1. Definición de Semejanza. Escalas

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "1. Definición de Semejanza. Escalas"

Transcripción

1 Tem 5. Semejnz Tem 5. Semejnz 1. Definiión de Semejnz. Esls. Teorem de Tles 3. Semejnz de Triángulos. riterios 4. riterios de Semejnz en triángulos retángulos 5. Teorems en triángulos retángulos 6. Relión de ls áres de figurs semejntes Tem elordo por José L. Lorente

2 1. Definiión de Semejnz. Esls Definiión: dos figurs se dien que son semejntes si tienen mism form de tl mner que se umple: 1. Los ángulos orrespondientes son todos igules. Los ldos son todos proporionles entre si. L rzón de proporionlidd (oiente entre ldos orrespondientes) se llm rzón de semejnz Ejemplo: 1) todos los udrdos son semejntes (ángulos igules y ldos proporionles) m 4m F 1 D F D Luego l figur F 1 es semejnte F (F 1 F ) on rzón de semejnz de 4m k m ) Todos los irunferenis son semejntes 3m F 1m F 1 Luego l figur F 1 es semejnte F (F 1 F ) on rzón de semejnz de 1m 1 k 3m 3 3) Vemos un ejemplo de dos figurs ritrris semejntes: 3m m F 1 F m L figur F 1 es semejnte F (F 1 F ) on rzón de semejnz k 3m 3 En l vid orriente ls figurs semejntes que se utilizn son por ejemplo los plnos (en dimensiones) o ls mquets (en 3 dimensiones). Definiión de esl: el onepto de esl es equivlente l de rzón de semejnz, es l rzón métri entre un plno o mquet y quello lo que represent. Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om)

3 L notión usul en los mps es l siguiente 1:1000 que signifi que 1m en el mp es en relidd 1000m10m. Es equivlente un rzón de semejnz k1000. Forms de onstruir figurs semejntes: hy vris forms vemos prtir de un punto fijo (foo): E D D E. Teorem de Tles. En el prtdo nterior hemos definido undo dos figurs son semejntes, undo los ángulos son igules dos dos y ldos proporionles, pero en l práti es difíil ver undo dos figurs son semejntes. Pr esto se utilizrá el teorem de Tles. Teorem de Tles: sen dos semirrets (r y s) on origen omún (punto O), tods ls rets prlels entre si sentes r y s formndo segmentos proporionles. O O O O O' O' O' ' ' pliión: dividir un segmento en prtes igules (utilizdo pr representr friones): O Por onstruión 3O O y O O. plindo Tles: O O O O' 3 O' O' O O' O O O O' O' O' O O' 3 Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 3

4 Ejeriio 1. lul el vlor de : 5m 6m 7m 6m 7m 35/6 5,8m 5m Ejeriio. lulr NP y OP en l siguiente figur: M N P MNm; N P 3m; M N 3m; OP5m O M N P NP MN NP m NP m N' P' M ' N' 3 m 3 m OP MN 5 m OP' M ' N' OP' 3 OP' 7,5m Ejeriio 3.Deir si son prlels r 1 y r r 1 8m r Si son prlels se umplirá Tles y por tnto O 3m m 6m 3 8 que no es ierto y 6 que Luego no son prlels Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 4

5 3. Semejnz de triángulos. riterios de semejnz El estudio de l semejnz de triángulos es muy importnte, y que todo polígono se puede desomponer en triángulos. De est form dos polígonos son semejntes l desomponer los dos en triángulo los triángulos son semejntes dos dos on mism rzón de semejnz. D F 1 E D F E Si se umple que, DE D E y E E on mism rzón de semejnz k, entones F 1 F on rzón K Notión triángulos: los vérties letrs myúsuls y ldos letrs minúsuls, l mism que el vértie opuesto. El ángulo del vértie se esrie omo ˆ. Vemos el diujo ˆ  ˆ 3.1 Triángulos en posiión de Tles Se die que dos triángulos y en posiión de Tles si el vértie y el ángulo  son los mismos y los ldos y son prlelos. Ejemplo: Teorem: los triángulos en posiión de Tles son semejntes. Demostrión: pr que se semejnte h de umplirse: ) los tres ángulos igules: que se umple l ser uno de ellos omún y los otros dos ángulos son igules l ser prlelos sus ldos ) ldos proporionles: l umplirse el teorem de Tles ' ' ' ' ' ' Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 5

6 3. riterios generles de triángulos Gris l teorem de Tles pr ompror si dos triángulos son semejntes no es neesrio ver si todos los ángulos son igules y todos los ldos proporionles. En l práti tenemos 3 riterios: Primer riterio: dos triángulos y son semejntes si dos ángulos igules (por ejemplo ˆ ˆ ' y ˆ ˆ ') Segundo riterio: dos triángulos y son semejntes si sus tres ldos son proporionles ( k ). ' ' ' Terer riterio: dos triángulos y son semejntes si un ángulo igul y los dos ldos que lo formn son proporionles (por ejemplo ˆ ˆ ' k ) ' ' Tods ls demostriones se hen prtir del teorem de Tles Ejeriio4: deir si son semejntes los siguientes triángulos. ) 7m, 6m;,5m, m ˆ ˆ ' 30º 7 6 Vemos si se umple el riterio 3: no semejntes ' ',5 ) ˆ 30º, ˆ 70º, ˆ ' 80º, ˆ' 70º simple vist pree que no son semejntes, pero engñ. Lo que ourre es que los triángulos son semejntes pero están girdos. Tl que el vértie equivlente de es, el de es. Vemos omo son igules los tres ángulos: ˆ 30º, ˆ 70º, ˆ 180 ( ) 80º 30º, 70º, 80º ˆ ' 80º, ˆ' 70º, ˆ' 180 ( ) 30º 30º, 70º, 80º Luego son semejntes. Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 6

7 4. riterios de semejnz en triángulo retángulos En los triángulos retángulos podemos simplifir los tres riterios nteriores, y que si dos triángulos son retángulos y podemos segurr que tienen un ángulo igul (el ángulo reto). ntes vemos l notión utilizd en triángulos retángulos: hipotenus,tetos ˆ 90º Primer riterio: dos triángulos retángulo y son semejntes si uno de sus ángulos no retos son igules (por ejemplo ˆ ˆ ') Dem: se umple que dos ángulos igules en reto ˆ ˆ ' 90º y el que nos dien en el riterio ˆ ˆ ' luego por el primer riterio de los triángulos y son semejntes. Segundo riterio: dos triángulos retángulo y son semejntes si uno de los tetos y l hipotenus son proporionles k ' ' k' Dem: k. Vemos omo el otro teto es tmién proporionl ' ' k' plindo el teorem de Pitágors y por tnto por el riterio de triángulos será semejnte: k ' ( k' ) ( k' ) k ( ' k' k ' ' ' 5. Teorems en triángulos retángulos ' ) k ' Teorem de los ángulos: l sum de los ángulos de todo triángulo es igul un ángulo llno, es deir 180º Dem: diujmos un ret prlel un ldo por el vértie opuesto α Ĉ β Se umple que  α y ˆ β y que formdos por rets prlels. De est form omo α+β+ĉ 180º ˆ + ˆ + Ĉ 180º Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 7

8 Teorem : en todo triángulo retángulo l ltur trzd sore l hipotenus determin dos triángulos retángulos semejntes l originl Dem: Diujemos el triángulo retángulo y los dos que se formn l trzr l ltur: h M M M Tenemos que en el triángulo M el ángulo del vértie es el mismo que en el originl (); lo mismo ourre on el triángulo M donde el ángulo del vértie es el mismo que en el originl. Por el riterio1 de triángulos retángulos tenemos que los tres triángulos son semejntes. Teorem de Pitágors: en todo triángulo retángulo l sum de los udrdos de los tetos es igul l udrdo de l hipotenus. on l notión fijd l prinipio del prtdo + Dem: eiste más de 100 demostriones diferentes, vemos un de ells. Pr eso onstruimos un udrdo repitiendo 4 vees el triángulo retángulo: Vemos que se genern dos udrdos, el grnde de ldo + y el pequeño de ldo. El áre del udrdo grnde será igul l sum del áre del pequeño más l de los 4 triángulos (igules): áre udrdo grnde (+) áre udrdo pequeño áre triángulo 1 Igulndo ls áres: áre udrdo grnde áre udrdo pequeño+4 áre triángulo (+) , simplifindo otenemos el teorem de Pitágors: + Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 8

9 Teorem del teto: el udrdo de un teto es igul l produto de l hipotenus por l proyeión del teto sore l hipotenus: h n m m M n Demostrión: 1) l ser los triángulos y M semejntes (teorem ) tenemos que sus ldos son proporionles. Los ldos proporionles de los dos triángulos son l hipotenus de () y l hipotenus de M (); por otro ldo el teto grnde de () será proporionl l teto grnde de M (m). De est form l ser semejntes los triángulos los ldos son proporionles: m m ) l ser los triángulos y M semejntes tenemos que sus ldos son proporionles. Los ldos proporionles de los dos triángulos son l hipotenus de () y l hipotenus de M (); por otro ldo el teto pequeño de () será proporionl l teto pequeño de M (n). De est form l ser semejntes los triángulos los ldos son proporionles: n n Teorem de l ltur: el udrdo de l ltur de l hipotenus de un triángulo retángulo es igul l produto de ls dos prtes en que dih ltur divide l hipotenus: h h m n m M n Demostrión: omo es semejnte M y M por tnto los triángulos M y M son semejntes y por tnto sus ldos proporionles: teto grnde de M (m) es el equivlente l grnde de M (h) y el pequeño de M (h) l h m pequeño de M(n) h m n n h Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 9

10 Ejeriio 5. lulr h, m y n en el triángulo retángulo: 7 h 10 m n plindo el teorem de teto y l ltur y de Pitágors: Teorem de Pitágors: Teorem teto: m m , n n Teorem ltur: h m n h h Ejeriio 6. En un triángulo retángulo ls proyeiones de los tetos miden 8m y 4,5m. lulr ls medids de los tetos y de l hipotenus y l ltur: h m4,5 n8 El vlor de m+n1,5m Teorem del teto: m n Teorem de Pitágors m +h h 1,5 4,5 7,5m 1,5 8 10m 7,5 4,5 6m 6. Relión entre áres de figurs semejntes Teorem: Si dos triángulos T 1 y T son semejntes on rzón de semejnz k, el áre de T y T 1 se relionn de l siguiente mner: re(t )k re(t 1 ). Dem: omo son semejntes de rzón k l relión entre los ldos y los elementos de los dos triángulos es que los elementos de T son k vees los de T 1 Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 10

11 h T 1 k h kh k T k ' h' k kh h áre(t ) k k re( T1 ) orolrio: sen F 1 y F dos polígonos semejntes on rzón de semejnz k, el áre de F y F 1 se relionn de l siguiente mner: re(f )k re(f 1 ). Demostrión: desomponemos F 1 y F en triángulos que serán semejntes de rzón k. Ls áres de los triángulos de F serán k vees los de F 1. Si summos tods ls áres otendremos el áre de F que tmién será k vees l de F 1 D F 1 E D F E (F 1 )()+(E)+(DE) (F )( )+( E )+( D E )k ( )+k ( E )+k ( D E ) k ( ( )+( E )+( D E ))k (F 1 ) Ejemplo: lulr el áre de dos udrdos, uno de ldo m y otro de ldo 6m: Son figurs semejntes on k3: re 1 (m) 4m re (6m) 36m 3 (4m ) Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 11

12 Ejeriios Finles Ejeriio 7. Dos triángulos y son semejntes on rzón de semejnz k/3, lulr los ldos del triángulo si semos que 1m, 9m, 7,5m. Es senillo si son semejntes los ldos son proporionles y si /3 es l onste de proporionlidd entones: 1m (/3)8m; 7,5m (/3)5m; 9m (/3)6m Ejeriio 8. En l figur djunt lulr M y MN siendo que MN prlelo. 1m N 6m 8,4m M 4,8m Si son prlelos los ldos entones umple Tles: N M N M 6 4,8 1 M 9,6m M Pr lulr el ldo MN no podemos plir Tles, sino ls propieddes de triángulos semejntes (MN y ): N NM 1 18 MN 8,4 MN 5,6m Ejeriio 9. En l siguiente figur prlelo D. Deir: ) Por que son semejntes los triángulos O y OD ) lulr e y. 7,m 10,6m 8,5m O 6m y D ) Son semejntes porque tienen los trs ángulo igules: el ángulo del vértie O por ser ángulos opuestos de rets sentes y los otros dos por estr formdos por rets prlels. 6 y ) 5,08m, y 7,48m 8,5 7, 10,6 Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 1

13 Ejeriio 10.. En un triángulo, mide 5,7m y l ltur reltiv diho ldo es 9,5 m. uánto mide el áre de otro triángulo semejnte en donde 4,14m? () 1 5,7 9,5 7,075 m ( )k () 14,3 m k 4,14 0,73 5,7 Ejeriio 11. Hllr e y en los siguientes triángulos retángulos: Teorem del teto y,1 (,1+7,8) 4,56 y 7,8 (,1+7,8) y 8,79,1 7,8 3, Teorem de l teto: 3, 4,8,13 y Teorem de l ltur: 4,8 y,13 (4,8-,13) y,4 Ejeriio 1. lulr l ltur del árol siendo que Edurdo ve l op reflejd en un hro y tom ls siguientes medids: 1,6m 1,m 4m Son triángulos retángulo semejntes pues en l refleión de l luz los ángulos inidente y reflejdo son igules. Luego los ldos semejntes 5,4m. 1,6 1, 4 Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 13

14 Ejeriio 13. Pr medir l ltur de un s Álvro uy ltur hst los ojos es de 165m, se situó 1,5m de un verj y tomó ls medids del diujo. uánto mide l s? 3,5m 5,5m 1,5m Podemos otener del diujo los siguientes triángulos en posiión de Tles (semejntes): 1,85m 5,5m 1,5m omo son semejntes los ldos proporionles: 1,85 7 1,5 33,3 m Luego h33,3+1,6534,95 m Ejeriio 14. uál es l profundidd del pozo si su nhur es 1,5m y lejándote 0,5 m del orde desde un ltur de 1,7 m ves en l mism visul el orde del pozo y l esquin del fondo? Tenemos que se formn dos triángulos retángulos semejntes y que tienen un ángulo igul. Por est rzón los ldos son proporionles: Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 14

15 1,7m 1,5 0,5 5,1 m 1,7 0,5m 1,5m Págin relizd por José Luis Lorente (lorentejl@gmil.om) 15

Tema 5. Semejanza. Tema 5. Semejanza

Tema 5. Semejanza. Tema 5. Semejanza Tem 5. Semejnz Tem 5. Semejnz 1. Definiión de Semejnz. Esls. Teorem de Tles 3. Semejnz de Triángulos. riterios 4. riterios de Semejnz en triángulos retángulos 5. Teorems en triángulos retángulos 6. Relión

Más detalles

Semejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51

Semejanza. 2. Relación entre perímetros, áreas y volúmenes de figuras semejantes 51 Semejnz 1. Teorem de Tles 50 2. Relión entre perímetros, áres y volúmenes de figurs semejntes 51 3. Teorem de Pitágors, teorem del teto y teorem de l ltur 52 4. Rzones trigonométris de un ángulo gudo y

Más detalles

344 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. OBJETIVO 1 LA RAZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA:

344 MATEMÁTICAS 2. ESO MATERIAL FOTOCOPIABLE SANTILLANA EDUCACIÓN, S. L. OBJETIVO 1 LA RAZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA: LULR OJETIVO 1 L RZÓN DE DOS SEGMENTOS NOMRE: URSO: EH: RET, SEMIRRET Y SEGMENTO Un ret es un líne ontinu formd por infinitos puntos, que no tiene ni prinipio ni finl. Dos puntos definen un ret. Por un

Más detalles

OBJETIVO 1 CalCUlaR la RazÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA: RECTA, SEMIRRECTA Y SEGMENTO

OBJETIVO 1 CalCUlaR la RazÓN DE DOS SEGMENTOS NOMBRE: CURSO: FECHA: RECTA, SEMIRRECTA Y SEGMENTO OJETIVO 1 lulr l RzÓN DE DOS SEGMENTOS NOMRE: URSO: EH: RET, SEMIRRET Y SEGMENTO Un ret es un líne ontinu formd por infinitos puntos, que no tiene ni prinipio ni finl. Dos puntos definen un ret. Por un

Más detalles

CALCULAR LA RAZÓN DE DOS SEGMENTOS

CALCULAR LA RAZÓN DE DOS SEGMENTOS 9 LULR L RZÓN DE DOS SEGMENTOS REPSO Y POYO OJETIVO 1 RET, SEMIRRET Y SEGMENTO Un ret es un líne ontinu formd por infinitos puntos, que no tiene ni prinipio ni finl. Dos puntos definen un ret. Por un punto

Más detalles

TRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal

TRIGONOMETRÍA. 1. ÁNGULOS 1.1. Ángulo en el plano Criterios de orientación de ángulo Sistema de medida de ángulos. Sistema sexagesimal . ÁNGULOS.. Ángulo en el plno TRIGONOMETRÍA Dos semirrets en el plno, r y s, on un origen omún O, dividen diho plno en dos regiones. Cd un de de ests regiones determin un ángulo. O es el vértie de los

Más detalles

APUNTE: TRIGONOMETRIA

APUNTE: TRIGONOMETRIA APUNTE: TRIGONOMETRIA UNIVERSIDAD NACIONAL DE RIO NEGRO Asigntur: Mtemáti Crrers: Li. en Eonomí Profesor: Prof. Mel S. Chresti Cutrimestre: ero Año: 06 o Coneptos Previos o Definiión de ángulo Un ángulo

Más detalles

TRIGONOMETRÍA (4º OP. A)

TRIGONOMETRÍA (4º OP. A) SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS TRIGONOMETRÍA (4º OP. A) Dos figurs son semejntes undo tienen l mism form: Dos triángulos son semejntes si tienen: Sus ldos proporionles: r rzón de semejnz ' ' ' Sus ángulos, respetivmente

Más detalles

9 Proporcionalidad geométrica

9 Proporcionalidad geométrica 82485 _ 030-0368.qxd 12//07 15:37 Págin 343 Proporionlidd geométri INTRODUIÓN El estudio de l proporionlidd geométri y l semejnz de figurs es lgo omplejo pr los lumnos de este nivel edutivo. omenzmos l

Más detalles

10 Figuras planas. Semejanza

10 Figuras planas. Semejanza Figurs plns. Semejnz Qué tienes que ser? QUÉ tienes que ser? Atividdes Finles Ten en uent Teorem de Pitágors. En un triángulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos.

Más detalles

10 Figuras planas. Semejanza

10 Figuras planas. Semejanza 10 Figurs plns. Semejnz Qué tienes que ser 10 QUÉ tienes que ser Atividdes Finles 10 Ten en uent Teorem de Pitágors. En un triángulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los

Más detalles

1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

1 RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS T3: TRIGONOMETRÍ 1º T 1 RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS RETÁNGULOS Resolver un triángulo es llr ls longitudes de sus ldos y ls mplitudes de sus ángulos. Ls fórmuls que se plin son: ) Ls rzones trigonométris: ˆ

Más detalles

Colegio Nuestra Señora de Loreto TRIGONOMETRÍA 4º E.S.O.

Colegio Nuestra Señora de Loreto TRIGONOMETRÍA 4º E.S.O. TRIGONOMETRÍ 4º E.S.O. Frniso Suárez Bluen TRIGONOMETRÍ PREVIOS. Teorem de Tles (Semejnz) Si ortmos dos rets por un serie de rets prlels, los segmentos determindos en un de ells son proporionles los segmentos

Más detalles

Unidad didáctica 4. Trigonometría plana

Unidad didáctica 4. Trigonometría plana Interpretión Gráfi Unidd didáti 4. Trigonometrí pln 4.1 Medids de ros y ángulos omo en un mism irunfereni ros igules orresponden ángulos igules, se quiere enontrr un medid de ros que sirv pr ángulos y

Más detalles

7 Semejanza. y trigonometría. 1. Teorema de Thales

7 Semejanza. y trigonometría. 1. Teorema de Thales 7 Semejnz y trigonometrí 1. Teorem de Tles Si un person que mide 1,70 m proyet un sombr de,40 m y el mismo dí, l mism or y en el mismo lugr l sombr de un árbol mide 15 m, uánto mide de lto el árbol? Se

Más detalles

Nombre y apellidos:... Curso:... Fecha:... TEOREMA DE PITÁGORAS SEMEJANZA FIGURAS SEMEJANTES

Nombre y apellidos:... Curso:... Fecha:... TEOREMA DE PITÁGORAS SEMEJANZA FIGURAS SEMEJANTES 8 Teorem de Pitágors. Semejnz Esquem de l unidd Nomre y pellidos:... Curso:... Feh:... En un triángulo retángulo el áre del udrdo onstruido sore l hipotenus es igul l TEOREM DE PITÁGORS sum de... 2 2 =

Más detalles

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Geometrí y Trigonometrí Rzones trigonométris en el triángulo retángulo 7. RZONES TRIGONOMÉTRIS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO 7.1 onepto de trigonometrí Trigonometrí L plr trigonometrí es un volo ltino ompuesto

Más detalles

FIGURAS SEMEJANTES. r B CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. Dos triángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes condiciones:

FIGURAS SEMEJANTES. r B CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. Dos triángulos son semejantes si cumplen alguna de las siguientes condiciones: Lo fundmentl de l unidd Nombre y pellidos:... urso:... Feh:... FIGURS SEMEJNTES Dos figurs son semejntes si sus ángulos orrespondientes son... y sus distnis... D F D' ' F' ' ' Por ejemplo, si ls figurs

Más detalles

TEMA 39. Geometría del triángulo.

TEMA 39. Geometría del triángulo. TEM 9. Geometrí del triángulo. TEM 9. Geometrí del triángulo.. Introduión. El triángulo es el polígono ms estudido, su importni reside en ls múltiples propieddes que estos tienen y que todos los polígonos

Más detalles

Recuerda lo fundamental

Recuerda lo fundamental 6 L semejnz sus pliiones Reuerd lo fundmentl urso:... Fe:... FIGURS SEMEJNTES Dos figurs son semejntes si sus ángulos orrespondientes son... sus distnis... Por ejemplo, si ls figurs F F' son semejntes,

Más detalles

Los triángulos se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos. SEGÚN SUS LADOS EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO

Los triángulos se clasifican según la magnitud de sus lados y de sus ángulos internos. SEGÚN SUS LADOS EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO Unidd uno Geometrí y Trigonometrí 4. TRIÁNGULOS 4.1 Definiión y notión de triángulos El triángulo es un polígono de tres ldos. Los puntos donde se ortn se llmn vérties. Los elementos de un triángulo son:

Más detalles

NOTA IMPORTANTE. La segunda mitad de las páginas corresponden a las soluciones de la primera mitad.

NOTA IMPORTANTE. La segunda mitad de las páginas corresponden a las soluciones de la primera mitad. NOTA IMPORTANTE L segund mitd de ls págins corresponden ls soluciones de l primer mitd. SEMEJANZAS Mnuel Blcázr Elvir TEOREMA DE THALES Sen ls rects r y t cortds por vris rects prlels según el siguiente

Más detalles

TRIGONOMETRÍA. 4º E.S.O. Académicas AB = OA

TRIGONOMETRÍA. 4º E.S.O. Académicas AB = OA ÁNGULO. GRDO. TRIGONOMETRÍ El grdo es l medid de d uno de los ángulos que resultn l dividir el ángulo reto en 90 prtes igules. Su símolo es el º. 4º E.S.O. démis IRUNFERENI GONIOMÉTRI ÁNGULO. RDIÁN. 90º

Más detalles

Departamento de Matemática

Departamento de Matemática Deprtmento de Mtemáti Trjo Prátio N 2: PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA TEOREMA DE PITÁGORAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Segundo Año 1) Clulen x en los siguientes gráfios si te informn

Más detalles

MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temático: Geometría

MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temático: Geometría MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temátio: Geometrí 1. SEGMENTOS PROPORCIONALES EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO En el ABC retángulo en C de l figur: Se pueden estbleer ls siguientes semejnzs: 1) De est semejnz, se obtienen

Más detalles

Resumen creado por Hernán Verdugo Fabiani, profesor de Matemática y Física, abril 2011.

Resumen creado por Hernán Verdugo Fabiani, profesor de Matemática y Física, abril 2011. Reliones métris en un triángulo Resumen redo or Hernán Verdugo Fini, rofesor de Mtemáti y Físi, ril 011. El estudio de un triángulo siemre revestido interés y or ello es ue existen un serie de desriiones,

Más detalles

Triángulos y generalidades

Triángulos y generalidades Geometrí Pln y Trigonometrí (ldor) Septiemre Diiemre 2008 INOE 5/1 pítulo 5. Ejeriios Resueltos (pp. 62 63) (1) Los ldos de un triángulo miden 6 m, 7 m y 9 m. onstruir el triángulo y lulr su perímetro

Más detalles

SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA

SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA - Septiemre de 03 - Ministerio de Eduión Universidd Tenológi Nionl Fultd Regionl Rosrio

Más detalles

Visualización de triángulos. Curso de Matemáticas para Física. Trigonometría. Trigonometría. Física I, Internet A b.

Visualización de triángulos. Curso de Matemáticas para Física. Trigonometría. Trigonometría. Física I, Internet A b. Visulizión de triángulos Curso de Mtemátis pr Físi Curso de Mtemátis pr Físi Físi I, vi@ Internet 2004 B A C Físi I, vi@ Internet 2004 Visulizión de triángulos Fijémonos en un triángulo ulquier. Curso

Más detalles

Lección 10: TRIÁNGULOS. Un triángulo es un polígono de tres ángulos y tres lados. También tiene tres vértices.

Lección 10: TRIÁNGULOS. Un triángulo es un polígono de tres ángulos y tres lados. También tiene tres vértices. 1.- QUÉ ES UN TRIÁNGULO? Leión 10: TRIÁNGULOS Un triángulo es un polígono de tres ángulos y tres ldos. Tmién tiene tres vérties. ELEMENTOS DE UN TRIÁNGULO Ldo: Cd uno de los tres segmentos que limitn l

Más detalles

PB' =. Además A PB = APB por propiedad de

PB' =. Además A PB = APB por propiedad de limpid de Mtemátis, Querétro GEMETRÍ: Trigonometrí, Áres, ílios, Ptolomeo Rosrio Velázquez 0 y de Junio, 005 PRLEM EL EXMEN ESTTL P es ulquier punto del interior de un triángulo. Sen, y los puntos medios

Más detalles

Triángulos congruentes

Triángulos congruentes Leión#4 Triángulos ongruentes y triángulos similres Ojetivos Aplir ls propieddes de triángulos ongruentes Aplir ls propieddes de ongrueni Aplir ls propieddes de triángulos similres Aplir el teorem de Pitágors

Más detalles

TRIANGULOS. Sus tres ángulos internos son iguales y miden 60 cada uno

TRIANGULOS. Sus tres ángulos internos son iguales y miden 60 cada uno LSIFIION LOS TRINGULOS. TRINGULOS Los triángulos se lsifin según sus ldos y sus ángulos.. lsifiión de los triángulos según sus ldos.. Triángulo equilátero. s el que tiene sus tres ldos igules Sus tres

Más detalles

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE

UNIDAD VI LA ELIPSE 6.1. ECUACIÓN EN FORMA COMÚN O CANÓNICA DE LA ELIPSE UNIDAD VI LA ELIPSE OBJETIVO PARTIULAR Al onluir l unidd, el lumno onoerá plirá ls propieddes relionds on el lugr geométrio llmdo elipse, determinndo los distintos prámetros, su euión respetiv vievers.

Más detalles

SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA

SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA SECRETARÍA ACADÉMICA ÁREA DE INGRESO MATEMÁTICA - Septiemre de 007 - Noiones de Trigonometrí: L trigonometrí se dedi l estudio de ls reliones que existen entre ls medids de los ángulos y ldos de un triángulo.

Más detalles

1.- MEDIDA DE ÁNGULOS. - El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es la 90-ava parte del ángulo recto.

1.- MEDIDA DE ÁNGULOS. - El sistema sexagesimal que usa como unidad de medida el grado. Un grado es la 90-ava parte del ángulo recto. º Bhillerto Mtemátis I Dpto de Mtemátis- I.E.S. Montes Orientles (Iznlloz)-Curso 0/0 TEMAS 4 y 5.- RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. FUNCIONES FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS Pr medir ángulos se suelen usr dos sistems

Más detalles

SenB. SenC. c SenC = 3.-

SenB. SenC. c SenC = 3.- TRIANGULOS OBLICUANGULOS Se llmn oliuángulos por que los ldos son oliuos on relión uno l otro, no formndo nun ángulos retos. Hy seis elementos fundmentles en un tringulo: los tres ldos y los tres ángulos,

Más detalles

α A TRIGONOMETRÍA PLANA

α A TRIGONOMETRÍA PLANA TRIGONOMETRÍ PLN El origen de l plr trigonometrí puede enontrrse en el griego, trígono triángulo y metrí medid. L trigonometrí justmente trt de eso, l mediión y resoluión de situiones donde se preten triángulos.

Más detalles

TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS TEMA 8.- TRIGONOMETRÍA. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS L trigonometrí es l prte de ls mtemátis que estudi ls reliones métris entre los elementos de un tringulo. A) RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO

Más detalles

TRIGONOMETRÍA II = = ; procediendo igual que antes, pero con h : longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos).

TRIGONOMETRÍA II = = ; procediendo igual que antes, pero con h : longitudes de los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos). TEMA: 1. TEOREMA DE LOS SENOS despejndo h de ms igulddes: En generl tendremos que resolver triángulos no retángulos, y, en ellos, no es posile plir ls definiiones de ls rzones trigonométris de sus ángulos.

Más detalles

TRIGONOMETRÍA SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS. Para medir ángulos se utilizan:

TRIGONOMETRÍA SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS. Para medir ángulos se utilizan: TRIGONOMETRÍA SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Pr medir ángulos se utilizn:. Sistem sexgesiml: L unidd de medid en este sistem es el grdo sexgesiml Un ángulo mide un grdo sexgesiml ( 0 ) si su ro entrl orrespondiente,

Más detalles

11La demostración La demostración en matemáticas (geometría)

11La demostración La demostración en matemáticas (geometría) L demostrión en mtemátis (geometrí) ág. 1 Tl vez los lumnos y lumns hyn demostrdo, en lgun osión, lgun fórmul o lgun propiedd mtemáti, o hyn ontempldo su demostrión. omo semos, pr ellos, el proeso no es

Más detalles

22. Trigonometría, parte II

22. Trigonometría, parte II 22. Trigonometrí, prte II Mtemátis II, 202-II 22. Trigonometrí, prte II Extensión del dominio Se P un punto sore l irunfereni x 2 + 2 =. Est irunfereni tiene rdio entro el origen O(0, 0). Denotmos por

Más detalles

Una condición necesaria y suficiente para que el triangulo PBP sea equilátero es que el ángulo HBP sea 30º. b que es la relación buscada.

Una condición necesaria y suficiente para que el triangulo PBP sea equilátero es que el ángulo HBP sea 30º. b que es la relación buscada. Hoj de Prolems Geometrí III 49. Dd l elipse, si tommos el etremo B de ordend positiv del eje menor omo entro, se desrie un irunfereni de rdio igul diho eje menor, ortr l elipse en dos punto P P. Determinr

Más detalles

Haga clic para cambiar el estilo de título

Haga clic para cambiar el estilo de título Medids de ángulos 90º 0º 80º 360º R 70º reto 90º º 60' ' 60'' Se die que mide un rdián si el ro de irunfereni orrespondiente tiene un longitud igul l rdio de l mism. R Equivlenis entre grdos segesimles

Más detalles

CONSTRUCCION DE TRIANGULOS

CONSTRUCCION DE TRIANGULOS ONSTRUION DE TRINGULOS INTRODUION Ls exigenis que se imponen un figur que se dese onstruir son ls siguientes: 1) l mgnitud de segmentos, ros, ángulos y áres. 2) l posiión reltiv de puntos y línes. 3) l

Más detalles

TRIGONOMETRÍA. =60 ; 1 = de 1 1 =60 60

TRIGONOMETRÍA. =60 ; 1 = de 1 1 =60 60 TRIGONOMETRÍA SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÁNGULOS Pr medir ángulos se utilizn: 1. Sistem sexgesiml: L unidd de medid en este sistem es el grdo sexgesiml Un ángulo mide un grdo sexgesiml (1 0 ) si su ro entrl

Más detalles

- Aplicar la ley de Ohm en los circuitos puros de corriente alterna.

- Aplicar la ley de Ohm en los circuitos puros de corriente alterna. 9. CIRCUITOS SIMPLES DE CORRIENTE ALTERNA Conoidos los omponentes, hor se prenderá ómo se omportn de form individul l estr onetdos un fuente de limentión de orriente ltern. El onoimiento de l ley de Ohm

Más detalles

DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA

DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA DETERMINANTES SELECTIVIDAD ZARAGOZA. (S-97)Hllr el rngo de l mtriz B 0 0 según se el vlor del prámetro [,5 puntos] Puesto que el menor 0 0 rgb 0 () 0 ( ) 0 ) Pr 0 r(b) ) Pr 0 0 - B 0-0 0 - r(b) 0-0 - 0-0

Más detalles

TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria)

TEMAS DE MATEMÁTICAS (Oposiciones de Secundaria) TEMS DE MTEMÁTICS (Oposiiones de Seundri) TEM 37 L SEMEJNZ EN EL PLNO. CONSECUENCIS. TEOREM DE THLES. RZONES TRIGONOMÉTRICS. 1. Introduión.. Homoteis: Definiión y propieddes. 3. L semejnz en el plno. 3.1.

Más detalles

PROBLEMAS DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS SOBRE GEOMETRÍA El triángulo

PROBLEMAS DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS SOBRE GEOMETRÍA El triángulo . PROLEMS DE OLIMPIDS MTEMÁTIS SORE GEOMETRÍ El triángulo ELISETH GONZÁLEZ FUENTES Máster de Mtemátis Universidd de Grnd. 014 Prolems sore triángulos Trjo Fin de Máster presentdo en el Máster Interuniversitrio

Más detalles

Se tiene tres satélites geo-estacionarios A, B y C alrededor de la Tierra como se muestra en la figura. A B

Se tiene tres satélites geo-estacionarios A, B y C alrededor de la Tierra como se muestra en la figura. A B Triángulos Se tiene tres stélites geo-estionrios, y lrededor de l Tierr omo se muestr en l figur. señl que v del stélite psndo por se demor 0,28 s, l señl que v del stélite psndo por se demor 0,35 s y

Más detalles

3- Calcula la amplitud de los ángulos interiores de los siguientes cuadriláteros. b c s t

3- Calcula la amplitud de los ángulos interiores de los siguientes cuadriláteros. b c s t 3- Clul l mplitud de los ángulos interiores de los siguientes udriláteros. s t 36 r u rstu trpeio isóseles û x 16 tˆ x 30 TRIÁNGULOS Se llm triángulo tod figur de tres ldos. Un triángulo tiene tres vérties,

Más detalles

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO TUTORIAL DE PREPARAIÓN MATEMATIA 009 RELAIONES MÉTRIAS EN EL TRIÁNGULO RETÁNGULO I.- MARO TEORIO DEPTO. DE MATEMATIA Ls relciones métrics en un triángulo rectángulo son 5 relciones plicles sólo este tipo

Más detalles

cos α sen α sen 0º 30º 45º 60º 90º cos 90º 60º 45º 30º 0º

cos α sen α sen 0º 30º 45º 60º 90º cos 90º 60º 45º 30º 0º Preuniversitrio Populr Vítor Jr 7.. TRIGONOMETRÍA L trigonoetrí (del griego, trigono = tres ldos o triángulo, y etrí = edid) es l r de ls teátis que estudi ls reliones entre los ldos y los ángulos de triángulos,

Más detalles

Teorema de pitágoras Rectas antiparalelas

Teorema de pitágoras Rectas antiparalelas pítulo 16 Teorem de pitágors emos visto que l rzón de segmentos es igul l de sus medids tomds con un mism unidd. Tod proporción entre segmentos puede interpretrse como proporción entre sus medids. iendo

Más detalles

TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES.

TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES. TEMA 6: INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES.. Áre jo un urv El prolem que pretendemos resolver es el álulo del áre limitd por l gráfi de un funión f() ontinu y positiv, el eje X y ls siss = y =. Si l gráfi

Más detalles

INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE GUADALUPE

INSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE GUADALUPE Áre: MTEMÁTIS Dignostio Trigonometrí Feh: Enero de 07 onoimiento: Rzones Trigonométris y TP Doente: Sntigo Vásquez Grdo: UNDEIMO Estudinte: Ojetivo: Repsr los oneptos ásios sore rzones trigonométris, teorem

Más detalles

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

GEOMETRÍA DEL ESPACIO Mtemáti Diseño Industril Poliedros Ing. Gustvo Moll GEOMETRÍA DEL ESPACIO L geometrí pln estudi el onjunto de todos los puntos del plno, l geometrí del espio se refiere l onjunto de puntos del espio, es

Más detalles

Nombre y apellidos:... Curso:... Fecha:... TEOREMA DE PITÁGORAS SEMEJANZA FIGURAS SEMEJANTES

Nombre y apellidos:... Curso:... Fecha:... TEOREMA DE PITÁGORAS SEMEJANZA FIGURAS SEMEJANTES 8 Teorem de Pitágors. Semejnz Esquem de l unidd Nomre y pellidos:... Curso:... Feh:... En un triángulo retángulo el áre del udrdo onstruido sore l hipotenus es igul l TEOREM DE PITÁGORS sum de... 2 2 =

Más detalles

I.E.S. Ciudad de Arjona Departamento de Matemáticas. 1º BAC

I.E.S. Ciudad de Arjona Departamento de Matemáticas. 1º BAC I.E.S. Ciudd de Arjon Deprtmento de Mtemátis. º BAC UNIDAD : TRIGONOMETRÍA. MEDIDAS DE ÁNGULOS. GRADOS: Un grdo sexgesiml es el ángulo orrespondiente un de ls 60 prtes en que se divide el ángulo entrl

Más detalles

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD 7 Pág. Págin 66 PRTI Rzones trigonométris de un ángulo gudo Hll ls rzones trigonométris del ángulo en d uno de estos triángulos: ) ) ), m, m,6 m 8, m m 8, m ) sen, 0, os 0, 0,89 tg 0, 0,, 0,89 ) tg,6,

Más detalles

GEOMETRÍA 3º E.S.O. FIGURAS SEMEJANTES SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

GEOMETRÍA 3º E.S.O. FIGURAS SEMEJANTES SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS GEOMETRÍ DEL PLNO 3º E.S.O. FIGURS SEMEJNTES Dos figus son semejntes cundo sólo difieen en tmño. Los segmentos coespondientes son popocionles. d longitud de un de ells se otiene multiplicndo l longitud

Más detalles

CAPÍTULO 3: ALGUNAS PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO (III)

CAPÍTULO 3: ALGUNAS PROPIEDADES DEL TRIÁNGULO (III) PÍTULO 3: LGUNS PROPIEDDES DEL TRIÁNGULO (III) Dnte Guerrero-hnduví Piur, 2015 FULTD DE INGENIERÍ Áre Deprtmentl de Ingenierí Industril y de Sistems PÍTULO 3: LGUNS PROPIEDDES DEL TRIÁNGULO (III) Est or

Más detalles

1 La recta principal, en el plano, mide 44 cm. Cuánto mide en la realidad?

1 La recta principal, en el plano, mide 44 cm. Cuánto mide en la realidad? PÁGIN 164 El director del equipo nliz un plno en el cul 1 cm corresponde 20 m en l relidd. Su mquet de l moto es l décim prte de lrg que l moto rel. L moto de l fotogrfí es l mism que se ve en l mquet.

Más detalles

DETERMINANTES. GUIA DETERMINANTES 1

DETERMINANTES. GUIA DETERMINANTES 1 GUI DETERMINNTES DETERMINNTES. Los determinntes fueron originlmente investigdos por el mtemátio jponés Sei Kow lrededor de 8, por seprdo, por el filósofo mtemátio lemán Gottfried Wilhelm Leiniz lrededor

Más detalles

Eje normal. P(x,y) LLR Eje focal

Eje normal. P(x,y) LLR Eje focal . L Hipérol...1 L Hipérol omo lugr geométrio. L hipérol es el lugr geométrio de todos los puntos tles que el vlor soluto de l difereni de sus distnis dos puntos fijos es un onstnte. Los puntos fijos se

Más detalles

d) Área del triángulo = mitad de la base por la altura. Área del rectángulo = base por altura.

d) Área del triángulo = mitad de la base por la altura. Área del rectángulo = base por altura. CAPÍTULO VI 9 RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO Conoimientos previos: ) L líne más ort que puede trzrse entre dos puntos, es el segmento de ret que los une. ) El menor segmento que une un punto P on

Más detalles

Determinantes Bachillerato 2º. Determinantes. Los determinantes históricamente son anteriores a las matrices, pero por el auge de éstos han quedado

Determinantes Bachillerato 2º. Determinantes. Los determinantes históricamente son anteriores a las matrices, pero por el auge de éstos han quedado Determinntes hillerto º Determinntes Introduión: Los determinntes histórimente son nteriores ls mtries, pero por el uge de éstos hn queddo relegdos un º plno. El uso de los determinntes nos permitirá:

Más detalles

Matemática. Desafío. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Conceptos generales de triángulos GUICEN023MT22-A16V1

Matemática. Desafío. GUÍA DE EJERCITACIÓN AVANZADA Conceptos generales de triángulos GUICEN023MT22-A16V1 GUÍ DE EJERITIÓN VNZD onceptos generles de triángulos rogrm Entrenmiento Desfío GUIEN023MT22-16V1 Mtemátic En l figur, RQ = 24 cm, RS SQ y RM SN. Si M es el punto medio de SQ y N es el punto medio de RQ,

Más detalles

X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse.

X. LA ELIPSE DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO. La recta que pasa por el punto medio del segmento el, se llama EJE MENOR de la elipse. X. LA ELIPSE 10.1. DEFINICIÓN DE ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO Definiión Se llm elipse l lugr geométrio de un punto P que se mueve en el plno, de tl modo que l sum de ls distnis del punto P dos puntos fijos

Más detalles

a vectores a y b se muestra en la figura del lado derecho.

a vectores a y b se muestra en la figura del lado derecho. Produto ruz o produto vetoril Otr form nturl de definir un produto entre vetores es trvés del áre del prlelogrmo determindo por dihos vetores. El prlelogrmo definido por los h vetores y se muestr en l

Más detalles

1.-Algunas desigualdades básicas.

1.-Algunas desigualdades básicas. Preprión Olimpid Mtemáti Espñol. Curso 05-6. Desigulddes (y polinomios, y funiones). 3 de Noviemre de 05. Fernndo Myorl..-Alguns desigulddes ásis. ) 0 pr ulquier R. L iguldd sólo se umple pr = 0. ) (Desiguldd

Más detalles

GYMNÁZIUM BUDĚJOVICKÁ. MATEMÁTICAS. TRIGONOMETRÍA. EJERCICIOS IV: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. PROBLEMAS.

GYMNÁZIUM BUDĚJOVICKÁ. MATEMÁTICAS. TRIGONOMETRÍA. EJERCICIOS IV: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. PROBLEMAS. GYMNÁZIUM BUDĚJOVICKÁ MATEMÁTICAS TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS IV: RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS PROBLEMAS - Determinr ls longitudes de los ldos y los tmños de los ángulos interiores del triángulo ABC si semos:

Más detalles

UNIDAD 14 LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA

UNIDAD 14 LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA UNIDAD LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA EJERCICIOS RESUELTOS Ojetivo generl. Al terminr est Unidd plirás ls definiiones los elementos que rterizn l elipse l hipérol en ls soluiones de ejeriios prolems. Ojetivo.

Más detalles

Proporcionalidad y semejanza. Escalas

Proporcionalidad y semejanza. Escalas NI Proporionlidd y semejnz. Esls ÍNIE E ONTENIOS 1. PROPORIONLI.............................................................. 38 1.1. Mgnitud, ntidd y medid......................................................

Más detalles

5. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO

5. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO Teorí ejeriios de Mtemátis II. Geometrí Rets plnos en el espio. RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO. PUNTOS EN EL ESPACIO Semos que pr determinr l posiión de un punto en el plno neesitmos tomr, por un prte, un

Más detalles

Definiciones de seno, coseno OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Definiciones de seno, coseno y tangente.

Definiciones de seno, coseno OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS. Definiciones de seno, coseno y tangente. 89566 _ 009-06.qxd /6/08 :55 Págin Trigonometrí INTRODUCCIÓN En est unidd se pretende que los lumnos dquiern los onoimientos ásios en trigonometrí, que serán neesrios en ursos posteriores, sore todo pr

Más detalles

MATEMÁTICA Proporcionalidad de segmentos Guía Nº: 3

MATEMÁTICA Proporcionalidad de segmentos Guía Nº: 3 MATEMÁTICA Proporionlidd de segentos Guí Nº: 3 APELLIDO: Prof. Krin G. Rizzo 1. TEOREMA DE THALES Trzr ls rets perfetente prlels y edir on uh preisión los segentos indidos ontinuión A B P Q e f C g D d

Más detalles

Departamento: Física Aplicada III

Departamento: Física Aplicada III Fund mentos Físi os de l Ingenierí. (Ind ustri les) Prlelogrmo insrito en trpezoide Ddo un trpezoide (udrilátero irregulr que no tiene ningún ldo prlelo otro), demuestre, usndo el álger vetoril, que los

Más detalles

Trigonometría Ing. Avila Ing. Moll

Trigonometría Ing. Avila Ing. Moll Trigonometrí Ing. vil Ing. Moll TRIGONOMETRÍ Es l rm de l mtemáti que tiene por ojeto el estudio de ls reliones numéris que existen entre los elementos retilíneos y ngulres de un triángulo o de un figur

Más detalles

MAT I RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. «Mi pereza no me deja tiempo libre para nada» Escritor MATERIAL ÍNDICE:

MAT I RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS. «Mi pereza no me deja tiempo libre para nada» Escritor MATERIAL ÍNDICE: 4 «Mi perez no me dej tiempo lire pr nd» Esritor MT I RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS ÍNDIE: MTERIL 1. RZONES TRIGONOMÉTRIS DE UN ÁNGULO GUDO (0º 90º). RZONES TRIGONOMÉTRIS DE UN ÁNGULO ULQUIER (0º 360º) 3. RZONES

Más detalles

Cabri. Construcciones RECURSOS.

Cabri. Construcciones RECURSOS. ri. Atividd 1.- Diujr: Un heptágono regulr, un pentágono estrelldo, un vetor, un elipse y un ro on dos puntos sore un ret punted. Atividd 2.- onstruir el punto medio del ldo B del triángulo AB y ls rets

Más detalles

9Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 196

9Soluciones a los ejercicios y problemas PÁGINA 196 PÁGIN 196 Pág. 1 P RCTIC Ángulos 1 Hll el vlor del ángulo en cd uno de estos csos: ) b) 11 37 48 48 c) d) 35 40 ) 37 b 11 b 180 11 68 180 37 68 75 b) 360 48 8 13 c) 40 b b 180 90 40 50 180 50 130 d) 35

Más detalles

Propuesta sobre la enseñanza de los números racionales Geovany Sanabria Brenes

Propuesta sobre la enseñanza de los números racionales Geovany Sanabria Brenes Geovny Snri B. Propuest sore l enseñnz de los números rionles Geovny Snri Brenes Un mner de ordr los números rionles es trvés del onoimiento previo de rzones. En l tulidd, ls friones en primri no son vists

Más detalles

MINISTERIO DE EDUCACION CURSO DE POSTGRADO TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA ESPECIALIDAD EN MATEMATICA

MINISTERIO DE EDUCACION CURSO DE POSTGRADO TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA ESPECIALIDAD EN MATEMATICA MINISTERIO DE EDUCACION CURSO DE POSTGRADO TERCER CICLO DE EDUCACION BASICA ESPECIALIDAD EN MATEMATICA CURSO 4 TRIGONOMETRIA Y TRANSFORMACIONES GEOMETRICAS EN EL PLANO CARTA DIDÁCTICA Desripión: Con este

Más detalles

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio

Colegio San Patricio A Incorporado a la Enseñanza Oficial Fundación Educativa San Patricio Colegio Sn Ptriio A-09 - Inorpordo l Enseñnz Ofiil Fundión Edutiv Sn Ptriio MATEMÁTICA º AÑO Trjo prátio Nº 8 Sistems de dos euiones lineles on dos inógnits Un sistem de euiones es un onjunto de dos o

Más detalles

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Geometrí y Trigonometrí Resoluión de triángulos oliuángulos 9. RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS OLIUÁNGULOS Un triángulo es oliuángulo undo no present un ángulo reto, se denomin de dos forms: triángulo utángulo

Más detalles

APLICACIONES DE LA DERIVADA

APLICACIONES DE LA DERIVADA APLICACIONES DE LA DERIVADA.- BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS. Pág. 1 Creimiento y dereimiento. APLICACIONES DE LA DERIVADA Cundo un funión es derivle en un punto, podemos onoer si es reiente o dereiente

Más detalles

UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS

UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS UNIDAD 7. PROPORCIONALIDAD, SEMEJANZA Y RELACIONES MÉTRICAS RAZONES Y PROPORCIONES DEFINICIONES RAZÓN: L rzón entre dos números reles y, (0), es el cociente entre y, es decir. Tmién se escrie: /,, :. PROPIEDADES

Más detalles

2.7. POLÍGONO REGULAR INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA (Método general)

2.7. POLÍGONO REGULAR INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA (Método general) 2.7. POLÍGONO REGULR INSRITO EN UN IRUNFERENI (Método generl) Reuerd: Ddo el rdio del polígono de n ldos (3 m) 1. Diuj un irunfereni de 3 m. de rdio. 2. Trz su diámetro, y divídelo en n prtes igules. 3.

Más detalles

SEGÚN LA LONGITUD RELATIVA DE SUS LADOS

SEGÚN LA LONGITUD RELATIVA DE SUS LADOS TRIÁNGULOS DEFINIIÓN Un triángulo es un polígono errdo y onvexo, ompuesto por tres ldos. 1 ELEMENTOS ÁSIOS Los triángulos tienen muhs propieddes importntes pr el diujo y l geometrí, pero los más elementles

Más detalles

Tema 7: Vectores. Ejercicio 1. - Ahora lo resolveremos con Wiris: Si las coordenadas de dos vectores, son u ( 2,3), v (5, 2)

Tema 7: Vectores. Ejercicio 1. - Ahora lo resolveremos con Wiris: Si las coordenadas de dos vectores, son u ( 2,3), v (5, 2) Tem 7: Vectores. Ejercicio. Si ls coordends de dos vectores, son u,), v 5, ) compror gráficmente que ls de u v son 7,) y ls de 5 u son 0, 5). Ls coordends de u v respecto de l se B x, y ) son, ). Ls coordends

Más detalles

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RESOLUIÓN DE TRIÁNGULOS Págin 0 PR EMPEZR, REFLEXION Y RESUELVE Prolem Pr lulr l ltur de un árol, podemos seguir el proedimiento que utilizó Tles de Mileto pr llr l ltur de un pirámide de Egipto: omprr

Más detalles

4º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa TRIGONOMETRÍA

4º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa TRIGONOMETRÍA º ESO ACADÉMICAS - APLICADAS TRIGONOMETRÍA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. COPIRRAI_Julio Césr Ad Mrtínez-Los TRIGONOMETRÍA El polígono más senillo es el de tres ldos, el triángulo, es por ello que el estudio

Más detalles

UNIDAD 7 Trigonometría

UNIDAD 7 Trigonometría UNIDAD 7 Trigonometrí 5. Ampliión teóri: resoluión de triángulos ulesquier: teorems de los senos y del oseno Pág. 1 de 6 Hemos visto que, medinte l estrtegi de l ltur, podemos resolver triángulos ulesquier

Más detalles