1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL
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- Alejandro Domínguez Páez
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1 INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL RODRIGO DE BASTIDAS Resolución Nº 88 de noviembre.8/ Secretaria De Educación Distrital REGISTRO DANE Nº-99 Teléfono 6 Barrio Bastidas Santa Marta DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS UNIDAD Nº LIMITES Y CONTINUIDAD GUIA Nº GRADO UNDECIMO DOCENTE LIC-ING: ROSMIRO FUENTES ROCHA ESTANDARES ESPECIFICOS Utilizar técnicas de aproimación en procesos numéricos infinitos Usar las propiedades de los números reales en el cálculo de límites y en la determinación de la continuidad de funciones INDICADORES DE DESEMPEÑO Epresa con claridad los conceptos de límites y continuidad Aplica las propiedades y conocimientos algebraicos para calcular límites de funciones. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL. IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO El límite de una función y = f( en un punto =a es el valor al que tiende la función en puntos muy cercanos a un valor a. Considérese la función lineal f( = +. A qué valor se aproima la función, cuando se aproima al valor? : Si se quiere estudiar el límite de esta función cuando tiende a, hay que ver los valores que toma la función f( en puntos muy próimos a. Para ello se puede hacer la siguiente tabla de valores:,,8,9,99,999,9999,,,,, f(,6,8,98,998,9998,,,, Se observa que al tomar valores de muy próimos a, ya sean mayores o menores que él, sus imágenes se aproiman al valor. Cuanto mayor es la proimidad de a, mayor es la proimidad de f( a. Esto se epresa diciendo que, cuando tiende a, el límite de la función y = + es, y se escribe. Considérese la función f( Se elabora una tabla de valores:, analice el valor de la función para valores cercanos a,,8,9,99,999,9999,,,,, f(,,8,9,99,999,9999,,,,, Se observa que para valores cercanos a por izquierda y por derecha f( se aproima a ; pero no está definida para =. A pesar de esto el límite es. Luego Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página
2 . Considérese la función f (, en valores cercanos a Se construye la tabla de valores:,,8,9,99,999,9999,,,,, f( Luego Se observa que en la medida en que toma valores cercanos a por izquierda y por derecha, f(, no se aproima a ningún valor específico, es decir este límite es indeterminado. DEFINICION DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Se dice que una función f( converge, en el punto = a, hacia el valor L, o que su límite en a es L, cuando para valores cercanos al valor a, los valores de f( se aproiman a L. Se denota por: f ( L a Se lee el ite de f( cuando tiende a a es igual a L.. EVALUACION DIRECTA DE LÍMITES Evaluar directamente un límite es encontrar el valor que toma f( cuando se reemplaza el valor de por un valor a. Ejemplo : Calcular directamente Se reemplaza el valor de por y se resuelve la operación planteada ( ( 6 Ejemplo : Calcular directamente Se reemplaza directamente el valor de por -: ( ( ( ( 8 6, simplificando Ejemplo : calcular Al evaluar directamente: (, se obtiene una indeterminación Cuando se presentan estos casos es necesario observar si el numerador o denominador o ambos son factorizables, con el fin de einar los términos que produzcan la indeterminación. Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página
3 Factorizo el numerador: ( ( (diferencia de cuadrados El denominador no es factorizable. Ahora el límite se transforma ( (, se eina el factor (+ y quedaría (, al evaluar directamente Evalúa directamente los siguientes límites TALLER Nº LÍMITES LATERALES El límite por la izquierda de una función y = f(, cuando tiende al valor a, es el valor al que tiende la función para puntos muy próimos a a y menores que a. Se escribe f ( a El límite por la derecha de una función y = f(, cuando tiende al valor a, es el valor al que tiende la función para puntos muy próimos a a y mayores que a. Se escribe f ( a RELACIÓN ENTRE EL LÍMITE Y LOS LÍMITES LATERALES DE UNA FUNCIÓN El límite de una función y = f( en un punto a, eiste si y solo si eisten los Límites laterales y coinciden: f ( L f ( f ( L a a a Si se verifica esto, y L es un número finito, se dice que la función es convergente.. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. LIMITE DE UNA CONSTANTE: Si f( = c, donde c es una constante, entonces para todo valor de se cumple que f ( c a Ejemplo: 8 8, es evidente que como no hay variable no se puede remplazar nada. LIMITE DE UNA FUNCION LINEAL: Si f( = m+b, donde m y b son constantes, entonces m b m.a b a Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página
4 Ejemplo: Calcular ( ( 8. LIMITE DE UNA SUMA O DIFERENCIA DE FUNCIONES: El límite de una suma o diferencia de funciones es igual a la suma o diferencia de los límites de las funciones. Simbólicamente: si f( y g( son funciones tales que Lim f( y Lim g(, eisten, entonces: f ( g( f ( g( a a a Ejemplo: Calcular Se observa que se trata de ite de una suma, aplicando dicha propiedad se tiene ( ( ( LIMITE DE UN PRODUCTO: El límite de un producto de funciones es igual al producto de los límites de cada una de ellas. Simbólicamente si f( y g( son funciones tales que f ( y g( eisten, entonces: a a f ( g( f ( g( a a a Ejemplo: calcular ( ( (. LIMITE DE UN COCIENTE: El límite de un cociente de funciones es igual al cociente de los límites de cada una de ellas. Simbólicamente si f( y g( son funciones tales que f ( y g( eisten, entonces: a a Ejemplo: Calcular ( ( a f ( g( f ( a g( a, Con g( a 6. LIMITE DE UN RADICAL: El límite del radical de una función es igual a la raíz del límite de ella. Simbólicamente: si f( es una función y f ( eiste, entonces: a n f ( a n f ( a Ejemplo: Calcular ( ( 9. LIMITE DE LA POTENCIA DE UNA FUNCION: El límite de la potencia de una función es igual a la potencia de su límite f ( a k f ( a k Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página
5 Ejemplo: calcula ( ( 8. LIMITE DE UNA FUNCION CUYO EXPONENTE ES OTRA FUNCIÓN: El límite de una función de este g( g( tipo se calcula aplicando el límite a cada función f ( f ( a a a Ejemplo: calcular l im ( ( ( ( 9 9. LIMITE DE UN LOGARITMO: El límite del logaritmo de una función es igual al logaritmo de su límite. Simbólicamente: loga f ( loga f ( a a, si a > y f(> TALLER N Calcular los siguientes límites utilizando las propiedades e LIMITES AL INFINITO En la teoría de límites es importante conocer como se comportan algunas funciones, cuando la variable toma valores cada vez mayores. Por ejemplo analicemos la función f (, construyamos la tabla: f(,,,,,,,,, En la medida en que toma valores cada vez mayores, f( se aproima a cero, con lo anterior se puede deducir que: de igual forma a, si a> EVALUACION DE LÍMITES AL INFINITO En este caso se tienen en cuenta funciones racionales Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página
6 Ejemplo : calcular Al evaluar directamente ( ( ( ( se obtiene una indeterminación. Para evitar esto se divide tanto al numerador como al denominador por la variable de mayor eponente, en este caso por. Ejemplo : Calcular Si se evalúa directamente se obtiene una indeterminación, para evitar esto se factoriza dentro del radical con el fin de einar la del denominador. ( (Se saca factor común y luego se divide entre este,luego: ( ( 6. LIMITES TRIGONOMETRICOS ( einando la sen a. Limites de la forma Recuérdese que por ser funciones trigonométricas, representa un ángulo por lo general medido en radianes, al evaluar esta función f ( sen -, -, -, -, -,,,,,, f(,9,99,998,999,9999,9999,999,99,9,98 Se observa que en la medida en que se aproima a, f( se aproima a, Luego sen cos b. Limites de la forma cos Al darle valores a cercanos a cero, se observa que f( se aproima a cero, luego Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página 6
7 Calcula los siguientes límites.. TALLER N sen. sen. sen. sen. 6. cos.. cos. 8. cos e 9. e e. e /. DEFINICION FORMAL DE LÍMITE El significado de la epresión f ( a L, se puede interpretar así: a medida que nos acercamos al valor a por la izquierda, la gráfica se acerca al valor L y cuando nos acercamos por la derecha, la gráfica también se acerca a L, es decir, para un intervalo de ancho δ, suficientemente estrecho, eiste un intervalo de anchura ε, suficientemente estrecho, de tal manera que parte del gráfico que está en el intervalo vertical, está también en el intervalo horizontal, ecepto quizás para =. Dada la función y = F( y los números a y L, se dice que f ( a si para todo número positivo ε, eiste un número positivo δ, tal que f ( L < ε, siempre que a < δ L, Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página
8 8. FUNCIONES CONTINUAS La idea intuitiva que hay tras la continuidad es que una función es continua, si su gráfica es una línea de un solo trazo, sin saltos. Para garantizar que las cosas ocurren de dicho modo, se empieza eigiendo que en cada punto, la función tenga límite y que éste sea el valor que toma la función en ese punto Una función f( se dice que es continua en =a, si se verifica que:. f ( eista a. f(a eista. f ( f (a a Una función y=f( es continua en un intervalo, si es continua en todos los puntos de dicho intervalo DISCONTINUIDADES Una función y=f(, se dice que es discontinua en a, si f( no es continua en =a. cuando una función es discontinua, interesa distinguir dos posibilidades: Si no eiste f (, se dice que la discontinuidad es esencial a Si eiste f (, se dice que la discontinuidad es evitable a En este caso, se presentan dos posibilidades: que f(a no eista o que f(a L. Para conseguir que una función con discontinuidad evitable sea continua, se altera en f( solamente su posible valor para =a, de manera que pase a ser f(a= L. Al hacer esto se dice que se ha evitado la discontinuidad en a. CÁLCULO DEL LÍMITE EN UNA FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes trozos. Si coinciden, este es el valor del límite. Si no coinciden, el límite no eiste En = -, los límites laterales son:. Por la izquierda: Por la derecha: Como en ambos casos coinciden, eiste el límite y vale. En =, los límites laterales son: Por la izquierda: Por la derecha: Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en = Elaboró: Rosmiro Fuentes Rocha, docente CUN, Licenciado en Matemáticas y Física, Ingeniero de Aentos Página 8
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