Los números complejos ( )

Transcripción

1 Los úmeros complejos ( ) 1. Itroducció Estas otas se propoe u doble objetivo. Co los apartados a 8 se pretede dar uas ocioes básicas sobre los úmeros complejos que ayude a fijar los coceptos expuestos e clase (ua defiició axiomática rigurosa puede verse e J. Burgos, pgs. 559 y ss). Los apartados 9 a 11 aborda aspectos de mayor complicació y se expoe para justificar que e el cojuto C ecotramos solució a las ecuacioes irresolubles e R. Como sabemos, existe ua biyecció etre los putos de la recta y los úmeros reales, por lo que a cada elemeto de uo de los dos cojutos le correspode uo, y sólo uo, del otro. Ello os permite ecotrar solució e R para ecuacioes que o la tiee e Q, pese a lo cual sigue existiedo ecuacioes si solució. Ua de las más secillas es: x Co el fi de resolverla fuera de los úmeros reales, defiimos el úmero i 1, al que llamamos uidad imagiaria. De este modo, la ecuació tiee como solució x ± 1 ±i A los úmeros de la forma ki, co k R, les llamamos imagiarios (o imagiarios puros). Si cosideramos la ecuació x + x + 0 llegamos a la solució x 1 ± 1 1 ± i al que, por tratarse de la suma de u umero real y de otro imagiario, deomiamos úmero complejo. A partir de la defiició de este uevo tipo de umero, podemos dar solució a cualquier ecuació algebraica como, por ejemplo, e x 1 ó cos x.. Defiició. Forma biómica. Operacioes básicas U úmero complejo escrito e forma biómica es todo elemeto z a + bi, dode a y b so úmeros reales y se llama parte real y parte imagiaria de z respectivamete: a R(z), b I(z) Tato los úmeros reales como los imagiarios puros so úmeros complejos. Los primeros so complejos co la parte imagiaria ula (b 0) mietras que los segudos tiee ula la parte real (a 0). El cojuto de los úmeros complejos se deota C y e él defiimos varias operacioes. Llamado z 1 a 1 + b 1 i y z a + b i, - Suma: z 1 + z (a 1 + a ) + (b 1 + b )i C. - Producto: z 1 z a 1 a + b 1 b i + (a 1 b + a b 1 )i a 1 a b 1 b + (a 1 b + a b 1 )i C. - Producto por λ R: λ z λa + λbi C. 1

2 Dos complejos so iguales si coicide etre sí tato las partes reales como las imagiarias: z 1 z a 1 a, b 1 b Es imediato comprobar que el elemeto ulo e C es el i y el elemeto uidad es el 1 1+0i. A partir de lo aterior se demuestra que C(+, ) tiee estructura de cuerpo comutativo. Es tambié u espacio vectorial de dimesió sobre R. Así como los cojutos N, Z, Q y R so cada uo ampliació del aterior, C es ua ampliació de R. Basta observar que como ya se ha idicado a R se cumple a a + 0i C, por lo que R C, y que las operacioes etre complejos de la forma a + 0i se reduce a las operacioes etre úmeros reales. 3. Forma trigoométrica. Represetació gráfica Cosiderado las partes real (a) e imagiaria (b) de u complejo z como coordeadas cartesiaas, observamos que existe ua biyecció etre C y R. De hecho la expresió (a, b) es la forma cartesiaa del complejo z. Esto permite represetar z gráficamete como u puto del plao XY (que llamaremos afijo) así como por u vector que ue el orige O co el afijo. Llamado módulo ρ a la logitud de dicho vector y argumeto θ al águlo que forma el vector co la direcció positiva del eje X (para z o ulo), resulta: a ρ cos θ, b ρ se θ, b a tg θ (a 0) Para todo complejo o ulo existe u úico valor θ ( π, π] (argumeto pricipal) e ifiitos valores θ + kπ, k Z (argumetos). Etoces z puede expresarse e forma trigoométrica como z a + bi ρ cos θ + ρ se θi ρ(cos θ + i se θ) y la codició de igualdad de dos complejos se covierte e z 1 z ρ 1 ρ y θ 1 θ + kπ, k Z es decir, dos complejos so iguales si y solo si tiee el mismo módulo y sus argumetos se diferecia e u úmero etero de veces π. Iterpretació geométrica de la suma de complejos. Al represetar los complejos por medio de dos compoetes (como los vectores e el plao) observamos que la suma de complejos sigue tambié la regla del paralelogramo, por lo que sumar z a z 1 equivale a trasladar el afijo de z 1 segú z, es decir, ua distacia ρ, segú la direcció dada por θ. Por tato, sumar z a los complejos cuyos afijos forma ua figura geométrica, equivale a trasladar la figura segú z: ua distacia ρ, segú la direcció dada por θ. Iterpretació geométrica del producto de complejos. Sea z 1 ρ 1 (cos θ 1 +i se θ 1 ) y z ρ (cos θ + i se θ ). Su producto valdrá [ ] z 1 z ρ 1 ρ cos θ 1 cos θ se θ 1 se θ }{{} +i(se θ 1 cos θ + cos θ 1 se θ ) }{{} cos(θ 1 +θ ) se(θ 1 +θ ) Es decir, el producto de dos complejos tiee como módulo el producto de sus módulos y como argumeto la suma de sus argumetos. Etoces

3 - Al multiplicar z 1 por ρ R, multiplicamos su módulo por ρ, si variar el argumeto. - Al multiplicar z 1 por (cos θ+i se θ), añadimos θ radiaes a su argumeto (lo giramos u águlo θ e setido atihorario), si variar su módulo. - Por tato, multiplicar por z ρ(cos θ + i se θ) a los complejos cuyos afijos forma ua figura geométrica equivale a multiplicar sus dimesioes por ρ y girarla θ radiaes respecto al orige de coordeadas, e setido atihorario. Ejercicio. Sea z 1 i, z 8 i, z i, z 4 + i, cuyos afijos forma u rectágulo. a) Si multiplicamos los complejos por z i/ (ρ 1/ y θ π/), compruébese que la figura reduce su tamaño a la mitad y gira 90 o grados e setido atihorario. b) Qué ocurre si multiplicamos por i el complejo z z 1? c) Si sólo sabemos que los afijos de z 1 y z so dos vértices cosecutivos de u cuadrado, cómo podemos obteer z 3 y z 4? 4. Complejo cojugado, opuesto e iverso. Cociete Dado el complejo z a + bi, llamaremos: - Cojugado de z : z a bi. Se cumple: z z z z a + b z. - Opuesto de z : z a bi. - Iverso de z 0 : z 1 z z, pues z z z z z z z z 1. z 1 z - Cociete de z 1 y z (producto de z 1 por el iverso de z ): z 1 z z. E forma biómica se obtiee multiplicado umerador y deomiador por el cojugado del deomiador: a + bi c + di (a + bi)(c di) (c + di)(c di) (a + bi)(c di) c + d Iterpretació geométrica. Escribiedo z e la forma z ρ(cos θ + i se θ), obteemos - z ρ(cos θ i se θ) ρ(cos( θ) + i se( θ)). El cojugado de z tiee el mismo módulo que z y el argumeto opuesto al de z. - z 1 z z 1 [cos( θ) + i se( θ)]. ρ ρ El iverso de z tiee como módulo el iverso del módulo de z y como argumeto el opuesto al de z. - z 1 : z z 1 z 1 ρ 1 1 ρ [cos(θ 1 θ ) + i se(θ 1 θ )]. El cociete de dos complejos tiee como módulo el cociete de módulos y como argumeto la diferecia de argumetos. 3

4 Ejercicio. Compruébese que: a) El cojugado de la suma es la suma de los cojugados y el cojugado del producto el producto de los cojugados. b) U complejo es imagiario puro si y sólo si su opuesto es igual a su cojugado. c) El iverso de z se obtiee, igual que e R, por medio de la expresió 1/z. 5. Expoecial de u complejo. Fórmula de Euler Se llama expoecial de z x + yi al (úico) complejo de módulo e x y argumeto y exp(z) e x (cos y + i se y) La defiimos así para que coserve las propiedades que la fució e x posee e R. E efecto, si el expoete es u úmero real, resulta la fució expoecial real: α R exp(α) exp(α + 0i) e α (cos 0 + i se 0) e α co lo que, por ejemplo, la expoecial del complejo ulo vale 1, como e R. La expoecial compleja suele deotarse como e z de modo simplificado, auque iexacto, pues esta expresió o tiee e geeral solució úica, como se puede ver e el apdo. 10. A partir de la defiició se verifica tambié (compruébese) a) e z1 e z e z 1+z, de dode se obtiee (e z ) e z. b) e z 1 : e z e z 1 z, de dode se obtiee 1/e z e z. E el caso particular z θi, su expoecial valdrá de dode resulta la fórmula de Euler e z z0+θi e 0 (cos θ + i se θ) e θi cos θ + i se θ Así pues, e θi represeta el complejo de módulo 1 y argumeto θ. Utilizado la fórmula de Euler resulta secillo recordar la expresió defiida para la expoecial de z, pues e z e x+yi e x e yi e x (cos y + i se y) Por medio de ella podemos escribir u complejo e forma expoecial z ρ (cos θ + i se θ) ρe θi E esta forma, el cojugado y el iverso del complejo ρe θi resulta ser z ρe θi ; z 1 1 ρ e θi Ejemplo. Veamos que e z 1 tiee solució e C. E efecto { } e e z 1 e a+bi e a e bi e πi a 1 a 0 z (k + 1)πi, k Z b π + kπ, k Z por lo que la la ecuació tiee como solució los ifiitos úmeros imagiarios puros de la forma z (k + 1)πi, k Z. Ejercicio. Represétese e forma expoecial los complejos 1, i y i. Calcúlese el valor o valores de x que satisface la ecuació e xi + i 0. 4

5 6. Potecia atural. Fórmula de Moivre Al multiplicar el complejo z por sí mismo veces, obteemos el complejo z. Como sabemos por las propiedades del producto, su módulo valdrá ρ y su argumeto θ, es decir z [ρ (cos θ + i se θ)] ρ (cos θ + i se θ) E el caso particular ρ 1, resulta la fórmula de Moivre (cos θ + i se θ) cos θ + i se θ Ejercicio. Calcular cos 3θ y se 3θ e fució de se θ y cos θ. Solució: cos 3θ cos 3 θ 3 se θ cos θ; se 3θ 3 se θ cos θ se 3 θ. 7. Raiz ésima de u complejo Decimos que ω C es raíz ésima de z C si la potecia de ω es igual a z. z ω ω z Sea z ρe θi y ω re ϕi su raíz ésima (cuyo valor buscamos). Se cumplirá es decir ω r e ϕi ρe θi { r ρ ϕ θ + kπ, k Z z ρ 1 e θ+kπ, k Z } { r ρ 1 ϕ θ+kπ, k Z Dado valores a k obteemos distitas solucioes para la z, resultado } k 0 k 1 ϕ 0 θ ϕ 1 θ+ 1π ϕ 0 + π k ϕ θ+ π ϕ 0 + π. k 1 ϕ 1 θ+ ( 1)π ϕ 0 + ( 1) π k ϕ θ+ π ϕ 0 + π ϕ 0 + π k + 1 ϕ +1 θ+ (+1)π ϕ 0 + π + π ϕ 1 + π. Vemos que, para k y siguietes, los argumetos toma u valor aterior icremetado e π, por lo que el complejo que resulta es el mismo. Así pues obteemos sólo complejos distitos, por lo que todo complejo o ulo tiee raíces ésimas. Al teer todas las raíces el mismo módulo, los afijos estará situados e ua circuferecia de radio ρ 1. Como además la diferecia agular etre dos raíces cosecutivas es ϕ π, dichos afijos estará equiespaciados. Es decir, los afijos de las raíces ésimas 5

6 de z C so los vértices de u polígoo regular de lados, iscrito e ua circuferecia de cetro el orige de coordeadas y radio z 1. Ejercicio. Calcúlese las raíces cuadradas, cúbicas, cuartas y sextas de la uidad. Obsérvese que, e todos los casos, ua de las raíces es el úmero real z 1. Esto permite dibujar el polígoo y obteer gráficamete las otras raíces si ecesidad de calcularlas. 8. Teorema fudametal del Álgebra El teorema afirma que todo poliomio P (z) a 0 + a 1 z + a z + + a z, de grado o ulo y coeficietes complejos (poliomio complejo), tiee algua raiz compleja. Como cosecuecia, u poliomio de grado 1 tedrá raices complejas. Si los coeficietes a 0... a so reales (poliomio real) se verifica que: P (z) tiee raíces complejas, cotado cada ua tatas veces como idique su ídice de multiplicidad, de modo que, para cada raíz compleja o real a + bi, es tambié raíz su cojugada a bi. Supogamos que existe p raíces reales distitas x i, cada ua de orde de multiplicidad α i y q raíces complejas o reales z j, de órdees de multiplicidad β j, cada ua co su cojugada z j. Al descompoer el poliomio e factores obteemos P (z) a (z x 1 ) α 1... (z x p ) αp (z z 1 ) β 1 (z z 1 ) β 1... (z z q ) βq (z z q ) βq siedo el grado α 1 + α p + (β 1 + β q ). Etoces, si es impar, habrá al meos ua raiz real, pues el úmero de complejas o reales es par (si existe). Si es par, el úmero de raíces reales será par o ulo. 9. Logaritmo eperiao de u complejo El logaritmo complejo que se defie a cotiuació es la fució iversa de la expoecial de u complejo. Por medio de ella pasa a teer setido los logaritmos de úmeros egativos, que carecía de él e R. Dado u complejo z 0, se dice que ω C es su logaritmo eperiao si la expoecial de z es ω, es decir ω l z e ω z (z 0) Sea z ρe θi y ω a + bi su logaritmo (cuyo valor buscamos). Se cumplirá { } e e ω e a+bi e a e bi ρe θi a ρ a l ρ b θ + kπ, k Z por lo que l z l ρ + (θ + kπ)i, k Z dode el sumado l ρ, logaritmo eperiao real del úmero positivo ρ, es la parte real del complejo l z. El valor de l ρ será positivo o egativo segú sea ρ 1 y ulo si ρ 1. De los ifiitos valores que toma l z, llamamos pricipal al que correspode a k 0. Obsérvese que los afijos de l z se ecuetra situados e ua recta vertical que corta al eje OX e el puto x l ρ. Ejemplo. Calculemos el valor del eperiao complejo de 1. l( 1) l ( e πi) l(1) + (π + kπ)i (k + 1)πi, k Z lo que está de acuerdo co la solució del ejemplo resuelto e el apartado 5. 6

7 10. Potecia compleja de u complejo E este apartado se extiede a C la operació potecia, dado solució a ecuacioes del tipo a z k < 0, a, k R, que o posee solució e R. Como veremos, la potecia atural y la raíz -ésima, ya defiidas, so casos particulares de la potecia compleja. Dados z 1, z C, se llama potecia de base z 1 y expoete z al cojuto de úmeros complejos dados por la expoecial de z l(z 1 ) z z 1 exp(z l z 1 ) Escribiedo z 1 e forma expoecial (z 1 ρ 1 e θ 1i ) y z e forma biómica (z a + b i) la expresió geeral resulta: z z 1 e (a + b i) [l ρ 1 + (θ 1 + kπ)i] e a l ρ 1 b (θ 1 + kπ) }{{} módulos Esta expresió se simplifica e alguos casos particulares: e [a (θ 1 + kπ) + b l ρ 1 ] i }{{} argumetos 1. z R (b 0). Si el expoete es u úmero real, resulta u úico valor para el módulo ρ a 1. Dicho expoete real puede ser racioal o irracioal: a) Racioal: z Q (a p ; p Z, q N). q z z 1 e (a l ρ 1 ) e (a θ 1 + pq ) kπ i ρ a 1 e ϕi k 0 ϕ a θ 1 k 1 ϕ a θ 1 + p q π. k q ϕ a θ 1 + p q π q El argumeto para k q es el de k 0, icremetado e u úmero etero de veces π, por lo que determia el mismo úmero complejo. El de k q + 1 determia el mismo complejo que el de k 1, etc. Así pues, la potecia racioal (p/q) de u complejo da como resultado q complejos de igual módulo y la raíz -ésima (potecia 1/), da. ( π e i)1/ π Ejemplo. (1 + i) 1/ 4 z 1 1/4 e 8 i 9π ; z 1/4 e 8 i. Si el expoete es etero (q 1) obteemos u úico resultado: z p ( ρe θi) p ρ p e pθi, como vimos e el caso de la potecia -ésima. b) Irracioal: z R \ Q (a / Q). Al ir dado valores a k, o se repite los complejos a partir de uo dado, por lo que se obtiee ifiitas solucioes de igual módulo. ( ( π 3 Ejemplo. (1 + i) 3 e 4 i) 3 π 3 e 4 + ) 3 πk i, k Z.. z C \ R (b 0). El expoete es u úmero complejo o real. E este caso el módulo vale e a l ρ 1 b (θ 1 + kπ), k Z, expresió que toma ifiitos valores. Además, segú el valor de a, tedremos como e el apartado 1 distitos casos para el argumeto: 7

8 a) a 0 (expoete imagiario puro). Hay u sólo argumeto de valor b l ρ 1, por lo que los afijos de las ifiitas solucioes está situados e la misma recta. b) a p/q. Hay q argumetos que o difiere e u úmero etero de veces π. E este caso, los afijos de las ifiitas solucioes está distribuidos e q rectas. c) a / Q. Hay argumetos, cada uo correspodiete a u valor del módulo. Ejemplo. 1 ( 1 3 +i) e [ (0+kπ)] e [ 1 3 (0+kπ)+1 0]i e kπ e kπ 3 i, k Z. Resulta ifiitos módulos y tres argumetos (θ 1 0, θ π 3, θ 3 4π 3 ). Los afijos está situados e tres rectas, que forma águlos de 0, π 3 y 4π 3 radiaes co OX. 11. Fucioes hiperbólicas y trigoométricas e C Se defie a cotiuació e C las fucioes seo, coseo y tagete, tato hiperbólicas como trigoométricas, co las que tiee solució ecuacioes del tipo se z k > 1, k R o bie cosh z k < 0, k R Fucioes hiperbólicas Defiimos las fucioes hiperbólicas e C de la misma maera que hicimos e R, obteiedo sus expresioes e fució de las compoetes del argumeto z C. 1. seh z ez e z ea+bi e a bi ea (cos b + i se b) e a (cos b i se b) e a e a cos b + i ea + e a se b seh a cos b + i cosh a se b.. cosh z ez + e z ea+bi + e a bi ea (cos b + i se b) + e a (cos b i se b) e a + e a cos b + i ea e a se b cosh a cos b + i seh a se b. 3. tah z seh z cosh z seh a cos b + i cosh a se b cosh a cos b + i seh a se b tah a + i ta b 1 + i tah a ta b. Nota: E el caso z a R resulta las fucioes hiperbólicas habituales e R Fucioes trigoométricas A partir de la fórmula de Euler teemos, para θ R, e θi cos θ + i se θ; e θi cos θ i se θ de dode podemos despejar el seo y el coseo de u úmero real. se θ eθi e θi ; cos θ eθi + e θi i Defiimos las fucioes trigoométricas de u complejo de modo aálogo, obteiedo 4. se z ezi e zi, 5. cos z ezi + e zi, 6. ta z se z i cos z 8

9 a partir de las cuales obteemos la fórmula de Euler e C e zi cos z + i se z Relacioes etre fucioes hiperbólicas y trigoométricas Etre las fucioes hiperbólicas y trigoométricas e C existe las relacioes: a. seh(zi) ezi e zi b. cosh(zi) ezi + e zi c. tah(zi) seh(zi) cosh(zi) i se z cos z i se z (por 4). cos z (por 5). i ta z (a partir de a y b). d. se(zi) se z 1 i seh(z i) i seh( z) i seh z (a partir de a). e. cos(zi) cos z cosh(z i) cosh( z) cosh z (a partir de b). f. ta(zi) se(zi) cos(zi) i seh z cosh z i tah z (a partir de d y e). Nota: Estas relacioes so válidas si z a R (zi ai será imagiario puro). Para termiar, a partir de lo aterior podemos obteer las fucioes trigoométricas e C e fució de las compoetes de z. 4. se z 1 i seh(zi) i seh( b + ai) se a cosh b + i cos a seh b (de a y 1). 5. cos z cosh(zi) cosh( b + ai) cos a cosh b i se a seh b (de b y ). 6. ta z se z cos z se a cosh b + i cos a seh b cos a cosh b i se a seh b ta a + i tah b 1 i ta a tah b (de 4 y 5 ). Nota: E el caso z a R resulta las fucioes trigoométricas habituales e R. Ejemplo. A partir de la expresió dada e 5 para las compoetes del coseo de u complejo, podemos obteer la solució de la ecuació cos z. E efecto { } se a seh b 0 cos z cos(a + bi) cos a cosh b i se a seh b cos a cosh b De la primera de las dos igualdades obteemos como posibles solucioes para a y b a kπ, k Z; b 0 y, etrado co ellas e la seguda, obteemos la solució del sistema a lπ, l Z; b arg cosh l( + 3) co lo que z vale z lπ + i l( + 3), l Z 9