1 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional

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Emilio Santos Miguélez
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1 1 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional 4.1. Variable aleatoria bidimensional Las Variables Aleatorias Bidimensionales o N-Dimensionales surgen cuando es necesario trabajar en espacios de más de una dimensión, transformando los sucesos del experimento en puntos del espacio de n-dimensiones. Posibles utilidades: Estudiar conjuntamente dos características del fenómeno aleatorio, para explicar una posible relación. Ejemplos Se tiran simultáneamente un dado y dos monedas. Sea: X, cantidad de caras obtenidas al tirar las dos monedas. Y, cantidad de ases obtenidos al tirar el dado. Un cajón de frutas que contiene 3 naranjas, 2 manzanas y 3 bananas. Se seleccionan al azar 4 frutas. Sea: X el número de naranjas obtenidas. Y el número de manzanas obtenidas. Las barras provenientes de un tren de laminación tienen sección rectangular, siendo: X, longitud del lado mayor. Y, longitud del lado menor. Definición Se dice que una variable aleatoria bidimensional (X,Y) es discreta (continua) cuando ambas variables aleatorias unidimensionales X e Y son discretas (continuas). No es frecuente la mezcla de variables aleatorias unidimensionales continua y discreta en una bidimensional.

2 2 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional 4.2. Función de distribución de una variable aleatoria bidimensional La función de distribución conjunta F(x,y), para cualquier par de V.A. X e Y, se define: Propiedades de la función de distribución conjunta F(x,y) Si y, entonces se cumple: 4.3. Función de probabilidad/densidad conjunta de una variable aleatoria bidimensional Sea (X,Y) una V.A. se defina: Función de probabilidad conjunta de la V.A. Bidimensional Discreta Función de densidad conjunta de la V.A. Bidimensional Continua Propiedades de la función de probabilidad/densidad conjunta Función de probabilidad conjunta de la V.A. Bidimensional Discreta Función de densidad conjunta de la V.A. Bidimensional Continua para todo par 3. para todo par para todo par

3 3 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional Se dice que una variable aleatoria bidimensional continua (X,Y) se distribuye uniformemente en un dominio, si su función de densidad conjunta es: Lo que implica:

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5 5 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional 4.5. Distribuciones marginales y condicionales Distribuciones marginales Funciones de probabilidad marginales para V.A. Bidimensional Discreta Funciones de densidad marginales para V.A. Bidimensional Continua Para X Para Y Cumpliéndose Funciones de distribución marginales para V.A. Bidimensional Discreta Funciones de distribución marginales para V.A. Bidimensional Continua Para X Para Y

6 6 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional Distribuciones condicionales Funciones de probabilidad condicionales para V.A. Bidim. Discreta Funciones de densidad condicionales para V.A. Bidim. Continua = = 4.6. V.A. bidimensional independientes X e Y son independientes si y Condiciones equivalentes

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8 8 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional 4.7. Momentos de V.A. Bidimensionales Esperanza matemática Propiedades de la esperanza 1. Esperanza de una constante C. ( ). 2. Sea y C una constante, entonces. 3. Sea la función de distribución conjunta y sean,,. 4. Siendo X e Y V.A. independientes con f.d.d. conjunta, y considerando las funciones y. Caso particular de y, con X e Y V.A. independientes.

9 9 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional Momento de orden r y s respecto al origen Momento de primer orden respecto al origen Momento de segundo orden respecto al origen

10 10 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional Momento de orden r y s respecto a las medias Momento de primer orden respecto a las medias Momento de segundo orden respecto a las medias Varianza de X, Varianza de Y, Covarianza de (X,Y), Mide el grado de asociación entre X e Y, teniendo el inconveniente de ser sensible a los cambios de escala.

11 11 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional Coeficiente de correlación Mide el grado de asociación entre X e Y, sin ser sensible a los cambios de escala. Propiedades de la esperanza Desigualdad de Schwartz 3. Si entonces es combinación lineal 4. Sean X e Y dos V.A. de modo que, siendo a y b ctes. Entonces. Si, ; si,. es adimensional, no afectando los cambios de escala. Valores cercanos a 1 o -1 indican alto grado de linealidad, y valores cercanos a 0 indican ausencia de linealidad (aunque puede existir relación entre ellos PERO NO LINEAL). Si Si

12 12 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional 4.8. Variables n-dimensionales (n>2) Variable aleatoria n-dimensionar (vector) a) b) Se define Para cada número podemos calcular. a) Función de densidad marginal de la variable aleatoria unidimensional X 3 Sea b) Función de densidad conjunta marginal de la variable aleatoria bidimensional (X 1, X 2 ) Sea Además, podemos decir que son V.A. independientes si y solo si: Esperanza matemática de una función de n V.A. La esperanza de una de las variables aleatorias (por ejemplo, X 1 ) La varianza de una de las variables aleatorias (por ejemplo, X 1 )

13 13 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional 4.9. Propiedades de la Esperanza matemática, varianzas y covarianzas Preliminares 1. Esperanza de la suma de V.A. Si X 1,, X n poseen esperanzas matemáticas, entonces Demostrado para 2 dimensiones 2. Varianzas: 3. Covarianza: Matriz de covarianzas de la V.A. n-dimensional X siendo,

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17 17 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional Valor esperado y varianza de funciones lineales de V.A. Sean (X 1, X 2,, X n ), (Y 1, Y 2,, Y m ) dos conjuntos de V.A. con E(X i )= µ i, E(Y j )= ν j. Se definen: Entonces, se cumple lo siguiente: Demostrado para 2 dimensiones 3. Con frecuencia de utiliza la siguiente expresión: De la cual, a su vez, es un caso particular muy utilizado demuestra que Cov[X,Y] es invariente para las traslaciones Consecuencias de la independencia de las variables Si X e Y son V.A. independientes. Entonces El coeficiente de correlación de dos V.A. independientes es nulo El recíproco no se cumple necesariamente. 3. Puesto que, para V.A. independientes. En particular para, se cumple que

18 18 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional Función generatriz de momentos de la suma de V.A. independientes Sean un conjunto n V.A. independientes, siendo la función generatriz de momentos de y sea. Entonces, la función generatriz de momentos de Y es

19 19 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional Esperanza condicional Definición Si (X,Y) es una V.A. bidimensional definimos la esperanza condicional de X para Y=y como: Proporciones relativas a la esperanza condicional

20 20 Tema 4: Variable Aleatoria Bidimensional y n-dimensional

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