Móviles Plan de clase (1/3) Escuela: Fecha: Profesor (a):

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1 Móviles Plan de clase (1/3) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 3 Secundaria Eje temático: MI Contenido: Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen la relación cuadrática existente entre dos conjuntos de datos y la expresión que modela dicha relación. Consigna: En equipos resuelvan el siguiente problema: Un helicóptero dejó caer un automóvil desde una altura de 245 metros. Durante la caída del automóvil se registraron el tiempo de caída y la distancia que el automóvil recorría. Algunos de los datos registrados se muestran en la siguiente tabla. Tiempo transcurrido (s) Distancia de caída (m) a) b) a) De acuerdo con la información anterior, completen la siguiente tabla: Tiempo (t) Distancia de caída (d) Altura a la que se encuentra el automóvil (m) b) Cuánto tiempo tardó el auto en llegar al suelo? c) Cuál de las siguientes expresiones permite calcular la distancia de caída (d) en función del tiempo transcurrido (t)? Justifiquen su respuesta.

2 Consideraciones previas: 2 d 5t d 5t d 25t d 5 t 2 La relación que se pide en esta sesión no es sencilla. La finalidad del llenado de las columnas de distancia de caída y la altura es que los estudiantes encuentren regularidades en los incrementos de la distancia recorrida que les permitan resolver el problema: Incremento de 0 a 1: 1 Incremento de 1 a 2: 1 Incremento de 2 a 3: 1 Incremento de 3 a 4: 1 Tiempo Distancia de caída Incremento de 0 a 5: 5 Incremento de 5 a 20: 15 Incremento de 20 a 45: 25 Incremento de 45 a 80: 35 De esta tabla puede verse que los incrementos en la distancia van aumentando de 10 en 10. Con base en esto se puede decir que los incrementos siguientes deben ser: Un posible error en el que caigan los alumnos es considerar que deben restar 5 cada vez en la tercera columna, ya que sólo se dan los dos primeros valores cuya diferencia es 5. Otro error probable es que consideren restar al número anterior la distancia de caída, es decir = 240; = 220; = 175, etc. Si esto sucede de manera general en el grupo, será necesario hacer cuestionamientos que les permitan reflexionar acerca de la relación entre la altura inicial y la distancia recorrida en cada segundo. Y así completar la tabla:

3 Tiempo (t) Distancia de caída (d) Altura a la que se encuentra el automóvil (m) Para responder la segunda pregunta, los alumnos pueden recurrir a sustituir los valores en las expresiones dadas. Asimismo, en caso de que se presenten dificultades para completar las tablas, este inciso permitirá que los alumnos prueben las fórmulas que se proponen y encuentren la que permite relacionar el tiempo con la distancia de caída. Una vez encontrada 2 la fórmula d 5t, es necesario que los alumnos comprueben que funciona en todos los casos y después explicarles que en dicha fórmula hay una constante (5) que está relacionada con la aceleración de gravedad (cuyo valor es 9.8 m/s 2, pero para obtener los valores de la tabla se redondeó a 10). Dé tiempo suficiente a los estudiantes para responder las preguntas planteadas y explorar posibles respuestas y procedimientos. Al final de la clase, se recomienda revisar en grupo las maneras en que los equipos resolvieron este problema. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

4 Como en el cine Plan de clase (2/3) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 3 Secundaria Eje temático: MI Contenido: Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen la expresión que modela una relación entre dos conjuntos de datos. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: Cuando se proyecta una película, el área de la imagen depende de la distancia entre el proyector y la pantalla, como se ilustra a continuación. 1 m 3 m 2 m Distancia entre el proyector y la pantalla (d) Área que ocupa la imagen (A) a) A qué distancia se debe colocar el proyector de manera que el área de la imagen sea de m 2? d = b) Escriban la expresión algebraica que modela la relación anterior. c) Completen la siguiente tabla con los datos correspondientes al área que ocupa la imagen. Distancia entre el proyector y la pantalla (d) Área que ocupa la imagen (A)

5 Consideraciones previas: Para responder la pregunta del primer inciso, los alumnos deberán encontrar la expresión que relaciona los dos datos (A = 4d 2 ). Es probable que los alumnos no tengan mucha dificultad para encontrar la relación, puesto que es muy similar a la que se encontró en la sesión anterior. Para gestionar la actividad adecuadamente, se recomienda que primero se encuentre la expresión algebraica, con base en la información de la primera tabla, y después se use para encontrar los datos que faltan en la segunda tabla. En el inciso a se trata de ver cómo los alumnos manejan la fórmula encontrada para encontrar la distancia cuando se conoce el área. El despeje que deben hacer no es simple pero ya se ha estudiado anteriormente. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? 2. Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

6 En todos lados Plan de clase (3/3) Escuela: Fecha: Profesor (a): Curso: Matemáticas 3 Secundaria Eje temático: MI Contenido: Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática, identificadas en diferentes situaciones y fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. Intenciones didácticas: Que los alumnos expresen algebraicamente relaciones de variación cuadrática. Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas: 1. Se tiene un cuadrado que tiene por lado x, cuál es la expresión algebraica que permite determinar el área (y)? 2. En la escuela se organizó un torneo de voleibol. Antes de iniciar un partido entre dos equipos de 10 integrantes cada uno, los jugadores de cada equipo saludarán a todos los elementos del equipo contrario. a) Cuántos saludos se realizan en total? b) Qué expresión algebraica permite obtener el total de saludos (y), si ambos equipos tienen x cantidad de integrantes? 3. Un rectángulo tiene perímetro de 20 metros. a) Si uno de sus lados tiene longitud x metros, escriban una expresión algebraica que represente el área (y) en función de x. b) Hay varios rectángulos que cumplen las condiciones de este problema. Encuentra las dimensiones (tamaños de los lados) de al menos tres de ellos. c) Cuánto miden los lados del rectángulo cuyo perímetro es de 20 m que tenga la mayor área posible? Consideraciones previas: Dado un tiempo razonable, si los equipos tienen problemas para construir estrategias para llegar a las soluciones de los problemas, se les puede sugerir que utilicen tablas con los valores de las variables o bien algún dibujo que represente la situación. Para el primer problema, una tabla como la siguiente permite deducir más fácilmente la relación entre las variables.

7 Medida de un lado del cuadrado (cm) Área del cuadrado (cm 2 ) x y = Si es necesario, se puede plantear la siguiente pregunta para profundizar en el estudio de esta relación cuadrática: Si se quiere aumentar al doble el área (y) de un cuadrado de lado (x), cuánto tiene que medir el lado del cuadrado? x y? 2y Esta pregunta puede causar algunas dificultades. Un error común consiste en que los alumnos digan que para aumentar el área al doble, el lado tiene que aumentar al doble. El error consiste en tratar a esta relación como si fuera una relación de proporcionalidad. Nuevamente, la tabla puede usarse para verificar que si el lado aumenta al doble (por ejemplo de 2 a 4 cm), el área aumenta 4 veces (de 4 a 16 cm 2 ). Para contestar esta pregunta, una vez que se encontró la expresión algebraica, se puede usar la tabla como sigue: Medida de un lado del Área del cuadrado (cm 2 ) cuadrado (cm) x x 2? 2x 2 Es decir, qué número elevado al cuadrado da 2x 2? Esta ecuación no es sencilla, pero ya se ha estudiado antes (hay que sacar raíz cuadrada) y la respuesta es: el lado del cuadrado tiene que medir 2 x. Para el segundo problema, no se espera que haya muchas dificultades para encontrar la expresión para el número de saludos y = x 2. Para aclarar la situación, puede ayudar construir un diagrama de árbol. Para el tercer problema, un dibujo como el siguiente puede permitir comprender mejor el problema.

8 x? y =? x Las expresiones algebraicas que permiten resolver el problema son: 10 x y y = x(10 x) Si es necesario, ayude a los estudiantes a identificar las condiciones del problema que permiten encontrar las expresiones anteriores. Para contestar las preguntas b) y c) de este problema puede resultar muy útil plantear una tabla como la siguiente. x 10 x x(10 x) El área máxima se alcanza para cuando x mide 5 m, es decir, cuando se tiene un cuadrado. Se recomienda que a lo largo de la sesión revisen las distintas expresiones equivalentes que pueden encontrar, como x(10 x) y 10x x 2. Observaciones posteriores: 1. Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 14/15