Modelos Probabilísticos comunes

Transcripción

1 Modlos robabilísicos comus M. A. Vícor D. iilla Morá Faculad d Igiría, UNAM Rsum Iroducció. sayo d Broulli. Disribució d Broulli, drmiació d su mdia y d su variaza. rocso d Broulli. Disribució biomial, drmiació d su mdia y su variaza. Disribució gomérica, drmiació d su mdia y su variaza. Disribució biomial gaiva, drmiació d su mdia y su variaza. Disribució hirgomérica, drmiació d su mdia y su variaza. rocso d oisso. Disribució d oisso, drmiació d su mdia y su variaza. Aroximació r las disribucios biomial y d oisso. 4. sayo d Broulli. Disribució d Broulli, drmiació d su mdia y variacia. Tal y como ocurr los modlos drmiisas, los cuals ciras rlacios fucioals dsmña u al imora (Tals como lials, cuadráicas, xocials, rigooméricas, c.), al laborar modlos alaorios ara fómos obsrvabls, ambié s cura qu ciras disribucios d robabilidads aarc más a mudo qu oras. Ua razó d so s qu, como l caso drmiisa, alguos modlos mamáicos rlaivam simls arc sr más caacs d dscribir u gra úmro d fómos. sayo y disribució d Broulli. Si u xrimo sólo aarc dos osibls rsulados: éxio y fracaso, ha dicho xrimo s l cooc como xrimo d Broulli. l sacio musral d u xrimo d Broulli i solo dos uos. Si la variabl alaoria X rrsa l rsulado dl xrimo: S{éxio, fracaso}{,} A la robabilidad d éxio, s dcir, (X) s l rrsa co, s dcir, (X) dod. or ora ar, a la robabilidad dl fracaso s l rrsa co q, s dcir, (X)q, dod +q. x (X) q robabilidad y sadísica M.A. Vícor Damiá iilla Morá. Novimbr 9 59

2 rocso d Broulli. Si l xrimo d Broulli s llva a cabo varias vcs y las rubas so iddis r sí, s coforma u xrimo d Broulli. 4. sayo biomial. Disribució biomial, drmiació d su mdia y variacia. Disribució gomérica, drmiació d su mdia y variacia. Disribució d ascal, su mdia y variacia. Disribució Biomial. U rocso d Broulli s como d ua scucia d ocurrcia d éxios y fracasos, odos u úmro d vcs. sayos iddis, y la robabilidad d éxio d cualquira d ésos. S dic ocs qu X i ua disribució biomial co fució d robabilidad: ( ) ara,,,..., ( X ) oro valor dod jmlo. S ira ua moda vcs coscuivam. Drmiar su disribució d robabilidad. A i {lazar ua moda} l irés radica drmiar la robabilidad d obr -éxios dura los sayos; so rquir d dos suosicios: ) La robabilidad d éxio rmac cosa ara cada sayo. ) Los sayos so iddis r sí. ara obr la fució d robabilidad d la disribució biomial, rimro s drmia la robabilidad d r, h sayos, -éxios coscuivos sguidos d -x fracasos coscuivos. Ya qu s suo qu los sayos so iddis: (A,A,A,...,A )(A )(A )(A )...(A )... (-)(-)(-) (-) - K érmios - érmios La robabilidad d obr éxios y - fracasos cualquir oro ord s la misma, uso qu los facors y (-) s rorda d acurdo co l ord aricular. or lo ao, la arior robabilidad s l roduco (-) - or l úmro d combiacios disias, so úlimo omado objos a la vz d oal. Cosidrado al vo co robabilidad, y al vo A i como u éxio, Ai como u fracaso, co robabilidad q-, s dfi la variabl alaoria X como l úmro d éxios l xrimo. Si éxios X ( X ) ( A A A ) q. q q q U éxio X. Si X s ua variabl alaoria qu rrsa úmro d éxios robabilidad y sadísica M.A. Vícor Damiá iilla Morá. Novimbr 9 6

3 Dos éxios X Trs éxios X ( X ) ( A A A ).. X (X) q q q Ahora bi, a arir d la disribució biomial: ( x ) q ( x ) q ( x ) q ( x ) q q ( ) q ( ) q ( ) q q q q ( ) xraydo los érmios iddis a la sumaoria y hacido l cambio d variabl r -. μ ( ) [( ) r] r q r [( ) r] l biomio d Nwo s dfi como: r r ( a + b) a b r r or aalogía μ μ ( + q) Var{ X } si + q { } {} ara simlificar los cálculos s roo co ( ) +, d calcular { } al forma { } ( ) { } { }. + valuado { ( ) } Ambos rsulados so coicids. μ μ μ Mdia y Variaza d la disribució biomial. A arir d las roidads d los oradors { } y Var{ }. { x } ( ) ( ) [( ) ( ) ] ( ) q q q [( ) ( ) ] Nós qu los asos ariors s scribió la suma a arir d dos orqu los dos rimros érmios so cro. Hacido l cambio d variabl. y m { ( ) } ( ) m ( m y ) y m y y q m y robabilidad y sadísica M.A. Vícor Damiá iilla Morá. Novimbr 9 6

4 m virud d qu: y m y q ( + q) ( m y) y { ( ) } ( ) y m m y y + q c) La robabilidad d qu acir, cuado mos, la miad d odos sus iros. Subsiuydo hacia arás: { } ( ) Var { } + { } ( ) + { x } ( ) + ( ) [ ( ) + ] [ + ] ( ) s rocdimio s igualm válido ara obr las mdidas dscriivas d la disribució biomial. jmlo. La robabilidad d qu u xcl jugador d fúbol ao u iro libr s d ¾ (robabilidad frcuisa). S cosidra qu sus iros so iddis. Si s sima qu ud hacr 5 iros librs u arido, calcul: a) La robabilidad d qu acir odos sus iros 5 iros 5 aoacios /4 y q ¼ jmlo. U sudia rsa u xam d slcció múlil qu coi 8 rguas, cada ua co rs rsusas ocioals si s suo qu l alumo sá adiviado al rsodr cada roblma, ocs la robabilidad d rsodr corrcam s d /. Drmiar la robabilidad: a) D qu rsoda icorrcam a odas las rguas. b) La robabilidad d qu arub si s rquir rsodr corrcam a sis o más rguas. c) La robabilidad d qu las 8 rguas las rsoda coscuivam mal. S mla disribució biomial. x( x ) C 8 / q q / 5 ( x 5) b) La robabilidad d qu fall odos sus iros 5 5 ( x ) robabilidad y sadísica M.A. Vícor Damiá iilla Morá. Novimbr 9 6

5 c) s lo mismo qu a) orqu so iddis. jmlo. Todos los días s slccioa d mara alaoria 5 uidads d u rocso d maufacura co l roósio d vrificar l orcaj d uidads dfcuosas la roducció. Co bas iformació asada, la robabilidad d r ua uidad dfcuosa s dl 5%. La grcia ha dcidido dr la roducció cada vz qu ua musra d 5 uidads xisa dos o más dfcuosas. Cuál s la robabilidad d qu cualquir día, la roducció s dga? aalogía co l biomio d Nwo susiuydo [ ] q ( + q) Éxio {corar uidad dfcuosa} 5.5 ara obr la variaza Fució Grariz d Momos d la disribució Biomial. m( ) ( ) l caso d la disribució biomial m( ) m( ) K q [ ] q susiuydo robabilidad y sadísica M.A. Vícor Damiá iilla Morá. Novimbr 9 6

6 Disribució d ascal. Sa u scario biomial qu s obsrva ua scucia d sayos iddis; la robabilidad d éxio cada sayo s cosa igual a. Fució Gradora d Momos d la Disribució d ascal. Si ahora, lugar d fijar l úmro d sayos s y obsrvar l úmro d éxios, suógas qu s coiúa los sayos hasa qu haya ocurrido xacam -éxios. és caso, la variabl alaoria s l úmro d sayos csarios ara obsrvar -éxios. ara drmiar la robabilidad d qu l -ésimo sayo ocurra l -ésimo éxio, ocs l rsulado dl úlimo sayo fu éxio. As dl úlimo sayo, había ocurrido - éxios - éxios. l úmro d maras disias las qu ud obsrvars - - sayos s or lo ao, la robabilidad d r - éxios -sayos co l úlimo sayo sido u éxio s: σ { x } μ d { } ( + q ) x m( ) d ( q ) ( + q) ( q) ( q) ( + q) q Db hacrs hicaié qu la variabl alaoria X rrsa l úmro d xrimos rquridos ara obr ocurrcias (éxios) Si la variabl alaoria d ascal s dfi a la variabl alaoria Y qu caracriza l úmro d oocurrcias (fracasos) qu ocurr as d obr -éxios, d al forma qu YX-, s cra la Disribució Biomial Ngaiva. robabilidad y sadísica M.A. Vícor Damiá iilla Morá. Novimbr 9 64

7 Adquir su ombr dbido a qu las robabilidads dadas or la arior xrsió corrsod a los érmios sucsivos d la xrsió biomial d: A difrcia dl modlo d ascal, qu la variabl s dfi a arir d, s l modlo biomial-gaivo la variabl s dfi a arir d cro. La mdia y la variaza ud corars a arir dl modlo d la variabl alaoria X. a) Cuál s la robabilidad d qu la 5ª uidad obsrvada sa la ª obsrvada. b) l úmro romdio d uidads qu s db obsrvar ara corar la 5ª dfcuosa. a). q.9 5 b) 5 ( ) 4 ( x ) C q (.) (.9) (.9) μ x 45 uidads. Disribució Gomérica. Si la disribució biomial gaiva s i l caso scial d, s l cooc como disribució gomérica, cuya fució d robabilidad sá dada or: l caso qu l valor d o sa ro, como ocurr cuado s ajusa los arámros dl modlo a arir d obsrvacios rals. Cuado ocurr so, s l dvulv su ombr d Disribució d ascal, auqu los coficis biomials o sá dfiidos, or lo qu s iroduc a la fució gamma. l modlo quda: (x) q - La variabl alaoria gomérica rrsa l úmro d fallas qu ocurr as d qu s rs l rimr éxio. jmlo. Cuál s la robabilidad d qu su rcr io, l xcl jugador ao su rimr gol? 4 4 ( x ). 46 so s irra como l imo qu hay qu srar ara qu ocurra l -éxio. jmlo. u rocso d maufacura s sab qu romdio ua d cada mil izas sá dfcuosa. Cuál s la robabilidad d qu la 5ª iza isccioada sa la ª dfcuosa? jrcicio. ua fábrica d auomóvils s ha obsrvado qu l % d las uidads sal dfcuosas d la lía d roducció, si s slccioa u lo d 5 ara sr obsrvado ( x 5). 96 robabilidad y sadísica M.A. Vícor Damiá iilla Morá. Novimbr 9 65

8 ( x) A arir d las xrsios obidas ara la disribució biomial gaiva, subsiuydo : μ σ La fució grariz d momos s: m( ) q jmlo. l roiario d rros camsrs l cro urísico, sá raado d vdrlos or mdio d rvisas rsoals co los osibls comradors. Cosidra qu al rvisars co u osibl comrador, xisa la misma osibilidad d vdr qu d o vdr y qu l rsulado d ua rvisa s iddi d lo qu ocurr lo dmás. q.5 x a) Cuál s la robabilidad d qu la 4ª rsoa rvisada sa la ª qu comr? N q b) La mdia d la variabl N qu rrsa l úmro d clis qu s i qu rvisar ara ralizar la ª va. μ x rvisas.5 Disribució Hirgomérica. La difrcia r la disribució Biomial y la Hirgomérica radica la forma qu s raliza l musro. 4 ( )( ) % C ara la disribució gomérica, su variabl alaoria o rquir iddcia, or lo cual l musro s hac si rmlazo. jmlo. S dsa coocr la robabilidad d obr caras rojas 5 riros d u aqu comú d 5 caras. S ud slccioar, 5 caras saradas al azar, rojas d 6, gras d 6, d u oal d 5 caras d 5, odo si rmlazo. C ( 6 ) ( 6 ) ( 5 5) l úmro oal d musras d amaño slccioadas d N rsulados s: N S suo qu sas musras so igualm robabls. or ora ar, hay x formas d slccioar x éxios d osibls y or cada ua d sas formas s ud slccioar -x fracasos formas. N x C5 ocs l úmro oal d musras favorabls r las musras N N osibls s:. x x.5 l musro, l caso d la Biomial, s rquir la iddcia r los vos: si s alicas s coco a u rocso co u aqu d ais o ua ura, db habr rmlazo. robabilidad y sadísica M.A. Vícor Damiá iilla Morá. Novimbr 9 66

9 Dfiició. La disribució d robabilidad d la variabl alaoria hirgomérica, l úmro d éxios ua musra alaoria d amaño slccioada d N rsulados osibls, d los cuals so cosidrados como éxios y N- como fracasos s: N ( ) x x x N dod x,,,..., x x N ua disribució hirgomérica db idificars dos ars d daos: Los qu corrsod a la oblació. Los qu corrsod a la musra. jmlo. Los d 4 comos c/u s cosidra acabls si o coi más d dfcuosos. l rocdimio d musro dl lo cosis a slccioar 5 comos alaoriam y rchazar l lo si s cura u como dfcuoso, Cuál s la robabilidad d qu xacam dfcuoso s cur la musra si hay dfcuosos odo l lo? Toal d lmos d la oblació N Toal d lmos d la musra Toal d éxios d la oblació Toal d éxios d la musra x or lo ao N Toal d fracasos d la oblació N x Toal d fracasos d la musra jmlo. Cuál s la robabilidad d obr caras rojas 5 riros d ua baraja amricaa? N5 5 6 x N4 5 x ( x ). ara drmiar la mdia d la disribució s sigu u rocdimio aálogo al uilizado ara la disribució biomial. {} x { x} x( x) x x N x. x x N robabilidad y sadísica M.A. Vícor Damiá iilla Morá. Novimbr 9 67

10 y N N si ( ) Var N N {} x ( ) or las roidads d los úmros combiaorios: s dcir: ( N ) susiuydo: N N N ( N ) ( )( ) N N N Romado a la fució d robabilidad hirgomérica, cuado u drmiado fómo, l amaño d la musra s sólo ua quña fracció d la oblació N, y al raars d u musro si rmlazo, la difrcia r la robabilidad dl vo uo y l sigui s isigifica. sos casos s mla la disribució biomial ara aroximar a la disribució hirgomérica cuado l coci /N s quño. Si s dfi a la roorció /N la fució d robabilidad hirgomérica s dfi como: ( x ) N N N x x N sa xrsió, si N, s obi la disribució biomial. Hacido u cambio d variabls: MN- N {} x r- s- yx- s y r M r y s y M s or l mismo rocdimio: Var {} x N ( N ) ( N ) N N D sa forma, la disribució hirgomérica id a la biomial co arámros y coform. N N la rácica s uiliza sa aroximació si <.N. Co rsco a la variaza hirgomérica, ésa s más quña qu la corrsodi a la variabl alaoria biomial or u N facor. N Si mbargo, db oars qu N s grad, s facor id a, dado como rsulado robabilidad y sadísica M.A. Vícor Damiá iilla Morá. Novimbr 9 68

11 ua variaza rácicam igual a la biomial. 4. rocso d oisso. Disribució d oisso, drmiació d su mdia y variacia. Aroximació r las disribucios biomial y oisso. Disribució xocial, drmiació d su mdia y variacia. Disribució d oisso. Los xrimos qu rsul valors uméricos d ua variabl alaoria X, misma qu rrsa l úmro d rsulados dura u irvalo d imo dado, o ua rgió scífica, frcum s llama xrimos d oisso. jmlo. Llamadas or miuo, clis or hora, oladas or hcára, rrors or ágia, c. D u xrimo d oisso, surg l rocso d oisso qu i las siguis roidads:. l úmro d rsulados qu ocurr u irvalo d imo o rgió scíficos s iddi dl úmro qu ocurr cualquir oro irvalo d imo o rgió.. La robabilidad d qu u rsulado scillo ocurra u irvalo d imo coro o ua rgió quña s roorcioal a la logiud dl irvalo d imo o al amaño d la rgió y o dd dl úmro d rsulados qu ocurr fura d és irvalo o rgió.. La robabilidad d qu más d u rsulado ocurra s irvalo d imo a coro o sa rgió a quña s dsrciabl. La disribució d oisso s obi a arir d la disribució biomial, cosidrado qu id a (l úmro d xrimos d Broulli) miras qu id a cro (robabilidad d éxio). S l irra como la variabl alaoria qu rrsa l úmro d vos iddis qu ocurr a ua vlocidad cosa l imo o l sacio. robabilidad y sadísica lim si ; ( x ) ( x ) C M.A. Vícor Damiá iilla Morá. q s l úmro romdio d rsulados or uidad d imo o rgió (vlocidad o raidz d cambio). La disribució d oisso ud susiuir a la biomial ara ua grad y ua quña: 5 5 Cosidrado la xrsió gral ara la robabilidad biomial: ( x ) ( ) ( )( ) K( + ) ( ) Sa ; or ao y susiuydo: ( x ) () () ( ) K ( + ) ( ) ( ) L L Sa d al forma qu rmazca cosa. so sigifica qu cuado (d igual forma qu y d al forma qu ). la úlima xrsió, los érmios d la forma,,l Novimbr 9 69

12 id a si, al igual qu or ora ar, la dfiició dl úmro s cuado si lim x fialm ( ) Fució Gradora d Momos. m( ) si y m( ) { } y, ara y ( ) Cálculo d la mdia y la variaza d oisso. d d {} ( x m( ) ) d d ( ) [ ] {} x { x } {} x d d { } ( x m( ) ) Var ( + ) ( ) Var d d {} x ( ) o jmlo. Si l % d los rasisors roducidos or ua fábrica sal dfcuosos corar la robabilidad d qu u lo d rasisors haya cuado más 5 rasisors dfcuosos. or biomial:. C ( x 5) ( x ) + ( x ) + ( x ) + ( x ) ( x 4) + ( x 5) (.) (.98) LC (.) 5 (. ) or oisso: ( x 5) 4 (.) L L ( x 5) ; jmlo. Si la robabilidad da qu ua viga d cocro fall a la comrsió s d.5. Obr la robabilidad d qu 5 vigas: a) Nigua fall b) Cuado más fall c) 5 fall Daos a) ( X ). 8 b) ( x ).547 c) ( x 5) (.5) robabilidad y sadísica M.A. Vícor Damiá iilla Morá. Novimbr 9 7

13 jmlo. l comuador lfóico d ua comañía s rcib romdio llamadas or miuo, suoido qu sas llamadas sigu u rocso d oisso. a) cual s la robabilidad d rcibir 8 llamadas 5 miuos. b) Nigua llamada miuos. c) Mos d llamadas miuos. llamadas a ) x b ) x c ) llamadas mi ( x 8 ) ( x ) ( ) ( 6) 8 or 8 mi () 5 llamadas mi llamadas mi x 6 uo llamadas mi.6 () llamadas 6 mi 6 (). 48 ( ) 4 llamadas 4 mi ( x < ) jmlo. S sab qu s l úmro romdio d camios aqu qu llga or día a ua cira sació; las isalacios sólo ud adr cuado mucho 5 camios or día, Cuál s la robabilidad d qu u drmiado día s ga qu rgrsar los camios? ( x 5 ) ( x 5 ) + ( x 5 ) jmlo. A arir d ciros xrimos s ha sablcido qu la robabilidad d qu u idividuo sufra ua racció or la alicació d u drmiado suro s d.. Drmiar la robabilidad d qu d u oal d idividuos, ga racció: a) xacam b) Más d L jmlo. l STC ha drmiado ua asa d suicidios d or día coicidido qu ud sr cosidrado como u rocso d oisso, drmiar: a) La robabilidad d qu ocurra 4 murs or smaa. b) Al mos murs or smaa. a ) b) 7 ( x 4 ) ( 4 ) 4 robabilidad y sadísica s / dia 4 4 ( 7 dias ).58 ( x ) ( x ) i.5 Caura y dició: M.A. María Torrs Hrádz. 4 suicidios.9995 a) b) éxio. ( x ) Bibliografía ( x ) ( x > ) ( x ) Caavos, robabilidad y sadísica, di. Mc Graw Hill, México 988. Borras,. al. Aus d robabilidad y sadísica, Faculad d Igiría UNAM, México 985. Villarral, robabilidad y Modlos robabilísicos, UAM, México 989. His, Mogomry; robabilidad y sadísica, di. CCSA, ª dició, México 99. M.A. Vícor Damiá iilla Morá. Novimbr 9 7