Práctica 2 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Transcripción

1 Práctica. Objetivos: a) Apreder a calcular probabilidades de las distribucioes Normal y Chi-cuadrado. b) Estudio de la fució de desidad de la distribució Normal ~ N(µ;σ) c) Cálculo de la fució de distribució de la distribució Normal ~ N(µ;σ) d) Estudio de la fució de desidad de la distribució Chi-cuadrado. e) Cálculo de la fució de distribució de la distribució Chi-cuadrado. f) Resolució de problemas co ambos tipos de distribucioes.. Itroducció a variables aleatorias cotiuas: El la práctica aterior se hizo ua itroducció a las variables aleatorias. Esquemáticamete: Sea X ua v.a. defiida sobre el espacio probabilístico ( S, P) y sea F su fució de distribució. La v.a. X podrá ser de tipo discreto o de tipo cotiuo. V.A. DISCRETA VARIABLE ALEATORIA X V.A. CONTINUA FUNCION DE DENSIDAD f(x) ESPERANZA Y VARIANZA UNIFORME NORMAL CHI-CUADRADO T DE STUDENT Y F SNEDECOR i. X será ua v.a. discreta cuado sólo puede tomar u úmero fiito o ifiito, pero umerable, de valores. Estas v.a. fuero objeto de estudio e esta práctica. ii. X será ua v.a. cotiua cuado puede tomar todos los valores posibles de u itervalo, fiito o ifiito. A este tipo de variables va dedicada esta práctica. DEFINICIÓN : Diremos que ua variable aleatoria X : Ω R es de tipo cotiuo si existe ua fució real positiva f : R R, que llamaremos fució de desidad, tal que : PROPIEDADES: i. f ( x) 0 x F ( x) = f ( t) dt

2 Práctica ii. + f ( x) dx = iii. ( a X b) = iv. P f ( t) dt b a Si f(x) es cotiua e a, etoces F (a) = f(a) Las dos primeras propiedades caracteriza a las fucioes de desidad ya que si ua fució cualquiera las verifica, puede costruirse ua v.a. de tipo cotiuo para la que será su fució de desidad. Estas propiedades úicamete idica que ua fució de desidad es ua fució real positiva que ecierra bajo ella área. E la propiedad tercera puede itercambiarse los meores o iguales por meores estrictos y la propiedad se sigue cumpliedo. La propiedad cuarte proporcioa ua forma de calcular la fució de desidad a partir de ua fució de distribució cotiua e toda la recta real y derivable e casi todos los putos. 3. Características de ua variable aleatoria cotiua 3.. Esperaza Matemática o valor esperado Se represeta por E(X) y se calcula, e el caso cotiuo, mediate la fórmula: + ( X ) E = x f ( x) dx Gráficamete, la esperaza de ua variable aleatoria cotiua coicide co el cetro de gravedad del área ecerrada etre la fució de desidad y el eje OX. 3.. Variaza Se represeta por Var(X)=σ y se calcula, e el caso cotiuo, mediate la fórmula: + E = x f ( x) dx. dode ( X ) Var ( X ) = E( X ) E( X ) La desviació típica σ se calcula como la raíz cuadrada de la variaza. 4. Modelos de variables aleatorias cotiuas 4.. Distribució Uiforme : X~U(a;b) Esta distribució, tambié llamada rectagular por el aspecto de su fució de desidad, fue utilizada por primera vez por Bayes e 763 y por Laplace e 8. Segú la defiició de esta variable, cualquier elecció de úmeros reales al azar e u itervalo de logitud fiita, es ua v.a. uiforme. CARACTERÍSTICAS: i. Parámetros : a, b, co a < b

3 Práctica ii. Fució de desidad : iii. Media : E(X) = a + b iv. Variaza : Var (X)= ( b a ) f ( x) = si a x b b a Si ua v.a. tiee fució de distribució F(x), la variable Y=F(x) es U(0;). Esta propiedad es fudametal e la geeració de úmeros aleatorios y técicas de simulació. 4.. Distribució Normal: X~N(µ;σ) Si los griegos la hubiese coocido, la habría adorado como a u dios. Galto (8-9) Esta distribució, e su versió más simple N(0;), fue itroducida por primera vez por De Moivre e 733 como aproximació de la distribució biomial. Posteriormete, Laplace y Gauss la hallaro empíricamete estudiado la distribució de los errores de medició, y tras sus trabajos se covirtió e la distribució más utilizada. CARACTERÍSTICAS: i. Parámetros : < µ < ; 0 < σ < ii. Fució de desidad: iii. Media : E(X) = µ iv. Variaza : Var (X)= σ ( x µ ) σ ( ) f x = e si < x < σ π 4.3. Distribucioes relacioadas co la Normal So distribucioes que surge teóricamete como resultado del proceso de iferecia estadística Distribució CHI-CUADRADO ( ℵ ) de Pearso Esta distribució surge cuado se desea coocer la distribució de la suma de los cuadrados de variables idepedietes e igualmete distribuidas co distribució Normal. DEFINICIÓN : Sea aleatoria X,, X,... X, variables aleatorias idepedietes N(0;). Etoces la variable X + X X = X i sigue ua distribució i= grados de libertad. CARACTERÍSTICAS: i. Fució de desidad: mediate tablas. ii. Media : E(X) = iii. Variaza : Var (X)= ℵ (chi-cuadrado) co 3

4 Práctica Distribució t de STUDENT El orige de esta distribució se ecuetra e la estimació de esperazas de distribucioes ormales cuado su desviació típica es descoocida. Gosset ( ), quie publicó bajo el seudóimo de Studet, la propuso y tabuló e 908. DEFINICIÓN : Sea X y X, X,..., X, variables aleatorias idepedietes N(0;). Etoces la variable aleatoria t = X sigue ua distribució t de Studet co grados de X + X X libertad. CARACTERÍSTICAS: i. Fució de desidad: mediate tablas. ii. Media : E(X) = 0 si > iii. Variaza : Var (X)= si > Distribució F de SNEDECOR DEFINICIÓN : Sea X e Y variables aleatorias idepedietes co distribució ℵ de y m grados de X libertad, respectivamete. Etoces la variable aleatoria F, m = sigue ua distribució F Y m de Sedecor co grados de libertad e el umerador y m grados de libertad e el deomiador. 5. Variables aleatorias cotiuas usado EXCEL: 5.. Distribució Normal = DISTR.NORM(x;media;desv_estádar;acum) Devuelve la distribució ormal para la media y desviació estádar especificadas. Esta fució tiee u gra úmero de aplicacioes e estadística, icluidas las pruebas de hipótesis. Sitaxis DISTR.NORM(x;media;desv_estádar;acum) X es el valor cuya distribució desea obteer. 4

5 Práctica Media es la media de la distribució. Desv_estádar es la desviació típica de la distribució. Acum es u valor lógico que determia la forma de la fució. Si el argumeto acum = FALSO devuelve el valor de la fució de desidad. Si el argumeto acum =VERDADERO devuelve el valor de la fució de distribució. A =4 A3 = 40 A4 =,5 Descripció Valor cuya distribució desea obteer Media de la distribució Desviació típica de la distribució Descripció (Resultado) =DISTR.NORM(A;A3;A4;VERDADERO) Fució de distribució : F(4)= 0, para N(40;,5) =DISTR.NORM(A;A3;A4;FALSO) Fució de desidad: 5.. Iversa de la Fució de distribució Normal =DISTR.NORM.INV(probabilidad;media;desv_estádar) Devuelve el iverso de la distribució acumulativa ormal para la media y desviació estádar especificadas. Sitaxis DISTR.NORM.INV(probabilidad;media;desv_estádar) Probabilidad es ua probabilidad correspodiete a la distribució ormal. Media es la media de la distribució. Desv_estádar es la desviació típica de la distribució. Si media = 0 y desv_estádar =, DISTR.NORM.INV utiliza la fució de distribució ormal estádar (vea DISTR.NORM.ESTAND.INV). 5

6 Práctica A = 0, A3 = 40 A4 =,5 =DISTR.NORM.INV(A;A3;A4) Descripció Probabilidad correspodiete a la distribució ormal Media de la distribució Desviació típica de la distribució Descripció (Resultado) Iversa de la Fució de distribució ormal: P X K = 0. K= 4 cumple que ( ) Tipificació = NORMALIZACION(x;media;desv_estádar) Devuelve u valor tipificado de ua distribució Normal de media =µ y desviació típica=σ. Sitaxis NORMALIZACION(x;media;desv_estádar) X es el valor que se desea tipificar. Media es la media de la distribució. Desv_estádar es la desviació típica de la distribució. A = 4 A3 = 40 Descripció Valor que se desea tipificar Media de la distribució A4=,5 Desviació típica de la distribució Descripció (Resultado) =NORMALIZACION(A;A3;A4) Valor TIPIFICADO de 4 =, Distribució CHI-CUADRADO = DISTR.CHI(x;grados_de_libertad) 6

7 Práctica Devuelve la probabilidad de ua v.a. que sigue ua distribució chi cuadrado. Cocretamete DISTR.CHI os calcula P(X>x) = - F(x), dode X es ua variable aleatoria chi-cuadrado co grados de libertad. Sitaxis =DISTR.CHI(x;grados_de_libertad) x es el valor al que se desea evaluar de la distribució. Grados_de_libertad es el úmero de grados de libertad. Descripció A= 8,307 Valor que se desea evaluar la distribució A3= 0 Grados de libertad =DISTR.CHI(A;A3) Descripció (Resultado) Nos calcula el área a la derecha del puto: 5.5. Iversa de la fució de distribució de ua Chi-cuadrado = PRUEBA.CHI.INV(probabilidad;grados_de_libertad) Devuelve, para ua probabilidad dada, el valor de la variable aleatoria siguiedo ua distribució chi cuadrado. Si el argumeto probabilidad = DISTR.CHI(x;...), etoces PRUEBA.CHI.INV(probabilidad,...) = x. Sitaxis PRUEBA.CHI.INV(probabilidad;grados_de_libertad) Probabilidad es ua probabilidad asociada a la distribució chi cuadrado. Grados_de_libertad es el úmero de grados de libertad. 7

8 Práctica Descripció 0,05 P(X>k) = 0,05 0 Grados de libertad =PRUEBA.CHI.INV(A;A3) Descripció (Resultado) Nos devuelve el valor k=8,30703 cumpliedo P(x>k) = 0,05 6. Caso práctico 6.. Cálculo de probabilidades e ua v.a. Normal : 6... Crea ua hoja de cálculo (HOJA) que calcule, para ua v.a. Normal de media µ y desviació típica σ, los siguietes valores: a. La fució de desidad f(x). b. La fució de distribució F(x) = P(X x). c. P( X>k) = - P( X < k) d. P(a < X < b) = P(X<b) P( x <a) e. el valor de k, sabiedo que P(X<k) = p (coocido). Utilizado la HOJA calcula las siguietes probabilidades: a. E ua N(5;), f (5) = ; F(6)= ; P(X>4,3): b. E ua N(0;), P(X < 0,)= ; P(-0,6< X < 0,6) = c. E ua N(-;,7), P (, X 0,5) = ; P(X > -)= d. E ua N(5;0,8), el valor de k cumpliedo P(x < k)=0, Crea otra hoja de cálculo (HOJA) que cotega los valores de la fució de desidad y de distribució e el itervalo [ µ -3σ, µ +3σ ] de la distribució ormal de media µ y desviació típica σ. Utilizado los datos de la HOJA haz la represetació gráfica de ambas fucioes. 6.. Resolució de problemas usado la Normal: Crea ua hoja de cálculo (HOJA3) mediate la cual puedas resolver el siguiete problema: La altura de los jóvees de determiada població sigue ua distribució ormal de media.76 y desviació típica 0,3. Calcular el porcetaje de població que tedrá ua altura mayor que metros, cuátos etre,70 y,80 y cuátos co altura meor que,60. Si de 000 idividuos medidos sólo 9 está etre,50 y,00 metros, qué podemos pesar? 8

9 Práctica 6.3. Cálculo de probabilidades e ua v.a. Chi-cuadrado : Crea ua hoja de cálculo (HOJA4) que calcule, para ua v.a chi-cuadrado co grados de libertad, los siguietes valores: a) P( X>k) = - P( X < k) b) La fució de distribució F(x) = P(X x). c) P(a < X < b) = P(X<b) P( x <a) d) el valor de k, sabiedo que P(X>k) = p (coocido). Utilizado la HOJA4 calcula las siguietes probabilidades: a) E u ℵ, P(X<4,8) = ; P(X > 0) b) E ua ℵ 0, P( X-8 < 5)= ; P(0,6< X < 6) = c) E ua ℵ 0, el percetil 9, P(X<K ) = 0,9 9