Integración por el método de los residuos

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1 Semana 13 - lase 38 Tema 6: Varable ompleja 1. Introduccón Integracón por el método de los resduos Las expansones de funcones en seres de potencas dejan resduos al detener la expansón a para una determnada potenca. Esto se puede aprecar claramente en la expresón de Taylor para funcones analítcas. Ahora, las expansones de Laurent nos muestran otro resduo. Explotaremos las seres de Laurent para funcones con polos y construremos un método para evaluar ntegrales de funcones en esos puntos. Prmero estudaremos los resduos en general y luego los utlzaremos para evaluar ntegrales. 2. Los resduos de Laurent Hemos dcho que s f(z) tene un polo de orden p en z = z R, entonces dz f(z) f(z) = n= a k (z z ) k = a p (z z ) p + a p+1 (z z ) p a 1 (z z ) +a +a 1 (z z )+a 2 (z z ) 2 + más aún, tendremos que los coefcentes de la expansón pueden ser calculados a partr de a n = 1 f(ζ) dζ 2π (ζ z) n+1 n =, ±1, ±2, s n = 1 f(ζ) dζ = 2πa 1 2πRes f(z) (1) Es decr, la ntegracón a lo largo de un contorno que asle al polo z = z es proporconal al resduo correspondente a la expansón de Laurent alrededor de ese polo. Nos queda entonces calcular el resduo para así no calcular la ntegral. Esta stuacón se lustra con el sguente ejemplo. Supongamos por lo tanto: f(z) = sen z z = 1 z a 1 = 1 3! (z z3 3! + z5 5! + ) = 1 z 3 1 3!z + z 5! +, f(ζ) dζ = 2πa 1 = π 3 En general, s f(z) tene un polo de orden p en z = z R, entonces (z z ) p f(z) = a p +a p+1 (z z )+ +a (z z ) p + dp 1 dz p 1 [(z z ) p f(z)] = (p 1)!a 1 + b n (z z ) n n=1 con lo cual conclumos que a 1 Res f(z) = lím z z ( 1 d p 1 ) (p 1)! dz p 1 [(z z ) p f(z)] (2) Héctor Hernández / Lus Núñez 1 Unversdad de Los Andes, Mérda

2 Semana 13 - lase 38 Tema 6: Varable ompleja S, por ejemplo consderamos f(z) = e z (z 2 + 1) 2 e z (z + ) 2 (z ) 2 con lo cual e z [ Res 1 d e z ] (z 2 + 1) 2 = lím z 1! dz (z + ) 2 z = z = d dz [(z )2 f(z)] = d [ e z ] dz (z + ) 2 d dz [(z + )2 f(z)] = d [ e z ] dz (z ) 2 (z + ) 2 e z e z 2(z + ) = lím z (z + ) 2 = e 1 e 1 16 = 2e del msmo modo se procede para el caso z = Un caso partcular y muy útl lo consttuyen las funcones raconales del tpo f(z) = p(z) q(z) y f(z) tene un polo smple en z = z. Esto es q(z ) = entonces (z z )p(z) (z z ) Res f(z) z = lím = p(z ) lím = p(z ) z z q(z) z z q(z) q (z ) (3) porque hemos utlzado el Teorema de L Hoptal. Este caso lo podemos ejemplfcar s consderamos una funcón z = Res f(z) f(z) = 3z z 2 z 3z z= = 3z 2z 1 = z= con polos en z(z 1) z = 1 Res f(z) z=1 = 3z () 2z 1 = 1 z=1 3. Teorema del Resduo 3.1. Integrales mpropas del tpo f(x) Hemos vsto como calcular las ntegrales de funcones, en regones múltplemente conexas, con polos smples a partr de resduos. Ahora generalzaremos ese esquema para una regón, tambén múltplemente conexa, pero con un número fnto de polos. Tal y como se muestra en la fgura 1 en el cuadrante II, realzamos una crculacón ngenosa, de tal modo que aslamos los dstntos polos. Ahora ben, como la funcón es analítca en la regón bordeada por todos esos contornos, entonces [ ] dz f(z) + dz f(z) + dz f(z) + dz f(z) = 1 2 m y al cambar el sentdo de crculacón comprobamos lo que ya sabíamos dz f(z) = dz f(z) + 1 dz f(z) + 2 dz f(z) m dz f(z) = 2π Res f(z) z=zj Héctor Hernández / Lus Núñez 2 Unversdad de Los Andes, Mérda

3 Semana 13 - lase 38 Tema 6: Varable ompleja Fgura 1: Expansón de Laurent donde hemos utlzado lo que hcmos para la ecuacón (1) on ello podemos enuncar el Teorema del Resduo que ya hemos demostrado S f(z) es analítca en una regón R excepto en un número, m, fnto de polos z 1, z 2, z 3, z m entonces dz f(z) = 2π Res f(z) z=zj Una vez más ejemplfcamos. Sea la funcón f(z) = 3z z 2, una funcón con polos smples en z = z y z = 1 correspondentes a resduos y 1, respectvamente, tal y como se vó en la seccón (2). Entonces, utlzamos los resultado expuestos en el ejemplo () dz 3z z 2 = 2π( + 1) = 6π z sempre y cuando el crcuto encerre los dos polos, z = y z = 1, para los cuales hemos calculado los resduos. Ejerccos 1. Determnar los polos y los resduos correspondentes para cada una de las funcones propuestas 2. Evaluar f(z) = 2z + 1 z 2 z 2 ; f(z) = ( ) z ; f(z) = sen z ; f(z) = cot z z 1 z2 Héctor Hernández / Lus Núñez 3 Unversdad de Los Andes, Mérda

4 Semana 13 - lase 38 Tema 6: Varable ompleja Fgura 2: rcutos y evaluacón de ntegrales reales, mpropas a) b) dz e z cosh z a lo largo de una crcunsferenca z = 5 (2z 2 + 5)dz (z + 2) 3 (z 2 + )z 2 a lo largo de una crcunsferenca z 2 = 6 y un cuadrado de vértces z = 1 + ; z = 2 + ; z = y z = Evaluacón de ntegrales, reales, mpropas El teorema del resduo (3) es una herramenta poderosa para evaluar algunos tpos de ntegrales defndas en varable real. La ntencón es extender el domno de las funcones de la recta real al Plano omplejo. Una de las restrccones es que los contornos deben ser cerrados antes de que sean evaluados los resduos. El punto es que muchas ntegrales reales tenen contornos abertos y la posbldad de evaluar estas ntegrales a través del Teorema del Resduo descansa en la forma como se cerran los contornos. En estos casos se debe estmar las contrbucones de esos contornos adconales que pemten cerrar los contornos abertos. A contnuacón expondremos algunas técncas para cerrar algunos tpos de contornos abertos Integrales mpropas del tpo f(x) Este tpo de ntegrales mplca, s ambos límtes exsten f(x) = lím r r f(x) + lím f(x) lím f(x) r r r Héctor Hernández / Lus Núñez Unversdad de Los Andes, Mérda

5 Semana 13 - lase 38 Tema 6: Varable ompleja Necestaremos que el ntegrando sea una funcón raconal f(x) = p(x)/q(x), donde q(x) x. Adconalmente requerremos que cuando menos q(x) x 2 p(x). Supuesto todo esto, convertmos nuestra funcón raconal en una funcón de varable compleja f(x) f(z) y consderamos la ntegral de crculacón, dz f(z), sobre un contorno descrto por el eje real y una semcrcunsfrenca en el plano complejo con y, tal y como se muestra en el cuadrante I la fgura 2. La ntencón es hacer r y con ello evaluar la ntegral f(x). Es fácl convencerse que dz f(z) = dz f(z) + f(x) = 2π Res f(z) z=zj r es decr, r f(x) = 2π Res f(z) z=zj dz f(z) Esta estratega es válda porque hemos supuesto que f(x) es raconal y que q(x) x, entonces s exsten polos para f(z) estarán en el plano complejo (no sobre el eje real). Todos esos polos serán encenrados por el contorno que hemos selecconado. Más aún, comprobaremos que dz f(z) cuandoz. Esto es sencllo s notamos que q(x) x 2 p(x) f(z) < k z 2 con lo cual llegamos a que para este tpo de ntegrales f(x) = 2π Res f(z) z=zj dz f(z) < k r 2 πr = kπ r para z = r para f(x) = p(x) q(x), con q(x) x p(x) x2 q(x) (5) Ejemplo onsdere evaluar la sguente ntegral x + 1 m x + 1 = 2π Res f(z) z=zj donde hemos utlzado la expresón (5). La extensón analítca f(x) f(z) = 1 z + 1 tendró cuatro polos smples: z = e ± π ; z = e ± 3π ; correspondentes a las cuatro raíces de z = 1. Acto segudo calculamos los resduos nvocando la relacón (3) que hemos construdo para funcones raconales. Esto es Res p(z) z = e π Res f(z) π q(z) = p(z z=e = 1 z ) 3 = e 3π = e π π z=e z=z q (z ) z = e 3π Res f(z) 3π z=e = 1 z 3 = e 9π = e π 3π z=e Héctor Hernández / Lus Núñez 5 Unversdad de Los Andes, Mérda

6 Semana 13 - lase 38 Tema 6: Varable ompleja Hemos consderado úncamente los polos para el semplano complejo y > ya que segumos consderando el crcuto descrto en el cuadrante I de la fgura 2. Quedan dos polos ubcados en el semplano complejo y <, tal y como se muestra en el cuadrante II de la msma fgura 2. onsecuentemente, tendremos que Ejemplo x + 1 = 2π (e π + e π ) ( π ) = πsen = Para evaluar la sguente ntegral x 2 (x 2 + 1) 2 (x 2 + 2x + 2) 2 2 π f(z) = x + 1 = 1 2 z 2 (z 2 + 1) 2 (z 2 + 2z + 2) 2 x + 1 = π donde hemos realzado la extensón analítca f(x) f(z) y ubcado sus polos de z = y z = 1 en el semplano complejo y > y los encerrados por el crcuto descrto en el cuadrante I de la fgura 2. El prmero de estos polos es de segundo orden, mentras que el segundo corresponde a un polo smple. onsecuentemente, los resduos se calculan nvocando la relacón general (2) arrba expuesta. on lo cual para y para z = lím z ( d [(z ) 2 z 2 ]) dz (z ) 2 (z + ) 2 (z 2 = + 2z + 2) 1 z = 1 lím (z + 1) z 2 z 1 (z 2 + 1) 2 (z 1)(z + 1) = 3 25 Fnalmente, podemos evaluar la ntegral x 2 2 ( (x 2 + 1) 2 (x 2 + 2x + 2) = 2π Res f(z) z=zj = 2π + 3 ) = 7π Ejerccos Evaluar las sguentes ntegrales (x 2 + 1)(x 2 + ) 2 ; x + x ; (x 2 + x + 5) Integrales de funcones raconales de cos θ y sen θ Ahora mostraremos la estratega para ntegrales de funcones raconales de funcones trgonométrcas, G(cos θ, sen θ). La dea es transformar estas ntegrales en otras de funcones de varble compleja a través de los cambos de varables que conectan las funcones trgonométrcas y los números complejos. Esto es transformar ntegrales de la forma medante cambos de varables estándares z = re θ G(cos θ, sen θ) = dz z ; cos θ = 1 2 dz z f(z) ( z + 1 ) ; y sen θ = 1 ( z 1 ) z 2 z (6) Héctor Hernández / Lus Núñez 6 Unversdad de Los Andes, Mérda

7 Semana 13 - lase 38 Tema 6: Varable ompleja Ejemplo En las tablas de ntegrales encontrábamos 1 que a + bsen θ = 2π a 2 b 2 con a > b veamos como se llega a ese resultado. Hacendo z = re θ y asumendo las consecuencas, tal y como se presenta en (6) arrba, tendremos que los polos de a + bsen θ = a + b 2 f(z) = dz z ( z 1 z ) = 2 bz 2 + 2az b 2dz bz 2 + 2az b con una crcunferenca z = 1 z ± = a ± a 2 b 2 b son los valores de z que anulan el denomnador de f(z). Segudamente verfcamos la ubcacón de los polos smples y comprobamos que como a > b entonces a + a z + = 2 b 2 b < 1 y z a a = 2 b 2 b > 1 y por lo tanto, sólo el prmero de los polos está encerrado por el crcuto con z = 1 tal y como muestra en el cuadrante III de la fgura 2. Una vez más calculamos el resduo para z + a partr de (2). Entonces tendremos que 2 Res f(z) z=z+ = lím (z z + ) z z + bz 2 + 2az b = lím 2 z z + 2bz + 2a = 1 bz + + a a 2 + b 2 fnalmente Ejerccos a + bsen θ = ompruebe las sguentes evaluacones 2dz bz 2 + 2az b = 2πRes f(z) z=z + = 2π a 2 b 2. a + b cos θ + csen θ = 2π a 2 b 2 c 2 con a 2 > b 2 + c 2 ; cos 2 3θ 5 cos 2θ = 3π 8. 1 Encontrábamos porque hoy en día estas ntegrales las calculamos con manpuladores smbólcos del tpo Maple, Reduce, Matemathca o Mupad Héctor Hernández / Lus Núñez 7 Unversdad de Los Andes, Mérda