttatva Dscreta Ejercco 6: Clasfca estas varables en cualtatvas o cuanttatvas, y en ese caso, d s son dscretas o contnuas. a) Provnca de resdenca Varable Cualtatva b) Número de vecnos de un edfco Varable Cuanttatva Dscreta c) Profesón del padre Varable Cualtatva d) Consumo de gasolna por cada 100 km Varable Cuanttatva Contnua Ejercco 7: S una varable estadístca cuanttatva puede tomar nfntos valores, es dscreta o es contnua? S una varable estadístca cuanttatva puede tomar nfntos valores, la varable puede ser dscreta o contnua. Ponemos dos ejemplos: Número de átomos en cada uno de los astros de la Vía Láctea: Varable Cuanttatva Dscreta ( nfntos valores pero enteros) Dstanca de la Terra a otros astros del Unverso: Varable Cuanttatva Contnua ( nfntos valores contnuos) 81

40 . Frecuencas y Tablas.1 Recuento de Datos Después de recoplar los datos, se procede a su recuento para expresarlos de manera ordenada, generalmente, en forma de tablas. S la varable es contnua, los datos se agrupan en ntervalos o clases, usualmente de la msma ampltud y, como mínmo, 4 ntervalos. A todos los datos de un ntervalo se les da el msmo valor, que se llama marca de clase y es el punto medo del ntervalo. Ver los ejemplos 3 y 4 (págna 48). Hacer los ejerccos 8, 9 y 10 de la págna 48. Los que no den tempo, para hacer en casa. Ejercco 8: Las estaturas (en cm) de 8 jóvenes son las sguentes. Forma una tabla con ntervalos, efectúa el recuento de datos y obtén las marcas de clase de cada ntervalo Intervalo Marca de Clase Recuento [150, 154) 15 [155, 159) [160, 164) 16 6 [165, 169) [170, 174) 17 6 [175, 179) Ejercco 9: El color de pelo (M = moreno, R = rubo, P = pelrrojo) de 30 personas es: M R P M M M M R R P P M M M M M M P R R R P M M M M R M M M Construye su tabla de frecuencas. Color de Pelo Recuento Moreno (M) 18 Rubo (R) 7 Pelrrojo (P) 5 Ejercco 10: Por qué los ntervalos son cerrados por un lado y abertos por el otro? Porque el valor del lado aberto no puede pertenecer a los dos ntervalos. De esta forma, no pertenece a uno y sí que pertenece al sguente. 8

41 . Frecuenca Absoluta y Relatva La frecuenca absoluta de un dato, x, es el número de veces que aparece. Se smbolza con f. La suma de las frecuencas absolutas es gual al número total de datos, N. La frecuenca relatva de un dato es el cocente entre su frecuenca absoluta, f, y el número total de datos, N. Se representa por h. Tenemos que las frecuencas relatvas es gual a la undad. f h y que la suma de N Ver el ejemplo 5 (págna 49). Hacer los ejerccos 11, 1 y 13 de la págna 49. Los que no den tempo, para hacer en casa. Ejercco 11: El número de horas daras que trabajan con el ordenador 30 personas es: a) De qué tpo es la varable estadístca? Varable Cuanttatva Dscreta b) Construye la tabla de frecuencas. Valores x Frecuencas Absolutas f Frecuencas relatvas f h Porcentajes % N 0 4 0,1 3 13,3 % 1 6 0, 0% 8 0,6 6,6 % 3 5 0,1 6 16,6 % 4 3 0, 1 10% 5 4 0,1 3 13,3 % Suma % Ejercco 1: Los resultados de un test de ntelgenca realzado a 0 personas han sdo: Obtén la tabla de frecuencas, tomando ntervalos de ampltud

42 Intervalos Frecuencas Absolutas f Frecuencas relatvas f h N Porcentajes % [60, 70) 0,1 10% [70, 80) 3 0,15 15% [80, 90) 0,1 10% [90, 100) 4 0, 0% [100, 110) 5 0,5 5% [110, 10) 0,1 10% [10, 130) 0,1 10% Suma % Ejercco 13: Qué pasa s la suma de frecuencas absolutas no es gual al número total de datos. Nos habremos debdo dejar algún dato de contablzar. La suma de frecuencas absolutas debe ser gual al número total de datos..3 Frecuencas Acumuladas La frecuenca absoluta acumulada de un dato x es la suma de las frecuencas absolutas de los valores que son menores o guales que él. Se representa por F. F f f f f 1 3 La frecuenca relatva acumulada de un dato x es la suma de las frecuencas relatvas de los valores menores o guales que él. Se representa por H. Equvale al cocente entre la frecuenca absoluta acumulada del dato y el número total de ellos. H h h h h 1 3 f f 1 N N f f 3 N N F N Ver el ejemplo 6 (págna 50). Hacer los ejerccos 14, 15 y 16 de la págna 50. Los que no den tempo, para hacer en casa. Ejercco 14: Los pesos (en kg) de 4 personas son: 68,5 34, 47,5 39, 47,3 79, 46,5 58,3 6,5 58, ,4 58,6 50, 60,5 70,8 30,5 4,7 59,4 39,3 48,6 56,

43 a) Agrúpalos en ntervalos de ampltud 10 y obtén la tabla de frecuencas. b) Cuántas personas pesan menos de 50kg? 9 personas c) Calcula el tanto por cento sobre el total que representa el ntervalo de mayor frecuenca absoluta [50, 60) 6 6/4 = 0,5 5% Intervalo Marca f [30, 40) ,1 6,16 [40, 50) ,083 0,375 [50, 60) , 5 0, 6 [60, 70) ,083 0,83 [70, 80) , 15 0,9583 [80, 90) , TOTAL 4 1 F h H 0 Ejercco 15: El número de horas daras de estudo de 30 alumnos es: Obtén la tabla de frecuencas. Qué sgnfcan las frecuencas acumuladas? x f F TOTAL 30 Las frecuencas acumuladas nos dan la nformacón del número de veces que ha saldo el valor o menor que él. Es decr, la frecuenca acumulada de es 18, es decr, que hay 18 valores menores o guales que. Ejercco 16: Explca cómo completarías una tabla de frecuencas en la que conoces sólo las frecuencas absolutas acumuladas. Realzaría la dferenca entre las frecuencas absolutas acumuladas para obtener las frecuencas absolutas correspondentes. 85

44 3. Gráfcos Estadístcos Los datos estadístcos se suelen expresar de forma gráfca ya que, en un golpe de vsta, nos podemos hacer una dea de su dstrbucón. En funcón del tpo de varable usaremos un tpo de gráfco u otro. 3.1 Dagrama de Barras Se usa para representar varables cualtatvas o cuanttatvas dscretas. - En el eje de abscsas representamos los datos, y en el eje de ordenadas las frecuencas. - Sobre cada dato se levantan barras vertcales cuya altura es la frecuenca que estamos representando. - S trazamos una línea polgonal que una los extremos de las barras obtenemos el polígono de frecuencas. Ver el ejemplo 7 (págna 51). Hacer los ejerccos 17, 18 y 19 de la págna 51. Los que no den tempo, para hacer en casa. Ejercco 17: En un edfco de 16 vecnos, el número de televsores por vvenda es: a) Construye la tabla de frecuencas. Qué tpo de varable es? Razona tu respuesta. x f TOTAL 16 La varable es cuanttatva dscreta (son valores enteros). b) Realza el dagrama de barras y el polígono de frecuencas de los datos. 86

45 c) Haz lo msmo con las frecuencas acumuladas. x f F TOTAL 16 Ejercco 18: En un aparcamento públco hay 5 coches rojos, 19 amarllos, 39 plateados, 50 blancos, 7 verdes, 30 azules y 10 negros. a) Construye la tabla de frecuencas. Colores f Rojo 5 Amarllo 19 Plateado 39 Blanco 50 Verde 7 Azul 30 Negro 10 TOTAL 00 b) Puedes hallar las frecuencas acumuladas? No, no podemos. Solo podemos calcular frecuencas acumuladas en varables cuanttatvas, ya que es necesaro que los datos puedan ordenarse de menor a mayor. c) Realza el dagrama de barras. 87

46 Ejercco 19: Haz el gráfco del ejercco anteror con las frecuencas relatvas. Qué observas? f h Colores Rojo 5 0,15 Amarllo 19 0,095 Plateado 39 0,195 Blanco 50 0,5 Verde 7 0,135 Azul 30 0,15 Negro 10 0,05 TOTAL 00 1 La forma de la gráfca es la msma. Lo únco que camban son los valores del eje y. 3. Hstograma Se usa para representar varables cuando los datos se agrupan en ntervalos. En el eje de abscsas representamos los datos, y en el eje de ordenadas, las frecuencas. Se dvde el eje de abscsas en ntervalos y se levanta un rectángulo, sobre cada uno, de altura gual a su frecuenca. El polígono de frecuencas se obtene unendo los puntos medos de los extremos superores de los rectángulos, o los vértces superores de la derecha, en el caso de frecuencas acumuladas. 3.3 Dagrama de Sectores Srve para representar cualquer tpo de varable. Es un círculo dvddo en sectores, uno para cada dato o ntervalo. La ampltud de cada sector crcular es proporconal a la frecuenca y se calcula multplcando 360 o por la frecuenca relatva. Ver el ejemplo 8 (págna 5). Hacer los ejerccos 0, 1 y de la págna 5. Los que no den tempo, para hacer en casa. 88

47 Ejercco 0: La longtud (en cm) de 18 grllos es: 1,8 1,9,4,6,8 1,7 1,9,3 1,6,1 3,3,7,9 1,5 1,8,6 a) Construye la tabla de frecuencas tomando ntervalos. f h Intervalos [1 5, ) 7 7 [, 5) 5 1 [ 5, 3) 5 17 [3, 3 5) 1 18 TOTAL 18 b) Representa los datos medante un hstograma y un polígono de frecuencas. c) Realza un dagrama de sectores. Qué gráfco te parece más adecuado? El gráfco más apropado es el dagrama de sectores, ya que se ve a prmera vsta las dferentes clases y cuál es la más númerosa y la que menos. Ejercco 1: Representa estos datos: en una clase de 50 alumnos, 1 de ellos han suspenddo, 30 han sacado Sufcente, un 1% Notable y el resto Sobresalente. f Calfcacones Suspenso 1 Sufcente 30 Notable 6 1% de 50 = 6 Sobresalente Resto: = TOTAL 50 89

48 Ejercco : Haz la tabla de frecuencas que corresponde a este gráfco. f Intervalos [0, 10) 15 [10, 0) 30 [0, 30) 45 [30, 40) 50 [40, 50) 35 [50, 60) 5 TOTAL Meddas de Centralzacón Las meddas de centralzacón resumen la nformacón de la muestra. Meda artmétca, x: es el cocente de la suma de todos los valores multplcados por su frecuenca, entre la suma de todas las frecuencas. x f x f x f x f x N 3 n n S la varable es contnua, x es la marca de clase del ntervalo. Moda, Mo: es el valor de la varable, o la marca de clase para datos en ntervalos, que tene mayor frecuenca, es decr, la que más se repte. Medana, Me: es el valor que ocupa la poscón central de los datos después de ordenarlos, o la meda de los dos valores centrales en el caso de que el número de datos sea par. Ver el ejemplo 9 (págna 53). Hacer los ejerccos 3, 4 y 5 de la págna 53. Los que no den tempo, para hacer en casa. 90

49 Ejercco 3: Las estaturas (en cm) de 4 alumnos de 3º ESO son: a) Agrúpalas en ntervalos. f Marca de Clase Intervalos [155, 160) 7 157,5 [160, 165) 9 16,5 [165, 170) 8 167,5 TOTAL 4 b) Calcula la meda, medana y moda. Meda: f x f x f x ,5 9 16, , x 16,7083 N Medana: ordenamos los datos prmero y buscamos el valor central o la meda de los dos valores centrales s hay un número par de datos Valores centrales (poscones 1 y 13): ( )/ = 161 cm (medana) Moda: la marca de clase que más se repte es 16,5 cm Ejercco 4: Interpreta las meddas de centralzacón del número de suspensos de 15 alumnos x f TOTAL 15 Meda: f x x N Medana: ordenamos los datos de menor a mayor. Vemos que la medana es Moda: los valores que más se repten son el 1 y el 4 (cuatro veces cada uno). 91

50 Ejercco 5: Añade un valor que no haga varar la medana Ordenamos los datos para calcular la medana. Vemos que la medana es S tenemos que ntroducr un valor que no modfque la medana, ntroducremos un 1. Así: Pero podríamos ntroducr un valor menor que 1 o mayor que 1 y la medana no vararía Meddas de Poscón Una medda de poscón es un valor de la varable que nforma del lugar que ocupa un dato dentro del conjunto ordenado de valores. Los cuartles, Q, Q y Q (prmero, segundo y tercer cuartl, respectvamente), son 1 3 meddas que separan los datos en 4 partes guales, es decr, en cada tramo está el 5% de los datos recogdos en el estudo. 5% 5% 5% 5% Q Q Q 1 3 Ver el ejemplo 10 (págna 54). Hacer los ejerccos 6, 7 y 8 de la págna 54. Los que no den tempo, para hacer en casa. Ejercco 6: Calcula los cuartles de este conjunto de datos que expresan los días de baja laboral sufrdos por 10 trabajadores

51 f F Bajas TOTAL 10 Q tene el 5% de los datos por debajo y el resto por encma. Con 10 datos, el 5% es 1,5. Así que dejando datos por debajo, localzamos Q Q Q tene la mtad de los datos por debajo y la otra mtad encma. Con 10 datos, el 50% es 5. Así que dejando 5 datos por debajo, localzamos Q Q 1 Q tene el 75% de los datos por debajo y el resto por encma. Con los 10 datos, el 75% 3 es 7,5. Así que dejando 7 datos por debajo, localzamos Q Q Ejercco 7: Interpreta los cuartles que has calculado en el ejercco anteror. Q 0: el 5% de los datos es 0 o menor. 1 Q 1: el 50% de los datos es 1 o menor. Q 3: el 75% de los datos es 3 o menor. 3 Ejercco 8: Se han convocado unas oposcones en las que hay 50 plazas y se han presentado 00 personas. Estos son los resultados. Con qué nota se consgue una plaza? Notas Opostores f plazas y 00 personas 50 mejores notas 5% mejores 75% por debajo Q 3 f F = 157 Q 7 Se consgue una plaza con un Meddas de Dspersón Las meddas de dspersón permten conocer el grado de agrupamento de los datos en torno a las meddas de centralzacón. 93

52 Medda Cálculo Defncón Rango o Recorrdo R R Máx Mín Es la dferenca entre el mayor y el menor valor de la varable. Desvacón meda DM f x x Es la meda artmétca de los DM valores absolutos de las N desvacones de cada dato. Varanza f x x Es la meda de los cuadrados N de las desvacones. Desvacón típca f x x Es la raíz cuadrada postva de la varanza. N Coefcente de Varacón CV CV Es el cocente de la desvacón x típca y la meda Ver el ejemplo 11 (págna 55). Hacer los ejerccos 9, 30 y 31 de la págna 55. Los que no den tempo, para hacer en casa. Ejercco 9: Las longtudes (en mm) de una muestra de tornllos son las sguentes. Calcula sus meddas de dspersón utlzando las marcas de clase. Intervalos f Marca de Clase [13, 14) 8 13,5 [14, 15) 7 14,5 [15, 16) 15,5 [16, 17) 3 16,5 TOTAL 0 Calculamos la meda antes: f x x N 813,5 7 14,5 15,5 316, ,5 0 0 Rango o Recorrdo: R Máx Mín 16,5 13,5 3 Desvacón meda: f x x DM 0, 8 N 0 0 Varanza: f x x Desvacón típca: f x x N N , ,1 1,0488 Coefcente de Varacón: 1,1 CV 0, 0733 x 14,5 94

53 Ejercco 30: Las notas obtendas por un alumno en cnco exámenes han sdo: 3, 8, 5, 7 y 4, y las de otro alumno, 9, 4, 5 y 7. En qué alumno es mayor la dspersón? Alumno Alumno A smple vsta, y ordenando los valores, vemos que el alumno tene notas más extremas : un y un 9. Pero lo calculamos x 5,4 x 5, R R 9 7 1,4 1,4 0,4 1,6,6 8,4 3,4 1,4 0,4 1,6 3,6 10,4 DM 1,68 DM, ,4 1,4 0,4 1,6,6 17, 3,4 1,4 0,4 1,6 3,6 9, 3,44 5, ,4 1,4 0,4 1,6,6 17, 3,4 1,4 0,4 1,6 3,6 9, 1,8547, , CV 1 9, 5 0,3435 CV 5 0, 1 x 5,4 5, x 1 Msmo valor medo. Mayor recorrdo en el alumno. Mayor desvacón meda en el alumno. Mayor varanza en el alumno en el alumno. Mayor desvacón típca en el alumno. Mayor coefcente de varacón en el alumno. Ejercco 31: Pregunta a 5 compañeros por su edad y su altura. Compara la dspersón de las dos varables. Este ejercco lo realzarían los alumnos con sus compañeros. Sus edades son más smlares que sus estaturas, por lo que la dspersón será mayor en los datos referdos a la altura. 95

54 Ver en págnas 56 y 57 Lo Esencal con la teoría y los ejemplos que se muestran. Hacer las actvdades de Y Ahora Practca de la págna 57. Construr tablas de frecuencas Ejercco 1: S la frecuenca relatva acumulada de un dato es Esto sgnfca que: a) Hay 35 datos menores No b) El 35% de los datos son menores o guales No c) S no conocemos la frecuenca absoluta, no podemos asegurar nada Sí d) El dato se repte 35 veces No Dbujar un hstograma Ejercco : S la frecuenca absoluta de [a, b) es c, la altura del rectángulo al representarlo es: a) a No b) b No c) c Sí d) a + b No Calcular las meddas estadístcas Ejercco 3: Para los datos 1,, 1, 1, 3: a) x x 1, 6 5 No b) 0 0,6 0,4 0,6 0,6 1,4 3, 0, c) Me Sí (la medana es 1) d) R = No No Ejercco 3: Queremos hacer un estudo de las horas que los alumnos dedcan a la lectura. a) Elge una muestra para realzar el estudo Un aula de cada curso de la ESO. b) Qué tamaño tene dcha muestra? Entre 80 y 100 ndvduos. c) Cuál es la poblacón? Todos los alumnos. 96

55 Ejercco 33: Indca el tpo de varable estadístca que estamos estudando y d, en cada caso, qué sería mejor, s estudar una muestra o la poblacón. a) El programa favorto de los membros de tu famla Varable cualtatva. Poblacón. b) La talla de calzado de los alumnos de un IES Varable cuanttatva dscreta. Muestra. c) Temperatura meda dara de tu provnca Varable cuanttatva contnua. Poblacón. d) Edad de los habtantes de un país Varable cuanttatva dscreta. Muestra. e) Sexo de los habtantes de un pueblo Varable cualtatva. Poblacón. f) Dnero gastado a la semana por tus amgos Varable cuanttatva dscreta. Muestra. g) Efectos de un nuevo medcamento en el ser humano Varable cualtatva. Muestra. h) El color del pelo de tus compañeros de clase Varable cualtatva. Poblacón. Ejercco 34: De las sguentes varables, cuáles son dscretas? a) Número de mascotas Sí b) Talla de calzado Sí c) Perímetro craneal No d) Ingresos daros en una frutería No (solo dos decmales) e) Klogramos de carne consumdos en el comedor de un IES durante una semana Sí Ejercco 35: Al preguntar a 0 personas sobre el número de veces que habían vajado al extranjero, el resultado fue: a) Organza los datos hacendo un recuento. 1 ha estado una vez en el extranjero; 3 han estado veces; 7 han estado 3 veces; 4 han estado 4 veces; 3 han estado 5 veces; y han estado 6 veces. 97

56 b) Obtén la tabla de frecuencas. Veces en el Extranjero f TOTAL 0 Ejercco 36: La talla de calzado que utlzan 0 alumnos en una clase de Educacón Físca es: Representa el dagrama de barras y el polígono de frecuencas para las frecuencas absolutas y para las frecuencas absolutas acumuladas. f F Talla Calzado TOTAL 0 98

57 Ejercco 37: Estas son las estaturas (en cm) de 7 jóvenes: a) Utlza ntervalos de ampltud 5 para formar una tabla de frecuencas. f F Alturas [150, 155) [155, 160) 4 6 [160, 165) 6 1 [165, 170) 5 17 [170, 175) 6 3 [175, 180) 4 7 TOTAL 7 b) Representa los datos en un hstograma utlzando las frecuencas absolutas y las frecuencas absolutas acumuladas. Ejercco 38: De los 30 asstentes a una cena, el 0% comó ternera; el 40% cordero y el resto pescado. Indca la varable estadístca y organza los resultados en una tabla de frecuencas. Después, representa los datos en un gráfco de sectores. Plato de la Cena f Ternera 6 0% de 30 = 6 Cordero 1 40% de 30 = 1 Pescado 1 Resto = = 1 TOTAL 30 99

58 Ejercco 39: El número de veces que se alquló cada mes la psta de tens de un poldeportvo vene representado en este gráfco. a) Obtén las frecuencas relatvas y acumuladas. b) En qué porcentaje de meses se alquló la psta más de 80 veces? c) Representa el polígono de frecuencas absolutas acumuladas. Presentamos a contnuacón la tabla de frecuencas absolutas, relatvas y acumuladas: f F h H Uso psta de Tens [60, 70) 4 4 0, 3 0, 3 [70, 80) 6 0,1 6 0, 5 [80, 90) , 5 [90, 100) 8 0,1 6 0, 6 [100, 110) 10 0,1 6 0,83 [110, 10) ,83 [10, 130) 1 0,1 6 1 TOTAL 1 1 En un 50% de los meses se alquló la psta más de 80 veces. 100

59 Ejercco 40: Obtén las meddas de centralzacón de esta sere de datos Meddas de centralzacón: Meda artmétca: f x f x f x f x x n n N Moda, Mo : es el valor que tene mayor frecuenca x f F TOTAL 45 Medana, Me : valor que ocupa la poscón central de los datos después de ordenarlos Meda: f x x 3,9 1 N Moda: el valor más frecuente es el 5 Medana: el valor medano es el 4 (es la poscón 3, el valor central) Ejercco 41: Vuelve a realzar la actvdad anteror con ntervalos de ampltud. Obtenes los msmos resultados? Por qué crees que sucede esto? Intervalo Marca F f x [0, 1) 0, [, 3), [4, 5) 4, [6, 7) 6, [8, 9) 8, TOTAL 45 Meda: 100,5 10,5 13 4,5 7 6,5 58,5 176,5 f x x 3,9 N Moda: el valor más frecuente es el 4,5 Medana: el valor medano es el 4,5 (es la poscón 3, el valor central) 101

60 No obtenemos los msmos resultados y es normal. Ahora estamos usando las marcas de clase, que son valores dferentes, las frecuencas han cambado al agrupar datos Ejercco 4: Determna la medana de estos datos. a) x f b) Var. [0, 10) [10, 0) [0, 30) [30, 40) f a) Para ver la medana ponemos todos los datos ordenados: Vemos que el valor central es (3+4)/ = 3,5 b) Vemos que hay = 11 valores. Así que tenemos que buscar el valor central que ocupa la poscón 6. Ese valor está en el ntervalo [0, 30). Tomando la marca de clase, podemos decr que el valor medano es 5. Ejercco 43: Obtén la meda, medana, moda y cuartles de los datos de esta tabla. x f Meda: f x x 8, 4 N 0 0 Moda: el valor más frecuente es el 8 Medana: el valor medano es el 8 (es la meda de la poscón 10 y 11, el valor central) Cuartles: Los cuartles, Q, Q y Q (prmero, segundo y tercer cuartl, 1 3 respectvamente), son meddas que separan los datos en 4 partes guales, es decr, en cada tramo está el 5% de los datos recogdos en el estudo Q 6 Q 8 1 Q

61 a) S multplca por 3 los valores, cuál será la meda? Y la medana? Y la moda? x f Meda: f x x 85, N 0 0 Moda: el valor más frecuente es el 84 3 veces más 3 veces más Medana: el valor medano es el 84 (meda de la poscón 10 y 11) 3 veces más b) S a todos los valores de una varable les restamos o los dvdmos entre un msmo número, cuál es la nueva meda? El nuevo valor de la meda será el antguo menos el valor restado o el antguo entre el valor por el que dvdmos. Lo msmo al sumar y multplcar. Ejercco 44: Los sguentes datos: 10, 17, a, 19, 1, b, 5 tenen como meda, medana y moda el valor 19. Cuánto valen a y b? f x a b a b x 19 9 a b 133 a b 41 N 7 7 Medana: s es 19, tenemos que el valor central será 19. Suponemos que los números están ordenados, así que a b, 17 a 19 y 1 b 5. Moda: s la moda es 19, y todos los valores aparecen una vez, debe repetrse el valor 19 al menos una vez más. Así que a 19. Por lo que: a b 41 b 41 a 4119 b Ejercco 45: Consdera el conjunto de datos: 3, 17, 19, x, y, 16. Sabendo que la meda es 0 y la moda es 3, cuáles son los valores de x e y? f x x y x y x 0 75 x y 10 x y 45 N 6 6 Moda: s la moda es 3, al menos tene que haber algún dato más que sea 3 x 3 Así que: x y 45 3 y 45 y 45 3 y 103

62 Ejercco 46: Datos de una encuesta sobre el número de rados en los hogares españoles. Número de rados Número de hogares a) Cuántas rados tene la cuarta parte de los hogares? = /4 = 4145,5 El 5% de los hogares (la cuarta parte) tene 0 ó 1 rado. b) Y el 75%? 4145,5 3 = 1435,75 El 75% de los hogares tene 0, 1 ó rados. c) Qué sgnfcado tene la medana? La medana es el valor que ocupa la poscón central de los datos después de ordenarlos. Su sgnfcado, en este caso (4145,5 = 890,5), marca que el 50% de los hogares tene 0 ó 1 rado y el 50% de los hogares tene 1,, 3 ó 4 rados (el 50% tene 1 o menos rados y el 50% tene 1 o más rados). Ejercco 47: Resuelve con tu calculadora esta actvdad. Durante un mes, ocho dependentes venderon los sguentes aparatos de are acondconado: 8, 11, 5, 14, 8, 11, 16, 11. Calcula la meda, la desvacón típca y el coefcente de varacón de los datos Meda: f x x N ,5 8 8 Desvacón Típca: 5 10,5 8 10, , , , ,79 8 Coefcente de Varacón: 3,79 CV 0,31 x 10,5 104

63 Ejercco 48: Las edades (en años) de los 30 prmeros vstantes al Planetaro han sdo: Obtén sus meddas estadístcas. x f F x 10, Mo10 Me 10 R ,6 4 10,6 5 10,6 6 10, ,6 8 10,6 4,859 3,8 30 CV 4,859 x 10,6 0,454 4,859 Ejercco 49: El peso medo de una muestra de recén nacdos es x, 85 Kg y su desvacón típca es 1 Kg. El peso medo de sus madres es x 6 Kg, con una desvacón típca de 15 Kg. En cuál de las dstrbucones es mayor la dspersón? CV bebes x 1,85 0,35 35 % CV madres x ,4 4 % Comparamos los coefcentes de varacón: la dspersón es mayor en los pesos de los bebés que en los de sus madres (aunque pueda parecer lo contraro s observamos sus desvacones típcas: 1 < 15). Ejercco 50: Las notas de Alberto en 5 exámenes son 4, 6, 6, 7 y 5, y las de Ana son 43, 6, 60, 50 y 55. Cuál de ellos es más regular en su rendmento académco? x 5,6 x 54 Alberto Ana Alberto 4 5,6 6 5,6 7 5,6 5 5,6 5 5, 5 1,04 1,0198 Ana ,6 6,8993 CV Alberto x Alberto Alberto 1,0198 5,6 0,181 18,1% CV Ana x Ana Ana 6, ,178 1,78% Ana es más regular en su rendmento (su dspersón es menor). 105

64 Ejercco 51: Halla la meda, medana, moda y desvacón típca de los sguentes datos. Peso (Kg) Número de alumnos [41, 47) 5 [47, 53) 6 [53, 59) 1 [59, 65) 4 [65, 71) 4 Meda: x ,8 Medana: meda de los valores 10 y 11, ordenando los dados de menor a mayor: (50+50)/=50 Moda: el valor más repetdo es 50. Desvacón Típca: , , , , ,8 0 9,01998 Ejercco 5: Las notas obtendas por 40 alumnos en Músca han sdo: Calcula la meda y la desvacón típca de los datos, consderando prmero la varable como dscreta y, después, agrupando los datos en los ntervalos [0, 5), [5, 7), [7, 9) y [9, 10]. Qué dferencas observas? x f TOTAL

65 x ,5 1 5,5 1 4,5 4 3,5 3,5 31,5 6 0,5 80,5 61,5 4,5 3,5 4,5 0 3,41 Ahora, agrupamos los datos: Intervalos f Marcas x [0, 5) 1,5 [5, 7) 14 6 [7, 9) 10 8 [9, 10] 4 9,5 TOTAL 40 x 1, , ,8 1 3,3 140, 10, 43,7 0 3,43 La meda aumenta un poco ya que usamos las marcas de los ntervalos y no los datos orgnales, y las prmeras, toman valores más altos (tenendo en cuenta su valor y su frecuenca). La desvacón típca aumenta muy poco. Ejercco 53: Los precos del alquler mensual de la vvenda se recogen en la sguente tabla: Preco ( ) Número de Vvendas f F TOTAL 187 a) Cuál es la meda de los alquleres? x ,31 b) D cuál es el preco más común El preco más común es 300 (es la moda). 107

66 c) Obtén la medana. Qué sgnfca? El número total de vvendas son 187. La mtad de este valor es 93,5. En el momento en el que se alcanza este valor (94) es con 330. El sgnfcado de este valor es que el 50% de los valores son menores que 300 y el 50% de los valores son mayores que 300. d) Calcula la varanza y la desvacón típca. Para qué srven estos números? 13 86, , ,31 353, , ,69 093, ,01 696,01 51,9 Estos dos valores nos dan nformacón sobre la dspersón de los datos. Ejercco 54: A partr de estos gráfcos determna su tabla de frecuencas y halla la meda, medana, moda y desvacón típca de los datos x , x f F TOTAL 10 Me 3 5,5 Mo y 3 (sere bmodal; s hay más de modas, sere multmodal) 1 1,7 4 0,7 4 0,3 1 3, ,1 10 1,61 1,689 x f F Intervalo [10, 11) 10,5 5 5 [11, 1) 11,5 3 8 [1, 13) 1, [13, 14) 13,5 5 3 [14, 15] 14,5 1 4 TOTAL 4 108

67 5 10,5 3 11,5 10 1,5 5 13,5 114,5 x 4 Me 1,5 Mo 1, ,5 5 1,75 3 0, ,5 5 1,5 1,5 4 30,5 4 1, ,173 Ejercco 55: Un equpo de baloncesto necesta un alero. Se han selecconado dos jugadores que, en los últmos cnco partdos, han anotado estos puntos. Cuál de ellos elegrías? Jugador A Jugador B Se calculan la meda y la desvacón típca: x A A , 1,0954 x A A , 7,563 Se analzan los resultados anterores. Como las medas son guales, s el entrenador qusera un jugador regular, escogería al jugador A (una desvacón típca baja sgnfca datos parecdos o smlares). Sn embargo, s qusera un jugador que pudera actuar de revulsvo, escogería al B, ya que alterna partdos muy buenos con otros peores (desvacón típca elevada ndca datos muy dferentes). Ejercco 56: Compara el rendmento de dos alumnos que realzan 5 pruebas, obtenendo estos resultados. Juan Ana

68 x Juan Juan ,8 1,6733 x Ana Ana ,7417 Los dos tenen en msmo valor medo, 5, pero Ana tene mayor dspersón en sus datos, es decr, es más varable. Juan tene unos resultados más smlares y menos dspersos. Ejercco 57: En la prmera evaluacón, de 30 alumnos de una clase, el 10% aprobó todo, el 0% suspendó 1 asgnatura, el 50% suspendó asgnaturas y el resto suspendó más de. Realza con estos datos la tabla de frecuencas. Hay algún tpo de frecuenca que responda a la pregunta de cuántos alumnos suspenderon menos de asgnaturas? Razona tu respuesta. Asgnaturas suspenddas 10% de % de % de El resto: o más 6 30 TOTAL 30 f F Cuántos alumnos suspenderon menos de asgnaturas? Tenemos que contar cuántos alumnos suspenderon 0 ó 1 asgnaturas = 9 F 9 Ejercco 58: Un corredor entrena, de lunes a vernes, recorrendo las sguentes dstancas:, 5, 5, 7 y 3 km, respectvamente (, 3, 5, 5, 7). S el sábado tambén entrena: a) Cuántos klómetros debe recorrer para que la meda sea la msma? x 4,4 Me5 Mo5 5 5 Que la meda no varíe: s s 4, 4 s 6, 4 s 4,

69 b) Y para que la medana no varíe? Que la medana no varíe: 5 km o más Dos ejemplos:, 3, 5, 5, 5, 7 y, 3, 5, 5, 7, 8 c) Y para que la moda permanezca constante? Que la moda no varíe: n, n 3, n 7 km. Así, la moda sgue sendo 5 km. Ejercco 59: Aplcada una prueba de Cálculo Mental (CM) y una prueba de Pscomotrcdad (P) a los 8 alumnos de una clase, los resultados fueron: Puntuacón CM P [10, 0) 1 [0, 30) 8 7 [30, 40) 11 9 [40, 50) 4 5 [50, 60) 4 [60, 70) 1 a) En qué prueba se obtuveron mejores resultados (mayor meda)? x 4,6 x 4, 6 CM P En las dos pruebas se obtuveron los msmos resultados medos. b) Dónde fue mayor la dspersón? (Usa el coefcente de varacón) CM 4,6 8 4,6 11 4,6 4 4,6 4,6 1 4,6 6 79,3 6 13, 3,636 P 1 4,6 7 4,6 9 4,6 5 4,6 4 4,6 4,6 6 45,3 6 7,5,7487 CV CM x CM CM 13, 0,779 77,9% 4,6 CV P P x P 7,5 0, ,90% 4,6 La prueba de Cálculo Mental (CM) fue la que tuvo mayor dspersón. Ejercco 60: De los 50 alumnos que responderon a una prueba de 1 preguntas, el 10% contestó correctamente a 3, el 50% a 7, el 30% a 10 y el resto al total de la prueba. Calcula la meda, medana y moda de los datos. Halla tambén su desvacón típca. 111

70 Preguntas Correctas 10% de % de % de El resto: TOTAL 50 f F x 8 Me 7 Mo ,8,4083 Ejercco 61: Los dplomados en Informátca de gestón tenen un salaro medo, en su prmer empleo, de 180, con una desvacón típca de 380. Por otra parte los dplomados en Informátca de sstemas tenen un salaro medo de 1160, con una desvacón típca de 350. S a un dplomado en Informátca de gestón le ofrecen un sueldo de 1400, y a un dplomado en Informátca de sstemas, un sueldo de 1340 : a) Cuál de los dos recbe mejor oferta? b) Razona por qué es mejor una u otra oferta. Ejercco 6: Un conjunto de datos, compuesto de números enteros postvos y dferentes entre sí, tene 47 como meda. S uno de los datos es 97 y la suma de todos los datos es 39, cuál es el mayor número que puede tener? Ejercco 63: Dado el conjunto de datos: x, calcula x para que la medana y la meda de los datos sean guales. Datos : x 17 Me Datos x: x 68 x x 17 5 x x Me 16 La medana camba s el dato es 17, para que no cambe la meda. Así que, no podemos elegr un valor para que se cumpla que no cambe n la meda n la medana a la vez. 11

71 Ejercco 64: S en un conjunto de cnco datos, la meda es 10 y la medana es 1, cuál es el menor valor que puede tomar el recorrdo? a a a a a La sere está ordenada, así que la medana es a a a a a a x 10 a a a a a 10 5 a a a a a Me 1 a 1 3 Así que: a a 1 a a 50 a a a a 50 1 a a a a a y a deben ser menores que 1 (no ponemos guales a 1 porque la meda es 10). 1 a y a deben ser mayores o guales que 1. Para reducr el recorrdo por la parte alta de 3 4 la sere, podemos hacer que a a 1 a a a a Ahora, para reducr el recorrdo por la parte nferor, hacemos que los dos valores sean guales, de esta forma: a a a a 14 a a a 7 1 Así que la sere es , de meda 10 y medana 1, con recorrdo 1 7=5. Ejercco 65: Cuando escrbmos en orden crecente la meda, la medana y la moda del conjunto de datos: 10,, 5,, 4,, x, obtenemos una progresón artmétca. Calcula todos los posbles valores de x. Progresón artmétca: x Me Mo x 5 x x x 3, Al añadr solamente un dato, y tener tres valores guales (), tenemos que: Mo 10,, 5,, 4,, x,,, 4, 5, 10, x S x = 1 ó x = : x,,,, 4, 5, 10 Me x Me Mo x x Pero hemos vsto que será x 3,57. No es progresón artmétca 7 S x = 3 ó x = 4:,,, x, 4, 5, 10 Me x x Me Mo 5 x 7 x Con x = 3: x 3 Con x = 4: No es progresón artmétca 113

72 S x = 5:,,, 4, x, 5, 10 Me No es progresón artmétca S x = 6, 7, 8, 9 ó 10:,,, 4, 5, x, 10 Me 4 5 x 4 7 Con x = 6: No es progresón artmétca Con x = 7: No es progresón artmétca Con x = 8: No es progresón artmétca Con x = 9: No es progresón artmétca Con x = 10: No es progresón artmétca S x es mayor de 10:,,, 4, 5, 10, x Me 4 5 x 4 7 Tenemos que hallar un valor que haga que: 5 x 6 5 x 6 7 x Las dos solucones son:,,, 3, 4, 5, 10 x Me Mo 4 3,,, 4, 5, 10, 17 x Me Mo 6 4 Ejercco 66: Después de ordenar un conjunto de sete datos, tomamos los cuatro prmeros datos, y resulta que su meda es 5; pero s tomamos los cuatro últmos, su meda es 8. S la meda de todos los números es 46/7, cuál será la medana? a a a a a a a La sere está ordenada, así que la medana es a a a a a a a a a 5 4 a a a 0 a a a a a a a a a 8 4 a a a 3 a a a a a a a a a a a a a a a a a 3 a 46 5 a 46 a 5 46 a

73 Ejercco 67: La Consejería de Educacón está valorando el rendmento de los alumnos en Matemátcas. Por ello, ha elaborado un nforme en el que se muestran los resultados de los alumnos de Secundara en Matemátcas durante el curso pasado. Un resumen del nforme se muestra medante gráfcas. Para realzar el dagrama de sectores han agrupado las notas más altas, NOTABLE y SOBRESALIENTE, y se han ncludo los porcentajes de alumnos que han obtendo cada nota. El nforme ndca que el número de estudantes que han obtendo SUFICIENTE es de A la vsta de estos gráfcos y de los porcentajes, calcula el número total de alumnos evaluados y cuántos alumnos han obtendo la calfcacón de SOBRESALIENTE. Alumnos que han obtendo SUFICIENTE: % El número total de alumnos evaluados es NOTABLE + SOBRESALIENTE = 15%. NOTABLE = 10% y SOBRESALIENTE = 5%. Así que: alumnos han obtendo SOBRESALIENTE

74 Ejercco 68: El número de espectadores de una cadena de televsón determna el coste de la publcdad que se emte. Por eso se hacen públcos regularmente sus índces de audenca. Las dos cadenas de televsón con mayor índce de audenca han presentado sus resultados de los cuatro prmeros meses del año. Estos son los gráfcos que apareceron en dstntos medos de comuncacón. Ambas cadenas han expermentado un gran ncremento, pero los responsables de TV MIRO nssten en que su crecmento ha sdo mayor: Tal y como muestran las gráfcas publcadas en los dstntos medos de comuncacón, hemos expermentado un crecmento superor al de Canal Free. Cuántos espectadores ganó cada cadena? El Canal Free ganó espectadores en los cuatro prmeros meses del año: pasó de espectadores a Por otro lado, el canal TV MIRO ganó 5000 espectadores en el msmo perodo: pasó de espectadores a Crecmento de Canal Free: ,13 13,3% Crecmento de TV MIRO: ,0980 Qué representacón refleja mejor la stuacón? 9,80% Debería representarse en una únca gráfca el crecmento en espectadores de ambas cadenas para poder comparar mejor los dos valores. 116

75 ANEXO 5: Problema de Martn Gardner (1981) Este ejercco nos ha servdo de base para plantear uno, actualzado, en nuestro trabajo (puede verse en la seccón de campos de problema de la moda): 117

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77 ANEXO 6: Prueba escrta: planteamento y solucón Añadmos en este anexo la prueba que hemos dseñado para evaluar el objeto matemátco que hemos tratado y las respuestas que esperaríamos por parte del alumnado a cada una de las preguntas: E1. Responde a las sguentes preguntas: a) Qué tres meddas de centralzacón conoces? Con qué tpos de varables se pueden calcular cada una? Cómo calcularías cada una de ellas con estos datos: 5, 7, 1, 4, 1? (0,75p) Conozco la meda, la medana y la moda. La meda y la medana se pueden calcular en varables cuanttatvas (contnuas y dscretas). La moda se puede calcular con varables cualtatvas y cuanttatvas Meda: x 8 Medana: ordenamos los datos Me 7 Moda: el únco valor que se repte es el 1, así que: Mo 1 b) Cómo se defne la frecuenca relatva? Con qué letra se representa? Cuánto suman las frecuencas relatvas de los valores de una varable estadístca? (0,75p) La frecuenca relatva es el cocente entre la frecuenca absoluta (o número de veces que se repte un valor de la varable) y el número total de datos. Se representa con h. La suma de las frecuencas relatvas de los valores de una varable estadístca es 1. E. Una asocacón contra la bulma y la anorexa, nforma que las pautas culturales han determnado que, la delgadez, sea snónmo de éxto socal. Muchos jóvenes luchan para consegur el físco deal, motvados por modelos, artstas o por la publcdad. En el mes de marzo de 006, en el colego Alcántara de la cudad de Talca, después de las vacacones de verano, se observó con precaucón a 5 estudantes con síntomas de anorexa, regstrándose los sguentes sgnos vsbles (DS: Deta Severa; RH: Usar Ropa Holgada; ME: Medo a Engordar; H: Hperactvdad: UL: Usar Laxantes): DS H DS DS RH RH UL DS H DS ME UL RH H RH DS RH DS H ME DS ME UL UL RH a) Crea la tabla de frecuencas de la anteror varable, calculando todas las frecuencas que puedas. S no puedes calcular alguna, explca el motvo. (1p) La varable es cualtatva, por lo que no vamos a poder calcular las frecuencas absolutas acumuladas n las frecuencas relatvas acumuladas. Así que: 119

78 f h DS 8 8/5 = 0,3 RH 6 6/5 = 0,4 ME 3 3/5 = 0,1 H 4 4/5 = 0,16 UL 4 4/5 = 0, b) S es posble, haz un dagrama de barras y dbuja el polígono de frecuencas. S no puedes, explca el motvo. (1p) Dbujo el dagrama de barras, pero no el polígono de frecuencas, ya que no se puede hacer con varables cualtatvas: c) S es posble, calcula las tres meddas de centralzacón que conoces. S no puedes, explca el motvo. (1p) No podemos calcular los valores de la meda y la medana, ya que estamos estudando una varable cualtatva. Sí que podemos calcular la moda. El varable toma más frecuentemente el valor de Deta Severa, por lo que Mo DS. E3. En una empresa los operaros consttuyen el 70% del personal, los técncos el 5% y los drectvos el 5%. Se sabe que los operaros ganan 100 euros mensuales cada uno, los técncos 1800 euros y los drectvos 500 euros. Se decde realzar una subda de 60 euros al sueldo de los operaros, de 90 euros a los técncos y de 10 euros a los drectvos. Sabendo que en la empresa hay 300 trabajadores en total, calcula las tres meddas de centralzacón que conoces tras la subda de sueldos. S no puedes calcular alguna, explca el motvo. (3p) Tengo que saber cuántos operaros, técncos y drectvos hay en la empresa. Así que: o 70% operaros 300 0,7 = = 160 o 5% técncos 300 0,5 = = 1890 o 5% drectvos 300 0,05 = = 60 10

79 Después, tengo que saber cuál es el nuevo sueldo de cada uno de los trabajadores: o operaros = 160 o técncos = 1890 o drectvos = 60 Y ahora, calculamos las meddas de centralzacón: Sueldo f F h H ,7 0, ,5 0, , x 1485, Me 160 Sueldo medano: 160 euros Mo 160 La moda es 160 euros Sueldo medo: 1485,50 euros E4. En un centro hosptalaro de la provnca de Sevlla se ha tratado a 5000 pacentes durante 5 días con un nuevo medcamento llamado QUITA-MIGRAÑAS. Todos ellos padecen jaqueca crónca, es decr, tenen fuertes dolores de cabeza. Se realza un estudo sobre el número de días que un pacente sufre mejoría con el medcamento, obtenendo la sguente tabla en grados sexagesmales: Días de mejoría Grados sexagesmales a) Dbuja el dagrama de sectores. (0,5p) Empleando los grados facltados en la tabla, puedo construr el dagrama de sectores: 11