TEORÍA DE LOS CIRCUITOS II DIAGRAMAS DE BODE

Transcripción

1 TEORÍA DE LOS CIRCUITOS II DIAGRAMAS DE BODE Supogamos teer ua plata de trasferecia G(s) (ver la figura), que es estable y a la cual le igresamos ua señal siusoidal r(t) = a. se(ω.t). Se demuestra que la salida será tambié ua fució siusoidal co la misma frecuecia ω, luego del trasitorio iicial (o sea cuado t tiede a ifiito). Los diagramas de Bode so ua forma de represetar el comportamieto diámico de ua plata (e uestro caso u circuito eléctrico). Partiedo de lo dicho ateriormete, Bode represeta el comportamieto del circuito a través de dos diagramas: uo de magitud dode muestra e cuato cambia logarítmicamete la amplitud del seo e fució de la frecuecia de la siusoide, y otra e dode represeta el cambio de fase tambié e fució de la frecuecia ω. Supogamos ua fució de trasferecia G(s) descripta por sus ceros y polos. Evaluemos G(j.ω), supoiedo u cero y dos polos: j θ j ω + z s r e r j (θ θ2 θ ) G(j ω) = = = = e (j ω p ) (j ω p ) j θ2 j θ 2 r e r e r2 r + + s s 2 2 Etoces el módulo de G(j.ω) será: r G( j ω) = r2 r y su logaritmo: log 0 G( j ω ) = log0 r log0 r2 log0 r e decibeles: G = 20 log r 20 r 20 r db 0 log0 2 log 0 Y la fase es: G = θ θ 2 θ Por lo tato para realizar el diagrama Bode de G(s) basta coocer cómo so las respuestas de cada uo de sus polos y ceros, pues luego se suma directamete. Estudiemos etoces tres casos de diagramas de Bode: I) polos o ceros e el orige: K ( j ω ) II) polos o ceros simples: ( j ω τ + ) ± III) polos o ceros complejos cojugados: Caso I: Magitud: 2 ± j ω j ω + 2 ξ + ω ω Hoja de 5

2 20 log K ( j ω ) = 20 log K + 20 log j ω 20 log K ( j ω ) = 20 log K + 20 log ω So rectas de distitas pedietes, segú el valor de (ver la figura). Si hubiera u K distito de, debería sumarse ua costate (20. log K) a la recta. Diagrama de magitud para polos y ceros e el orige (co K = ). Fase: La fase estará dada por.(j.ω), que será costate (idepediete del valor de ω), y será de.90 : para = - la fase será costate y valdrá -90, para = -2 la fase será costate y valdrá -80, para = la fase será costate y valdrá +90. Caso II: E este caso, tato para el diagrama de magitud como para el diagrama de fase, las curvas se aproxima por asítotas para frecuecias muy bajas o muy altas. Magitud: Aalicemos j.ω.τ+ para ω.τ <<, j ω τ + 20 log G( j ω ) = 0 para ω.τ >>, j ω τ + j ω τ 20 log G( j ω ) = 20 (log ω + log τ ) 0 Diagrama de magitud para u cero simple e -/τ (τ = 0) Hoja 2 de 5

3 Diagrama de fase para u cero simple e -/τ (τ = 0) El puto de cruce de estas asítotas está e ω = /τ (ver la figura). E ese puto es la máxima desviació de la curva de las asítotas, que vale db. Para el caso de u polo simple, la pediete de la recta sería egativa. Fase: Para ω.τ <<, = 0 o Para ω.τ >>, j ω τ = 90 o (para u polo sería -90 ) Para ω.τ =, ( j ω τ + ) = 45 o (para u polo sería -45 ) E la figura aterior mostramos como es la curva de la fase de u cero simple co las asítotas que la represeta. Caso III: 2 ± j ω j ω E este caso aalizamos: + 2 ξ + ω ω Para este caso podemos decir que para el caso particular de ξ =.0, teemos dos polos simples e el mismo lugar, lo que os dará diagramas de magitud y fase similares a los del caso aterior: el diagrama de magitud luego del puto de quiebre (que será e ω = ω ) tedrá ua pediete de ±40 db/dec (positivo e el caso de ceros y egativo e el caso de polos); y el diagrama de fase evés de subir o bajar ±90, lo hará a ±80 (positivo e el caso de ceros y egativo e el caso de polos). Para ξ más chicos las asítotas sigue siedo las mismas pero las curvas cambia alrededor de la frecuecia ω, como mostramos e las figuras siguietes, para el caso de polos. E el diagrama de magitud aparece u pico de resoacia que se hace más prouciado a medida que ξ se hace más chico. E el diagrama de fase el cambio de fase se hace cada vez más abrupto a medida que ξ se hace más chica. Hoja de 5

4 Diagrama de magitud de u par de polos complejos cojugados, co ω =, y ξ = 0., 0.2, 0., Diagrama de fase de u par de polos complejos cojugados, co ω =, y ξ = 0., 0.2, 0., Del diagrama de magitud podemos ver que la frecuecia e dode se produce el pico ω p es cercaa a ω (se aproxima más a ella a medida que ξ se hace más chica), por lo tato podemos aproximar el valor del pico de la resoacia como: M pico G( j ω ) = para ξ < ξ Y como vemos, el pico está estrechamete relacioado co el ξ. Ejemplo: Hallar la respuesta e frecuecia de u sistema cuya fució de trasferecia es: Hoja 4 de 5

5 2000 ( s ) G( s) = s ( s + 0) ( s + 50) Evaluemos la fució e s = j.ω: j ω G( j ω ) = j j j ω + ω ω Luego realizamos la costrucció de los diagramas de Bode, empezado por el polo e el orige, luego por el cero e 0.5, y después sucesivamete por los polos e 0 y e 50; mediate las asítotas. E las figuras siguietes mostramos los diagramas de magitud y de fase para este sistema, co el trazado de las asítotas e líea más gruesa. Diagrama de magitud para el ejemplo. Diagrama de fase para el ejemplo. Hoja 5 de 5