Integración de funciones de una variable

Transcripción

1 Tem 5 Integrción de funciones de un vrible Introducción Este tem está dedicdo l estudio y l relción que existe entre dos problems que, en principio, tienen un nturlez muy distint.. Cálculo de primitivs: si f : I R es un función rel de un vrible definid sobre un intervlo bierto I, un primitiv de f es un función derivble F : I R de form que se cumple F (x = f (x, pr cd x I. De este modo, el cálculo de primitivs es el proceso inverso l derivción.. Cálculo de áres: se f : I R un función continu sobre un intervlo bierto. Ddos dos puntos, b I con < b, llmmos trpecio mixtilíneo l recinto plno limitdo por el eje de bciss, l gráfic de l función f, y ls rects verticles x =, x = b. El problem consiste en clculr el áre de dicho recinto en términos de l función dd f. 5.. Integrl indefinid. Cálculo de primitivs En el tem nterior hemos estudido l derivd de un función dd. Ahor pretendemos llevr cbo el proceso inverso, es decir, dd un función f, encontrr otr función F de mner que F (x = f (x. Más delnte estudiremos l interpretción geométric de dicho proceso. Se I un intervlo bierto de R. Dd un función f : I R, se dice que otr función F : I R es un FUNCIÓN PRIMITIVA de f si F es derivble y F (x = f (x pr todo x I. Por ejemplo, un función primitiv de f (x = cos(x es F(x = sen(x, y que (sen(x = cos(x. Obsérvese que hemos dicho un función primitiv, y no l función primitiv. Ello es debido que no hy un únic función primitiv, sino infinits. De hecho, es clro, l ser l derivd de un función constnte igul cero, que si F(x es un primitiv de f (x y C R, entonces F(x +C es tmbién un primitiv de f (x. En relidd, tods ls primitivs de f se obtienen sí, como ilustr el siguiente resultdo, que es consecuenci del teorem del vlor medio. Proposición 5.. Se I un intervlo bierto, f : I R un función y F un primitiv suy. Entonces, culquier otr función primitiv de f (x es de l form F(x +C, donde C es un constnte rel. UNIVERSIDAD DE GRANADA. CURSO 9-

2 Integrl indefinid. Cálculo de primitivs Llmremos INTEGRAL INDEFINIDA de l función f l conjunto de tods sus primitivs, y lo denotremos por R f (x. Así, por ejemplo, l integrl indefinid de f (x = x es F(x = x +C, donde C es un constnte rel rbitrri. Proposición 5. (Linelidd de l integrl indefinid. L integrl indefinid verific ls propieddes:. ( f (x + g(x = f (x +. Si λ es un constnte rel, entonces g(x. (λ f (x = λ f (x. Not importnte: No es cierto csi nunc que f (x g(x = ( ( f (x g(x, es decir LA INTEGRAL DE UN PRODUCTO NO ES EL PRODUCTO DE LAS INTEGRALES. En generl, l obtención de primitivs es un disciplin difícil. Dedicremos el resto de est sección presentr lguns técnics concrets de cálculo pr ls misms Integrles inmedits A prtir de l definición de primitiv y de l derivción de ls funciones elementles, podemos construir un tbl de integrles indefinids inmedits (vése tbl de integrles inmedits. Grcis est tbl y ls propieddes de linelidd de l integrl indefinid, podemos clculr grn cntidd de primitivs de funciones elementles. A veces, pr clculr un integrl conviene reescribirl de modo que se un integrl inmedit. Un ejemplo de est situción es el siguiente: x 3 + x + 3x x = x (x x x = x + x + 3 x x x + x + 3ln x +C = + x + 3ln x + x +C. x = Not: A prtir de hor, l hor de clculr integrles indefinids, prescindiremos de escribir l constnte C, que se drá por sobreentendid Integrción por prtes Sen u,v : I R dos funciones derivbles sobre un intervlo bierto I. Si tenemos en cuent que: (u(x v(x = u (x v(x + u(x v (x, e integrmos, entonces deducimos que: u(xv (x = u(xv(x que es l llmd fórmul de integrción por prtes. v(xu (x, DEPT. DE GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA Y DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

3 Integrl indefinid. Cálculo de primitivs 3 L fórmul se utiliz pr clculr integrles donde intervienen productos de funciones. Pr plicrl, debemos relizr un elección de ls funciones u(x y v(x (hy dos posibles elecciones. Normlmente, un de ls elecciones nos llevrá un integrl más sencill, mientrs que l otr nos conducirá un integrl más complicd. Cundo vemos que ps esto último debemos de cmbir l elección originl. Vemos un ejemplo. Ejemplo: Cálculo de xe x : [ xe x u(x = x, u = (x = v (x = e x, v(x = e x ] = xe x e x = xe x e x = e x (x. No obstnte, si hcemos l otr posible elección, nos qued lo siguiente: [ xe x u(x = e = x, u (x = e x v (x = x, v(x = x / ] = (x /e x (x /e x, con lo que se lleg un integrl más complicd que l que tenímos l principio (h umentdo el grdo del monomio que compñ e x. En ocsiones tenemos que plicr l regl de integrción por prtes vris veces pr clculr un integrl. Debemos segurrnos que cd vez que plicmos l regl se obtiene un integrl más sencill. Vemos un ejemplo. Ejemplo: Cálculo de x sen(x: [ x u(x = x sen(x =, u (x = x v (x = sen(x, v(x = cos(x [ u(x = x, u x cos(x = (x = v (x = cos(x, v(x = sen(x ] = x sen(x ] = x cos(x + x cos(x. sen(x = x sen(x + cos(x. Finlmente, juntndo l informción de ls dos integrles nteriores, tenemos: x sen(x = x cos(x + x sen(x + cos(x = ( x cos(x + x sen(x. En ocsiones l regl de integrción por prtes se utiliz pr clculr integrles en ls que sólo prece un función. Vemos un ejemplo. Ejemplo: Cálculo de ln(x = ln(x : [ u(x = ln(x, u ln(x = (x = /x v (x =, v(x = x Integrción de funciones rcionles En est sección pretendemos clculr l integrl indefinid: P(x Q(x, ] = x ln(x UNIVERSIDAD DE GRANADA. CURSO 9- = x ln(x x.

4 Integrl indefinid. Cálculo de primitivs 4 donde P(x y Q(x son funciones polinómics. Si el grdo de P(x es myor o igul que el de Q(x, podemos dividir los dos polinomios, obteniendo: P(x R(x = C(x + Q(x Q(x, donde C(x y R(x (cociente y resto de l división entre P(x y Q(x son polinomios, y el grdo de R(x es menor que el grdo de Q(x. Por tnto podemos suponer, trs relizr l división, que el grdo de P(x es menor que el grdo de Q(x. En primer lugr, estudiremos cómo hllr ls primitivs de cierts funciones rcionles concrets llmds frcciones simples. Después veremos cómo prtir de ésts podemos clculr ls primitivs de funciones rcionles más generles. Llmremos frcción simple tod función rcionl de lguno de estos tipos: A x, B (x b n, Mx + N x + bx + c, donde A,B,M,N son constntes reles, n es un número nturl con n, y x +bx+c es un polinomio de segundo grdo irreducible, es decir, sin ríces reles. Vemos cómo se pueden integrr este tipo de funciones rcionles. A Integrles del tipo : Son inmedits. Su vlor es A ln x. x B B(x b n Integrles del tipo : Son inmedits. Su vlor es. (x b n n Mx + N Integrles del tipo x : Ests integrles se descomponen en sum de dos: un es + bx + c de tipo logritmo y l otr de tipo rcotngente. Vemos cómo se hce ésto en generl: Mx + N x + bx + c = Mx x + bx + c + N x + bx + c = I + N I. Trtremos cd integrl por seprdo. L primer será de tipo logritmo, por lo que vmos buscndo en el numerdor l derivd del denomindor: Mx I = (M/(x + (M/b (M/b x + bx + c = x + bx + c = M x + b Mb x + bx + c x + bx + c = M ln x + bx + c Mb I. R Por tnto, todo se reduce clculr l integrl I = (x + bx + c. Est integrl es de tipo rcotngente. Pr buscr el rcotngente expresmos primero x + bx + c = (x d + k. A continución, hcemos ls siguientes trnsformciones: x d /k rctg( I = x + bx + c = k + (x d = k ( + ( x d k = k + ( x d k = DEPT. DE GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA Y DE ANÁLISIS MATEMÁTICO k k.

5 Integrl indefinid. Cálculo de primitivs 5 Juntndo tod l informción result lo siguiente: Mx + N x + bx + c = M ( ln x + bx + c + N Mb rctg( x d k L fórmul nterior no es pr memorizrl sino que, en cd cso concreto, repetiremos l mism ide pr obtener l integrl pedid. x + 3 Ejemplo: Cálculo de x + x + 4 : x + 3 x + x + 4 = x x + x De este modo tenemos: k x + x + 4 = I + 3I. I = x x + x + 4 = x + x + x + 4 = x + x + x + 4 I = ln x + x + 4 I, con lo que todo se reduce clculr I. Pr ello expresmos x + x + 4 = (x Entonces, se tiene: I = x + x + 4 = 3 + (x + = 3( + ( x+ 3 = / ( x+ Juntndo tod l informción nos qued finlmente: ( x x + x + x + 4 = ln x + x rctg x+ rctg( = 3. 3 Un vez que sbemos relizr l integrl de frcciones simples, vemos cómo podemos clculr culquier integrl del tipo: P(x Q(x, donde el grdo de P(x es menor que el grdo de Q(x, y el polinomio Q(x no dmite fctores cudráticos irreducibles múltiples en su fctorizción. Esto signific que, plicndo l regl de Ruffini, podemos fctorizr Q(x de est form: Q(x = q(x r (x r (x n r n (x + b x + c (x + b x + c (x + b m x + c m, donde cd i es un ríz rel de Q(x con multiplicidd r i, y cd x + b j x + c j es un polinomio de grdo dos irreducible. A continución, un resultdo de álgebr nos permite expresr l función rcionl que queremos integrr de l siguiente mner: P(x Q(x = A + A x (x + + A r (x r + A + A x (x + + A r (x r A n + A n x n (x n + + A nr n (x n r + n + B x +C x + B x +C + b x + c x + + B mx +C m + b x + c x, + b m x + c m UNIVERSIDAD DE GRANADA. CURSO 9-

6 Integrl indefinid. Cálculo de primitivs 6 donde todos los números que precen en los numerdores son constntes que hy que determinr. Nótese que cd ríz rel d lugr tnts frcciones simples como su multiplicidd, mientrs que cd fctor irreducible tiene socid un únic frcción simple. Pr clculr ls constntes, desrrollmos l iguldd nterior e igulmos los polinomios resultntes en el numerdor. Un vez hecho ésto, integrmos ls descomposición nterior; nótese que cd sumndo es un frcción simple de ls que hemos prendido integrr nteriormente. Not: Si el polinomio Q(x se fctoriz únicmente como Q(x = (x (x (x n, ls constntes socids l descomposición en frcciones simples A,...,A n se pueden clculr simplemente dndo l vrible x los vlores,..., n. Ejemplo: Cálculo de x 4 : Como x4 = (x (x + (x +, l descomposición en frcciones simples nos quedrí: x 4 = A x + Si desrrollmos e igulmos coeficientes tenemos: B x + + Cx + D x +. x 4 = A(x + (x + + B(x (x + + (Cx + D(x x 4, = (A + B +Cx 3 + (A B + Dx + (A + B Cx + (A B D, A + B +C = A B + D = A + B C = A B D = Por tnto, nos qued: x 4 = 4 x 4 x + x El cmbio de vrible A = /4 B = /4 C = D = / = 4 ln x 4 ln x + rctg(x = 4 ln x x + rctg(x. Este método se utiliz pr convertir un integrl que no sbemos resolver en l vrible x en un integrl más simple que depend de un nuev vrible y = f (x. Trs relizr l integrl en función de y tendremos que expresr el resultdo utilizndo l vrible originl x. Si g es un función continu y f es derivble, se tiene que: g( f (x f (x = g(y dy, que es l llmd fórmul del cmbio de vrible. Se suele escribir y = f (x, dy = f (x. sen(x Ejemplo: Clculmos 4 + cos. Hciendo el cmbio de vrible y = cos(x, dy = ( sen(x: (x sen(x dy 4 + cos (x = 4 + y = / ( y dy. + DEPT. DE GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA Y DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

7 Integrl indefinid. Cálculo de primitivs 7 De nuevo, cmbindo vribles t = y/, dt = dy/, qued: / ( y dy = dt +t + = rctg(t. Así pues, finlmente se tiene: sen(x 4 + cos (x = rctg(t = rctg(y/ = rctg Integrción de funciones rcionles trigonométrics ( cos(x Se trt de clculr primitivs de funciones rcionles en sen(x y cos(x, es decir, funciones que sen cociente de dos polinomios de dos vribles z y z, donde z = sen(x y z = cos(x. En estos csos conviene en primer lugr estr tento l posibilidd de un cmbio de vrible y = cos(x o y = sen(x, y usr l relción sen (x + cos (x =. En prticulr, pr l integrción de (sen n (x(cos m (x, con n y m números enteros (positivos o negtivos, se puede seguir l regl:. Si n es impr, se hce el cmbio y = cos(x.. Si m es impr, se hce el cmbio y = sen(x. 3. Si n y m son pres, se puede simplificr l integrl usndo ls identiddes: Ejemplo: Clculmos cos (x = + cos(x cos (x y, sen (x = cos(x. cos 3 (x sen (x. cos (x = + cos(x = cos 3 (x ( sen sen (x = (xcos(x sen (x = y y = sen(x sen(x. cos(x + [ y = sen(x = dy = cos(x. = x + sen(x. 4 y ] = Si un cmbio de los ntes indicdos no funcion, siempre se puede hcer el cmbio: ( x t = tg sen(x = t t, cos(x = +t +t, = +t dt. Con este cmbio de vrible convertimos l integrl en un de tipo rcionl, que y hemos estudido. Ejemplo: Clculr sen(x tg(x. sen(x tg(x = cos(x (sen(x(cos(x sen(x = = 4t + ln t = 4tg (x/ + ln tg(x/. [ ] tg(x/ = t y dy = = t t 3 dt UNIVERSIDAD DE GRANADA. CURSO 9-

8 Integrl definid. Teorem fundmentl del cálculo integrl Integrción de funciones con rdicles cudráticos Se trt de clculr primitivs de funciones en ls que prece l ríz cudrd de un polinomio de segundo grdo. En principio, como siempre, conviene estr tento posibles cmbios de vrible que resuelvn el problem. Por otro ldo, pr expresiones del tipo ± ± x, se pueden hcer los siguientes cmbios, destindos eliminr l ríz de l integrl:.. 3. x : se resuelve con el cmbio x = cos(t o x = sen(t, pues cos (x = sen (x. + x : se resuelve con y = tg(x, puesto que + tg (x = /cos (x. x : usmos el cmbio y = cosh(x, y que cosh (x = senh (x. Si tenemos otro polinomio de segundo grdo dentro de l ríz, siempre se puede trnsformr medinte un cmbio decudo en un polinomio del tipo ± ± x. Vemos un ejemplo: Ejemplo: Clculr. Trnsformmos el integrndo: 8x x ( ( x 4 8x x = (x 8x = (x = 6, 4 y hcemos el cmbio de vrible y = (x 4/4. Al hcerlo tenemos: = 8x x 6( ( x 4 4 = 4dy 4 y = dy [ y = (x 4/4 = dy = /4 ] = ( x 4 = rcsen(y = rcsen y Integrl definid. Teorem fundmentl del cálculo integrl En est sección pretendemos introducir el concepto de integrl definid y relcionrlo con el de integrl indefinid. De est form veremos cómo el cálculo de primitivs result ser de utilidd l hor de clculr áres. Posteriormente, lo usremos incluso pr hllr longitudes y volúmenes Figur 5.: Áre bjo un curv DEPT. DE GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA Y DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

9 Integrl definid. Teorem fundmentl del cálculo integrl 9 Se f : I R un función continu y no negtiv sobre un intervlo bierto. Tomemos,b I con < b. Se define l INTEGRAL DEFINIDA DE f entre y b como el áre del trpecio mixtilíneo comprendido entre l gráfic de f, el eje de bsciss y ls rects verticles x =, x = b (vése l figur 5.. Se escribe como: b f (x. Dd f : I R un función continu culquier y puntos,b I con < b, su integrl definid entre y b se define como: donde: b f (x = A A, A es el áre situd por debjo de l gráfic de f, por encim del eje de bsciss y entre ls rects verticles x =, x = b. A es el áre situd por encim de l gráfic de f, por debjo del eje de bsciss y entre ls rects verticles x =, x = b Figur 5.: En est figur, el áre A viene representd en color clro y A en color oscuro. Más delnte necesitremos tmbién l siguiente definición: ddos,b I con < b, se define l integrl de f entre b y como: b f (x = En concordnci con lo nterior, se tiene que R Proposición 5.3 (Propieddes de l integrl definid. b f (x =.. L integrl de l sum es l sum de ls integrles: b. L integrl sc ls constntes : ( f (x + g(x = b b (λ f (x = λ f (x. f (x + b b f (x. g(x. UNIVERSIDAD DE GRANADA. CURSO 9-

10 Integrl definid. Teorem fundmentl del cálculo integrl 3. Aditividd respecto del intervlo de integrción: b c b f (x = f (x + c f (x, pr todo c (,b. 4. L integrl respet el orden, es decir, si < b, entonces: f (x g(x en [,b] b f (x b g(x. En prticulr, l integrl de un función positiv entre y b ( < b es siempre positiv. A continución, pretendemos poner de mnifiesto l relción entre l integrl definid y l indefinid, es decir, l relción entre el cálculo de áres y el cálculo de primitivs. Teorem 5.4 (Teorem Fundmentl del Cálculo. Se I un intervlo bierto y I. Dd un función continu f : I R, definimos l función áre F : I R como: F(x = x f (tdt. Entonces, l función F es derivble y F (x = f (x, en otrs plbrs, F es un primitiv de f. Como consecuenci del Teorem Fundmentl del Cálculo, podemos deducir l siguiente proposición, que nos dice cómo clculr integrles definids prtir de indefinids. Proposición 5.5 (Regl de Brrow. Se f : I R un función continu y F un primitiv suy, es decir, F (x = f (x. Ddos dos puntos,b I con < b, se tiene que: Ejemplo: Clculmos b f (x = F(x] b = F(b F(. (e x + 3x x : (e x + 3x x = e x + 3x x3 3 ] = e e = e + 6. Not: Si tenemos un integrl definid y pretendemos relizr un cmbio de vrible, podemos simplemente clculr un primitiv, como en el ejemplo nterior, y luego plicr l regl de Brrow. Sin embrgo, tmbién podemos trbjr siempre con integrles definids: en este cso, hy que tener en cuent que tmbién hy que plicr el cmbio de vrible los límites de integrción: b g( f (x f (x = f (b f ( g(y dy. Igul que pr integrles indefinids, se suele escribir y = f (x, dy = f (x. Ejemplo: Cálculo de e x + 3e x + e x = e ( y e x + 3e x + e x : ] e + 3y = + y dy = + 3e x [ y = e x dy = e + e x ex = x e = e = e dy = 3y 5ln y + ] e = 3e 5ln(e ln(3. DEPT. DE GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA Y DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

11 Alguns plicciones del cálculo integrl 5.3. Alguns plicciones del cálculo integrl Áre comprendid entre dos curvs Sen f,g : I R dos funciones continus definids en un intervlo bierto I. Supongmos que tenemos dos puntos, b I con < b de form que f (x g(x, pr cd x [, b]. Llmmos áre encerrd entre f y g en [,b] l áre del recinto plno cotdo por rrib por y = f (x, por bjo por y = g(x, y lterlmente por ls rects verticles x =, x = b. En este cso, se puede probr que este áre coincide con: A = b ( f (x g(x. En el cso generl en el que ls funciones no estén ordends en todo el intervlo (hy trozos donde f es myor y trozos donde lo es g, dividiremos el intervlo [,b] en trozos disjuntos buscndo los puntos de corte de ls dos funciones, de form que en cd trozo un de ells se myor que l otr, y clculremos el áre entre ls curvs en cd trozo siguiendo l fórmul de rrib. Si no nos queremos preocupr por determinr exctmente l posición de ls dos gráfics en cd intervlo concreto, bst con sumr los vlores bsolutos de ls integrles en cd trozo. Veámoslo en un ejemplo: Ejemplo: Clculr el áre entre ls curvs y = x 3 x e y = x + x (áre de l región sombred en l figur de bjo Not: En generl, cundo no se especific el intervlo donde tenemos que clculr el áre, se tom el comprendido entre el primer y el último punto de corte de ls gráfics. Lo primero que necesitmos son los puntos de corte de ls dos gráfics, que se obtienen resolviendo l ecución: x 3 x = x + x. Dichos puntos son x =, x = y x =, con lo que dividimos el áre en dos prtes: A, l prte en el intervlo [,] y A, l prte en el intervlo [,]. Entonces se tiene: A = (x 3 x (x + x = 5, A = con lo que el áre buscd será A = A + A = 5/ + 8/3 = 37/. (x 3 x (x + x = 8 3, UNIVERSIDAD DE GRANADA. CURSO 9-

12 Alguns plicciones del cálculo integrl Longitudes de curvs Se f un función derivble con derivd continu en el intervlo [,b]. L longitud de l curv y = f (x en [,b] es: b L = + f (x. Ejemplo: Clculr l longitud de l curv y = mx + n en el intervlo [,b]. Utilizndo l fórmul tendremos lo siguiente: L = b + f (x = Áres de sólidos de revolución b + m = (b + m. Se f : [,b] R un función derivble. Entonces, el áre de l superficie generd hciendo girr lrededor del eje de bciss l curv y = f (x en [,b], es: A = π b f (x + f (x, siempre que l función dentro de l integrl se continu en [,b]. Ejemplo: Superficie de un esfer de rdio. Podemos generr un esfer de rdio girndo respecto del eje de bciss l circunferenci x + y =. Despejndo y en función de x nos quedrí l gráfic: y = f (x = x, x [,]. De est form, el áre de l superficie generd será: A = π f (x + f (x = = π Volúmenes de sólidos de revolución x x = π = π = 4π. Se f : [,b] R un función continu. El volumen del sólido generdo l girr l curv y = f (x lrededor del eje de bciss es: V OX = π b f (x, mientrs que el volumen del sólido generdo l girr l gráfic lrededor del eje de ordends es: V OY = π b x f (x. Ejemplo: Volumen de un esfer de rdio. Igul que ntes, podemos generr un esfer rotndo respecto del eje de bciss l curv: y = f (x = x, x [,]. DEPT. DE GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA Y DE ANÁLISIS MATEMÁTICO

13 Apéndice: áres de regiones no cotds. Integrles impropis 3 Con ello, el volumen será: V = π f (x = π ( x = π ( ] x x3 ( = π ( /3 ( + /3 = 4π Apéndice: áres de regiones no cotds. Integrles impropis Hst hor hemos estudido métodos pr clculr integrles de funciones continus definids en intervlos [,b]. En cmbio, si l función dej, por ejemplo, de estr definid en un punto del intervlo, su integrl no se clcul como hemos visto nteriormente. En est sección se estudirá qué hcer en estos csos. El método que hemos visto en ls nteriores secciones pr clculr integrles medinte primitivs puede extenderse situciones más generles: funciones continus definids en intervlos no cotdos (es decir, intervlos de l form [,+ o (,b], o funciones continus definids en intervlos biertos. A ests integrles se les suele dr el nombre de integrles impropis y, como se verá, ls trtremos de form muy precid ls que y conocemos. Estudiremos tres csos posibles. Integrción en intervlos no cotdos. Supongmos que tenemos un función continu f : [, + R. Podemos buscr un primitiv de f, llmémosl F, y estudir su comportmiento en + : si l función F tiene límite en +, diremos que existe l integrl impropi de f en [,+, y dich integrl vendrá dd por: + ( f (x = lím F(x F(, x + es decir, l integrl vle F(+ F(, considerndo F(+ = lím x + F(x. Si el límite de l primitiv es + o, diremos que l integrl vle + o, respectivmente. Un vez que hemos definido un noción de integrl pr este tipo de funciones, podemos generlizr el áre bjo un curv, l longitud de un rco de curv, el áre y el volumen de un sólido de revolución,...,etc siendo ls fórmuls dds en ls secciones nteriores perfectmente válids. Ejemplo: Clculr el áre comprendid bjo l curv y = /x en el intervlo [,+. Viendo el áre bjo l curv como un integrl se tiene que: + A = x = ] + ( = lím ( =. x x + x f (x. Por último, si tenemos un fun- R b Con un ide precid podrímos definir l integrl ción definid en todo R, podemos dividir l integrl como: + f (x = c f (x + + c f (x, pr culquier c R. Si l sum vle, NO PODEMOS CALCULAR LA INTEGRAL. Integrción de funciones continus en intervlos biertos. Se trt de clculr integrles de funciones continus que están definids en un intervlo bierto por uno de sus extremos. En tl extremo supondremos que l función present un síntot verticl. Supongmos que el intervlo es de l form (,b] (el cso del intervlo [,b es nálogo. UNIVERSIDAD DE GRANADA. CURSO 9-

14 Apéndice: áres de regiones no cotds. Integrles impropis 4 Se pues f : (,b] R un función continu l que queremos clculr su integrl, y se F un primitiv suy. Estudimos entonces el límite por l derech de l primitiv en, y si existe, podemos clculr l integrl de f sí: b ( f (x = F(b lím F(x. x + Not: Si el límite de l primitiv es + o, diremos que l integrl vle + o, respectivmente. Si tenemos un función continu en un intervlo bierto f : (,b R, su integrl vldrá b ( ( f (x = lím F(x lím F(x. x b x + Otr vez, si l sum vle, NO PODEMOS CALCULAR LA INTEGRAL. Al igul que ntes, podemos generlizr el cálculo de longitudes, áres y volúmenes pr este tipo de funciones. Ejemplo: Clculr l longitud de un circunferenci de rdio. L ecución de un circunferenci de rdio centrd en el origen es x + y =. Podemos despejr y en l prte positiv: y = f (x = x, x [,]. Así, l longitud de medi circunferenci será: L = + f (x = = x = rcsen(x] = π + π = π. Ejemplo: Clculr el áre bjo l curv y = / x en (,]. Aplicmos l fórmul dd, y tenemos: A = = x ] ( x = lím x =. x + Integrción de funciones continus en un intervlo slvo en un punto interior. Supongmos que tenemos un función f : [,b] {c} R que es continu en [,b] {c} y que tiene un síntot verticl en x = c. Entonces, si queremos clculr l integrl de f entre y b, tenemos que dividir dich integrl en dos trozos: l integrl en [,c y l integrl en (c,b]: b f (x = c f (x + b c f (x. Cd un de ests integrles se clculrí hciendo uso de l sección nterior. El único problem que se puede presentr es, de nuevo, que l sum vlg, en cuyo cso NO PODEMOS CALCULAR LA INTEGRAL. Ejemplo: Clculr l integrl de l función f (x = ln(x en [,]. L función que nos dn es f : [,] {} R, f (x = ln(x. Est función tiene un síntot verticl en x =, por lo que pr clculr su integrl dividimos el intervlo R en dos prtes, [, y (,]. Un primitiv de f puede ser clculd por prtes, obteniéndose f (x = xln(x x. Usndo l definición de integrl de l sección nterior, nos qued: ln(x = Ejercicio: Clculr ln(x + x. ln(x = xln(x x ] + xln(x x ] = = 4. DEPT. DE GEOMETRÍA Y TOPOLOGÍA Y DE ANÁLISIS MATEMÁTICO