Universidad Nacional Abierta Estadística General (745) Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: Área de Matemática Fecha:

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1 Integral Lapso /5 Universidad Nacional Abierta Estadística General (745) Vicerrectorado Académico Cód. Carrera: Fecha: OBJ. 2 PTA 1 MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. El contenido de nicotina, en miligramos, de 10 cigarrillos de dos marcas diferentes se registraron como sigue: Marca A Marca B , (a) Cuál marca de cigarrillos tiene en promedio mayor cantidad de nicotina? (b) Cuál marca de cigarrillos tiene menor variabilidad? Observación: Justifique completamente sus respuestas. Para lograr el objetivo 2 debe responder correctamente las dos partes en que se encuentra dividida la pregunta (a) Para ver cuál marca de cigarrillos tiene mayor promedio de nicotina, se comparan los promedios para las dos marcas de cigarrillos. Marca A: La media o promedio es, Marca B: La media o promedio es, n=10 1 X i = n i=1 n=10 1 X i = n i=1 18, , = 1, 838 = 1, 664 Comparando estos resultados, observamos que la marca de cigarrillos que posee un promedio mayor, es la marca de cigarrillos A. (b) Para visualizar cuál de las dos marcas de cigarrillo tiene menor variabilidad, calculamos la varianza muestral para cada marca de cigarrillos y las comparamos. Marca A: s 2 = n=10 i=1 (X i X) 2 n 1 = 0, 14744

2 Integral Lapso /5 Marca B: s 2 = n=10 i=1 (X i X) 2 n 1 = 0, La marca de cigarrillos con menor variabilidad es la marca de cigarrillos B. OBJ. 3 PTA 2 En una empresa del total de trabajadores, el 20 % son mujeres, el 8 % desempeña algún puesto directivo y el 6 % son mujeres y desempeña algún puesto directivo. (a) Qué porcentaje de los trabajadores son mujeres y no desempeña ningún cargo directivo? (b) Qué porcentaje de los trabajadores no es directivo ni mujer? (c) Si la empresa tiene 150 trabajadores, cuántos son directivos y hombres? Observación: Para lograr el Objetivo 3 debe responder correctamente los tres literales de la pregunta Sea, A el evento los trabajadores son mujeres y B el evento los trabajadores desempeñan algún puesto directivo. Entonces P(A) = 0, 2, P(B) = 0, 08 y P(A B) = 0, 06. (a) P(A B c ) = P[A (A B)] = P(A) P(A B) = 0, 2 0, 06 = 0, 14 (b) P(A c B c ) = P[(A B) c ] = 1 P(A B) = 1 [P(A) + P(B) P(A B)] = 1 0, 22 = 0, 78 (c) P(A c B) = P[B (A B)] = P(B) P(A B) = 0, 08 0, 06 = 0, 02 OBJ. 4 PTA 3 Luego, P(A c B) = cardinal (Ac B), despejando cardinal (Ω) cardinal (A c B) = P(A c B) cardinal (Ω) = 0, 02(150) = 3 Una compañía constructora emplea a 2 ingenieros de ventas. El ingeniero 1 hace el trabajo de estimar costos en 70 % de las cotizaciones solicitadas a la empresa. El ingeniero 2 lo hace para el 30 % de tales cotizaciones. La probabilidad de un error cuando el ingeniero 1 hace el trabajo es de 0, 02; mientras que la probabilidad de un error en el trabajo del ingeniero 2 es de 0, 06. Suponga que llega una solicitud de cotización y ocurre un error al estimar los costos, cuál es la probabilidad que el error lo halla cometido el ingeniero 1?

3 Integral Lapso /5 Sea A 1 el evento el Ingeniero 1 estima los costos de la cotización, A 2 el evento el Ingeniero 2 estima los costos de la cotización, y B el evento se comete un error en la cotización. Se tiene que: Luego por el Teorema de Bayes, se tiene: P(A 1 B) = P(A 1 ) = 0, 70 P(A 2 ) = 0, 30 P(B A 1 ) = 0, 02 P(B A 2 ) = 0, 06 P(A 1 )P(B A 1 ) P(A 1 )P(B A 1 ) + P(A 2 )P(B A 2 ) = 0, 014 0, 014 = 0, , 018 0, 032 = 0, 4375 OBJ. 5 PTA 4 Sea X el número de siniestros en un día que se reportan en una pequeña compañía de seguros de automóviles. Suponga que X tiene la siguiente distribución de probabilidad: (a) Encuentre el número esperado de siniestros. x (%) P(x) 0, 01 0, 05 0, 16 0, 37 0, 25 0, 16 (b) Calcule la esperanza de la variable aleatoria Z = 2X + 3 Observación: Para lograr el Objetivo 5 debe responder correctamente los dos literales de la pregunta (a) E(X) = (0)(0, 01) + (1)(0, 05) + (2)(0, 16) + (3)(0, 37) + (4)(0, 25) + (5)(0, 16) = 3, 28 (b) Utilizando las propiedades de la esperanza se tiene, E(Z) = E(2X + 3) = 2E(X) + 3 = 9, 56 OBJ. 6 PTA 5 Cada año ocurren en promedio de 15 accidentes aéreos. Calcula la probabilidad: (a) de que no haya accidente en un mes. (b) de que haya más de un accidente en un mes. Observación: Para lograr el Objetivo 6 deber responder correctamente los dos literales de la pregunta

4 Integral Lapso /5 Se trata de una distribución de Poisson de parámetro λ = 15 para un año. El número medio de accidentes aéreos por un mes es de λ = 15/12 = 1, 25. Se desea: (a) (b) P(X = 0) = (1, 25)0 e 1,25 0! = 0, 2865 P(X > 1) = 1 P(X 1) = 1 [P(X = 0) + P(X = 1)] [ (1, 25) 0 e 1,25 = 1 + (1, 25)1 e 1,25 ] 0! 1! = 1 0, 6446 = 0, 3554 OBJ. 7 PTA 6 La cantidad promedio de precipitación pluvial captada por la estación ubicada en la UCV, durante el mes de enero es 20, 1 mm. Suponga que se puede usar una distribución normal y que la desviación estándar es de 6, 8 mm (a) Qué porcentaje del tiempo la precipitación pluvial en enero es mayor que 30 mm? (b) Qué porcentaje del tiempo la precipitación pluvial en enero se encuentre entre el 15 mm y 40 mm? Observación: Para lograr el objetivo 7 debe responder correctamente ambas partes de la pregunta Sea X la cantidad promedio de precipitación pluvial en el mes de enero, X se distribuye N(20, 1; 6, 8) (a) (b) ( ) X 20, , 1 P(X > 30) = P > 6, 8 6, 8 = P(Z > 1, 46) = 0,0721 ( 15 20, 1 P(15 < X < 40) = P < X 20, 1 < 6, 8 6, 8 = P ( 0, 75 < Z < 2, 93) = P (Z < 2, 93) P (Z < 0, 75) = [1 P (Z > 2, 93)] P (Z > 0, 75) = (1 0, 0017) 0, 2266 = 0, 7717 ) 40 20, 1 6, 8

5 Integral Lapso /5 OBJ. 8 PTA 7 La vida de cierto tipo de dispositivo tiene una tasa de falla anunciada de 1 β falla es constante y se aplica la distribución exponencial, = 0, 01 por hora. La tasa de (a) Cuál es el tiempo medio de operación antes del fallo? (b) Cuál es la probabilidad de que pasen no más de 200 horas antes de que se observe una falla? Observación: Para lograr el objetivo 8 debe responder correctamente ambas partes de la pregunta (a) El tiempo medio de operación antes del fallo es de µ = β = 1/0, 01 = 100. (b) La probabilidad de que pasen no más de 200 horas antes de que se observe una falla es de, P(X < 200) = P(X 200) = 1 e 200/100 = 1 0, = 0, FIN DEL MODELO DE RESPUESTAS