n 2 fi donde: n es el número de individuos

Transcripción

1 ESTADÍSTICA. INTRODUCCIÓN La ecesdad de poseer datos cfrados sobre la poblacó y sus codcoes materales de exsteca ha debdo hacerse setr desde que se establecero socedades humaas orgazadas. Desde los comezos de la cvlzacó ha exstdo formas secllas de estadístca, pues ya se utlzaba represetacoes gráfcas y otros símbolos e peles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas para cotar el úmero de persoas, amales o certas cosas. Haca el año 000 a.c. los babloos usaba ya pequeñas tablllas de arclla para recoplar datos e tablas sobre la produccó agrícola y los géeros veddos o cambados medate trueque. Los egpcos ya aalzaba los datos de la poblacó y la reta del país mucho ates de costrur las prámdes. Los lbros bíblcos de úmeros y crócas cluye, e alguas partes, trabajos de estadístca. El prmero cotee dos cesos de la poblacó de Israel y el segudo descrbe el beestar materal de las dversas trbus judías. E Cha exstía regstros umércos smlares co aterordad al año 000 a.c. Los gregos cláscos realzaba cesos cuya formacó se utlzaba haca el 59 a.c. para cobrar mpuestos El Impero romao fue el prmer gobero que recopló ua gra catdad de datos sobre la poblacó, superfce y reta de todos los terrtoros bajo su cotrol. Por orde de Carlomago, e el año 76 se realza u vetaro mucoso de las propedades de la Iglesa. Los Reyes Católcos ordearo e 8 el recueto de hogares de las provcas de Castlla. E el sglo XVII se delmtaro claramete los coceptos relatvos a las bases y a los medos de los estudos estadístcos, formádose dos escuelas: Escuela descrptva alemaa, fudada por Herma Corg, a la que se le debe el ombre de Estadístca, Escuela de los artmétcos polítcos. Los fudadores fuero Joh Graut y sr Wllam Petty E el sglo XIX, la estadístca etra e ua ueva fase de su desarrollo co la geeralzacó del método para estudar feómeos de las cecas aturales y socales. Los vestgadores aceptaro la ecesdad de reducr la formacó a valores umércos para evtar posbles ambgüedades. ESTADÍSTICA es ua rama de las Matemátcas que se ocupa de recoger, aalzar y extraer formacó relevate y útl del cojuto de datos obtedos. Esta formacó se procesa y aparece e forma de gráfcos y/o úmeros.. EL MÉTODO ESTADÍSTICO. El método estadístco colleva uas etapas báscas que se descrbe a cotuacó: Seleccó de la poblacó y del carácter o de los caracteres que se va a estudar.. S la poblacó es sufcetemete grade, se seleccoará ua muestra. Recogda de datos medate ecuestas, búsqueda e archvos, etc. Elaboracó de tablas co los datos recogdos. Realzacó de gráfcos a partr de las tablas aterores. Cálculo de parámetros estadístcos.. EL LENGUAJE ESTADÍSTICO. Defmos alguos coceptos báscos de Estadístca. a. Poblacó o uverso: es el cojuto sobre el que se realza el estudo. La poblacó debe estar determada co clardad a la hora de car el estudo. Puede ser fta o fta. E estadístca, el térmo poblacó tee u setdo más amplo, ya que puede estar formado por persoas, cosas, áreas geográfcas, períodos temporales... Por ejemplo: empleados de u taller; pezas producdas e ua fábrca; seres temporales ( desde 980 hasta 985); provcas de Adalucía... b. Idvduo: cada ua de las udades elemetales sobre las que se realza el estudo.

2 U dvduo puede ser algo co exsteca real o be abstracta. Por ejemplo: u empleado; ua peza fabrcada; u mes, u año (985); la provca de Huelva... Tamaño de la poblacó: es el úmero de dvduos que forma la poblacó. Es muy mportate a la hora de la vestgacó estadístca. c. Carácter: es el aspecto, feómeo, rasgo o cualdad que se va a estudar e cada uo de los dvduos de la poblacó. Por ejemplo: De los empleados de u taller podemos estudar: el sexo, la productvdad, úmero de hjos, el grupo saguíeo... De las pezas producdas e ua fábrca podemos estudar: el tamaño, la caldad, el peso... E las seres temporales podemos hacer u estudo sobre: el úmero y procedeca de los turstas, gresos obtedos, evolucó del PIB... De las provcas adaluzas podemos realzar estudos sobre: capacdad hotelera, plazas de las uversdades, úmero de accdetes de tráfco, capacdad de los embalses... A las dsttas posbldades del carácter se les llama modaldad s o se expresa umércamete, y valor e caso cotraro. Estas posbldades tee que ser compatbles dos a dos, ya que cada dvduo debe perteecer a ua sola. El úmero de modaldades o valores de u carácter puede varar segú la formacó que se quera recoger. Se puede dstgur dos tpos de caracteres: Cualtatvos: s las dsttas modaldades de los dvduos o so medbles umércamete. Ejemplo: el sexo, el estado cvl, la profesó, el grupo saguíeo... Cuattatvos: s los valores de las característcas de los dvduos so medbles umércamete. Esta característca e geeral se represeta por ua letra (x, y,...) y recbe el ombre de varable estadístca. Las varables estadístcas se puede clasfcar: Varable estadístca dscreta: cuado los posbles valores dsttos que puede tomar la característca o varable so aslados. El caso más frecuete es aquel e el que la varable sólo toma valores eteros. Ejemplo: el úmero de hjos, el úmero de empleados... Varable estadístca cotua: cuado los posbles valores dsttos que puede tomar la característca o varable so todos los valores de u tervalo, y por tato ftos valores. Ejemplo: el peso, la edad de u dvduo, la talla de ua persoa, la temperatura. E geeral, todas las magtudes relacoadas co el espaco, el tempo, la masa o be combacó de ellas so varables estadístcas cotuas. E el caso de ua varable estadístca dscreta, que pueda tomar u gra úmero de valores, se puede cosderar como ua varable cotua para su posteror estudo al agruparse los datos e tervalos. Así las varables salaro de u empleado, beefcos de ua empresa, edad, etc. Para estudar ua varable estadístca cotua se defe las clases o grupos de los posbles valores que puede tomar la varable. La ampltud de estas clases es costate o varable. El úmero de clases a adoptar depede de la precsó del estudo y a veces poer muchas clases o pocas lleva a ua rregulardad e las coclusoes. d. Muestra: es el subcojuto de dvduos de la poblacó sobre los que se realza el estudo para traspoer las coclusoes a toda la poblacó. Al realzar el recueto y la orgazacó e tablas de los datos obtedos aparece los coceptos que a cotuacó defmos: e. Frecueca absoluta: es el úmero de dvduos que preseta ua modaldad o valor se represeta por. f. Frecueca relatva: es el cocete etre el úmero de dvduos que preseta ua modaldad o valor y el úmero total de dvduos de la poblacó o muestra sobre la que se está realzado el estudo, Se represeta por f f dode: es el úmero de dvduos

3 g. Porcetaje: es la frecueca relatva multplcada por 00. Represeta el tato por ceto de dvduos que preseta dcha modaldad o valor, Se represeta p (p=j;' 00 p = f 00 h. Frecueca absoluta acumulada: es la suma de las frecuecas absolutas, ua vez ordeados los valores, hasta la que ocupa el lugar, Se represeta por N. N = k k=. Frecueca relatva acumulada: es la suma de las frecuecas relatvas, ua vez ordeados los valores, hasta la que ocupa el lugar, Se represeta por F. F = f k=. TABLAS Y GRÁFICOS ESTADÍSTICOS. Las tablas estadístcas os ayuda a resumr la formacó obteda a partr de los datos dados. Se usa tablas de frecuecas y seres croológcas. Para realzar los gráfcos estadístcos es ecesaro teer e cueta el tpo de carácter que se está estudado. Los más usuales so: S el carácter es cualtatvo: dagrama de barras, dagrama de sectores, pctogramas. S el carácter es cuattatvo o agrupado: dagrama de barras, polígoo de frecuecas. S el carácter es cuattatvo agrupado: hstogramas, polígoos de frecuecas. Es muy mportate la escala utlzada para terpretar co facldad la gráfca. Para que el gráfco o dstorsoe la formacó se debe mateer la proporcó etre las áreas o alturas y las frecuecas del carácter.

4 5. MEDIDAS ESTADÍSTICAS. Exste dsttos tpos de meddas, segú el papel que juega: a. Meddas de cetralzacó: busca característcas del cetro de la dstrbucó: meda, moda y medaa. b. Meddas de poscó: dca, ua vez ordeados, cuátos elemetos queda a la zquerda o derecha de uo dado: cuartles, decles, cetles o percetles. c. Meddas de dspersó: proporcoa ua dea sobre la separacó de los datos: rago o recorrdo, desvacó meda, varaza, desvacó típca y coefcete de varacó. d. Meddas de forma: proporcoa ua dea de la smetría y aputameto de la dstrbucó: coefcete de asmetría y coefcete de aputameto. Vamos a cosderar que ua vez ordeados los datos la varable x preseta k valores dsttos x, x, x, x k ; la frecueca absoluta de cada valor es,,... k hay dvduos e la poblacó o muestra estudada. S se trata de ua varable agrupada e tervalos: (L o, L ], (L, L ], (L, L ]... (L k- l, L k ] los valores x = l... k, represeta los valores de la marca de clase de cada tervalo, 6. MEDIDAS DE CENTRALIZACIÓN. a. Meda artmétca smple Es el cocete etre la suma de todos los datos y el úmero total de ellos x k = = x - La meda es el cetro de gravedad de la dstrbucó, es úca para cada dstrbucó. - Cuado aparece valores extremos y poco sgfcatvos la meda puede que o sea represetatva. - No tee setdo e el caso de ua carácter cualtatvo cuado exste datos agrupados co algú tervalo o acotado. Propedades: - S se suma ua costate a todos los valores de ua varable, su meda aumeta e dcha costate. - S se multplca todos los valores de la varable por ua costate, la meda queda multplcada por dcha costate. Exste otras medas: o Meda artmétca poderada. o Meda armóca o Meda geométrca.

5 b. Moda. E el caso de ua varable o agrupada es el valor de la varable que más se repte E el caso de ua varable agrupada, sempre que los tervalos sea de la msma ampltud, se aproxma la moda por el valor que se obtee al aplcar la fórmula Mo = L + c ) + ( ) dode: ( + L - : límte feror del tervalo modal : frecueca del tervalo modal. - : frecueca absoluta del tervalo ateror al tervalo modal. + : frecueca absoluta del tervalo posteror al tervalo modal. c : ampltud del tervalo modal. c. Medaa. Es valor que tee la propedad de que, ua vez ordeados los valores, el úmero de datos superores e ferores a él cocde. E el caso de ua varable o agrupada, ua vez ordeados los datos, la medaa es el valor cetral s el úmero de observacoes es mpar y la meda de los valores cetrales s es par. E el caso de ua varable agrupada, hemos de buscar el tervalo cetral, e el que ser ecuetra el/los valores cetrales y aplcar la fórmula: N+ Me= L + + c + + dode: L - : límte feror del tervalo cetral N - : frecueca absoluta acumulada del tervalo ateror : es la frecueca del msmo tervalo. : es el úmero de datos c : es la ampltud del tervalo. 7. MEDIDAS DE POSICIÓN. a. Percetles Ua vez ordeados los datos, so los valores de la varable que deja a su zquerda u porcetaje determado de la poblacó. Se represeta por C h, dode h represeta el porcetaje. Por ejemplo, el P deja a su zquerda al % de la poblacó. E el caso de varable agrupada, ua vez obtedo el tervalo e que se ecuetra cada percetl, se aplca la sguete fórmula: h N C h = L 00 + c b. Cuartles Ua vez ordeados los datos, so tres valores de la varable que dvde a los datos e cuatro grupos guales. E cada uo de ellos hay u 5% de los dvduos de la poblacó. Se represeta por Q, Q y Q. E el caso de varable agrupada se aplca ua expresó aáloga a la de la medaa. Se deoma rago tercuartílco a la dfereca etre el prmer y tercer cuartel. R = Q Q Nos da ua fraja e la que se ecuetra el 50% de la poblacó. 5

6 c. Decles Ua vez ordeados los datos, so ueve valores de la varable que dvde a los datos e ueve partes guales. El tratameto es smlar al descrto para los cuartles. Se represeta por D Aálogamete podríamos defr los qutles (K ) 8. MEDIDAS DE DISPERSIÓN. a. Rago o recorrdo Es la dfereca etre el valor mayor y el meor de la varable, s la varable o es agrupada. S la varable es agrupada, se calcula la dfereca etre el límte superor del últmo tervalo y el límte feror del prmer tervalo. El valor del recorrdo sólo tee e cueta los valores extremos; o fluye los demás elemetos de la dstrbucó. b. Desvacó meda Es la meda artmétca de las desvacoes de los valores de la varable respecto a la meda de la dstrbucó. Se llama desvacó respecto de la meda al valor absoluto de la dfereca de los valores de la varable y la meda. Desvacoes respecto a la meda: x - x Desvacó meda: k x x = DM = Es ua medda muy poco utlzada por lo complcado de su cálculo. S la desvacó meda es muy pequeña, dca que hay ua gra cocetracó de valores e toro a la meda. c. Varaza Es la meda de los cuadrados de las desvacoes respecto a la meda. Se represeta por S k (x x) x - = = S = - x La varaza sempre es postva. S a los valores de ua varable se les suma ua costate, la meda y la desvacó típca o varía. S a los valores de ua varable se les multplca por ua msma costate postva, la varaza queda multplcada por el cuadrado de dcha costate. d. Desvacó típca. Es la raíz cuadrada de la varaza. Se represeta por S. S= S Es la medda de dspersó más utlzada- Sus udades so las msmas que las de la muestra. Sempre es postva. e. Coefcete de varacó de Pearso: CV = x S 6

7 7 Es depedete de las udades de medda S la meda es u úmero muy próxmo a cero, se puede obteer u valor erróeo para este coefcete. Cuato meor es el coefcete de varacó, meor dspersó tee la dstrbucó y, por tato, más represetatva es la meda. 9. MEDIDAS DE FORMA. Exste otras meddas que os permte caracterzar la forma de la dstrbucó: a. Coefcete de asmetría Se defe como: x - x S k - = = a El coefcete de aputameto o depede de las udades de medda de las varables. Es varate por cambo de escala. Casos: a < 0 : Dstrbucó sesgada a la zquerda a = 0 : Dstrbucó smétrca. a > 0 : Dstrbucó sesgada a la derecha. b. Coefcete de aputameto. Se defe como: - x - x S k - = = a

8 S atedemos al coefcete de aputameto, teemos los sguetes casos: a < 0 : Dstrbucó aplastada a = 0 : Dstrbucó ormal. a > 0 : Dstrbucó aputada 8

9 .- Se ha pregutado 50 persoas cuátos euros teía ahorrados, obteédose el sguete resultado: Agrupado los datos e cco tervalos, calcula todos los estadístcos Agrupa los datos e dez tervalos y calcula la meda artmétca, medaa, moda, percetl 5, tercer cuartl, rago tercuartílco y tercer qutl.- Cosderado la gráfca adjuta, determa todos los estadístcos: Vda bombllas(horas) (0-500] ( ] ( ] ( ] ( ] (500,000] Vda bombllas(horas) 9

10 .- La gráfca adjuta correspode al úmero de cgarrllos cosumdos al día e ua muestra de 00 fumadores: Cgarrllos al día (0-5] (5-0] (0-5] (5-0] (5-0] Cgarrllos al día Escrbe la tabla de frecuecas y determa todos los estadístcos. Calcula també los cuartles prmero y tercero, el segudo qutl y el percetl Ejercco de la pága 66 del lbro.- Cosderado la tabla de ejercco 5 de la pága 65 del lbro. Calcula todos los estadístcos, así como el segudo y tercer cuartl, el prmer qutl y el percetl E la gráfca adjuta se ha represetado las otas de Físca de los alumos de segudo de Bachllerato Calfcacoes Físca Calfcacoes Físca Escrbe la tabla de frecuecas y calcula además: los cuartles prmero y tercero, el prmer qutl, el percetl 75. Qué tato por ceto de alumos obtee ua calfcacó mayor o gual que sete? 0

11 .- Ua fábrca produce belas de automóvl cuyo peso teórco es de '5 Kg, pero por razoes de aturaleza aleatora el peso de cada bela producda dfere lgeramete de su peso teórco. E ua remesa, se ha evado a u determado clete 00 pezas, cuyos pesos teórcos so: ' '55 '6 ' ' '0 '6 '68 '9 '50 '70 '6 '7 '70 '65 '69 ' '9 '9 '6 '70 '5 ' ' '9 '69 '0 '50 ' ' '5 '60 '5 ' '5 '5 '5 '7 '60 '6 '7 '66 '9 '56 '9 ' '60 '59 '58 '76 '6 '66 '5 '56 '0 '8 ' '59 '56 '77 ' '6 '70 '5 '50 '8 '55 '8 '7 '9 '59 '58 '58 '7 '5 '9 '0 '6 '67 '70 '59 '6 '50 '0 '68 '60 '5 '66 ' ' ' '65 '59 '7 '6 '6 '65 '0 '75 '6 Cosderado el peso de ua bela como varable estadístca: a.- Clasfca dcha varable. b.- Costruye ua tabla de frecuecas, tomado clases de 0'0 Kg de ampltud, c.- Represeta la sere medate u hstograma. d.- Halla la meda artmйtca, meda armóca, medaa, moda, prmer cuartl, segudo qutl y percetl 75. e.- Halla també la desvacó típca y el coefcete de varacó de Pearso así como los coefcetes de asmetría y de aputameto..- E la fgura adjuta se represeta la calfcacoes de u grupo de alumos: Calfcacoes Calfcacoes Escrbe la tabla de frecuecas y determa los estadístcos