UNIDAD DIDÁCTICA #5 CONTENIDO I. PRODUCTOS NOTABLES III. DIVISIÓN DE POLINOMIOS II. CUBO DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

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1 UNIDAD DIDÁCTICA #5 CONTENIDO I. PRODUCTOS NOTABLES II. CUBO DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES III. DIVISIÓN DE POLINOMIOS IV. FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

2 I. PRODUCTOS NOTABLES Los productos notables son multiplicaciones entre polinomios cuyos resultados pueden generalizarse para hallar la respuesta sin efectuar la operación. CUADRADO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS Elevar al cuadrado una suma de dos términos puede efectuarse utilizando la propiedad distributiva así: (a + b) 2 = (a + b) (a +b) = a (a + b) b (a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Cuadrado de la suma de dos términos El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto de ambos términos, mas el cuadrado del segundo término. Ejemplos: (2x + 5y) 2 = (2x) 2 + 2(2x)(5y) + (5y) 2 EJEMPLOS: 4x xy + 25y 2 a) (2 + x) 2 = (2) 2 + 2(2)(x) + (x) 2 = 4 + 4x + x 2 b) (6a + b) 2 = Cuadrado de la diferencia de dos términos a) (a - b) (a - b) = (a - b) 2 = a 2-2ab + b 2 b) El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el doble del primero por el segundo, mas el cuadrado del segundo término.

3 Ejemplos: c) (3 x) 2 = (3) 2-2(3)(x) + (x) 2 = 9 6x + x 2 (x 2y) 2 = (3x y) 2 = II. CUBO DE LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS TERMINOS CUBO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS Desarrollemos (a + b) 3 (a + b) 3 = (a + b) 2 (a + b) Por lo tanto: = (a 2 + 2ab +b 2 ) (a + b) = a 3 + a 2 b+2a 2 b + 2ab 2 + b 3 ) = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Luego el cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término, más tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo. EJEMPLOS: (4x + y) 3 = (4x) 3 + 3(4x) 2 (y) + 3(4x)(y) 2 (y) 3 = 64x 3 + 3(16x 2 )y + 12xy 2 + y 3 = 64x x 2 y + 12xy 2 + y 3

4 CUBO DE LA DIFERENCIA DE UN BINOMIO (a - b) 3 = (a - b) 2 (a - b) Ejemplos. = (a 2-2ab +b 2 ) (a - b) = a 3-3a 2 b + 3ab 2 - b 3 (x 2y) 3 = (x) 3-3(x) 2 (2y) + 3(x)(2y) 2 (2y) 3 = x 3-3x 2 (2y) + 3x(4y 2 ) 8y 3 = x 3-6x 2 y + 12xy 2-8y 3 III. DIVISIÓ N DE PÓLINÓMIÓS Para dividir polinomios se utiliza el proceso que se describe a continuación: 1 Ordenar los polinomios del dividendo y del divisor de mayor a menor grado dejando espacios cuando falte algún término. 2 Dividir el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, el resultado es el primer término del cociente. 3 El término hallado del cociente se multiplica por el divisor y el producto se resta del dividendo. 4 El resultado del paso 3 es el nuevo dividendo, proceder entonces a repetir desde el paso 2. EJEMPLO: Dividir 4x 3 6x entre x - 2 Los polinomios deben estar ordenados en forma decreciente, y el polinomio dividendo debe estar completo. Ejemplo: 4x 3 6x 2 + 0x + 8 x 2 Dividendo divisor

5 EJEMPLO: Dividir 4x 3 6x entre x - 2 Primer paso: 4x 3 x = 4x 2 los exponentes se restan Multiplicamos 4x 2 por (x -2) 4x 3 6x 2 + 0x + 8 x 2-4x 3 +8x 2 4x 2 + 2x x 2 + 0x - 2x 2 + 4x 4x + 8-4x Por tanto: (4x 3 6x 2 + 8) (x 2) = 4x 2 2x + 4, residuo 16. CALCULAR: 2x 2-7x -17 entre x - 5 2x 2-7x - 17 x 5 2x x 2x + 3 3x 17-3x Por tanto (2x 2 7x 17) (x -5) = 2x +3, residuo -2. Calcular: 16x 3 + 8x 2 4x +2) (x 2) 16x 3 + 8x 2 4x + 2 x 2-16x x 2 16x x x 2-4x - 40x 2 +80x

6 76x x Por lo tanto (16x 3 + 8x 2 4x + 2) (x 2 2) = 16x x +76 y el residuo es 154. Ejercicio: 9x 2 15x x + 5-9x 2-15x 3x 10-30x x Por lo tanto (9x 2 15x + 25) (3x + 5) = 3x 10 y el residuo es 75. IV. FACTORIZACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE ES FACTORIZAR? Es escribir una expresión como un producto de varios factores. Qué es un factor común? Es un factor que aparece en todos los términos de un polinomio. Factor Común Monomio Se basa en la propiedad recolectiva, o sea, la inversa de la distributiva. ax + ay = a(x + y) Factor común 3ax 2-5bx 2 = x 2 (3a 5b)

7 Factor común Pasos para extraer el factor común monomio de un polinomio 1- Escribir el MCD de los coeficientes numéricos de los términos del polinomio seguido de la o las letras comunes con su menor exponente. 2- El otro factor lo obtienes dividiendo cada término del polinomio por el factor común. Ejemplos: Descomponer en factores extrayendo el factor común. 4x 2 2x 3 y + 6xy 2 Encontrar el MCD de (4, 2, 6) El MCD de (4, 2, 6) = 2 Continuación Numérico: 2 Luego: factor común 2x Literal : x Por tanto: 4x 2-2x 3 y + 6xy 2 = 2x 4x 2 _ 2x 3 y + 6xy 2 2x 2x 2x = 2x (2x x 2 y + 3y 2 ) Ejercicio # 2 3x 2 y 2xy + 5x 2 y 2

8 Encontrar el MCD de (3, 2, 5) = 1, luego: Numérico: 1 Factor común 1 xy Literal: xy Po tanto: 3x 2 y 2xy + 5x 2 y 2 = xy 3x 2 y _ 2xy + 5x 2 y 2 xy xy xy = xy (3x 2 + 5xy)

9 HOJA DE EVALUACIÓN Aplica el producto indicado. a) (2x +1) 2 b) (2y+3) 2 c) (2t - 1) 2 d) (5x-3y) 2 e) (x + 3) 3 f) (3 + y 2 ) 3 g) (2t + 1) 3 h) (4x + y) 3 i) (2x + 3) 3 Encontrar el factor común de las siguientes expresiones: b) 90x 2 y 3 z; 45xy 2 c) 150a 2 b 2 c 3 ; 25abc; 50a 2 bc = d) 48x 2 y 3-24xy x 3 y = Realiza las siguientes divisiones de polinomios. a) (3x 3 2x 2 + 5x 12) (x 2-3x - 5) b) (4x 2 22x + 121) (2x 11)

10 BIBLIOGRAFÍA Santillana tercer ciclo, matemáticas estrategias Honduras