Unidad Valle de las Palmas

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2 UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA CENTRO DE INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA CITEC Unidd Vlle de ls Plms MANUAL DE MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA EL INICIO DE ESTUDIOS EN INGENIERÍA ELABORADO POR: Alerto Hernández Mldondo Edurdo Antonio Murillo Brmontes Ruén Ro Quiñones Luis Rmón Siero González Edgr Armndo Chávez Moreno Mrio Gonzles Durán Roerto Guerrero Moreno José Luis Rodríguez Verduzo Revisión téni: Rúl Vázquez Prieto

3 Diretorio de l Universidd Autónom de Bj Cliforni Dr. Felipe Cume Velázquez Retor Mtro. Rirdo Dgnino Moreno Seretrio Generl Dr. José Dvid Ledesm Torres Vierretor M.C. Isís Butist Soto Coordindor de Etp Bási Mtro. Ruén Ro Quiñonez Jefe del CITEC

4 PRÓLOGO El ojetivo de este teto, es triprtito es enfodo estudintes de Trono omún de Ingenierís de l Universidd Autónom de Bj Cliforni. Nuestro interés reside en sistir los estudintes que venzn ls defiienis que puedn tener en el áre de ls mtemátis trvés de este liro, del urso de nivelión que estudirán durnte ls siguientes semns, susnrls, presentr los elementos pr que, on un poo de trjo, el estudinte orrij en el urso de sus estudios dih prolemáti. Quizás, usted letor se h insrito on l ide de que en est áre ls mtemátis no son neesris por ende no serí prte de su urriulr, esto no es orreto. Ls mtemátis son el lenguje universl, se enuentrn ontenids en ulquier áre de estudio, que permiten desriir el universo físio en donde vivimos de lgun form u otr prtiiprán en su desrrollo démio. Con esto llegmos l terer ojetivo de teto que tiene en sus mnos, que es preprrlo pr dihos ursos, dándole ls herrmients neesris. El presente teto no pretende ser un liro de teto o de trjo, solo un guí pr el doente estudinte. Reomendmos los involurdos en este que eploren diferentes opiones que omplementen los prolems on quellos en enontrdos en l litertur onvenionl, sí omo epliiones prolems enontrdos en Internet. Los utores reomendmos que el estudinte no ve este urso u otros ursos de mtemátis omo un rrer que sorepsr, si no omo un oportunidd de prender ls herrmients ásis que dee dominr pr entender ursos más vnzdos que lo llevrán ser un profesionist ompetente, innovdor motivdo. Reordmos los estudintes que no se enuentrn solos en el trnsurso del urso /o de su formión universitri, el deprtmento de mtemátis de ECITEC sí omo su restnte uerpo doente, está siempre en disponiilidd pr porlo ser guí en su desrrollo. SEAN BIENVENIDOS A SU ESTANCIA UNIVERSITARIA

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6 Índie Tl de ontenido. PRÓLOGO ARITMÉTICA.... Simplifiión de friones..... Multipliión de friones División de friones Sum rest de friones Mínimo omún denomindor MCD... 8 ALGEBRA Sum Algeri..... Rest Algeri..... Lees de los Eponentes..... Multipliión Algeri..... Multipliión de polinomio por polinomio División Algeri División de polinomio entre polinomio Despeje sustituión lgeri Produtos Notles Produto de inomios onjugdos Ftorizión Ftor omún Trinomio udrdo perfeto T. C. P Difereni de udrdos Polinomio de segundo grdo Mínimo omún múltiplo M.C.M Sum de friones..... División multipliión de friones..... Rdiles..... Fórmul Generl....6 Sistems de dos euiones lineles o de primer grdo on dos inógnits Conversión de uniddes... 8 TRIGONOMETRÍA Teorem de Pitágors Distni entre dos puntos del plno rtesino Funiones trigonométris..... Trigonometrí.... Formuls Trigonométris El Alfeto Griego... 9 BIBLIOGRAFÍA... 0

7 ARITMÉTICA Teorem fundmentl de l Aritméti Guss: Todo número ompuesto puede ser desompuesto en sus ftores primos. Por ejemplo: =** =**7. Simplifiión de friones. Proedimiento. En lguns osiones los números frionrios pueden simplifirse. Consideremos los siguientes ejemplos, El denomindor numerdor tienen omo ftor omún, por lo tnto se puede ftorizr. Es importnte lrr que no se eliminn, más ien se utiliz l ide de formr un = /, el ul es el elemento neutro de l multipliión I Simplifique ls siguientes friones

8 Proedimiento.. Multipliión de friones. Contrrio lo que podrímos esperr son un poo más fáil ls operiones de multipliión división, que ls sums rests de friones. Consideremos dos números frionrios letorios, por ejemplo,, Ejemplo De l mism mner pr produtos de o más friones, Ejemplo I Resuelv ls siguientes multipliiones on friones simplifique el resultdo

9 . División de friones. Proedimiento. L form más senill de relizr división de friones es her un multipliión ruzd, es deir, el numerdor de l frión resultnte se enuentr multiplindo el numerdor del primer rionl por el denomindor del segundo rionl. El denomindor resultnte es el produto del primer denomindor por el segundo numerdor. Ejemplo: I Resuelv ls siguientes divisiones de friones simplifique el resultdo

10 . Sum rest de friones Proedimiento. Ahor onsideremos lo que semos de sum rest hgmos l siguiente operión, Ejemplo: Este senillo proedimiento es útil pr l sum /o rest de dos friones, sin emrgo, es impráti pr l sum /o rest de o más friones, l lrg inefiiente. Pr ello se otiene el mínimo omún denomindor. Definiión.. Mínimo omún denomindor MCD El mínimo omún denomindor MCD es quel número divisile entre d uno de los denomindores, demás, de entre todos los posiles denomindores es quél de vlor más pequeño demás simplifir ls operiones. Ejemplo. Aquí el MCD es 0, que, es divisile entre, 0 [ ] 8

11 I Resuelv ls siguientes sums rests de friones simplifique el resultdo

12 ÁLGEBRA Reuerd L propiedd onmuttiv se pli en l diión el produto sum multipliión. L propiedd onmuttiv plid l diión signifi que el orden de los sumndos no lter l sum. L propiedd onmuttiv plid l produto signifi que el orden de los ftores no lter el produto. L propiedd onmuttiv pr l sustrión división de números nturles no es válid. Los elementos de un poteni son se eponente. El oefiiente indi ls vees que se repite l poteni omo sumndo. El eponente indi ls vees que l se de l poteni se repite omo ftor. Un epresión lgeri está ompuest por literles números. En un epresión lgeri enontrmos oefiientes potenis. Un epresión lgeri puede tener uno o vrios términos. Se llm término un epresión lgeri que no está dividid seprd por lgún signo de más + o un signo de menos -. Un onstnte es un literl o un símolo que represent un ntidd numéri definid. Un vrile es un símolo que puede ser sustituido por ulquier de los elementos de un onjunto ddo. Un inógnit es un ntidd desonoid uo vlor se puede determinr medinte su relión on los dtos los vlores que se dn en un prolem. 0

13 . Sum Algeri. Proedimiento. Se sumn únimente los términos semejntes entre sí on, on, on, on, et., onsiderndo los signos de d término sus oefiientes. - es igul - Si no pree otro semejnte lgún término, se le sum 0 qued inlterdo en el resultdo de l sum. z z z I Resuelve ls siguientes sums lgeris d d d d d d d d. d d d

14 . Rest Algeri. Proedimiento. Se min los signos de l epresión lgeri que se v restr se proede de form similr l sum lgeri. 8 I Resuelve ls siguientes operiones.. 6 d d. z z. p n m p n m. 6 7 d d d d 0. 7 d d. 8.

15 . Lees de los Eponentes.. Cundo se multiplin dos potenis de l mism se, los eponentes se sumn.. Cundo se dividen dos potenis de l mism se, los eponentes se restn.. Cundo un poteni se elev otr poteni, los eponentes se multiplin.. El produto de dos o más ftores elevdos un mism poteni es igul l produto de los ftores elevdos, d uno, l eponente del produto.. El oiente elevdo un poteni es igul dividir el numerdor elevdo l poteni entre el denomindor elevdo l mism poteni. m m n n mn mn m n mn n n n n n n I Reliz ls operiones indids plindo ls lees de los eponentes d..

16 z z 7. 9 z 6 z z 8. w 9 w

17 . Multipliión Algeri. Monomio por monomio monomio por polinomio.. Se multipli el monomio por d término en el polinomio, siguiendo l regl de los signos pr l multipliión ls lees de los eponentes Los eponentes on igul se se sumn los oefiientes se multiplin. 0. Regl de los signos pr l multipliión: Ej I. Resuelv ls siguientes multipliiones de monomios por monomios

18 II. Resuelve ls siguientes multipliiones de monomio por polinomio z w 7 w = 6. z z. z z 9 z z = 6

19 . Multipliión de Polinomio por Polinomio. Proedimiento.. Se multipli d término del primer polinomio por d término del segundo polinomio, siguiendo l regl de los signos de multipliión ls lees de los eponentes.. Se sumn los términos semejntes Horizontlmente: = = NOTA: Es posile multiplir de dereh izquierd, omo en ritméti, o de izquierd dereh pr mntener el orden de los términos. I. Enuentr los produtos indidos

20 / 6. z z z z z z

21 .6 División Algeri. Proedimiento. Pr relizr ls divisiones lgeris, es neesrio tomr en uent que:. Los oefiientes se dividen.. los eponentes se restn; el eponente resultnte se not en donde esté el eponente mor.. Regl de los signos: / / / / I Efetú ls divisiones indids z z 6 z 8. z z. 0. 9

22 0.7 División de polinomio entre polinomio. Proedimiento.. Se orden el dividendo el divisor, según ls potenis desendentes de un mism literl.. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, el resultdo es el primer término del oiente. Se multipli todo el divisor por este término se rest el produto otenido del dividendo.. El residuo otenido en el pso se tom omo nuevo dividendo se repite el proeso del pso pr otener el segundo término del oiente.. Se repite este proeso hst que se oteng un residuo nulo o de grdo inferior que el del divisor I Efetur l división indid R BQ A B R Q B A Q A B R Nomenltur A=Dividiendo B=Divisor Q=Coiente R=Residuo

23 Proedimiento..8 Despeje Sustituión Algeri. Pr eliminr números o vriles que están sumndo. 0 0 Pr eliminr números o vriles que están dividiendo Pr eliminr números o vriles que están restndo. 0 0 Pr eliminr eponentes 9 9 Pr eliminr números o vriles que están multiplindo 0 0 Pr eliminr rdiles 9 I Despej ls literles que se indin en d un de ls siguientes fórmuls.. P,despejr. A h,despejr h. h A, despejr h. s V, despejr t s t

24 . A r, despejr r 6. V t, despejr V 0, t V f 0 7. V f V s, despejr V f, V 0, s 0 q q r F k, despejr, r q m w w sen, despejr sen m 0. V t, despejr V. T m m m 0, despejr T sen m T, despejr. T, T

25 .9 Produtos Notles. Proedimiento. Cudrdo de un inomio o inomio l udrdo Es l epresión lgeri de dos términos seprdos por un signo de sum o rest, dentro de un préntesis elevdo l eponente dos: El inomio l udrdo tmién puede epresrse omo: El inomio l udrdo es igul l udrdo del primer término, ms el dole produto del primer término por el segundo término, ms el udrdo del segundo término o se, un Trinomio udrdo perfeto T.C.P 9 I Desrroll los siguientes inomios l udrdo

26 = 0..

27 .9. Produto de inomios onjugdos. Produto de inomios onjugdos. Los inomios onjugdos son dos inomios que se multiplin entre sí, uos términos son igules pero on diferente signo en l unión de términos de d inomio: El produto de dos inomios onjugdos es igul l udrdo del primer término de d préntesis menos el udrdo del segundo término de d préntesis o se, un Difereni de udrdos I Otener los siguientes produtos:

28 .0 Ftorizión..0. Ftor Común. Ftor omún. Es el proeso de identifir el ftor on su mínim poteni en los diferentes términos esriirlo omo ftor de dihos términos. Es el proeso pr usr los ftores que originron el produto. Ftorizr.. I. Ftorizr ls siguientes epresiones z z 6

29 .0. Trinomio Cudrdo Perfeto T. C. P.. Trinomio Cudrdo Perfeto T.C.P. Es l epresión lgeri de tres términos uos etremos tienen ríz udrd et. Se ftoriz en un inomio l udrdo. Comproión pr ser si un trinomio es un T.C.P.: El dole produto de l ríz del primer término por l ríz del terer término dee ser igul l segundo término. Pr ftorizr un T.C.P., se s l ríz udrd l primer terer términos se pone entre ellos el signo del segundo término; luego se elev todo l udrdo: I Ftorizr los siguientes trinomios

30 .0. Difereni de Cudrdos. Difereni de udrdos. Es l rest lgeri de dos términos que tienen ríz udrd: Pr ftorizr un difereni de udrdos, se s ríz udrd l primer término menos l ríz udrd del segundo término, todo dentro de un préntesis multiplido por otro on ls mismos términos, pero positivos los dos: I Ftoriz ls siguientes diferenis de udrdos

31 .0. Polinomio de Segundo Grdo. Polinomio de segundo grdo. Es un epresión lgeri de tres términos que no neesrimente es un trinomio udrdo perfeto. En generl, el trinomio de segundo grdo tiene l form:, donde, son los oefiientes El trinomio de segundo grdo es el resultdo de l multipliión de inomios on términos semejntes. Pr ftorizr un trinomio de segundo grdo en el so espeil donde el oefiiente udrátio es, se us un prej de números uo produto se igul l terer término u sum se igul l segundo término. Se omodn en dos préntesis on ls vriles del primer terer término NOTA: Pr mor informión onsultr el tem de Desomposiión Ftoril liro Bldor I Ftoriz los siguientes trinomios

32 0. Mínimo Común Múltiplo M.C.M. Proedimiento. Hllr el M.C.M de.,, Primero se esrie d polinomio en form ftorizd: Los ftores diferentes son,,. El mor eponente de es el de los otros ftores es. Por lo tnto, M.C.M = I Hllr el M.C.M de ls siguientes epresiones.,, 6 7 6, 6,,

33 . Sum de friones. Proedimiento. Considere l siguiente sum lgeri: El menor denomindor omún es Que es el M.C.M de los denomindores I Efetur l sum lgeri indid.. m m m m m..

34 . División multipliión de friones. Proedimiento. Considere l siguiente división de friones: I Efetur l operión indid simplifir el resultdo

35 . Rdiles. Rdiles. m / q q m m m m m Ejemplos: Simplifir I Simplifir

36 Not: Pr resolver el ejeriio # utilizr l operión de rionlizión.

37 . Fórmul Generl Soluión de euiones de segundo grdo utilizndo l fórmul generl. PROCEDIMIENTO:. Se esrie l euión udráti en l form generl: 0, donde, son los oefiientes. Se identifin se esrien los vlores de los oefiientes,.. Se sustituen los vlores, en l fórmul generl:. Se resuelve l vrile pr, usndo los signos + del rdil en l fórmul generl, respetivmente.. Ls dos soluiones l euión udráti 0 son. I Enuentre ls soluiones pr ls siguientes euiones de segundo grdo, utilizndo l formul generl

38 ECUACIÓN LINEAL I Resolver l euión dd Sistems de Dos Euiones Lineles o de Primer Grdo on Dos Inógnits. Proedimiento. Resolver el sistem, 8 Soluión. Multiplimos l primer euión por l segund por, otenemos respetivmente ls euiones equivlentes, Sumndo ls dos euiones se otiene = 9, de donde =. Sustituendo en l primer euión resolviendo pr se otiene, 9 =, de donde =. 6

39 I Resolver el sistem ddo..,. 9,. 0, 7

40 Proedimiento..7 Conversión de Uniddes Tod ntidd puede multiplirse por uno sin que mie su vlor. min 60s min 60s 60s min ó min 60s Es igul poner 60s que min min 60s Lo nterior es válido pr ulquier mgnitud físi km 000m Es igul 000m km Alguns equivlenis km = 000m mill mi = 609m m = 00m pulgd in =.m pie ft = in m =.8 ft nudo = mi/h Ejemplo. Convertir mi/h m/s mi / h609m/ mih /60minmin/ 60s m/ s I. Resuelve ls siguientes onversiones. 0 mi / h km/ s. ft m 8

41 . 80 mi / h km/ h. 8 ft / h m / s. Trnsrimos en seguid l veloidd máim de vrios nimles, pero en distints uniddes. Conviert estos dtos en m/s luego lsifique los nimles por orden de rpidez máim reiente: rdill 9 km/h; onejo, 0 nudos; rol, 0.0 mi/h; rñ,.8 ft/s; leoprdo,.9 km/min; ser humno, 000 m/s; zorro, 00 m/min, león, 900 km/dí. 6. Convertir ños luz km. 7. Convertir 8 min luz km 9

42 TRIGONOMETRÍA. Teorem de Pitágors Teorem de Pitágors: En todo tringulo retángulo, el udrdo de l hipotenus es igul l sum de los udrdos de los tetos., donde es l hipotenus; son los tetos. Hipotenus: Ldo que se opone l ángulo reto. Es el ldo más lrgo en un triángulo retángulo. Ctetos : Ldos que formn el ángulo reto. Siempre son menores que l hipotenus Otenión de un ldo de un tringulo retángulo, prtir de los otros dos ldos. Del Teorem de Pitágors se otiene: I Resuelve los siguientes triángulos retángulos, enontrndo el ldo que flt

43 .. 6. II. Resuelve los siguientes prolems.. Se instl un poste pr les de energí que mide 8 metros de ltur. Qué longitud tiene el le de ero que se instló pr reforzrlo si el gnho pr sujetrlo está metros del poste? m. Tres iuddes están unids por rreters omo se muestr en el digrm. Si se dese onstruir un rreter que se omunique diretmente l iudd A on l iudd C, Qué longitud tendrá? A C 80 km 80km B

44 .. Distni Entre Dos Puntos del Plno Crtesino. Distni entre dos puntos del plno rtesino. Pr lulr l distni entre los puntos us oordends son P X, Y P X, Y, se us el teorem de Pitágors: d d d d d d d d d Donde: d Es l distni reorrid en l direión horizontl. d Es l distni reorrid en l direión vertil. d d I Enuentr l distni entre ls prejs de puntos que se indin ontinuión grfi los puntos.. P, P,. P, P,. P, P,. P, P,7

45 .. Funiones Trigonométris. Definiiones ásis. Hipotenus Ө teto opuesto l ángulo Ө Cteto dente Junto l ángulo Funiones Trigonométris: Seno del ángulo Ө sen Ө = teto opuesto hipotenus Coseno del ángulo Ө os Ө = teto dente hipotenus Tngente del ángulo Ө tn Ө = sen os teto opuesto teto dente Cosente del ángulo Ө s Ө = sen hipotenus teto opuesto Sente del ángulo Ө se Ө = os hipotenus teto dente Cotngente del ángulo Ө ot Ө = tn os teto dente sen opuesto NOTAS: Los vlores de ls funiones trigonométris son números sin uniddes. Seno oseno de Ө son ls dos funiones trigonométris ásis. Tngente de Ө es mu usul. Se sugiere memorizr ests tres.

46 . Trigonometrí Otenión del vlor del ángulo Ө. Hipotenus Despejndo de d funión trigonométri, se tiene: Ө = r sen / ro seno Ө = r os / ro oseno Ө = r tn / ro tngente Ө = r s / ro osente Ө = r se / ro sente Ө = r ot / ro otngente NOTAS: Es mu omún utilizr el ro tngente pr otener l ángulo Ө. Pero omo se ve, ulquier funión trigonométri sirve pr despejr Ө. Cuál usr? Dependerá de los ldos del triángulo retángulo que se onozn en el prolem que se quier resolver. Los vlores de Ө que se otienen pueden estr en grdos o en rdines según l funión Deg o Rd. que se utilie en l luldor pr otener Ө. El vlor del otro ángulo α puede otenerse sí: α = 90 - Ө on Ө α en grdos α = - Ө on Ө α en rdines

47 Clulo del seno oseno de 0, 60 sin usr luldor vlor eto Sen Cos 60 0 Sen 0 Sen 60 Cos 0 Cos 60 Not: Reordr que 0 =, 60 = =, utilizndo I. Clulr el ldo que flt, ls seis funiones trigonométris los ángulos interiores de los siguientes triángulos.

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49 II. Resolver los siguientes prolems.. Si un monte tiene un ltur de 00 metros un lder on 60º de inlinión on respeto un eje horizontl, Cuántos metros minrá un person pr llegr l im?. Si un s v onstruirse on el teho inlindo º on respeto l horizontl, Qué tn lto dee estr un pred on respeto l otr? L distni entre predes es de metros.. En un juego de geometrí, el ldo de un esudr est opuesto l ángulo de 60º mide m. Cuánto miden los otros dos ldos de l esudr?. A un poste de metros de ltur se le v reforzr on un le de ero. Si el gnho pr sujetrlo se olo metros del poste, Cuánto mide el le de ero? Qué inlinión tiene en grdos on respeto l horizontl? 7

50 . Fórmuls Trigonométris Identiddes Trigonométris Fundmentles. sen os se s tn ot Fórmuls de reduión. sen 90 os os 90 sen tn 90 ot sen 80 sen os 80 os tn 80 tn sen 70 os os 70 sen tn 70 ot sen 60 sen os 60 os tn 60 tn Fórmuls pr sum rest de ángulos. sen senos ossen os osos sensen tn tn tn tn tn Fórmuls pr el ángulo dole. sen senos os os sen tn tn tn sen Fórmuls pr l mitd del ángulo. os sen os tn os os os sen os os os sen 8

51 . El Alfeto Griego Músuls minúsuls Α α lph Ι ι iot Ρ ρ rho Β β et Κ κ kpp Σ σ sigm Γ γ gmm Λ λ lmd Τ τ tu Δ δ delt Μ μ m o mu Υ υ ipsilon Ε ε epsilon Ν ν n o nu Φ φ fi o phi Ζ ζ zet Ξ ξ i Χ χ ji o hi Η η et Ο ο omirón Ψ ψ psi Θ θ thet Π π pi Ω ω omeg 9

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