Los números decimales ilimitados no periódicos se llaman números irracionales, que designaremos

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1 Unidad Didáctica NÚMEROS REALES. NÚMEROS IRRACIONALES: CARACTERIZACIÓN. En el tema correspondiente a números racionales hemos visto que estos números tienen una característica esencial: su expresión decimal es exacta o periódica. Pero en el sistema decimal es posible escribir expresiones decimales ilimitadas no periódicas, por ejemplo, las siguientes: Estas expresiones con infinitas cifras decimales no periódicas, y otras muchas que se pueden escribir, no son números racionales, pues la expresión decimal de un número racional es limitada o periódica. Estas expresiones son números irracionales (no pueden expresarse en forma fraccionaria, ya que no son periódicos). Los números decimales ilimitados no periódicos se llaman números irracionales, que designaremos con la letra I. Los números racionales e irracionales forman el conjunto de los números reales, conjunto que designaremos con la letra R. Los números reales (R) son una ampliación de los números racionales (Q), que a su vez abarcan a los números enteros (Z) y éstos a los números naturales (N). Un número irracional importante aparece al medir una circunferencia con el diámetro o al calcular el área de un círculo. Es el número p = El diámetro es. La longitud de la circunferencia es π Otro número no periódico aparece al calcular la diagonal del cuadrado utilizando el teorema de Pitágoras. Su expresión decimal es = '443K Cada cateto mide. La longitud de la hipotenusa es h = + =. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales. a) b) c) 3 d) e) f) Di qué clase de número (natural, entero, racional o irracional) es cada uno de los siguientes. 7 a) b) c) d) 3 e) 03 f) g) Matemáticas 3 o ESO Números reales

2 . LOS NÚMEROS REALES R Q 0 π El conjunto de los números reales está formado por el conjunto de los números racionales y el de los números irracionales. Este conjunto se Z representa con el símbolo R. 3 3 N 0 El conjunto de los números reales se puede representar en una recta, la recta real, donde cada número se corresponde con uno de sus puntos... REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS EN LA RECTA REAL Representación de números racionales Para representar una fracción tenemos que dividir el segmento en el que se encuentre en tantas partes como indique el denominador, utilizando el teorema de Tales, y marcar el numerador. Números decimales Ejemplos Si queremos representar en la recta un número racional expresado en forma decimal, simplemente tenemos que pasarlo a fracción y representarla Representación de números irracionales En general, nos resultará imposible representar con exactitud un número irracional. Lo que se suele hacer es indicar el segmento donde se encuentra. Este segmento puede ser tan pequeño como queramos, dependiendo del número de decimales que utilicemos para aproximar. Ejemplos 3 6 Representación de números irracionales de la forma a Estos números se pueden representar de forma exacta utilizando el teorema de Pitágoras. Para ello tenemos que construir un triángulo cuya hipotenusa mida la raíz buscada y transportar esta distancia a la rectacon el compás. Ejemplos 0 0 3

3 .. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL. El valor absoluto de un número real a se designa por a y coincide con el número si es positivo o nulo, y con su opuesto si es negativo. a = a - a si a 0 si a < 0 Ejemplo. a) 7 = 7 b) 7 = 7 c) = 3. Representa sobre la recta los siguientes números reales:-7/60 ; 4/36; 7 3. INTERVALOS Y SEMIRRECTAS La ordenación de los números permite definir algunos conjuntos de números que tienen una interpretación geométrica en la recta real. 3. Intervalos. Los intervalos están determinados por dos números reales a y b, a < b, que se llaman extremos; en un intervalo se encuentran todos los números comprendidos entre ambos y también pueden estar los extremos. En la representación gráfica y notación se indica por: circulito negro o corchetes si el extremo se considera del intervalo; circulito blanco o paréntesis si el extremo no se considera del intervalo. Según esto, se tienen los siguientes tipos de intervalos, en los que se da también la notación algebraica y el nombre. El intervalo cerrado [a, b] está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluidos a y b. Se expresa por [a, b] = { x R / a x b } El intervalo abierto (a, b) está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, excluidos a y b. Se expresa por (a, b) = { x R / a < x < b } El intervalo abierto por la derecha [a, b) está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, incluido a y excluido b. Se expresa por [a, b) = { x R / a x < b } El intervalo abierto por la izquierda (a, b] está formado por los números reales x comprendidos entre a y b, excluido a e incluido b. Se expresa por (a, b] = { x R / a < x b } a x b [a, b] x 4 [, 4] a < x < b (a, b) < x < 4 (, 4) a x < b [a, b) x < 4 [, 4) a < x b (a, b] < x 4 (, 4] Matemáticas 3 o ESO Números reales 3

4 3. Semirrectas Las semirrectas están determinadas por un número; en una semirrecta se encuentran todos los números mayores (o menores) que él. Según que entre o no el número, indicado como anteriormente, se tienen los siguientes tipos de semirrectas: La semirrecta cerrada de origen a, [a, + ), está formada por los números reales x mayores o iguales que a (se incluye a). Se expresa por [a, + ) = { x R / x a } La semirrecta abierta de origen a, (a, + ), está formada por los números reales x mayores que a (se excluye a). Se expresa por (a, + ) = { x R / x > a } La semirrecta cerrada de extremo a, (-, a], está formada por los números reales x menores o iguales que a (se incluye a). Se expresa por (-, a] = { x R / x a } La semirrecta abierta de extremo a, (-, a), está formada por los números reales x menores que a (se excluye a). Se expresa por (-, a) = { x R / x < a } x a [a, + ) x [, + ) x > a (a, + ) x > (, + ) x a (-, a] x 4 (-, 4] x < a (-, a) x < 4 (-, 4) 4. Representa en la recta real los intervalos y semirrectas ( 4, 0), [0, ], [3, 7), ( 4, ], (, 7) y [ 3, + ).. Expresa los siguientes intervalos y semirrectas utilizando los signos <, >, y. a) [, ] b) (3, 3 ) c) [0, 4) d) (, ] e) [, + ) 6. Escribe para cada conjunto de números su expresión como un intervalo o semirrecta. a) 3 < x < b) x < c) 3 < x 4 d) 4 x 4 e) 6 < x 7 f) 3 x < 0 g) x h) x < 0 i) x 0 j) x > Matemáticas 3 o ESO Números reales 4

5 4. APROXIMACIONES: REDONDEO En determinados contextos es más razonable trabajar con aproximaciones de número reales que con valores exactos. Lee los siguientes ejemplos. El descubrimiento del número cero ocurrió hacia el año 400. Por el siglo X, Córdoba tenía una población de habitantes. En el año 0 sólo el 4 % de la población vivirá en zonas rurales. En todos ellos se da una aproximación de una cantidad desconocida. Llamamos estimaciones a este tipo de aproximaciones. Fíjate ahora en estos ejemplos: Si un medio de comunicación desea informar que los ingresos derivados del turismo ascienden a , lo daría del siguiente modo: «Los ingresos procedentes del turismo han alcanzado los 3 millones de euros». Si del número3/6 = 666 eliminamos todas las cifras decimales a partir de la segunda, obtenemos el número 6. Este número no es exactamente 3/6, pero es un número cuyo valor es ligeramente inferior al valor de 3/6. Aún sabiendo que cometemos un pequeño error, se puede utilizar como su sustituto en determinados cálculos. En este caso estamos haciendo un truncamiento, truncamos, cortamos el número en las centésimas. Podemos decir que 6 es una aproximación por defecto de 3/6, apreciando hasta las centésimas (dos cifras decimales significativas). En cambio '7 es una aproximación por exceso de 3/6. El método más utilizado para aproximar un número es el redondeo. Para ello, hay que tener en cuenta el valor de la primera cifra que se quiere suprimir: Si es cinco o mayor que cinco, añadimos una unidad a la última cifra considerada. Si es menor que cinco, suprimimos sin más la última cifra (truncamos). Ejemplo.- Redondeamos 3 a una cifra decimal (décimas) y obtenemos 3 3. Redondeamos a dos cifras decimales (centésimas) y obtenemos El grado de aproximación depende del objetivo que se persiga. Por ejemplo, si dos ciudades distan 0 km, decir que la distancia es 00 km, km de error sería aceptable; en cambio, en los talleres de precisión, los trabajos de ajuste pulido requieren medidas con un margen de error menor de 0 0 mm. Hablamos de dos tipos de errores: El error absoluto: es la diferencia entre el verdadero valor y su aproximación en valor absoluto El error relativo: es el cociente entre el error absoluto y el verdadero valor expresado en porcentaje. Ejemplo.- Si en lugar del número '3 tomo '4 cometo un error absoluto de '3 - '4 = 0'0 y un error relativo de 0'0 :,3 = % Finalmente, al operar con números irracionales como PI o PHI necesitaremos tomar una aproximación decimal. 7. Un segmento mide 3 4 metros con un error menor que una décima. Qué significa? 8. Redondea los siguientes números. a) hasta las centésimas. b) hasta las milésimas. c) 6 hasta las unidades. 9. Da algunas aproximaciones por exceso y por defecto de la longitud de una circunferencia de radio cm. Matemáticas 3 o ESO Números reales

6 SOLUCIONES A LOS PROPUESTOS.. Clasifica los siguientes números decimales en racionales o irracionales. a) b) c) 3 d) e) f) Son racionales (Q) a, d y e, e irracionales (I) b, c y f.. Di qué clase de número (natural, entero, racional o irracional) es cada uno de los siguientes. a) b) c) 7 d) 3 e) 03 f) g) a) Racional b) Irracional c) Natural d) Entero e) Racional f) Racional g) Irracional 3. Representa sobre la recta los siguientes números reales: 7 4 a) ; =6 + = 4 + Basta dibujar un rectángulo de base 4 unidades y altura, a partir del origen. La diagonal mide 7, con el compás se toma la medida y se marca el punto correspondiente sobre la recta graduada.. 4. Representa en la recta real los intervalos y semirrectas ( 4, 0), [0, ], [3, 7), ( 4, ], (, 7) y [ 3, + ). Matemáticas 3 o ESO Números reales 6

7 . Expresa los siguientes intervalos y semirrectas utilizando los signos <, >, y. a) [, ] b) (3, 3 ) c) [0, 4) d) (, ] e) [, + ) a) - x b) 3 < x < 3 c) 0 x < 4 d) - < x e) x - 6. Escribe para cada conjunto de números su expresión como un intervalo o semirrecta. a) 3 < x < b) x < c) 3 < x 4 d) 4 x 4 e) 6 < x 7 f) 3 x < 0 g) x h) x < 0 i) x 0 j) x > a) (3, ) b) [-, -) c) (3, 4] d) [4, 4 ]] e) (6, 7] f) [-3, 0) g) [, + ) h) (-, 0) i) (-, 0] j) (-, + ) 7. Un segmento mide 3 4 metros con un error menor que una décima. Qué significa? Que el verdadero valor del segmento oscila entre 3 3 y 3 metros. 8. Redondea los siguientes números. a) hasta las centésimas. 4 0 b) hasta las milésimas c) 6 hasta las unidades Da algunas aproximaciones por exceso y por defecto de la longitud de una circunferencia de radio cm. L = p r = 3 46 = 664 cm. Unidades Décimas Centésimas Milésimas Aproximaciones por defecto 6 66 Aproximaciones por exceso