La distribución de probabilidad de la variable aleatoria (v. a). Bernoulli, está dada por:

Transcripción

1 Distribución Bernoulli Una rueba o exerimento Bernoulli tiene uno de dos resultados mutuamente excluyentes, que generalmente se denotan S (éxito) y F (fracaso). Por ejemlo, al seleccionar un objeto ara control de calidad uede ocurrir que sea defectuoso o no lo sea. El esacio muestral Ω, de un exerimento Bernoulli consta de dos resultados Ω = { éxito, fracaso} sea X ( w) = 1 si w es éxito si w es fracaso Suongamos que es la robabilidad de observar un éxito en un ensayo Bernoulli, donde < < 1. La distribución de robabilidad de la variable aleatoria (v. a). Bernoulli, está dada or: x = 1) =, x = ) = 1 = q La distribución de robabilidad de la variable aleatoria de Bernoulli X está dada or: X Bernoulli () X = x) = x q x ; x =,1 Si X ~ Bernoulli (), entonces E(X) = q + 1 = Var(X) = E(X ) E(X) = E(X ) µ = = q + 1 = ( 1 ) = q Var(X) = q Si X ~ Bernoulli(1/3) x) = (1/3) x (/3) 1 x entonces = 1/3 y q = /3, luego E(X) = 1/3 y Var(X) = /9 Una variable aleatoria de Bernoulli, or sí sola, tiene oco interés en las alicaciones de ingeniería y ciencias. En cambio, la realización de una serie de ruebas de Bernoulli conduce a varias distribuciones de robabilidad discretas bien conocidas y útiles. La distribución de robabilidad binomial Muchos exerimentos en la vida real consisten en efectuar una serie de ruebas de Bernoulli y son análogos al lanzamiento de una moneda no balanceada un número n de veces. Suonga que el % de los artículos que roduce una máquina son defectuosos. En este caso seleccionar una muestra aleatoria de 1 artículos y analizarlos ara determinar si son defectuosos sería análogo a lanzar una moneda no balanceada 1 veces, siendo la robabilidad de obtener una cara (artículo defectuoso) en una sola rueba igual a,. Diana Cobos del Angel Página 1 de 7

2 Las encuestas de oinión ública o referencias de los consumidores que generan dos resuestas (sí o no, arueba o desarueba, etc.) también son análogas al exerimento de lanzar un moneda no balanceada si el tamaño N de la oblación es grande y el tamaño de la muestra n es relativamente equeño, digamos,1n o menos. Todos estos exerimentos son ejemlos articulares de un exerimento binomial. Exerimento binomial es aquel exerimento generado or n ensayos Bernoulli indeendien tes, donde cada ensayo tiene igual robabilidad de éxito, < < 1 Ω = Ω 1 x Ω x... x Ω n ; Ω i = { éxito, fracaso }. Sea X = número de éxitos en n ensayos Bernoulli, entonces el recorrido de X es = {, 1,,..., n }. R X La distribución de robabilidad ara X es: n x n x X = x) = q x =,1,,..., n x Observaciones n n 1) n n k n k n n x n x ( a + b) = a b ( + q) = 1 = q k = k x= x ) Si X ~ Binomial (n, ), entonces E(X) = n Var(X) = nq Un agente de seguros vende ólizas a 5 individuos, todos de la misma edad. De acuerdo con las tablas actuariales, la robabilidad de que un individuo con esa edad viva 3 años más es de 3/5. Determinar la robabilidad de que dentro de 3 años vivan: 1. Los cinco individuos.. Al menos tres. 3. Sólo dos. 4. Al menos uno. Estamos frente a una variable Bernoulli ya que dentro de 3 años se ueden resentar dos situaciones que la ersona este viva ( = 3/5) o que haya muerto (q = /5). Al considerar los 5 individuos, estamos frente a una varia aleatoria X binomial con n = 5, =, 6 X ~ B(5,,6). 5 x 5 x X = x) =,6,4 x = 1,,, 3, 4, 5 x 1. Debemos calcular X = 5) 5 5 X = 5) =,6,4 =, Diana Cobos del Angel Página de 7

3 . Debemos calcular X 3), o lo que es lo mismo, 1 X < 3) = 1 X = ) X = 1) X = ) = 1,14,768,34 =, X = ) =,34 4. X 1) = 1 X = ) = 1,14 =,98976 Suoniendo que la robabilidad de tener un hijo varón es,51. Hallar la robabilidad de que una familia con seis hijos tenga: 1. Por lo menos un niño.. Por lo menos una niña. Si X es la variable número de hijos varones en una familia de seis hijos, estamos frente a una variable binomial con n = 6 y =, Debemos calcular X 1) = 1 X = ) 6 6 X = ) = (,51) (,49) =,986. Debemos calcular X 5) = 1 X = 6) X La distribución Poisson 6 = 6) = (,51) 6 (,49) =,984 Fue introducida en 1837 or el matemático francés Simeón Dennis Poisson( ). La distribución de Poisson se utiliza como distribución de las ocurrencias de un fenómeno en una unidad de tiemo. También se utiliza como modelo del número de defectos o disconformidades que ocurren en una unidad de roducto. En realidad, cualquier fenómeno aleatorio que ocurre or unidad (de área, de volumen, de tiemo etc.) se uede aroximar bien, en la mayoría de los casos, or la ley de Poisson. También se utiliza en el diseño de límites de control de los diagramas en control de calidad. Características de una variable aleatoria Poisson 6 1. El exerimento consiste en contar el número x de veces que ocurre un evento en articular durante una unidad de tiemo dado, o en un área o volumen (o eso, distancia o cualquier otra unidad de medida) dada. Diana Cobos del Angel Página 3 de 7

4 . La robabilidad de que un evento ocurra en una unidad dada de tiemo, área o volumen es la misma ara todas las unidades. 3. El número de eventos que ocurren en una unidad de tiemo o área o volumen es indeendiente del número de los que ocurren en otras unidades. 4. El número medio (o eserado) de eventos en cada unidad se denota or la letra griega lambda, λ. La distribución de robabilidad Poisson La distribución de robabilidades ar una variable aleatoria Poisson está dada or λ x e λ X = x) = λ >, x =,1,,3,... x! Donde, λ = es el número de eventos en una unidad dada de tiemo, área o volumen. e =, la media y la varianza de la variable aleatoria Poisson son Media µ = E(X) = λ, Varianza σ = Var(X) = λ El número de accidente or semana en una fábrica sigue una distribución Poisson de arámetro λ =. Calcular: 1. La robabilidad de que en una semana haya algún accidente.. La robabilidad de que haya 4 accidentes en dos semanas. 3. La robabilidad de que haya accidentes en una semana y otros dos en la semana siguiente. 4. Si sabemos que ha habido un accidente hallar la robabilidad de que en esa semana no haya más de tres accidentes. 1. Si X es la v. a. número de accidentes or semana, sabemos que se ajusta a un modelo Poisson con λ =, entonces X > ) = 1 X = ) = e =,8646!. Si X es el número de accidentes en la rimera semana e Y es el número de accidentes en la segunda semana, estamos ante dos variables indeendientes Poisson de arámetro λ =, debemos calcular X + Y = 4), ero la variable X + Y es una variable Poisson de arámetro λ = + = 4, luego se tiene que: 4 4 e 4 X + Y = 4) = =,1954 4! Diana Cobos del Angel Página 4 de 7

5 3. Debemos calcular la robabilidad de la intersección de dos sucesos indeendientes X = ) Y = ) = X = ) Y = ) e e = =, 733!! 4. Debemos calcular la siguiente robabilidad condicionada 1 X 3) X 3/ X 1) = X 1) Aroximación de la distribución Binomial usando la distribución Poisson La distribución de robabilidad Poisson está relacionada con una distribución de robabilidad binomial cuando n es grande y µ = n 7, y uede utilizarse como aroximación La roorción de alumnos de un distrito universitario con calificación de sobresaliente es de,5%. Determinar la robabilidad de que entre 5 alumnos seleccionados al azar haya dos con calificación media sobresaliente. 3 e e e + + = 1!! 3! =,8348 e! Teóricamente la variable X definida or el número de alumnos (de entre los 5) que tienen una calificación media sobresaliente es una variable binomial con n = 5 y =,5. La robabilidad edida es X = ), ero deberíamos calcular 5 5 X = ) = (,5) (1,5) =, que es difícil de calcular; sin embargo como n =,5 < 5 y <,1, odemos aroximar la variable binomial X ~(5,,5) or una variable Poisson de arámetro λ = n =,5. Los cálculos se muestran a continuación. X = ) = e,5,5! =, Se observa que difieren en la sexta cifra decimal, es decir alrededor de las millonésimas. Diana Cobos del Angel Página 5 de 7

6 Distribución Binomial Negativa y Geométrica Consideremos una serie de ensayos Bernoulli indeendientes y sea r el número exacto de veces que aarece el suceso A de robabilidad. La variable aleatoria X, que denota el número de fallos antes del r -ésimo éxito, tiene distribución Binomial Negativa. La variable binomial negativa también suele caracterizarse como el tiemo de esera hasta el n-ésimo éxito, y se alica en estudios de fiabilidad y en situaciones cíclicas donde se alternan éxitos y fracasos. X~ Bin-Neg(r, ) R X = {r, r +1, r +,...} La distribución de robabilidades está dada or: x 1 r x r X = x) = q x = r, r + 1, r +,... r 1 Donde = robabilidad de éxito en una sola rueba Bernoulli, q = 1 x = número de ruebas hasta que se observa el r ésimo éxito. la media y la varianza de la variable aleatoria binomial negativa son r Media µ = E(X) =, Varianza σ rq = Var(X) = La distribución de robabilidad binomial negativa es una función de dos arámetros, y r. Para el caso esecial en que r = 1, la distribución de robabilidad de x se denomina distribución de robabilidad geométrica. x 1 ( x) = q x = 1,, 3,... donde x = número de ruebas hasta que se observa el rimer éxito. 1 Media µ = E(X) =, Varianza σ q = Var(X) = Un fabricante utiliza fusibles eléctricos en un sistema electrónico. Los fusibles se comran en lotes grandes y se rueban secuencialmente hasta que se observa el rimer fusible defectuoso. Suonga que el lote contiene 1% de fusibles defectuosos: a. Qué robabilidad hay de que el rimer fusible defectuoso sea uno de los rimeros cinco fusibles robados? b. Calcule la media, la varianza y la desviación estándar de x, el número de fusibles robados hasta observarse el rimer fusible defectuoso. a. El número x de fusibles robados hasta observarse el rimer fusible defectuoso, es una variable aleatoria geométrica con =,1 (robabilidad de que un solo fusible sea defectuoso) Diana Cobos del Angel Página 6 de 7

7 y q = 1 =,9 ( x) = q x 1 = (,1)(,9) x-1 x =,1,,3,... La robabilidad de que el rimer fusible defectuoso sea uno de los rimeros cinco fusibles robados es ( x 5) = (1) + () (5) = (,1)(,9) 1 + (,1)(,9) + (,1)(,9) + (,1)(,9) 3 + (,1)(,9) 4 =,41 b. La media, la varianza y la desviación estándar de esta variable aleatoria geométrica son 1 1 µ = = = 1,1 q,9 σ = = = 9,1 σ = σ = 9 = 9,49 Bibliografía 1. William Mendenhall/ Terry Sincich. Probabilidad y Estadística ara Ingeniería y Ciencias. Editorial Prentice Hall, Cuarta Edición.. Murray R. Siegel. Estadística. Editorial McGrawHill Webster, Allen. Estadística Alicada. Editorial McGrawHill Mora/ Cid/Valenzuela. Probabilidades y Estadística. Universidad de Conceción Diana Cobos del Angel Página 7 de 7