α β la cual puede presentar

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1 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier Covergecia de ua serie de Fourier Teorema de covergecia de las series de fourier Ua serie de Fourier es ua fució ( ) f x cotiua e [, ] α β la cual puede presetar discotiuidades fiitas o ifiitas. Tambié puede ser seccioada e tramos, como por ejemplo, la serie de seos, co ua tedecia cada vez más aproximada coforme se le agregue térmios a la serie, hacia el seo de x, ( se( x) ), a esto se le llama covergecia. Coverger, Covergir: (del Latí covergere) cocurrir o dirigirse hacia u mismo fi. Etoces, cuado queremos impoer codicioes a ua fució periódica cualquiera, queremos garatizar que la serie de esa fució e realidad coverja. Teorema 5.4. Si teemos u fució f y su derivada f cotiuas por partes e el itervalo de ( p, p), etoces para cualquier valor de x e ese itervalo, teemos que coverge al valor promedio. [] Es decir, la represetació de la serie de Fourier dada por a π π f ( x) = + acos x + bse = p p x () Y si x es u puto de cotiuidad de f ( x ), etoces la serie () coverge al valor de f ( x ). Si la fució tiee u salto de discotiuidad e x, etoces las serie coverge a ( ) ( ) f x + + f x () + Dode f ( x ) y f( x ) represeta los límites por la izquierda y por la derecha, e putos dode la fució es discotiua. Teemos ua fució periódica, co período p, observado la ecuació (). Istituto Tecológico de Chihuahua/ C. Básicas

2 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier 8 Los coeficietes a, a y b está dados por las fórmulas que ya coocemos, de la secció 5., las ecuacioes (), () y (4). Para valores de x =± p la serie coverge a f ( p + ) + f( p ) El teorema os idica que ua fució suave por partes (cuado la derivada f ( x ) es cotiua por partes) e el itervalo ( p, p) y cada uo de sus putos. la serie de fourier coverge a f ( x ) e todos Supoiedo ua fució periódica f es suave por partes. Etoces la serie de Fourier coverge Al valor f ( x ) e todo puto de la fució cuado es cotiúa Al valor medio de la sumatoria de los límites por la derecha y por la izquierda de la fució e cada puto p e el que f es discotiua ( ) ( ) f x + + f x Observamos que ( ) ( ) f x + + f x es el promedio de los límites por la derecha y por la izquierda de la fució f x e el puto x, si f fuera cotiua e el puto x, etoces ( ) f ( x) = f( x + ) = f( x ), por lo que + f ( x ) + f( x ) f( x) = () De maera más clara, el teorema os dice que la serie de Fourier de ua fució suave por partes coverge para todo valor de x al valor medio. A cotiuació se preseta alguos ejemplos de series de Fourier Ejemplo 5.4. Determiar a qué valor coverge la serie de Fourier de π < x < f( x) = < x < π Istituto Tecológico de Chihuahua/ C. Básicas

3 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier 8 Observamos que p = π. Los valores de los coeficietes y la serie misma fuero calculados e el problema 5..4 de la secció 5. f(x) x Figura 5.4. Gráfica de π < x < f( x) = < x < π Los coeficietes so a o =, a = y b = {[ cos]} (4) π O bie b ( ) = = 4 π π par impar Por lo que la serie de fourier queda como 4 f ( x) = se ( ) π x (5) = impar Istituto Tecológico de Chihuahua/ C. Básicas

4 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier 8 Observamos que la serie coverge a f ( x ) para cualquier valor de x Desarrollado la serie hasta = 4 f ( x) = se( x) se( x) se( 5x) se( 7x) se( 9x) se( 9 x)... π f(x) x Figura 5.4. Gráfica de la serie de fourier de y térmios f(x) x Figura 5.4. Gráfica de la serie de fourier de térmios Istituto Tecológico de Chihuahua/ C. Básicas

5 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier 84 Ejemplo 5.4. Teemos la fució de periodo tal que f () t f () t para t etero par, mediate la codició (), por lo que ( ) La gráfica de la fució se muestra e la figura = t, si < t <. Se defie f t =, si t etero par. 6 f(t) t Figura f ( t) = t E este ejercicio teemos que p = por lo que lo mejor será itegrar desde t = hasta t =. [5] a = t dt = t 8 a = (6) a = t cos t dt Para la itegració por partes, podemos utilizar el método de la referecia cruzada Istituto Tecológico de Chihuahua/ C. Básicas

6 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier 85 t cos t t se π t cos π se π t x π π π Nos queda a = se( π t) + cos ( π t) se( π t) Sustituyedo los límites de la itegral obteemos 4 4 a = se + cos se π π π ( π ) ( π) ( π) ( ) se( ) + cos ( ) se ( ) π π π 4 Resultado a = cos π, pero cos ( ) π = para toda, por lo que a 4 π = (7) Calculado el coeficiete b b = t se t dt Realizado el mismo procedimieto auxiliar para itegració por partes Istituto Tecológico de Chihuahua/ C. Básicas

7 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier 86 t se t t cos π se π + cos π t x b = cos( π t) + se ( π t) + cos ( π t) π π π Sustituyedo los límites de la itegral 4 4 b = cos + se + cos π π π ( ) ( ) cos( ) + se ( ) + cos ( ) π π π Aplicado idetidades ( π ) ( π) ( π) b b b 4 4 = () + ( ) + () ( ) + ( ) + π π π π 4 = + π π π 4 = (8) π Por lo tato sustituyedo los coeficietes dados por (6), (7) y (8) os queda f ( x ) = + cos t se ( π t) π = π = La serie coverge e f () t para toda t. Istituto Tecológico de Chihuahua/ C. Básicas