Potencias y radicales

Transcripción

1 Potencis y rdicles POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO NOTACIÓN CIENTÍFICA RADICALES EQUIVALENTES SEMEJANTES OPERACIONES CON RADICALES SUMA Y RESTA PRODUCTO Y COCIENTE POTENCIA Y RAÍZ RACIONALIZACIÓN DENOMINADOR CON RADICAL DENOMINADOR CON BINOMIO RADICAL 8

2 Prueb de vlor No ern buenos tiempos pr l gente corriente, ls ciuddes estdo itlins se hundín en un río de intrigs, triciones y violents guerrs, del que no se slvbn ni siquier los Estdos Pontificios. En un de ests ciuddes, Bresci, Nicolo Fontn se dispuso contr l histori de su herid, un fe cictriz que surcb su mndíbul. Fue hce dos ños, en, l ciudd hbí cído y grupos de solddos descontroldos cmpbn sus nchs por tods prtes. Mi mdre corrí delnte de mí en dirección l iglesi. L nrrción se detuvo mientrs consejb los más pequeños. No lo olvidéis nunc: en cso de peligro el único sitio seguro es l iglesi! Trs l obligd pus, Nicolo continuó con su drmátic escen. De repente, mi mdre tropezó y un solddo se cercó ell blndiendo l espd. L trgedi precí irremedible. En ese momento, sin dudrlo ni un instnte, slté sobre él pr defenderl y rodmos por el suelo. Nicolo hcí spvientos luchndo con el imginrio enemigo. Pero er más fuerte que yo, se revolvió y de un golpe de espd tjó mi cr como quí veis. L herid trdó tiempo en currse y me dejó trtmudo, pero lo doy por bien empledo. El muchcho, Nicolo Fontn, poddo Trtgli, se convirtió en uno de los mtemáticos más importntes del siglo XVI. Trtgli encontró l solución de un ecución cúbic medinte rdicles. Discute el vlor numérico de estos rdicles según el vlor de : y. Pr < 0: no existe. Pr 0: Pr > 0: tiene un único vlor. 0 tiene dos vlores, que son opuestos. tiene un único vlor.

3 Potencis y rdicles EJERCICIOS 00 Simplific y clcul. z z... z x x... x () 0 veces 0 veces z 0 x 0 00 Escribe el inverso de los siguientes números como potenci de exponente entero Expres ests frcciones como potencis de exponentes enteros. Indic cuánto vle () n pr los vlores positivos y negtivos de n. Pr ello, comienz dndo vlores pequeños y obtén un regl generl. Independientemente de si n es positivo o negtivo, () n si n es pr si n es impr Aplic ls propieddes de ls potencis, y expres el resultdo como potenci de exponente positivo. 8 8 (8 ) e) 8 f) ( ) Indic qué propiedd hs utilizdo en cd cso ( 8() ) ( ) e) 0 ( ) ( ) f) 0 0

4 SOLUCIONARIO 00 Clcul. (x y ) : (x y ) (x y ) : (x y ) ( ) x y x y xy x y () x y 00 Simplific y expres el resultdo como potenci. 9 8 () () ( ) () Expres en notción científic g) 0,0089 0,000 h) i) diezmilésim billón j) centésims e) Medi decen k) 9 milésims f) l) trillones 9, 0 g) 8,9 0, 0 h), 0,89 0 i) 0 0 j) 0 e) 0 0 k) 9 0 f) l) Estos números no están correctmente escritos en notción científic. Corrígelos. 0, 0, 0 0, 0

5 Potencis y rdicles 00 Clcul., ( 0 ) (, 0 ), , 0 0, Reliz ls siguientes operciones, y expres el resultdo en notción científic. 9, 0 +, 0 e) (, 0 ) (8 0 ), f) ( 0 ) : ( 0 8 ) 0 0 g) ( 0 ) : (, 0 ) (9 0 ) (8, 0 ) h) ( 0 ) ( 0 ) : (8 0 ) 9, 0 e), 0 8,88 0 f) 0,99 0 g) 0, 0 h) Un microorgnismo mide, micrs. Sbiendo que micr es l millonésim prte de metro, expres, en metros y en notción científic, l longitud de millones de microorgnismos dispuestos en fil. ( 0 ) (, 0 ), 0 metros 0 Reliz, utilizndo l clculdor y tmbién sin ell, est sum: 9, , Qué diferencis observs entre ls dos forms de relizr l sum? En el cso de que l clculdor solo dmit dos cifrs en el exponente, no será cpz de hcerlo e indicrá un error. Si se reliz mnulmente, el resultdo es, Trnsform ls potencis en ríces..09 () () Clcul el vlor numérico, si existe, de los siguientes rdicles y No existe

6 SOLUCIONARIO 0 Hll, con l clculdor, el vlor numérico de ests expresiones. + ( ) +,989,989,89,88 No existe 0 Pon dos ejemplos de rdicles cuys ríces sen y. Existe un rdicl con ríces y? Ejemplos: 9 y 8 No es posible que un rdicl teng como ríces y, y que en el cso de tener dos ríces, ests deben ser opuests. 08 Expres ls siguientes potencis como rdicles y hll su vlor numérico. e) ( ) ( ) f) ( ), no existe.,990 e),88,80 f) ( ),99 09 D dos rdicles equivlentes cd uno y 8 y 0 y 0 00 Rzon si son equivlentes estos rdicles. 0 y y 0 y y 0 Equivlentes No equivlentes 0 No equivlentes Equivlentes 0 Expres en form de potenci. x xy x x x x ( xy ) x ( 8x)

7 Potencis y rdicles 0 Compr los siguientes rdicles., y < < 0 Simplific estos rdicles. b b b 0 Introduce fctores dentro del rdicl Simplific, si es posible Oper y simplific

8 SOLUCIONARIO 0 Clcul. ( ) 9 ( ) ( ) Hz est operción. 9 ( ) ( ) Trnsform ests frcciones en otrs equivlentes sin rdicles en el denomindor. e) f) e) f) 00 Rcionliz.

9 Potencis y rdicles 0 Resuelve y rcionliz ( ) Clcul el conjugdo de estos números, y efectú el producto de cd número por su conjugdo. + Conjugdo ( ) ( ) + Conjugdo + + Conjugdo Conjugdo + ( ) ( + ) 0 Rcionliz ls siguientes expresiones. + ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( )

10 SOLUCIONARIO 0 Efectú ests operciones y rcionliz el resultdo, si fuer preciso ( + ) ( + ) ( ) ( + ) Clcul el inverso de estos números ( + ) ( ) ( 00 + ) ( 00 ) ACTIVIDADES 0 Clcul ls siguientes potencis. 0 e) () g) () i) () 8 f) () h) () g) 8 8 ( ) e) h). 0 ( ) f) i) ( ) 0 Hll el inverso de estos números. e) f) e) f)

11 Potencis y rdicles 08 Expres ests frcciones como potencis de números enteros, emplendo exponentes negtivos, si es preciso. e) f) 9 e) f) 09 Simplific, expresndo como únic potenci. () : () : () () : () () : + () () () () () 8 () 0 00 Oper y expres el resultdo en form de un sol potenci. 0 0 : : : Efectú ls operciones. : e) : ( ) () ( ) f) [() ] ( ) : ( ) g) [( 8 ) ] ( ) ( ) h) ( ) : ( ) : 8 e) : [() ] () 8 f) () : ( ) () g) [( ) ] () () h) ( ) : [() ] 8

12 SOLUCIONARIO 0 HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES CON POTENCIAS FACTORIZANDO LAS BASES? Resuelve est operción con potencis, simplificndo todo lo que pueds. PRIMERO. Se descomponen ls bses de ls potencis en fctores primos. SEGUNDO. Se plic es descomposición l operción. ( ) ( ) ( ) ( ) TERCERO. Se resuelve l operción. + + ( ) ( ) 0 Oper y simplific el resultdo. (0 : 0 ) (9 0 : 9 ) e) ( : ) ( ) (0 0 0 ) f) (0 : 0 ) ( ) (0 ) 0 ( ) e) ( : ) ( ) (9 ) 9 f) ( ) 0 Clcul y simplific el resultdo. : : : [( ) ] :[( ) ] ( ) ( 8 8 ) ( ) 8 [() : ] ( : ) () [() : ] : [ : () ] () 0 Efectú y simplific. 0 : 8 9 : : 8 9 : 8 : : 9

13 Potencis y rdicles Simplific. 8 ( ) ( 8) 9 9 ( ) () 8 Reliz ests operciones con potencis, efectundo primero ls operciones dentro del corchete. Comprueb que si lo hces l revés, el resultdo no vrí. [ ()] e) [0 : ()] [() 8] f) [9 : () ] [ : () ] g) [ 0 ] [(0) : ()] h) [ ] e) [ 00] [ 80] [ ] f) [ ] [ ] g) [ 0] [ 0] h) [ 9 ] 0 Oper y expres el resultdo en form de potenci de exponente entero. e) 8 : : : f) 9 : : + + ( )8 [ ] ( ) 8 e) 8 [ () ] 0 f) [ ] 9 0

14 SOLUCIONARIO 09 HAZLO ASÍ CÓMO SE EFECTÚAN OPERACIONES COMBINADAS CON POTENCIAS? Efectú est operción. 8 PRIMERO. Se relizn ls operciones que están dentro de los préntesis. 8 8 SEGUNDO. Se clculn ls potencis TERCERO. Se efectún ls operciones, respetndo l jerrquí Reliz ls siguientes operciones. + + : 0 : + : : 0 9 9

15 Potencis y rdicles 0 0 Indic qué igulddes son verdders, y escribe el resultdo correcto en ls flss. b c b c Fls b 8 c 8 Fls + Fls Verdder Escribe en notción científic los siguientes números, e indic su orden de mgnitud e) , f) 0, g) , h).000, 0 0 Orden de mgnitud: 0, 0 Orden de mgnitud:,9 0 Orden de mgnitud: Orden de mgnitud: 0 e), Orden de mgnitud: 9 f) 9, 0 Orden de mgnitud: g),9 0 8 Orden de mgnitud: 8 h), 0 Orden de mgnitud: 0 Desrroll estos números escritos en notción científic.,8 0 8 e), 0 8 8, 0 f), 0,9 0 g),8 0,9 0 9 h), e) 0, , f) 0, , g) h) 0,

16 SOLUCIONARIO 0 Indic cuáles de los siguientes números están escritos en notción científic. 0 e), 0 0, 0 f) 0, g) 0, ,0000 h) 8, 0 Solo está escrito en notción científic el número del prtdo e), 0. 0 Efectú ls operciones., 0 +, 0 8, 0 + 9, 0, 0 +,8 0, 0 +, 0 +, 0 e), 0 +,9 0 +,8 0,89 0,09 0,0 0 e),980 0, Clcul. 9, 0, 0 8, 0, 0,9 0, 0, 0 +, 0,9 0 e) ,8 0, 0 8,0 0 e),99 0, Hz ls operciones., 0, 0 8, 0 :, 0 8,9 0, 0 9, 0 :, 0,8 0, 0,08 0 0, Simplific., 0, 0 8 9, 0, 0,8 0, 0 8, 9 0, , 0 8

17 Potencis y rdicles 09 Clcul, si es posible, el vlor numérico de los siguientes rdicles g) e) h) f) i) ± 0 g) ± e) No es posible h) ± f) i) Indic en estos rdicles cuáles son el índice y el rdicndo. Después, expréslos como potenci de exponente frccionrio. 9 e) f) Índice:, rdicndo: Índice:, rdicndo: Índice: 9, rdicndo: Índice:, rdicndo: e) Índice:, rdicndo: f) Índice:, rdicndo: ( ) 9 ( ) 0 Trnsform los rdicles en potencis y ls potencis en rdicles. g) e) 0 h) f) i) g) e) 0 h) f) i) 0 De estos rdicles, cuáles son equivlentes? ,,,,,,, y 0 Son equivlentes:

18 SOLUCIONARIO 0 Extre fctores de los siguientes rdicles. b 0 bc e) f) b 8 b b bc b e) b f) b 0 HAZLO ASÍ CÓMO SE EXTRAEN FACTORES DE UN RADICAL DESCOMPONIENDO EL RADICANDO EN FACTORES PRIMOS? Simplific el rdicl PRIMERO. Se fctoriz el rdicndo SEGUNDO. Se expres el rdicl como potenci de exponente frccionrio ( ) TERCERO. Si lgun de ls frcciones de los exponentes es impropi, se pone como l sum de un número entero y un frcción. CUARTO. Se expres como producto de potencis y se vuelve trnsformr en rdicl Extre fctores de ls ríces g) 8 e) h) 0 f) i) g) 0 e) h) f) i)

19 Potencis y rdicles 0 Simplific estos rdicles. g) e) 8 h) 8 f) i) 8 g) e) h) f) i) 0 Introduce fctores en el rdicl. g) 0 e) h) f) i) 8 0 g). 80 e) h) 8. f) i) 8 08 Introduce fctores en el rdicl, si es posible. b cb e) 8 c 8 + f) b b e) b c No es posible f) 8b 09 Efectú ls siguientes operciones

20 SOLUCIONARIO 00 Reliz ests operciones Oper y simplific. e) : g) : 8 f) : h) : e) g) 8 f) 0 h) 0 Clcul. ( ) + ( ) e) ( ) f) ( ) 8 ( ) ( 9 ) ( 8 ) + + e) + f) 0 Oper y simplific. ( ) ( ) + ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + )

21 Potencis y rdicles 0 Clcul y simplific. ( ) + ( + ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) ( ) + ( + + ) ( ) ( 9 + ) ( + ) ( + + ) 0 Hz ls operciones y simplific. ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( ) Clcul. b b b : b b b + + b b b b b 9 9 b : b b 0 0 b b b b 8

22 SOLUCIONARIO 0 Efectú y simplific. ( ) ( ) + ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) + + ( ) (9 ) + ( 80) ( 0 + ) ( ) ( ) Efectú y expres el resultdo como potenci. ( ) 8 8 ( ) Escribe los siguientes rdicles como potencis de exponente frccionrio. g) e) h) f) i) 9

23 Potencis y rdicles 080 Expres medinte un solo rdicl. e) f) 0 0 e) 8 f) 08 Rzon si son verdders o flss ests igulddes. n m n m b b e) + b + b n m n+ m b b f) n n n + b + b g) b b 8 b b n m n m b ( h) n m nm m b mn n nm b m b n nm b Fls nm n+ m n m nm m b mn n b m b n b Fls Fls, excepto cundo n. Y se comprueb probndo con culquier vlor de, b y n. n m n b n b m n m m b Fls, excepto si n m. e) Fls, y que si elevmos l cudrdo los términos: ( ) b b b b ( b ) f) b b b Verdder 8 g) b b b b Fls b + c b + c h) b + c b + c b + c Fls, excepto pr. 08 Rcionliz los denomindores y simplific. 0

24 SOLUCIONARIO 08 Rcionliz los denomindores y simplific. + ( ) ( ) ( ) + + ( ) 08 Rcionliz los denomindores y simplific. + e) f) + 8 ( ) 0 e) f) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) + ( + ) ( ) ( + ) + ( ) ( + ) ( ) + 8 ( 0 + ) ( ) ( + )

25 Potencis y rdicles 08 Rcionliz ( ) + + ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) HAZLO ASÍ CÓMO SE RESUELVEN OPERACIONES DE FRACCIONES CON DENOMINADORES EN FORMA DE RADICAL? Resuelve: 0 PRIMERO. Se rcionlizn ls frcciones SEGUNDO. Se resuelve l operción

26 SOLUCIONARIO 08 Rcionliz y oper Rcionliz y efectú ls operciones ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( 8 + ) 9 ( 8 ) ( 8 + ) + ( + ) ( ) ( + ) Rcionliz y oper

27 Potencis y rdicles 090 HAZLO ASÍ ( ) n CÓMO SE RACIONALIZAN FRACCIONES CON DENOMINADORES DEL TIPO b + c? Rcionliz: ( ) n n PRIMERO. Se multiplic por. ( ) ( ) ( ) SEGUNDO. Se multiplic por el conjugdo del denomindor resultnte. ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) 09 Rcionliz ls siguientes expresiones. ( + ) ( ) + + ( ) + ( ) ( ) ( ) + + ( ) + + ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) + 09 Escribe en notción científic. Distnci Tierr-Lun: km. Distnci Tierr-Neptuno: km. Diámetro de un electrón: 0, m. Superficie de l Tierr: km. e) Longitud de un virus (gripe): 0, m. f) Rdio del protón: 0, m. g) Peso de un estfilococo: 0, g. h) Un ño luz: km. i) Distnci del universo observble:.000 millones de ños luz.

28 SOLUCIONARIO,8 0 km, 0 8 km g) 0 g, km e), 0 9 m h) 9, 0 km 0 0 m f) 0 m i), 0 0 ños luz 09 Ls uniddes de medid con ls que medimos l cntidd de informción son: Byte bits Kilobyte 0 bytes Megbyte 0 Kilobytes Gigbyte 0 Megbytes Expres, en form de potenci y en notción científic, ests cntiddes de informción en bits y bytes. Un disco duro de 0 Gb. Un disquete de, Mb. Un trjet de memori de Mb. Un CD-Rom de 0 Mb. 0 Gb 0 0 bytes, bytes, bits Mb 0 bytes, bytes, bits, Mb, 0 bytes, bytes,099 0 bits 0 Mb 0 0 bytes,8 bytes 0 8,9 0 9 bits 09 L ms de Plutón es, 0 9 veces l ms del Sol, y est, su vez, es, 0 veces l ms de l Tierr. Si l ms de l Tierr es 0 kg, hll l ms de Plutón y del Sol. Ms del Sol: 0, 0,98 0 kg Ms de Plutón:,98 0, 0 9,08 0 kg 09 Se h observdo que l poblción de cierts bcteris se duplic cd hor. Si el número inicil es de 8 0 bcteris: Cuánts bcteris hbrá ls hors? Y ls hors? Cuánts hors tendrán que psr pr que sen,0 0 bcteris? 8 0, 0 bcteris 8 0, 0 bcteris,0 0 : 8 0 8, por lo que n 8 n. Tendrán que psr hors.

29 Potencis y rdicles Cuánto mide l rist de un cubo cuyo volumen es m? Expres el resultdo en form de rdicles. Arist m Arist m Cuánto mide el áre de l cr de un cubo cuyo volumen es 9 cm? Expres el resultdo como rdicl y como potenci. Arist 9 m Arist 9 m Áre de l cr m m Si el volumen de un cubo es 0 cm, hll el vlor de l sum de sus rists. Arist 0 cm Arist 0 cm Sumderists Con los dtos de l ctividd nterior, clcul l superficie lterl del cubo. Arist 0 cm Arist 0 cm Áre de l cr 0 cm Áre lterl 0 0 cm Generliz los resultdos de ls ctividdes nteriores, dndo el vlor de l rist y l superficie lterl de un cubo en función de su volumen. Arist Volumen Arist Volumen Áre de l cr Áre lterl 0 Volumen Volumen Expres en notción científic cm 0 0, , , ,0 0 0, , Reflexion y responde. En qué csos ocurre que <? Y en qué csos ocurre que >? <, cundo 0 < <. >, cundo >.

30 SOLUCIONARIO 0 Rcionliz ( + ) ( + ) ( ) ( + + ) Explic cómo se rcionlizn ls frcciones del tipo n n. b n n Volvemos rcionlizr hst que eliminmos totlmente ls ríces del denomindor n n b b n n n ( + b ) b n n n n ( ) + n n n ( ) + b b n ( ) n ( ) ( ) n n n n n + b + b + b n b b n n n n ( + ) ( + b b ) ( + b ) b ( ) n n b EN LA VIDA COTIDIANA 0 Un equipo de ingenieros eronáuticos v presentr un proyecto pr l construcción de un nuevo vión. Por ello quieren construir un mquet. Sin embrgo, se hn encontrdo con un problem. Te hs fijdo en est piez? Es un rectángulo de cm de lrgo, pero su ncho Sí, es cierto; debe medir cm.

31 Potencis y rdicles Pr no cometer errores en l construcción, se plnten cómo trzr un segmento que mid exctmente cm. Así, el equipo h resuelto el problem pr poder relizr l mquet. Podemos trzr un triángulo rectángulo cuyos ctetos midn cm y cm, y utilizr el teorem de Pitágors. Otr de ls piezs v ser un rectángulo que mid + cm de lrgo y cm de ncho. Cómo conseguirán dibujrlo con precisión? Un vez conocido el segmento de cm, trzmos el segmento de cm medinte un triángulo rectángulo, de ctetos cm y cm, y se hce lo mismo con el segmento de cm con un triángulo de ctetos cm y cm. Teniendo el segmento de cm, le ñdimos cm prolongndo l rect, con lo que result un segmento de + cm. Trzmos l meditriz del segmento y conseguimos un segmento + de cm. Pr el otro ldo del rectángulo, trzmos primero un segmento de cm, medinte un triángulo rectángulo de ctetos cm, y proyectmos cutro veces el segmento utilizndo un compás, por lo que conseguimos un segmento de cm. 0 Pr motivr los lumnos de un centro escolr sobre el excesivo consumo que se hce del gu, los profesores hn orgnizdo un visit l emblse de su región. Pr que os hgáis un ide precis de l cpcidd del emblse, imgind que es l mism que l de un cubo de 0 metros de rist El doble del lrgo de un cmpo de fútbol! EMBALSE EL COLIBRÍ 8

32 SOLUCIONARIO Los lumnos mirn sorprendidos el pnel con los dtos del emblse. Nos está diciendo l verdd? No estoy seguro. Informción sobre el emblse CAPACIDAD 9, hm Justific si el guí h hecho bien los cálculos. Al finl de l visit, el profesor decide entregrles este folleto. El gsto de gu l ño de un fmili es de unos..000 litros. Cuántos metros medirá el ldo de un cubo con est cpcidd? Si el cubo tiene 0 m de rist, su cpcidd es de 0 m m 9, hm. Por tnto, el guí no h relizdo bien el cálculo de l rist litros..000 dm. m L rist del cubo mide., m. 9