Variables Aleatorias. Variables Aleatorias. Variables Aleatorias. Objetivos del tema: Al final del tema el alumno será capaz de:

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1 Varables Aleatoras Varables Aleatoras Objetvos del tema: Concepto de varable aleatora Al fnal del tema el alumno será capaz de: Varables aleatoras dscretas y contnuas Funcón de probabldad Funcón de dstrbucón Funcón de densdad Comprender el concepto de varable aleatoras Calcular probabldades a partr de la funcón de densdad, funcón de probabldad o funcón de dstrbucón 3 Meddas característcas de una varable aleatora Esperanza, varanza, percentles Meddas de forma Calcular esperanzas y varanzas de varables aleatoras Obtener la funcón de densdad o probabldad y las meddas característcas de una varable aleatora transformada 4 Transformacones de varables aleatoras Varables Aleatoras Concepto de varable aleatora Concepto de de varable aleatora Varables aleatoras dscretas y contnuas Funcón de probabldad Funcón de dstrbucón Funcón de densdad En ocasones, descrbr todos los posbles resultados de un epermento aleatoro no es sufcente Lanzar una moneda 3 veces: {(CCC), (CC), } Lanzar un dado dos veces: {(,), (,), (,3), } A veces es útl asocar un número a cada resultado del epermento 3 Meddas característcas de una varable aleatora Defnr una varable Esperanza, varanza, percentles Meddas de forma No conocemos el resultado del epermento antes de realzarlo No conocemos el valor que va a tomar la varable antes del epermento 4 Transformacones de varables aleatoras 3 4

2 Concepto de varable aleatora Concepto de varable aleatora En ocasones, descrbr todos los posbles resultados de un epermento aleatoro no es sufcente Una varable aleatora es una funcón que asoca un número real a cada elemento del espaco muestral Lanzar una moneda 3 veces: {(CCC), (C), } Lanzar un dado dos veces: {(,), (,), (,3), } A veces es útl asocar un número a cada resultado del epermento. = Número de caras en el prmer lanzamento [(CCC)]=, [(C)]=0, Las varables aleatoras se representan por letras mayúsculas, normalmente empezando por el fnal del alfabeto:,y, Z, etc. No conocemos el resultado del epermento antes de realzarlo Y = Suma de las puntuacones Y[(,)]=, Y[(,)]=3, No conocemos el valor que va a tomar la varable antes del epermento Los posbles valores que puede tomar la varable se representan por letras mnúsculas, 5 = es un posble valor de y=3. es un posble valor de Y z=-7.3 es posble valor de Z 6 Concepto de varable aleatora Concepto de varable aleatora s s E (s ) = b; s E s Número de undades defectuosas en una muestra aleatora de 5 undades (s ) = a R Número de defectos superfcales en un cm de certo materal a b Tempo de duracón de una bomblla Resstenca a la compresón de un materal de construccón El espaco R es el conjunto de TODOS los posble valores de (s). A cada posble suceso de E le corresponde un valor en R En certo sentdo podemos consderar R como otro espaco muestral 7 8

3 Concepto de varable aleatora Varables Aleatoras s E (s ) = b; s E s (s ) = a a S sobre los elementos de E este una dstrbucón de probabldad, esta se transmte a los valores que toma la varable. Es decr, toda v.a. conserva la estructura probablístca del epermento aleatoro que descrbe: Pr( = ) = Pr( s E : ( s) = ) b R 9 Concepto de varable aleatora Varables Varables aleatoras aleatoras dscretas dscretas y contnuas contnuas Funcón de probabldad Funcón de dstrbucón Funcón de densdad 3 Meddas característcas de una varable aleatora Esperanza, varanza, percentles Meddas de forma 4 Transformacones de varables aleatoras 0 Varables aleatoras dscretas y contnuas Varables aleatoras dscretas y contnuas El rango de una varable aleatora es el conjunto de valores que puede tomar la varable. Atendendo al rango las varables se pueden clasfcar como: Varables aleatoras dscretas: Aquellas en en las las que que el el rango es es fnto o nfnto numerable Varables aleatoras contnuas: Aquellas en en las las que que el el rango es es un un ntervalo de de números reales s de de varables aleatoras dscretas Número de de defectos en en la la superfce de de un un crstal Proporcón de de pezas defectuosas en en una una muestra de de 000 Número de de bts bts transmtdos que que se se recben correctamente s de de varables aleatoras contnuas Corrente eléctrca Longtud Temperatura Frecuentemente mden una magntud Frecuentemente cuentan el número de veces que ocurre algo Peso

4 Varables aleatoras dscretas Varables aleatoras dscretas Los valores de una varable aleatora camban de un epermento a otro al cambar los resultados del epermento Una v.a. está defnda por Los valores que toma. La probabldad de tomar cada uno de esos valores. Las propedades de la funcón de probabldad se deducen de forma nmedata de los aomas de la probabldad: p( ). 0 P(A). P(E)= 3. P(AUB)=P(A)+P(B) s A B=Ø 0 p( ) n = p( ) = { } { } a < b < c A = a b B = b < c Pr( a c) = Pr( a b) + Pr( b < c) Es una funcón que ndca la probabldad de cada posble valor p( ) = P( = ) n 3 4 Varables aleatoras dscretas Varables aleatoras dscretas Epermento: Lanzar Monedas. =Número de cruces. Epermento: Lanzar Monedas. =Número de cruces. E CC C C 0 R 0 /4 / Pr C C C C P(=) 0 /4 / /4 5 6

5 Varables aleatoras dscretas Varables aleatoras dscretas Epermento: Lanzar Monedas. =Número de caras. En ocasones nos puede nteresar la probabldad de que una varable tome un valor menor o gual que una cantdad p() P(=) =0 = = 0 /4 / /4 7 F( ) = P( ) 0 0 F( ) = 0 F( + ) = s toma valores K : n F( ) = P( ) = p( ) F( ) = P( ) = p( ) + p( ) F( ) = P( ) = p( ) = n n = M n 8 Varables aleatoras dscretas Epermento: Lanzar Monedas. =Número de caras. Varables aleatoras dscretas Epermento: Lanzar Monedas. =Número de caras. p() P(=) F() F() 0 /4 0 /4 / /4 /4 0.5 =0 = = =0 = = 9 0

6 Varables aleatoras contnuas Varables aleatoras contnuas Cuando una varable es contnua, no tene sentdo hacer la suma: = p( ) = La funcón de densdad descrbe la dstrbucón de probabldad de una varable contnua. Es una funcón contnua que verfca: ya que el conjunto de valores que toma la varable es no numerable f ( ) 0 Lo natural es generalzar Introducmos un nuevo concepto que susttuye en varables contnuas al de funcón de probabldad en varables dscretas + f ( ) d = b Pa ( b) = f ( ) d a Varables aleatoras contnuas Varables aleatoras contnuas La funcón de densdad descrbe la dstrbucón de probabldad de una varable contnua. Es una funcón que verfca: f ( ) 0 P( = a) = f ( ) d = 0 a a + f ( ) d = b Pa ( b) = f ( ) d a a b Área por debajo de ese trozo de curva P( a b) = P( a < b) = P( a < b) = P( a < < b) a 3 4

7 Varables aleatoras contnuas Varables aleatoras contnuas La funcón de densdad no tene por qué ser smétrca, n estar defnda para toda la recta real La forma de la curva dependerá de uno o más parámetros f ( β ) y 5 S medmos una varable contnua y representamos los datos en un hstograma: S hacemos las clases cada vez más pequeñas: 6 Varables aleatoras contnuas Varables aleatoras contnuas El polígono de frecuencas tenderá a un curva: f ( ) 7 8

8 Varables aleatoras contnuas Varables aleatoras contnuas La funcón de densdad para el tempo de uso de un tpo de máqunas durante un año (en horas 00): Cuál es la probabldad de que una máquna elegda al azar haya funconado durante menos de 30 horas? f() f() 0.4, f () = 0.8,.5 0, 0 < <.5.5 < 5 en else otro caso P( < 3. ) = = = d d Varables aleatoras contnuas Varables aleatoras contnuas Al gual que en el caso de varables dscretas, podemos descrbr la dstrbucón de una varable aleatora contnua medante la Funcón de Dstrbucón: F( ) = P( ) = f ( u) du < < Al gual que en el caso de varables dscretas, podemos descrbr la dstrbucón de una varable aleatora contnua medante la Funcón de Dstrbucón: F( ) = P( ) = f ( u) du < < P( ) 3 En el caso dscreto la dferenca entre dos valores consecutvos de F() proporconan la funcón de probabldad. En el caso de varables contnuas, habrá que dervar F() para obtener la funcón de densdad f() df( ) f ( ) = d A partr de la funcón de densdad f() podremos calcular probabldades asocadas a la v.a.. 3

9 Varables aleatoras contnuas Varables aleatoras contnuas La funcón de dstrbucón verfca las sguentes propedades: La funcón de dstrbucón verfca las sguentes propedades: a < b F( a) F( b) Es no decrecente F( ) = 0 F( + ) = Es contnua a < b F( a) F( b) Es no decrecente F( ) = 0 F( + ) = Es contnua F Defnmos los sucesos dsjuntos: { a} { a < b} { a} { a < b} = { b} Prmer aoma de la probabldad ( b) = Pr( b) = Pr( a) + Pr( a < b) = F( a) + Pr( a < b) F( a) F( ) = Pr( ) = f ( d ) = 0 F( + ) = Pr( + ) = f ( d ) = + 0 Tercer aoma de la probabldad Varables aleatoras contnuas Varables aleatoras contnuas La funcón de densdad para el tempo de uso de un tpo de máqunas durante un año (en horas 00): 0.4, f () = 0.8,.5 0, 0 < <.5.5 < 5 en else otro caso 0.4 f() , 0 < < f ( ) = 0.8,.5 < 5.5 0, en otro caso Pr(0 < <.5) Pr(.5 < ) 0.4 udu 0 < < F( ) = udu u du,.5 < Pr( 5) 5 36

10 Varables aleatoras contnuas Varables aleatoras contnuas P(<3.) P(<3.) =3. < < F ( ) = < Varables Aleatoras 3 Meddas característcas de una v.a. Meddas de Centralzacón Concepto de varable aleatora Varables aleatoras dscretas y contnuas Funcón de probabldad Funcón de dstrbucón Funcón de densdad 3 Meddas característcas de una varable aleatora Esperanza, varanza, percentles Meddas de forma 4 Transformacones de varables aleatoras 39 En el caso de una muestra de datos la meda muestral: = a cada valor se le asgna un peso /n + + K+ n n n n La meda µ o Esperanza de una v.a. utlza la probabldad como peso: [ ] µ = E = [ ] µ = E = + p( ) f ( ) d v.a. dscreta v.a. contnua 40

11 3 Meddas característcas de una v.a. Varables aleatoras contnuas Meddas de Centralzacón Cuál es el tempo medo de funconamento de las máqunas? Intutvamente: Medana = valor que dvde a la probabldad total en dos partes guales P( m) = 0.5 F( m) , 0 < < f ( ) = 0.8,.5 < 5.5 0, en otro caso E[ ] = f ( d ) = d 0.8 d =.5 4 Varables aleatoras contnuas 3 Meddas característcas de una v.a. S queremos saber el tempo de funconamento tal que el 50% de las máqunas tene una duracón menor o gual a ese F( m ) = 0.5 Meddas de poscón El percentl p de una varable aleatora es el valor p que verfca: < < F ( ) = < = 0.5 m =.5 + = m = p( < ) p y p( ) p F( ) = p p p p v.a. dscretas v.a. contnuas Un caso partcular son los cuartles que dvden a la dstrbucón en 4 partes guales Q = p 0.5 Q = p = Medana 0.5 Q = p

12 3 Meddas característcas de una v.a. 3 Meddas característcas de una v.a. Una empresa está nteresada en fabrcar un nuevo tpo de destornllador eléctrco. Se sabe que la dstrbucón de probabldad del número de vueltas para ajustar tornllos de 0cm es la sguente: Una empresa está nteresada en fabrcar un nuevo tpo de destornllador eléctrco. Se sabe que la dstrbucón de probabldad del número de vueltas para ajustar tornllos de 0cm es la sguente: p() p() F() p( < ) 0.7 y p( ) 0.7 p p 46 3 Meddas característcas de una v.a. 3 Meddas característcas de una v.a. Meddas de dspersón Meddas de dspersón En el caso de una muestra de datos la varanza muestral es una medda de la dspersón o varabldad de los datos: La Varanza de una v.a. utlza la probabldad como peso: [ ] σ = = µ [ ] s = ( ) + ( ) + K+ ( ) n n n + n Var ( ) p( ) [ ] = ( [ ]) Var E E σ = Var = ( µ ) f ( ) d v.a. dscreta v.a. contnua 47 [ ] = ( [ ]) Var E E [ ] = ( E[ ]) Var E ( [ ]) = + ( [ ]) [ ] E E E E E = E + ( E [ ]) E[ ] E[ ] E[ ] es una constante, no depende de = E ( E[ ]) La esperanza es un operador lneal 48

13 3 Meddas característcas de una v.a. Desgualdad de Tchebychev S es una varable aleatora con: [ ] = µ Var [ ] = σ E 3 Meddas característcas de una v.a. Desgualdad de Tchebychev al menos 75% Se puede demostrar que gran parte de la dstrbucón está stuada en un ntervalo centrado en µ y que tene ampltud varas veces σ. En concreto: > 0 Pr + ( µ σ µ σ ) Es decr, la probabldad de realzar una observacón de una varable y que esté en ese ntervalo es mayor o gual que -/ µ-3σ µ-σ µ µ+σ µ+3σ 49 al menos 89% m 3 Meddas característcas de una v.a. [ ] m = E [ ] [( ) ] µ = E µ µ = 0 µ = σ = m m Meddas de forma = E Momento de orden respecto al orgen. Momento de orden respecto a la meda. m 3 Meddas característcas de una v.a. [ ] [( ) ] Meddas de forma = E Momento de orden respecto al orgen. µ = E µ Momento de orden respecto a la meda. 3 CA = µ σ 3 3 CA = µ σ 3 CA p = µ 4 µ 4 o σ σ 5 5

14 Varables Aleatoras 4 Transformacones de varables aleatoras Concepto de varable aleatora En algunas stuacones necestamos conocer la dstrbucón de probabldad de una funcón o transformacón de una varable aleatora Varables aleatoras dscretas y contnuas s Funcón de probabldad Funcón de dstrbucón Funcón de densdad 3 Meddas característcas de una varable aleatora Cambar las undades Utlzar la escala logarítmca sn ns a +b Esperanza, varanza, percentles Meddas de forma 4 4 Transformacones de de varables varables aleatoras aleatoras 53 log Y = g( ) e 54 4 Transformacones de varables aleatoras 4 Transformacones de varables aleatoras Sea una v.a. cualquera. S realzamos el cambo de varable Y=h(), tenemos una nueva v.a. : F ( y) = Pr( Y y) = Pr( h( ) y) = Pr( A) Y Funcón de dstrbucón de Y Y = h( ) {, ( ) } A = h y Una empresa está nteresada en fabrcar un nuevo tpo de destornllador eléctrco. Se sabe que la dstrbucón de probabldad del número de vueltas para ajustar tornllos de 0cm es la sguente: p() F() Pr( 44)? ( ) { } Pr( 44) = Pr( ) =, 44 Pr = 0.06 A A {, 44} A = 56

15 4 Transformacones de varables aleatoras En general: Y = h( ) S h es contnua y monótona crecente: F y h y h y F h y ( ) Pr( ( ) ) Pr( Y = = ( )) = ( ( )) 4 Transformacones de varables aleatoras Funcón de densdad S es una v.a. contnua e Y=h(), d fy ( y) = f ( ) dy S h es contnua y monótona decrecente: F y h y h y F h y ( ) Pr( ( ) ) Pr( Y = = ( )) = ( ( )) F ( ) d FY ( y) F ( h ( y)) d dy fy ( y) = = = y y ( F ( )) d d dy crecente decrecente Transformacones de varables aleatoras S es una v.a. contnua e Y=h(), donde h es una funcón dervable e nyectva, d fy ( y) = f ( ) dy 4 Transformacones de varables aleatoras La velocdad de una partícula de gas es una v.a. V con funcón de densdad bv ( b / ) ve v > 0 fv ( v) = 0 en el resto Para v.a. dscretas: W = mv / La energía cnétca de la partícula es. Cuál es la funcón de densdad de W? p ( y) = Pr( Y = y) = Pr( = ) Y h( ) = y 59 60

16 4 Transformacones de varables aleatoras La velocdad de una partícula de gas es una v.a. V con funcón de densdad bv ( b / ) ve v > 0 fv ( v) = 0 en el resto 4 Transformacones de varables aleatoras La velocdad de una partícula de gas es una v.a. V con funcón de densdad bv ( b / ) ve v > 0 fv ( v) = 0 en el resto W = mv / v = w/ m v = w / m dv dw mw = ( ) f ( h ( w)) = ( b / ) w / m e V b w/ m f ( w) = W b w/ m ( b / m) w / me w > 0 0 en el resto Transformacones de varables aleatoras 4 Transformacones de varables aleatoras Esperanza Esperanza + h( ) f ( d ) E [ h( )] = h( ) p( = ) Y = h( ), h( ) = y crecente + + d E [ y] = yfy ( y) dy = h( ) f ( ) dy dy [ ( )] E h = +, h( ) = y h( ) f ( d ) h( ) p( = ) Transformacones lneales Y = a + b 63 [ ] = + [ ] [ ] = [ ] E Y a be Var Y bvar 64