Método de eliminación de Gauss Utilidad del método. Transformaciones elementales. Teorema Rouché-Frobenius

Transcripción

1 Método de eliminación de Gauss Utilidad del método. Transformaciones elementales. Teorema Rouché-Frobenius c Jana Rodriguez Hertz p. 1/2

2 Método de eliminación de Gauss La clase pasada presentamos el método de escalerización de Gauss, ahora: Por qué sirve el método? c Jana Rodriguez Hertz p. 2/2

3 Método de eliminación de Gauss La clase pasada presentamos el método de escalerización de Gauss, ahora: Por qué sirve el método? Es decir: c Jana Rodriguez Hertz p. 2/2

4 Método de eliminación de Gauss La clase pasada presentamos el método de escalerización de Gauss, ahora: Por qué sirve el método? Es decir: resuelve el sistema? c Jana Rodriguez Hertz p. 2/2

5 Método de eliminación de Gauss La clase pasada presentamos el método de escalerización de Gauss, ahora: Por qué sirve el método? Es decir: resuelve el sistema? es realizable (finito)? c Jana Rodriguez Hertz p. 2/2

6 Método de escalerización de Gauss Para ver que el método sirve veremos que: todo sistema se escaleriza en una cantidad finita de transformaciones elementales c Jana Rodriguez Hertz p. 3/2

7 Método de escalerización de Gauss Para ver que el método sirve veremos que: todo sistema se escaleriza en una cantidad finita de transformaciones elementales las transformaciones elementales no alteran el conjunto solución c Jana Rodriguez Hertz p. 3/2

8 Transformaciones elementales Llamaremos transformación elemental a cualquiera de las siguientes operaciones: c Jana Rodriguez Hertz p. 4/2

9 Transformaciones elementales Llamaremos transformación elemental a cualquiera de las siguientes operaciones: sumar a una ecuación un múltiplo de otra c Jana Rodriguez Hertz p. 4/2

10 Transformaciones elementales Llamaremos transformación elemental a cualquiera de las siguientes operaciones: sumar a una ecuación un múltiplo de otra intercambiar de lugar dos ecuaciones c Jana Rodriguez Hertz p. 4/2

11 Transformaciones elementales Llamaremos transformación elemental a cualquiera de las siguientes operaciones: sumar a una ecuación un múltiplo de otra intercambiar de lugar dos ecuaciones multiplicar una ecuación por α 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 4/2

12 Proposición Las transformaciones elementales no alteran el conjunto solución. c Jana Rodriguez Hertz p. 5/2

13 Proposición Las transformaciones elementales no alteran el conjunto solución. Definición Dos sistemas con el mismo conjunto solución se llaman sistemas equivalentes c Jana Rodriguez Hertz p. 5/2

14 Proposición - Demostración Ahora X resuelve (S) A 1 X = b 1. (S) A i X = b i. A m X = b m c Jana Rodriguez Hertz p. 6/2

15 Proposición - Demostración Ahora X resuelve (S) A 1 X = b 1. (S) A i X = b i. A m X = b m A i X = a i1 x 1 + a i2 x a in x n c Jana Rodriguez Hertz p. 6/2

16 Proposición - Demostración Ahora X resuelve (S) A 1 X = b 1. (S) A i X = b i. A m X = b m T.E. c Jana Rodriguez Hertz p. 6/2

17 Proposición - Demostración Ahora X resuelve (S) A 1 X = b 1. (S) A i T.E. X = b i (S ). A m X = b m A 1 X = b 1. αa i X = αb i. A m X = b m c Jana Rodriguez Hertz p. 6/2

18 Proposición - Demostración Ahora X resuelve (S) A 1 X = b 1. (S) A i T.E. X = b i (S ). A m X = b m X resuelve (S ) A 1 X = b 1. αa i X = αb i. A m X = b m c Jana Rodriguez Hertz p. 6/2

19 Proposición - Demostración Ahora X resuelve (S) A 1 X = b 1. (S) A i T.E. X = b i (S ). A m X = b m X resuelve (S ) A 1 X = b 1. αa i X = αb i. A m X = b m c Jana Rodriguez Hertz p. 6/2

20 Proposición - Demostración Ahora X resuelve (S) A 1 X = b 1. (S) A i T.E. X = b i (S ). A m X = b m A 1 X = b 1. αa i X = αb i. A m X = b m X resuelve (S ) Se demuestra análogamente para las otras T.E. c Jana Rodriguez Hertz p. 6/2

21 Proposición Todo sistema se puede escalerizar en una cantidad finita de T.E. c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2

22 Proposición Toda matriz se puede escalerizar en una cantidad finita de T.E. c Jana Rodriguez Hertz p. 7/2

23 Proposición - Demostración F 1 con primer coeficiente 0 c Jana Rodriguez Hertz p. 8/2

24 Proposición - Demostración F 1 con primer coeficiente T.E. c Jana Rodriguez Hertz p. 8/2

25 Proposición - Demostración F 1 con primer coeficiente T.E. Conseguir matriz: a 11 a a 1n 0 a a 2n a m2... a mn c Jana Rodriguez Hertz p. 8/2

26 Proposición - Demostración F 1 con primer coeficiente T.E. Conseguir matriz: a 11 a a 1n 0 a a 2n (m 1) T.E. 0 a m2... a mn c Jana Rodriguez Hertz p. 8/2

27 Proposición - Demostración F 1 con primer coeficiente T.E. Conseguir matriz: a 11 a a 1n 0 a a 2n (m 1) T.E. 0 a m2... a mn Calcular cuántos pasos se necesitan para terminar de escalerizar c Jana Rodriguez Hertz p. 8/2

28 Proposición - Demostración F 1 con primer coeficiente T.E. Conseguir matriz: a 11 a a 1n 0 a a 2n (m 1) T.E. 0 a m2... a mn Calcular cuántos pasos se necesitan para terminar de escalerizar c Jana Rodriguez Hertz p. 8/2

29 Conclusión Estas dos proposiciones garantizan que el M.E. Gauss es un buen algoritmo para resolver (S) c Jana Rodriguez Hertz p. 9/2

30 Recordemos Sistema m n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1. (S) a i1 x 1 + a i2 x a in x n = b i. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m c Jana Rodriguez Hertz p. 10/2

31 Notación matricial Matriz asociada a (S) a 11 a a 1n.. A = a i1 a i2... a in.. a m1 a m2... a mn c Jana Rodriguez Hertz p. 11/2

32 Notación matricial Matriz ampliada de (S) a 11 a a 1n b 1.. A b = a i1 a i2... a in b i.. a m1 a m2... a mn b m c Jana Rodriguez Hertz p. 12/2

33 Observaciones Una matriz A puede tener muchas formas escalerizadas A E c Jana Rodriguez Hertz p. 13/2

34 Observaciones Una matriz A puede tener muchas formas escalerizadas A E Todas las formas escalerizadas de A tienen la misma cantidad de escalones c Jana Rodriguez Hertz p. 13/2

35 Teorema de Rouché-Frobenius escalones A E < escalones (A b) E c Jana Rodriguez Hertz p. 14/2

36 Teorema de Rouché-Frobenius escalones A E < escalones (A b) E incompatible c Jana Rodriguez Hertz p. 14/2

37 Teorema de Rouché-Frobenius escalones A E < escalones (A b) E incompatible escalones A E < columnas A E c Jana Rodriguez Hertz p. 14/2

38 Teorema de Rouché-Frobenius escalones A E < escalones (A b) E incompatible escalones A E < columnas A E compatible indeterminado c Jana Rodriguez Hertz p. 14/2

39 Teorema de Rouché-Frobenius escalones A E < escalones (A b) E incompatible escalones A E < columnas A E compatible indeterminado escalones A E = columnas A E c Jana Rodriguez Hertz p. 14/2

40 Teorema de Rouché-Frobenius escalones A E < escalones (A b) E incompatible escalones A E < columnas A E compatible indeterminado escalones A E = columnas A E compatible determinado c Jana Rodriguez Hertz p. 14/2

41 En particular, un sistema con más incógnitas que ecuaciones no puede ser compatible determinado c Jana Rodriguez Hertz p. 15/2

42 Matriz escalerizada todas las filas, salvo quizás la primera, comienzan con una sucesión de ceros c Jana Rodriguez Hertz p. 16/2

43 Matriz escalerizada todas las filas, salvo quizás la primera, comienzan con una sucesión de ceros cada fila comienza con al menos un cero más que la fila superior c Jana Rodriguez Hertz p. 16/2

44 Matrices A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn c Jana Rodriguez Hertz p. 17/2

45 Matrices A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn También A = (a ij ) i=1,...,m j=1,...,n c Jana Rodriguez Hertz p. 17/2

46 Matrices A = a 11 a a 1n a 21 a a 2n a m1 a m2... a mn También A = (a ij ) i=1,...,m j=1,...,n Dos matrices son iguales si y sólo si tienen el mismo tamaño y las mismas entradas en las mismas posiciones c Jana Rodriguez Hertz p. 17/2

47 Ejemplo 1 La matriz A = cuántas filas tiene? ( 1 ) i=1,2 2i + j j=1,2,3 c Jana Rodriguez Hertz p. 18/2

48 Ejemplo 1 La matriz A = cuántas filas tiene? cuántas columnas? ( 1 ) i=1,2 2i + j j=1,2,3 c Jana Rodriguez Hertz p. 18/2

49 Ejemplo 1 La matriz A = cuántas filas tiene? cuántas columnas? ( 1 ) i=1,2 2i + j j=1,2,3 cuáles son los coeficientes? c Jana Rodriguez Hertz p. 18/2

50 Ejemplo 1 A = ( ) c Jana Rodriguez Hertz p. 19/2

51 Ejemplo 1 A = ( 1 3 ) c Jana Rodriguez Hertz p. 19/2

52 Ejemplo 1 A = ( ) c Jana Rodriguez Hertz p. 19/2

53 Ejemplo 1 A = ( ) c Jana Rodriguez Hertz p. 19/2

54 Ejemplo 1 A = ( ) c Jana Rodriguez Hertz p. 19/2

55 Ejemplo 1 A = ( ) c Jana Rodriguez Hertz p. 19/2

56 Ejemplo 1 A = ( ) c Jana Rodriguez Hertz p. 19/2

57 Ejemplo 1 matriz 2 3 A = ( ) c Jana Rodriguez Hertz p. 19/2

58 Ejemplo 2 Las matrices ( A = ) y B = ( ) son diferentes. c Jana Rodriguez Hertz p. 20/2