COLEGIO RAIMUNDO LULIO CENTRO CATÓLICO - CONCERTADO Franciscanos T.O.R. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS

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1 COLEGIO RAIMUNDO LULIO CENTRO CATÓLICO - CONCERTADO Franciscanos T.O.R. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS Este trabajo se debe presentar la fecha del eamen de matemáticas I de septiembre y el trabajo supone un 0% de la calificación de la nota de septiembre y el eamen supone un 70%. MATEMÁTICAS I. MARIANO DE LA ENCINA BUENACHE Avda. de San Diego, Madrid Tel.: Fa: rldireccion@planalfa.es 1 de

2 UNIDAD DIDÁCTICA: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL 1º/ Representa gráficamente mediante nubes de puntos los distintos tipos de correlación que eisten. º/ Para qué sirve el coeficiente de correlación lineal de Pearson? Interpreta su significado en función de sus valores. º/ La siguiente tabla indica los minutos de publicidad por hora en programas de televisión y el número de espectadores en millones de personas que están viendo esos programas. i millones de telespectadores y i min. de publicidad a) Representa gráficamente los datos. Calcula gráficamente su correlación. b) Halla su coeficiente de correlación lineal de Pearson. Interpreta su valor. c) Son buenas las predicciones que se hagan con la recta de regresión? d) Si un programa es visto por 10 millones de personas, Cuántos minutos de publicidad tendrá en una hora? 4º/ Estudia si eiste relación entre i el número de horas que duerme una persona por día e y i la hora a la que se despierta. i y i a) Calcula la correlación analíticamente. Son buenas las predicciones? b) Calcula las rectas de regresión y dibújalas. 5º/ (,y) es una variable estadística bidimensional, donde es el peso en gramos de un teléfono móvil, e y su precio en euros. i y i a) Estudia la correlación lineal. Son buenas las predicciones? b) Si un móvil pesa 75 gr. Cuántos euros costará? 6º/ La variable i indica el número de televisores y la variable y i el número de aparatos de radio que hay en una casa. Calcula el valor de a para las variables sean incorreladas. i y i 4 a 7º/ La variable indica la temperatura media y la variable y el número de libros vendidos en miles de unidades durante ese día en la feria del libro. i y i a) Calcula gráficamente la correlación, y justifica con ello cuál de estas dos rectas es la recta de regresión de y sobre. a) y = b) y = ,77. b) Cuántos libros se hubieran vendido si la temperatura media hubiese sido de 18º? Avda. de San Diego, Madrid Tel.: Fa: rldireccion@planalfa.es de

3 UNIDAD DIDÁCTICA: PROBABILIDAD Y VARIABLES ALEATORIAS 8º/ El 5% de la población utiliza el autobús para desplazarse y el 45% el metro. Además la probabilidad de que una persona que utiliza el autobús, utilice también el metro es 0,1. Calcula: a) la probabilidad de que elegida una persona al azar, use el metro y el autobús. b) la probabilidad de que use alguno de los dos medios de transporte. 9º/ Se etraen de forma consecutiva y sin devolución tres cartas de la baraja española. Calcula: a) la probabilidad de que las tres sean figuras. b) dos sean copas y una espadas. c) Una sea de copas, las otras dos espadas, y ninguna sea figura. 10º/ Resuelve el problema anterior, pero haciendo etracciones con devolución. º/ Sonia le está eplicando a Santiago cómo se resuelven las ecuaciones de segundo grado. Para ello pone ejemplos de la forma + b + c = 0 donde b y c son números naturales entre 1 y 9 (ambos inclusive) elegidos al azar. Calcula: a)la probabilidad de que la raíz cuadrada de la fórmula utilizada para su resolución sea un número natural. b) Si elige al azar ecuaciones diferentes, la probabilidad de que por lo menos una tenga por raíz un número natural. 1º/ Se ha trucado una moneda de tal forma que al lanzarla dos veces, la probabilidad de que las dos sean caras es Cuál es la probabilidad de que sea cara? Cuál es la probabilidad de que una sea cara y la otra cruz? 1º/ En º de E.S.O. hay tres cursos: A, B y C con 5, 0 y 5 alumnos/as cada uno. En ºA uno de cada 5 alumnos/as tiene errores de cálculo, en B la proporción es de uno de cada tres y en el C, sólo el 4% tiene errores de cálculo. Se elige al azar un estudiante, calcula: a) la probabilidad de que tenga errores de cálculo. b) Se ha elegido un/a alumno/a que no tiene errores de cálculo. Cuál es la probabilidad de que sea de la clase A? c) Se ha elegido un/a alumno/a que tiene errores de cálculo. Cuál es la probabilidad de que no sea de B? 14º/ En una caja hay nueve tornillos de los cuales son defectuosos. Se saca uno detrás de otro hasta sacar todos los defectuosos. Cuál es la probabilidad de hacer solamente tres etracciones? En una caja hay seis tornillos de los cuales dos son defectuosos. Se saca uno tras otro hasta sacar todos los defectuosos. Cuál es la probabilidad de terminar en la segunda etracción? 15º/ Cuatro de cada nueve 10 españoles que tiene que hacer la declaración de la renta, ésta le sale positiva. Se eligen al azar 8 declaraciones al azar: a) la probabilidad de que salgan eactamente 5 positivas. b) la probabilidad de que salgan más de dos y menos de 5 declaraciones positivas. c) la probabilidad de que salgan eactamente 5 negativas. 16º/ La duración media de un bolígrafo es de 0 días y una desviación típica de 1 semana. Calcula: a) la probabilidad de que un bolígrafo dure entre 0 y 40 días. b) la probabilidad de que un bolígrafo dure entre 0 y 5 días. 17º/ La longitud de las vigas que fabrica una empresa sigue una distribución N(10m,m). Si en un mes se fabricaron 100 y se elige una al azar, calcula: a) la probabilidad de que mida más de metros. b) El porcentaje de vigas que miden entre 6 metros y 8 metros. c) Cuántas miden menos de 5 metros? 18º/ El 5% de las declaraciones de la renta tienen errores de cálculo. Si un inspector tiene en la mesa 60 declaraciones. Calcula: a) la probabilidad de que haya más de 18 declaraciones con fallos. b) la probabilidad de que entre 14 y 16 tenga errores (ambas inclusive). Avda. de San Diego, Madrid Tel.: Fa: rldireccion@planalfa.es de

4 19. Resuelve las siguientes ecuaciones: UNIDAD DIDÁCTICA: ÁLGEBRA a) b) Resuelve las ecuaciones: )log ( 1) log ( 1) 1 log b) ln( -1) a 1. Halla el valor de. π a)e 1 b)ln( -1) c) arcosen(). Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y clasifícalos en función del número de soluciones. y z 5 y z y z 0 a ) y 6 b) y 5z c) y z 8 5 y z 0 4 5y 8z 4 y z 6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales y clasifícalos en función del número de soluciones. y z 1 y z t 9 y z t 1 a ) y z b) c) y z t 7 4y z 1 y z t t 4 y z y z t 4. Escribe los diferentes nombres que reciben los sistemas de ecuaciones lineales en función de su número de soluciones. 5. Escribe un sistema compatible determinado de tres ecuaciones con tres incógnitas que tenga por solución = 1, y = z = En un patio hay 1000 azulejos de tres colores diferentes: azules, naranjas y amarillos. El número de azulejos amarillos es el 0% de los azulejos naranjas y si los azulejos amarillos fueran azules, entonces el número de azulejos azules sería cuatro veces el número de azulejos naranjas. Cuántos azulejos hay de cada color? 7. El sábado nos cobraron 6 40 por un mosto, dos cafés y zumos. El domingo nos cobraron 5 70 por tres mostos, un café y un zumo. Hoy lunes nos han cobrado 6 70 por un mosto, un café y tres zumos. Cuánto cuesta cada bebida? 8. Tres empleados/as de una empresa llevan en total 40 años trabajando para la empresa. Dentro de cinco años el/la más nuevo/a llevará la tercera parte de años que el más antiguo/a. Cuando entró el que menos años lleva en la empresa les pagaron a los/as otros/as dos 100 euros por cada año de antigüedad y cobraron 500 de la empresa. Cuánto tiempo lleva trabajando cada uno/a? 0 Avda. de San Diego, Madrid Tel.: Fa: rldireccion@planalfa.es 4 de

5 UNIDAD DIDÁCTICA: TRIGONOMETRÍA 9. Escribe las fórmulas de trigonometría más importantes. cos γ 0. Sabiendo que senβ, escribe las siguientes fórmulas en función de a)cos(β γ) b)sen(β γ) 1 π 1. Sabiendo que cos α, y que α π, calcula: 5 π π a)cos(α ) b)sen(α) c)tg. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a)sen cos sen cos 0. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas: a)sen cos cos 0 b) tg tg 6 b)tg tg senβ : 4. Simplifica: sen 1 cos a)tg() 1 tg b)sen y arcosen sencos y cos 5. Escribe en función de las razones trigonométricas de los ángulos e y. sen( + y) + sen( - y) 6. Tres islas del mar mediterráneo están formando un triángulo de tal forma que la distancia de la isla A a la isla B es el doble de la distancia de la isla B a la C. Y la distancia de A a C es 1 5 veces la distancia de B a C. Calcula los ángulos del triángulo. 7. Una pieza del motor de un automóvil es un triángulo con las siguientes medidas: A = 40º, B = 0º y a = 1 centímetros. Halla el otro ángulo y los otros lados. 8. Todas las diagonales de un pentágono regular son iguales. Calcula: a) La longitud de la diagonal de un pentágono regular de 10 metros de lado. b) La longitud del lado de un pentágono de diagonal metros. (Observación: utiliza que el ángulo interior de un pentágono regular mide 108º). UNIDAD DIDÁCTICA: NÚMEROS COMPLEJOS 9. Calcula Las siguientes operaciones con números complejos: 40. Calcula a )( i) (5 i) b)i ( i) 4i -i c) i a)( i) b) ( i) ( i) 41. Halla el módulo y el argumento de los siguientes números complejos: a )1 i b) - i c)i 4. Epresa en forma binómica los siguientes números complejos: a) 1 45 b) 75 c) Calcula: 44. Calcula (1+i) 6 = 45. Calcula 6 1 i = a)i 5 i b) 6 i i 00 Avda. de San Diego, Madrid Tel.: Fa: rldireccion@planalfa.es 5 de

6 UNIDAD DIDÁCTICA: VECTORES 46. Determina si los siguientes pares de vectores forman una base del plano: a) (1,)(,4) b) ( 5,)(1, 0'4) 47. Dados los vectores u i j, v -i y w -4i j, calcula: a)u v b) u v w v c) u v u v d) w 48. Sean u, v y w tres vectores que cumplen u, v y w 5. El vector u es perpendicular a v y a w. Cuánto vale u w? u (-,5) 49. Dado el vector, calcula: a) Los vectores unitarios que tienen la misma dirección que b) Un vector perpendicular a u que tenga módulo. 50. Una base ortogonal del plano es la que está formada por dos vectores ortogonales. Una base ortonormal del plano es la que está formada por dos vectores ortogonales unitarios (de módulo 1). a) Comprueba si la base u (1, ),v (6,) es ortogonal. b) Halla una base ortonormal que contenga a dos vectores que tenga la misma dirección que los de la base B. 51. Forman los vectores u i j y v i j, una base del plano? En caso afirmativo halla las coordenadas del vector w i j en dicha base. 5. Halla el ángulo formado por los vectores u (1, ) y v (-, 4). 5. Dados los vectores u j i y v i j, calcula: a) La proyección de u sobre v. b) La proyección de u sobre v. c) La proyección de v sobre u. 54. Halla el valor de m para que los vectores u (1 m,1 m) y v (,) sean perpendiculares. Cuál debe ser el valor de m para que tengan la misma dirección? 55. Halla el valor de m para que los vectores u (, ) y v (1, m) formen un ángulo de 0º. u. Avda. de San Diego, Madrid Tel.: Fa: rldireccion@planalfa.es 6 de

7 UNIDAD DIDÁCTICA: GEOMETRÍA ANALÍTICA Y CÓNICAS 56. Contesta las siguientes cuestiones relacionadas con lugares geométricos del plano: a) Calcula la mediatriz del segmento de etremos A (1,-) y B (,). b) Calcula las bisectrices de las rectas = 0 e y = 0. Dibújalas en el plano. 1 t 57. Calcula el punto simétrico de P (1,) respecto de la recta. y t 58. Escribe de todas las formas posibles las ecuaciones de la recta que: a) Es paralela a la recta - y + = 0 y que pasa por el punto (1,1). b) La recta que pasa por los puntos A (,1) y B (0,-). 59. Saca dos puntos y un vector director de cada una de las siguientes rectas: a) b)(, y) (1,1) t(-,) y 1 t y 1 c) d) y 4 y Dada la recta r : calcula una recta s que sea perpendicular a r y que 1 pase por el punto (,5). Determina el punto de corte de las dos rectas. Dibújalas en el plano. 61. El punto (,1) es el unto de corte de las diagonales de un cuadrado. Si la recta + y + 1 = 0 contiene a un lado del cuadrado, calcula la ecuación que contiene al lado paralelo. 6. Dado el triángulo de vértices A(1,), B(0,) y C(-1,0), calcula: a) La mediana del lado BC. b) El circuncentro. A qué distancia se encuentra de los vértices? c) El perímetro. d) El área. 6. Determina la ecuación de la elipse que tiene los focos en los puntos F(-4,0), y F (4,0) y cuyo diámetro mayor a es Determina la ecuación de la elipse de ecentricidad ½ que tiene el centro en el (0,0) y uno de los focos en el punto F (0, 7). 65. Halla la ecuación de la circunferencia que cumple: a) Tiene el centro en el punto P (-1,0) y tiene 6 unidades de diámetro. b) Las rectas r: y - = 0 y s: y - = son rectas tangentes a la circunferencia y el centro está en el punto (1,0). Avda. de San Diego, Madrid Tel.: Fa: rldireccion@planalfa.es 7 de

8 UNIDAD DIDÁCTICA: FUNCIONES ELEMENTALES 66. Calcula el dominio de las siguientes funciones. 9 1 a)f() b)f() ln(1 - ) c)f() 67. Dada la función f() = - - 6, calcula su fórmula como función definida a trozos y dibuja su gráfica. 68. Dada la función f() = -, calcula su fórmula como función definida a trozos y dibuja su gráfica. 69. Halla el dominio de las siguientes funciones: a)f() arcotg b)f() e cos c)f() tg() 70. Representa gráficamente las siguientes funciones e indica sus propiedades: 1 a)f() e b)f() c)f() ln 71. Representa gráficamente las siguientes funciones e indica sus propiedades: 1 a)f() b)f() -sen c)f() 1 si 1 7. Representa f() si 1 4 si 1 7. Representa gráficamente la siguiente función definida a trozos y estudia sus intervalos de crecimiento. si (,-1 f() si (0,) 4 si, ) 74. Dada la función f(), representa: a)g () 1 b)g () c)g () 75. Dadas las fundones f() y g() =, calcula los puntos de corte de f() y g(). Avda. de San Diego, Madrid Tel.: Fa: rldireccion@planalfa.es 8 de

9 UNIDAD DIDÁCTICA: LÍMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD 76. Calcula los siguientes límites de funciones. 1 a) lim Calcula los siguientes límites de funciones. 1 ) lim Calcula los siguientes límites de funciones. b) lim a b) lim a )lim Calcula los siguientes límites de funciones b)lim 9 1 a) lim b)lim Calcula los siguientes límites de funciones. 1 a) lim b) lim Estudia la continuidad de la función f() si - si Estudia la continuidad de la función f() si 0 e 1 si si -, 8. Estudia la continuidad de f() 4 1 si -, 84. Halla los valores de a y b para que f() sea continua en = 1 y en =. a b si 1 f() si 1 a si b 85. Halla y representa las asíntotas de las siguientes funciones. e si a)g() b)g() c)h() si 0 1 Avda. de San Diego, Madrid Tel.: Fa: rldireccion@planalfa.es 9 de

10 UNIDAD DIDÁCTICA: DERIVADAS. 86. Calcula las derivadas de las siguientes funciones: f(). f() e 4.f() arcotg 4. f() cos 1 5.f() arcosen( 7.f() ln.f() 9.f() sen cos 1 1.f() 17.f() ln e 15.f() tg (1 tg ()) 19.f() ) arcosen( arcotg cos e tg tg 10. f() 1. f() 14.f() log(1 16. f() 18. f() 0. f() ) 8. f() sen 6. f() 1 sen e sen) a a UNIDAD DIDÁCTICA: APLICACIONES DE LA DERIVADA cos cos 1 ( ) sen ( 87. Calcula los etremos relativos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: 4 a)f() b)f() c)f() g() ln(1 - ) 88. Estudia la curvatura y los puntos de infleión de las siguientes funciones. 4 a)f() b)f() 6 c)f() e d)f() sen Halla la recta tangente a f() que es paralela a la recta 4y = 0. Dibuja la función y las dos rectas en un sistema de coordenadas. 90. Dada la función f() = - 1, calcula la recta tangente en el punto (a, f(a)) y determina sus puntos de corte con los ejes de coordenadas. 91. Dada la función f() = a + b + c + de, halla los valores de los parámetros a, b, c y d sabiendo que la función f() tiene un etremo relativo en (0,) y que f () = + e. 9. Dada la función f()= a 4 + b + c sabiendo que tiene un etremo relativo en el punto (1,5) y que la pendiente de la recta tangente en = es igual a la pendiente en = Calcula los máimos y mínimos absolutos de la función f() = + sen en el intervalo [0,]. 94. Determina las dimensiones del cilindro (con tapa) de 7 metros cúbicos de volumen que tenga la mínima superficie. 95. Un alambre de 4 metros se quiere partir en dos trozos: con uno se construye un cuadrado y con el otro un rectángulo cuya base sea el doble de la altura. Determina en qué punto se debe dar el corte para que la suma de las áreas de las dos figuras construidas sea mínima. ) Avda. de San Diego, Madrid Tel.: Fa: rldireccion@planalfa.es 10 de

11 UNIDAD DIDÁCTICA: REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES 96. Escribe todos los pasos que son necesarios para representar gráficamente una función. 97. Representa gráficamente f() = Representa f() = Representa f() Representa f() Representa f(). 10. Representa f() Representa f() Representa f() Representa f(). Avda. de San Diego, Madrid Tel.: Fa: rldireccion@planalfa.es de