Problemas de integrales impropias. Pedro González Ruiz

Transcripción

1 Problems de integrles impropis Pedro González Ruiz Sevill, myo de 9

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3 Índice generl. Integrles generlizds 5.. Notciones Conceptos previos Funciones equivlentes Definiciones Función loclmente integrble Integrl impropi o generlizd de f Propieddes Cmbio de vrible Integrción por prtes Criterios de convergenci Criterio de cotción Criterio de l función dominnte Convergenci bsolut y semiconvergenci Criterio de equivlenci Criterio I de comprción Criterio II de comprción Criterio III de comprción Criterio IV de comprción Regl de Abel Apéndices Fórmul de sumción de Euler Función Γ de Euler Función B de Euler Constnte de Ctln G Problems Cálculo de integrles por residuos 53.. Residuos Aplicciones del teorem de los residuos l cálculo de integrles Cso o Cso o Cso 3 o Cso 4 o Apéndices Números de Euler Números de Bernoulli Problems

4 4 ÍNDICE GENERAL

5 Cpítulo Integrles generlizds.. Notciones El logritmo neperino de un número z, rel o complejo será escrito como log z. Tmbién es hbitul escribirlo como ln z, Ln z o Lz. Ddo un número rel, l prte enter de (o suelo de ) es, y es el myor entero. Por ejemplo: 8, π 3, 7 3, e Por propi definición, tenemos que: y si n Z, entonces: < + (.) + n + n (.) L función es l prte deciml de. Es hbitul representrl como {}. Según (.), result: {} < (.3) es decir {} es un función cotd. Tmbién, {} es un función periódic de período. En efecto: { + } + + {por (.)} + {} Por otro ldo, ddos, y R, un epresión de l form f(n) quiere decir: + n y f(n) <n y Ddo un número rel, se define: signo() Es decir signo() {, si <, si > Como signo( + ) y signo( ), el número no tiene signo. 5

6 6 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS L epresión f() es otr form de indicr lím f(). Ejemplos: sen, cos Ls funciones seno y coseno hiperbólico de un complejo z son sh z ez e z, ch z ez + e z Es elementl que ch z sh z, sh es impr y ch pr. Como sen z eiz e iz, cos z eiz + e iz i result sh(iz) i sen z, ch(iz) cos z L tngente hiperbólic es th z sh z ch z ez e z + Si z es un número complejo, z + iy, con, y R, entonces (resp. y) es l prte rel (resp. imginri) de z y se denotn como R(z), y I(z).. Conceptos previos Un función f : A R R definid en un conjunto bierto A se dice de clse en A cundo f es continu y derivble en A y l función derivd f es continu en A. Se notrá como f C (A).... Funciones equivlentes Dos funciones f, g definids en un entorno de un punto son equivlentes en si f() lím g() Cundo esto ocurr, escribiremos f g cundo, o f g cundo, o incluso, f g en un entorno de..3. Definiciones.3.. Función loclmente integrble Se I un intervlo de R y f : I R ó C un función rel o complej, f es loclmente integrble en I cundo f es integrble en todo intervlo cerrdo J [α, β] I.

7 .4. PROPIEDADES Integrl impropi o generlizd de f Se f un función loclmente integrble en I. Distinguimos tres csos:. I [, b[, R, b +. Se Entonces, por definición:. I ], b],, b R. Se F() b f(t) dt, < b f(t) dt F(b ) lím F() b <b Entonces, por definición: F() b f(t) dt, < b b f(t) dt F( + ) lím F() > 3. I ], b[,, b +. Se c ], b[ rbitrrio. Por definición: b f(t) dt c f(t) dt + b c f(t) dt siempre y cundo ls dos últims integrles eistn. Cd un de ells es del tipo y respectivmente. Debe resultr evidente que l definición no depende de l elección de c..4. Propieddes.4.. Cmbio de vrible Se ϕ : I ]α, β[ J ], b[ un función biyectiv, ϕ C (I), y se f un función vectoril continu en J. Pr que l integrl de f sobre J se convergente, es necesrio y suficiente que l integrl de (f ϕ)ϕ lo se, y: b f() d β α f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt (.4) L fórmul (.4) epres que si un de ls integrles eiste, l otr tmbién y mbs son igules. Por consiguiente, si un integrl es impropi y medinte un cmbio de vrible decudo ( ϕ(t) en (.4)), se trnsform en otr no impropi, qued demostrd l convergenci de l primer. A nivel práctico, en estos puntes, un cmbio de vrible ϕ(t), se escribirá como: b f() d { ϕ(t)} β α f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt L justificción de todos los psos intermedios (simplificciones y demás) del segundo l tercer miembro corren crgo del lector.

8 8 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS.4.. Integrción por prtes Sen I ], b[; f, g : I R ó C; f, g C (I). Entonces: entendiendo por: b b f()g () d [f()g()] b f ()g() d (.5) [f()g()] b lím f()g() lím f()g() (.6) b + Así pues, (.5) epres que pr que eist un culquier de ls integrles debe eistir l otr y los límites (.6). A nivel práctico, en estos puntes, un integrción por prtes, se escribirá como: f() b g () b h() d [f()g()] b g() f ()g() d f () siendo h() f()g (). Ls funciones f y g incluíds dentro del corchete no tienen relción lgun con culesquier otrs funciones f, g que pudiern estr definids en el mismo problem, en otrs plbrs, son locles los corchetes..5. Criterios de convergenci.5.. Criterio de cotción Se f : I [, b[ R +, loclmente integrble en I y se F() b f(t) dt converge F está cotd en I es decir, eiste M > tl que F() M, pr todo I..5.. Criterio de l función dominnte f(t) dt. Entonces: Sen f, g : I [, b[ R +, loclmente integrbles en I y f(t) g(t), pr todo t I. Entonces: Si b g(t) dt converge, b f(t) dt tmbién. Si b f(t) dt diverge, b g(t) dt tmbién Convergenci bsolut y semiconvergenci Diremos que b f(t) dt converge bsolutmente, cundo b f(t) dt converge. Si b f(t) dt converge bsolutmente, entonces b f(t)dt converge. El recíproco es flso, es decir, puede ocurrir que b f(t)dt converj, mientrs que b f(t) dt diverj. En este cso se dice que b f(t)dt es semiconvergente o condicionlmente convergente.

9 .5. CRITERIOS DE CONVERGENCIA Criterio de equivlenci Sen f, g : I [, b[ R +, loclmente integrbles en I y equivlentes cundo b. Entonces b f(t) dt y b g(t) dt tienen el mismo crácter, es decir, mbs con convergentes o divergentes. Este criterio tiene como consecuenci que se puede plicr tod l teorí de los desrrollos sintóticos (limitdos) l estudio de l convergenci de un integrl, sustituyendo l función f por su prte principl, de l cul se supone conocido su comportmiento Criterio I de comprción Sen g : I [, b[ R +, estrictmente positiv y loclmente integrble en I, y se f : I R ó C, loclmente integrble en I, tl que eiste Entonces: f(t) lím t b g(t) k Si b g(t) dt converge, entonces b f(t) dt es bsolutmente convergente. Si k y b g(t) dt diverge, entonces b f(t) dt diverge. Tomndo como función de comprción f(t) t α, α R, obtenemos los siguientes criterios en los puntos y Criterio II de comprción Se f : I ], b] R ó C, loclmente integrble en I, tl que el límite k lím t (t ) α f(t) eiste. Entonces: Si α <, l integrl b f(t) dt es bsolutmente convergente en. Si α y k, l integrl b f(t) dt es divergente en Criterio III de comprción Se f : I [, + ] R ó C, loclmente integrble en I, tl que el límite k lím t + tα f(t) eiste. Entonces: Si α >, l integrl f(t) dt es bsolutmente convergente en +. Si α y k, l integrl f(t) dt es divergente en +.

10 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS.5.8. Criterio IV de comprción Consideremos funciones del siguiente tipo: f() e cγ α (log ) α (log log ) α 3... ( log log (n) log ) α n+ γ > ; c, α i R, I f() d, con >. Entonces:. Si el fctor e cγ prece, es decir, si c, entonces: si c <, I converge en + ; y si c >, diverge.. Si c, es decir, el fctor e cγ no prece, entonces observmos α, y entonces: si α <, I converge en + ; y si α >, diverge. Si α, psmos l siguiente punto. 3. Observmos α, y entonces: si α <, I converge en + ; y si α >, diverge. Si α, volvemos l comienzo de este mismo punto cmbindo α por α 3, y sí sucesivmente Regl de Abel Se f : I [, + [ R +, decreciente y tl que lím + f(). Se g : I R ó C, loclmente integrble en I y tl que G() g(t) dt esté cotd superiormente en I. Entonces, l integrl f(t)g(t) dt es convergente. Corolrio Se f : I [, + [ R +, decreciente y tl que lím + f(). Entonces e iλt f(t) dt es convergente pr todo λ R, λ. Como consecuenci, cos(λt)f(t) dt converge pr todo λ R, λ y sen(λt)f(t) dt converge pr todo λ R..6. Apéndices.6.. Fórmul de sumción de Euler Teorem. Se f C ([y, ]), con < y <, entonces: f(n) f(t) dt + (t t )f (t) dt ( ) f() + ( y y ) f(y) (.7) y<n o utilizndo l prte deciml: f(n) y y<n.6.. Función Γ de Euler Definición y y Γ (s) f(t) dt + y {t}f (t) dt + {y}f(y) {} f() (.8) s e d, R(s) >

11 .6. APÉNDICES Propieddes Si s R, s > Γ (s) >. Pr todo z C, se tiene l prolongción todo el plno: Γ (z) zeγz n ( + z ) e z/n, (fórmul de Weierstrss) (.9) n siendo γ lím n (H n log n), (constnte de Euler), H n n, (n-ésim sum prcil de l serie rmónic). Γ es un función meromorf en C, con los puntos z n (n N) como polos simples. Verific l ecución funcionl: Γ (z + ) zγ (z) (.) y y por tnto, pr todo entero n, tenemos Γ (n + ) n!. Por est rzón, muchs veces se escribe z! en lugr de Γ (z + ). L función Γ como límite. Tenemos: n ( Γ (s) lím n n n) s d, R(s) > (.) Γ (s) lím n Fórmul de los complementos (Euler): s C n! n s, (Euler) (.) s(s + )(s + ) (s + n) Γ (s) Γ ( s) sen πs (.3) π Fórmul de Legendre-Guss: pr todo entero p > : ( ) ( ) ( ) z z + z + p Γ Γ...Γ ( π ) p p z Γ (z) (.4) p p p Vris fórmuls: t α e ctβ dt βc α+ β ( α + Γ β ), α >, β >, c > (.5) ( e t dt Γ + ), > (.6) ( ) Γ π (.7) ( Γ n + ) (n )!! π (n)! π (.8) n n n! π e t dt (.9)

12 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS Algunos desrrollos sintóticos: Γ () π e, cundo +, (Stirling) (.) π ( + ) ( + n) Γ () nn++ e n, cundo n (.) Γ (n + ) n, Γ (n) cundo n (.) ( + )...( + n) n n! Γ () cundo n (.3).6.3. Función B de Euler Definición Propieddes B(, y) B es simétric, es decir, B (, y) B (y, ). Epresión como integrl trigonométric: B (, y) π t ( t) y dt,, y > (.4) sen θ cos y θ dθ,, y > (.5) Relción con Γ (Euler): B (, y) Γ () Γ (y),, y > (.6) Γ ( + y) Vris fórmuls: B ( +, y) + y B (, y) (.7) B (, n + ) + n B n! (, n) ( + )...( + n) (.8) Efectundo el cmbio de vrible u t t B (, y) en (.4), result: Si est últim integrl l descomponemos como: u du + ( + u) +y u du (.9) ( + u) +y u du ( + u) +y y en l segund hcemos el cmbio de vrible u t, obtenemos: B(, y) t + t y dt (.3) ( + t) +y

13 .6. APÉNDICES Constnte de Ctln G Por definición: Ahor bien: G rc tg ( ) rc tg + ( ) n n rc tg n d (.3) n ( ) n n+ n + luego rc tg G n n ( )n, y por tnto: n + rc tg d n ( ) n (n + ), (epresión de G en serie infinit) (.3) Por otro ldo: π 4 sen d { rc tg u} rc tg u du u G luego π 4 G d (.33) sen Si en est últim integrl hcemos el cmbio de vrible t, result: Tmbién π 4 G log tg d {t tg } π [rc tg t log t] y que l epresión entre corchetes vle. Luego: d (.34) sen f(t) log t log t g (t) + t dt + t g(t) rc tg t f (t) t rc tg t t G π 4 log G log tg d d (.35) +

14 4 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS.7. Problems Problem. Se n entero, n. Clculr: I n d + n Efectundo el cmbio de vrible t n, obtenemos: I n n t /n + t dt {por (.9)} ( n B n, ) ( ) ( n n Γ Γ ) n n π {por l fórmul de los complementos (.3)} n sen ( π n ) π/n sen(π/n) En definitiv: d + π/n n sen(π/n), n (.36) Problem. Estudir l convergenci y clculr el vlor de l integrl: I n d ( + ) n n N Determinr un relción de recurrenci pr el cálculo de l integrl. Suponemos n (si n, l integrl es divergente). Tenemos: I n + ( + ) d I n n ( + ) d n Utilizndo l integrción por prtes en est últim: f() d g () ( + ) ( + ) n n g() (n ) ( + ) n f () [ ] + (n ) ( + ) n + (n ) d ( + ) n y como el término entre corchetes vle, result I n I n (n ) I n, o bien Est es l fórmul recurrente. El punto terminl es: I I n n 3 (n ) I n (.37) d + [ rc tg ] + π

15 .7. PROBLEMAS 5 Reiterndo (.37), llegmos : I n y tomndo k n, obtenemos finlmente: y como sustituyendo en (.38): I n Vemos un segund form: (n 3)(n 5) (n k ) I k n k (n )(n ) (n k) I n (n 3)!! (n 3)!! n (n )! I (.38) (n )! n (n )! (n )! π n (n )! (n )! π ( ) n, n (.39) n n dt I n ( + t ) {t n u/ } ( B, n ) Γ ( ) ( ) Γ n (n )! u / En (.4) tommos z n, p, pr obtener: ( Γ n ) Γ (n) (π) / 3/ n Γ (n ) y como Γ (n) (n )!, Γ (n ) (n )!, result: ( Γ n ) (n )! π (n )! n {por (.9)} ( + u) n ( π (n )! Γ n ) (.4) Sustituyendo en (.4), obtenemos otr vez (.39). El vlor Γ ( n ) puede deducirse tmbién de otr form. En (.) tommos z n, y sí: ( Γ n ) ( n Γ n + ) (n)! π {por (.8)} (n )! π n n n! n (n )! Problem.3 Pr cd un de ls siguientes integrles, estudir l convergenci y clculr el vlor de l integrl: () d ( 3 + ) n, (b) d ( 3 + ) n, (c) d ( 4 + ) n, n N En cd un de ls nteriores, determinr un relción de recurrenci pr el cálculo de l integrl. log + (d) d, (e) d ( + ) e/

16 6 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS. Se n d. Suponemos n (si n, l integrl es divergente). Tenemos: ( 3 +) n n ( 3 + ) n d n Utilizndo l integrción por prtes en est últim: f() 3 d ( 3 + ) n g () ( 3 + ) n g() 3(n ) ( 3 + ) n f () [ ] + 3(n ) ( 3 + ) n 3 ( 3 + ) n d + 3(n ) d ( 3 + ) n y como el término entre corchetes vle, result n n 3(n ) n, o bien n 3n 4 3(n ) n (.4) Est es l fórmul recurrente. El punto terminl es: d π/3 {por (.36), n 3} 3 + sen(π/3) π 3 9 Reiterndo (.4), llegmos : n y tomndo k n, obtenemos finlmente: (3n 4)(3n 7) (3n 3k ) 3 k n k (n )(n ) (n k) n (3n 4)!!! 3 n (n )!, pr n >, π 3 9. Se b n d. Suponemos n (si n, l integrl es divergente). Tenemos: ( 3 +) n b n ( 3 + ) n d b n Utilizndo l integrción por prtes en est últim: f() 4 d g () ( 3 + ) ( 3 + ) n n g() 3(n ) ( 3 + ) n f () [ ] + 3(n ) ( 3 + ) n 4 ( 3 + ) n d + 3(n ) d ( 3 + ) n

17 .7. PROBLEMAS 7 y como el término entre corchetes vle, result b n b n 3(n ) b n, o bien b n 3n 5 3(n ) b n (.4) Est es l fórmul recurrente. El punto terminl es: { } d + b 3 + t dt π 3 {por (.36), n 3} t Reiterndo (.4), llegmos : b n (3n 5)!!! 3 n (n )! b, pr n >, b π Se c n d. Suponemos n (si n, l integrl es divergente). Tenemos: ( 4 +) n c n ( 4 + ) d c 4 n n ( 4 + ) d n Utilizndo l integrción por prtes en est últim: f() 4 d ( 4 + ) n Es decir, c n c n 4(n ) c n, o bien g 3 () ( 4 + ) n g() 4(n ) ( 4 + ) n f () c n 4n 5 4(n ) c n + 4(n ) Est es l fórmul recurrente. El punto terminl es: d π/4 c {por (.36), n 4} 4 + sen(π/4) π 4 d ( 4 + ) n Y finlmente: c n (4n 5)!!!! 4 n (n )! c, pr n >, c π 4 4. Se f() log ( + ), I f() d f() d + siendo I (resp. I ) l primer (resp. segund) integrl. f() d I + I

18 8 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS I es impropi en. Como f() log cundo + y lím f() lím log + + el criterio II de comprción se cumple pr α, luego I es convergente. I es impropi en +. Como ( + ) 4 cundo +, entonces: f() log log, cundo el criterio IV de comprción se cumple pr α 3 <, luego I es convergente pr el límite de integrción +. Por último: { ln I ( + ) d t } t ln t ( + t ) dt I luego I. 5. { d t } e/ e t dt e Problem.4 Sen < b reles y n N. Estudir l convergenci y clculr l integrl: Lo vmos hcer de tres mners: I(, b, n) b n d ( )(b ) (.43). L form generl de un trnformción fín ϕ : ], b[ ]c, d[ es: ϕ() (d c) + bc d b Luego pr trnsformr ], b[ en ], [ plicmos el cmbio t. Así: b I(, b, n) [ + t(b ) ] nt / ( t) / dt Utilizndo el desrrollo del binomio [ + t(b ) ]n n ( n k k) t k (b ) k n k, result: n ( n n ( ) ( n I(, b, n) )(b ) k n k t k / ( t) / dt (b ) k n k B k + k k k, ) k (.44) Antes de seguir necesitmos el siguiente resultdo: ( B k +, ) {por (.6)} Γ ( ( k + ) Γ ) {por (.7), (.8)} Γ (k + ) (k)! π k k! π π ( ) (.45) k k! k k Utilizndo (.45) y sustituyendo en (.44), obtenemos: n ( )( ) ( ) k n k b I(, b, n) π n k (.46) k k 4 k

19 .7. PROBLEMAS 9. Efectundo el cmbio de vrible +b I(, b, n) + b π ( + b cos t, result: + b Observemos como l integrl h dejdo de ser impropi. Además: I(, b, n) Ahor bien: π ( sen t + b cos t ) n dt {t s} cost) n dt (.47) π ( sen s + b cos s )n ds n ( π n {desrrollo del binomio} ) k b n k sen k t cos n k t dt k k n ( ) ( n k b n k B k + k, n k + ) B k ( k +, n k + ) Sustituyendo en (.48) y simplificndo: I(, b, n) π n 4 n ) ( ) Γ n k + {por (.6)} Γ ( k + Γ (n + ) (k)! (n k)!π {por (.8)} 4 n n! k! (n k)! k ( n k n k )( k k (.48) ) k b n k (.49) 3. Seguimos el rzonmiento prtir de (.47). Efectundo el cmbio de vrible t π, obtenemos: π ( + b I(, b, n) b n sen ) d π n ( ) ( ) k ( ) n k π n b + b ( ) k sen k d k k π n ( ) ( ) k ( ) n k π n b + b ( ) k sen k d k k k pr Si hcemos k m y volvemos sustituir l m por l k, result: I(, b, n) ( ) ( ) k ( ) n k π n b + b sen k d k k n ( ) ( n (b ) k ( + b) n k n B k + k, ) {por (.45)} k n π ( )( ) n k n k k 4 k(b )k ( + b) n k k n fórmul mucho más interesnte que ls nteriores, y que el rngo de recorrido de k es l mitd que el de ls epresiones nteriores.

20 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS Problem.5 Se n N. Estudir l convergenci y clculr el vlor de l integrl: I n Efectundo el cmbio de vrible cost, result: I n Utilizndo l epresión: result: π π ( cost) cos n t dt n + d π sen m cos n d [ + ( ) n ] B I n [ + ( ) n ] B Si n es pr, n k, (.5) se convierte en: ( I k B, k + ) Además, si k : Si sustituimos k por k +, es: I k+ I (k+) En definitiv: I k B π k+ ( cos n t cos n+ t ) dt (.5) ( m +, n + ) (, n + ) + ( ) n+ [ ] ( B, n + ) {por (.45)} π k ( ) k k (, k + ) I k I k ( ) k + π ( ) k + k + k + k+ k + k I k π ( ) k, I k k+ π ( ) k + k k+ k Ls dos se pueden reunir en l siguiente: I n ( ) n π ( ) n n n π k+ ( ) k + k (.5) (.5) Problem.6 Ddo α R. Estudir l convergenci y clculr el vlor de l integrl: I(α) d ( )( + α) Se J [, [. Como < <, luego el fctor siempre es positivo, y pr que l integrl teng sentido h de ser + α, es decir: α (.53) Si α se cumple (.53), pr todo J. Si α <, como <, multiplicndo est desiguldd por α: α > α

21 .7. PROBLEMAS luego se cumple (.53). Sin embrgo, si α <, se β. Entonces es < β <. Si α escribimos: ( + α α + ) ( β) α β y l integrl I(α) no tiene sentido cundo ]β, [ y que + α <. En fin, después de esto qued clro que h de ser α. Ahor bien, si α, result: d que no eiste. En conclusión, α >. Distinguimos dos csos: < α <. Pr no incomodrnos con los números negtivos, se λ α α < λ <. Utilizndo l identidd: + b + c ( + b), 4 b 4c (.54) efectumos el cmbio de vrible: + λ + ( λ)t λ con lo cul, después de operciones y simplificciones: I(α) λ λ+ λ rgth( λ) λ dt t ( t log + t λ ) λ+ λ ( + λ log λ λ Recordemos que rgthz log ( +z z). Volviendo nuestro prámetro originl α: I(α) rgth( α ) α, < α < Tomndo límites cundo α en l iguldd nterior, result I(). Supongmos hor α >. Utilizndo (.54) efectumos el cmbio de vrible: α + (α + )t α con lo cul, después de operciones y simplificciones: I(α) α α α+ dt rc cos t α ( ) α + α Si llmmos λ rc cos ( α +α), medinte trnsformciones trigonométrics elementles, result: y, por consiguiente: Tmbién es límα I(α). α> α tg λ λ rc tg( α) I(α) rc tg( α) α )

22 En conclusión: I(α) CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS rgth( α ) α, si < α rc tg( α) α, si α Problem.7 Clculr π 4 sen () log tg d Se I el vlor de l integrl nterior. Integrndo por prtes: f() log tg g () sen I g() sen 4 8 f () sen Como luego sen I 4 L primer es inmedit. En efecto: 4 [( ) ] π 4 sen 4 log tg 8 ( ) y log tg log ( + ), 3 ( sen 4 lím + 8 π 4 sen 4 sen d 4 π 4 π 4 y l segund, utilizndo (.33) es G, luego π 4 ) log tg 4 3 lím + 3 log π sen 4 sen d 4 sen cos sen sen d 4 [sen ] π 4 4 ( ) sen 4 8 sen d Problem.8 Clculr I ( 3 + log I 4 G ( ) 3 + log d Se I el vlor de l integrl nterior. El integrndo es un función pr. Utilizndo l integrción por prtes: ( ) + f() log 3 ) g () d g() ( + )( )( + ) 3 3 [ ( + )( )( + ) log f () ( )] d

23 .7. PROBLEMAS 3 L epresión entre corchetes vle. Además, pr k Z, k, es: t k dt {u t t } ( B k +, ) es decir: luego Luego: t k t dt u k u du {por (.45)} π k+ π k+ d {por (.55), k } π d {por (.55), k } π 4 I 4 3 ( π + π ) 5π 4 3 u k ( u) du ( ) k k ( ) k, k (.55) k ( ) π Problem.9 Clculr 4 ( + ) d Se I el vlor de l integrl nterior. El integrndo es un función pr. Por división polinómic es [ + I ] d + ( + ) d Ahor bien: d d { t} t / ( t) / dt ) B (, 3 π 4 { d ( + ) } t t dt (t + ) t {t u } π dt π 4 du u + {u tg t} Agrupndo: Problem. Clculr: J I π( ) d ( )(4 )

24 4 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS Efectundo el cmbio de vrible u, obtenemos: J 4 4 du (u 4) ( u) Est integrl es l del problem (.4), epresión (.43), en concreto (, b, n ), es 4 decir: J ( ) 4 I 4,, Utilizndo (.46), result Problem. Se I J π 4. Estudir l convergenci de est integrl.. Pr todo ], [, clculr f() 3. Deducir el vlor de I. log( ) d log( t ) t Se g() log( ).. I es impropi en y en. Como log( ), cundo, entonces: log( ) lím g() lím dt. lím y el criterio II de comprción se cumple pr α, luego I converge pr el límite de integrción. Cundo, es g() log( ). Busquemos α R tl que eist lím ( )α g() lím ( )α log( ) {y } lím yα log y y + Si α >, el último límite es, luego el criterio II de comprción se cumple pr culquier α R tl que < α <, y por consiguiente, I converge pr el límite de integrción.. Integrndo por prtes: f(t) log( t ) f() log( t ) t dt Como lím t log( t ) t g (t) t [ log( t g(t) ) t t f (t) t t ( ) + t y dt log, result: t t f() log( ( ) ) + log + ] t dt

25 .7. PROBLEMAS 5 3. Desrrollndo f: f() y como result finlmente: log( ) + log( + ) f( ) log + lím ( ) log( ) lím ( ) log( ) {y } lím y log y y + I f( ) log Problem. Sen I π log sen d, J. Estudir l convergenci de mbs integrles.. Probr que I J I + J. 3. Deducir el vlor de I y J. π log cosd Como log sen log cundo +, se α R, α >, entonces: lím α log sen lím α log + + luego culquier < α < es bueno pr probr l convergenci de I en. En el punto π no es impropi, luego I es convergente. Se f() ln cos, ] π, π [. Como f( ) f(), f es pr en ese intervlo, y por tnto: J π ln cosd π ln cosd luego J tmbién converge y J I. Finlmente: J π π π log cosd log( sen u cosu) du π log + 4J J π log { u + π } π 4 π { t + π } π ln sen t dt I log sen u du ( log + log senu + log cosu ) du Problem.3 Estudir l eistenci de cd un de ls integrles siguientes: () ( + ) /n /n /p d, (n, p N); (b) π/ ( tg ) / ; (c) e d. Se I f() d, con f() (+)/n /n, I es impropi tnto en como en +. /p Cundo, f(), luego I converge pr cundo <, es decir, p >. /p p

26 6 [ ( ] Al ser ( + ) /n /n /n + /n ), result f() n p CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS [ ( + ) /n ] Si +, es ( + ) /n. En efecto: n lím + ( + /n { ) h } n lím n ( + h) n h h ng () donde g() ( + ) /n. Luego g () n ( + )/n g () n, es decir ng (). En definitiv: f() n n p, cundo + Luego pr que I converg en + h de ser + p n n > p. En conclusión: >, o lo que es lo mismo I converge n > p >. Se J π/ f() d, con f() tg ; J es impropi solo en π. Tenemos que: En efecto: f() ( π ) ( π, cundo ) ( π ) / ( π ) / sen lím ( π ) f() lím ( π ) cos {t π } lím ( π ) t / lím lím t + sen t t + ( π ) / cos t sen t luego J es convergente. Podemos tmbién verigur su vlor. En efecto, con el cmbio de vrible u tg, obtenemos: u du J Γ ( ( 3 4) Γ ) 4 Γ () + u 4 {t u4 } π sen π 4 π t 4 + t dt ( 3 B 4, ) 4 3. Medinte el cmbio de vrible t : e π d e t dt {por (.9)} π

27 .7. PROBLEMAS 7 Problem.4 Hllr los momentos de l distribución norml. En concreto, sen µ, σ R, σ >, números ddos y se f() σ ( µ) π e σ l función de densidd. Los momentos de un distribución continu están definidos como α r r f() d, r N En principio, los prámetros µ y σ no significn nd. En fin: α r r f() d σ π ( ) re µ + σ t t dt π Utilizndo el desrrollo del binomio: result: ( µ + σ t ) r α r r π k r k { r e ( µ) σ d t µ } σ ( ) r σ k k/ t k µ r k k ( r + )σ k k/ µ r k t k e t dt k Si k es impr, l función t k e t es impr, y por tnto, l integrl correspondiente es. Y si k es pr, t k e t es pr, con lo cul, l epresión nterior qued como: α r π r k k pr Utilizndo (.5), t k e t dt Γ ( k+ ) α r π r k k pr r/ π m r/ π r/ m m σ m m ( r k ( r + )σ k k/ µ r k t k e t dt k ), y por consiguiente: ( ) k + σ k k/ µ r k Γ {k m} ( ) ( r σ m m µ r m Γ m + ) {por (.8)} m ( ) r σ m m µ r m(m)! π m m m! ( ) r µ r m(m)! m m! r/ m Est es l epresión que buscábmos. Concluyendo: ( r m )( r m m ) m! mσm µ r m Vemos lgunos ejemplos: α r r/ m ( r m )( r m m ) m! mσm µ r m (.56)

28 8 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS Tomndo r en (.56), result α, lo cul demuestr l condición de normlizción f() d. Tomndo r en (.56), result α µ, lo cul demuestr que µ es l medi de l distribución. Tomndo r en (.56), result α µ + σ, y como l vrinz V es: V α α µ + σ µ σ σ V lo que demuestr que σ es l desvición típic. Problem.5 Demostrr que si m < : ( lím m sen t dt ) Se I() sen dt, con >. Efectundo el cmbio u /t: t I() sen u u du f(u) u g (u) sen u g(u) cosu f (u) u 3 [ cosu ] + cosu du u u 3 Como cos u, cundo u +, y cosu es un función cotd, entonces lím u u +, u luego Además: Por tnto: I() cos L(), L() L() I() m cosu u 3 du m cos L() m cos u u 3 du u3 Otr vez lo mismo, m cundo y cos está cotd, luego el primer sumndo. Y el segundo: L() m m L() m y por tnto I() m Problem.6 Se, cundo, como pretendímos. I(). Estudir l convergenci de est integrl. du e t e t dt (.57) t. Estudir l continuidd de l función I en su intervlo de definición.

29 .7. PROBLEMAS 9 Si I(). Supongmos. Escribimos: I() I () + I (), I () e t e t dt, I () t e t e t dt t Como f(t), cundo t, I () converge pr el límite de integrción, pr culquier vlor de. Por otro ldo, como e t dt eiste (criterio IV de comprción, c < ), I t será convergente cundo eist e t dt, y otr vez por el criterio IV, eso ocurrirá cundo t <, es decir, >. En conclusión: Eiste I() > Pr l segund prte, se > >. Es elementl que: I() I( ) e t e t dt t Aplicmos el teorem del vlor medio l función g(z) e tz en el intervlo [, ], luego: e t e t ( )g (c), < c < O bien: e t e t t( )e ct e t e t t ( )e ct I() I( ) ( ) e ct dt es decir I() I( ) (.58) c luego, si I() I( ), lo cul demuestr que lím + I() I( ). Análogo procedimiento pr el límite por l izquierd. Esto demuestr l continuidd de l función. De l epresión (.58) se deduce mucho más que l continuidd. En efecto, si escribimos + h, h >, entonces (.58) se convierte en I( + h) I( ) h y hciendo tender h c, result: c I ( + ) Por procedimiento precido, tmbién I ( ). Es decir, l función I es derivble, y por tnto, continu. Además, podemos conocer eplícitmente I(), y que l ser: I () I() log pues I(). Tmbién podímos hber llegdo más fácilmente est conclusión utilizndo l derivción respecto un prámetro. En efecto: ( ) I e t e t () dt e t dt t

30 3 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS Problem.7 Demostrr que l función f() dmite un integrl impropi en el intervlo ], ] y que se tiene ( t ) dt γ (.59) t siendo γ l constnte de Euler. Se I ( ) t t dt. Medinte el cmbio de vrible t, obtenemos: + {} I d d (.6) Como {} <, y como {} < d converge, I tmbién. Resolvmos hor el problem de dos forms distints: Medinte l fórmul de sumción de Euler. Tomndo en (.7), f(), n, n N, n >, y : n k o bien H n log n + n n k n t dt {t} t dt, y por consiguiente: H n log n {t} n {t} dt log n t t dt n {t} dt (.6) t L epresión (.6) muestr dos coss: l primer es que l prte izquierd tiene límite cundo n, y que l prte derech lo tiene (pues I converge), y l segund es que si llmmos: γ lím n ( Hn log n) result, tomndo límites en (.6), que: lo cul demuestr (.59). Se I n n I n n n k γ {t} dt I I γ t d. Como I es convergente, entonces lím n I n I. Ahor bien: n d k [ ( ) k + log k k+ k k + n d k ] n log n k k+ k k d k + log n H n + Otr vez lo mismo. Tomndo límites cundo n llegmos l mism conclusión.

31 .7. PROBLEMAS 3 Problem.8 Clculr l integrl Tenemos: I I /5 ( ) 3/5 d B d 5 ( ) 3 ( 3 5, ) Γ 5 ( ) 3 Γ 5 ( ) 5 π sen ( ) π 5 π cos ( ) π y quí podrímos dr el problem por cbdo. No obstnte, como mero ejercicio lgebrico, vmos epresr por rdicles: ( π p cos cos 8 ) de l mism form que en l trigonometrí elementl se epresn ls rzones de los ángulos de 3 y 45. Recordemos que: cosnθ T n (cosθ) (.6) siendo T n el n-ésimo polinomio de Chebyshev. Estos polinomios se definen por l siguiente recurrenci: T n+ () T n () T n (), n ; T (), T () que, después de resolver, quedn eplícitmente: r T n () n r n ( ) r n r ( n r r ) () n r (.63) Como 5 π π ( cos 5 π ) ( π cos ) luego, si tommos en (.6), n 5, θ π, result T 5(p), es decir, p es un ríz de T 5. Tomndo n 5 en (.63): ( ) ( ) r 5 r (p) 5 r p(6p 4 p + 5) 5 r r y como p 6p 4 p + 5. Resolviendo est bicudrd y teniendo en cuent que p >, obtenemos: 5 ± 5 p 8 Ahor hy que verigur cuál de estos dos p es el nuestro. Compremos con cos 45. Como el coseno decrece en [, π/] y 8 < 45 cos 8 > cos 45, es decir, hy que elegir de form que 5 ± 5 > 8 Ahor utilizmos el hecho de que > b, b > > b

32 3 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS Luego 5 ± 5 > 8 4, o bien 5 ± 5 > 4 lo cul solo es posible si elegimos el +, es decir ( π 5 + p cos ) 5 8 y finmente: I π Problem.9 Supongmos que f es continu en [, ], f() y que eiste f (). Demostrr que l integrl f() 3/ d converge. Como f(), l integrl es impropi en. Como eiste f (), tenemos que: f f(h) f() f(h) () lím lím h h h h Por último se g() f() 3/ el integrndo. Tenemos: lím / g() lím / f() 3/ f() lím f () luego, por el criterio II de comprción (α < ), l integrl es convergente. Problem. Estudir l convergenci y clculr l integrl I(α) d ( cosα) (.64) Se f() ( cos α). L integrl es impropi en debido l fctor. Desconpongmos: f() d f() d + f() d Si cosα, el fctor cosα tmbién contribuye, con lo cul distinguimos dos csos: cos α, entonces: f() ( ) ( ) 3/, cundo y como ( ) 3/ d diverge, f() d tmbién. cos α, es decir, cos α <. Entonces: f() ( cosα) ( ) /, cundo y como ( ) / d converge, f() d tmbién.

33 .7. PROBLEMAS 33 { } cosα Por otro ldo, cundo +, luego f(), cundo + y como d converge, f() d tmbién. En conclusión: I(α) α (mód. π) Tenemos: Ahor hcemos I(α) dt (t cosα) t Pr t th(). Además: luego {t ch } ( t th, ch ) + t dt t, d t d ch cosα ( th ) sh(/) ch(/) e/ e / e / + e e / e + e + e ( ) lím th e lím e es decir, pr + es t, luego (.65) qued como: Como dt + cosα cos α I(α) ( + cos α)t + ( cos α) cosα sen α { ( α )} t u tg ctg(α/) Eligiendo, es decir: dt t cos α + sen α [rc tg u]ctg(α/) ( sen α sen α rc tg ctg sen α ( α )) (rc tg ) + ( rc tg ) rc tg + rc tg C cte. + rc tg C π 4 C C π rc tg + rc tg ( ) π Si tommos ctg ( α ) en (.67), result ( ( α )) rc tg ctg π ( ( α rc tg tg )) π α du + u (.65) (.66) (.67) luego I(α) ( π sen α α ) (.68)

34 34 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS Ajuste finl: como cos α es periódic de período π, l epresión (.64) muestr que I es periódic de período π, mientrs que en (.68) se ve fácilmente que I(α) no es π-periódic, error que se corrige tomndo α α mód. π. Problem. Estudir l convergenci y clculr l integrl I() d ( ) Se f() ( ). Si [, ], el fctor es singulr. Ahor bien, los etremos ± son especiles, y que en estos, el fctor es tmbién problemático. En fin, distinguimos los siguientes csos:, f(). L integrl es impropi en ±. Escribimos: ( ) / (+) 3/ f() d f() d + f() d (.69) Tenemos que f() ( + ) 3/, cundo, y como ( + ) 3/ d diverge, f() d tmbién., f(). L integrl es impropi en ±. Utilizmos otr vez l ( ) 3/ (+) / descomposición (.69). Ahor f() ( ) 3/, cundo, y como ( ) 3/ d diverge, f() d tmbién. ], [, es decir, < <. L integrl es impropi en. Escribimos: Ahor f() f() d f() d +, cundo, y como f() d d diverge, f() d tmbién. >. L integrl es impropi en ±. Utilizmos otr vez l descomposición (.69). Como f() (+) ( + ) /, cundo y como ( + ) / d converge, f() d tmbién. Análogmente, como f() ( ) ( ) /, cundo y como ( ) / d converge, f() d tmbién. Por consiguiente, l integrl es convergente en este cso. Por último: I( ) luego I( ) eiste cundo >. En conclusión: d ( + ) { t} I() > dt ( t) I() (.7) t Teniendo en cuent (.7), es suficiente clculr I() cundo >. Supuesto esto, tenemos: d π { ( )} I() ( ) dt t { cost} cost u tg { + } du u ( + ) + u + v + dv + v [rc tg v]+ + π

35 .7. PROBLEMAS 35 que junto con (.7) d finlmente: I() { π, si < π, si > o, más simplemente: I() π signo() Problem. Clculr ls siguientes integrles: () 3 d; (b) dt + ; (c) e d t + t () Tenemos { 3 d } t t dt t {por (.55)} π π ( ) 3 dt t t t dt (b) Utilizndo el siguiente cmbio de vrible bsdo en (.54): t + t (t + ) dt rgch(+), t + ch u 4 du rgch( + ) t + t y como rgch z log(z + z ) rgch( + ) log ( ), y por consiguiente, dt log( ) t + t (c) Por último: f(t) t e d { t } te t g (t) e t dt g(t) e t f (t) { [ te t] } + + e t dt

36 36 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS Problem.3 Se f un función numéric continu sobre R +, y sen, b R tles que b > >. () Pr cd ε > se Determinr lím ε I(ε). I(ε) εb ε f(u) du u (b) Se supone que l integrl y pr cd ε >, se J(ε) f(u) du u ε es convergente; [f() f(b)] d Estblecer un relción entre I(ε) y J(ε) y deducir que l integrl [f() f(b)] d es convergente y clculr su vlor. (c) Aplicción. Mostrr que l integrl converge y clculr su vlor. (d) Clculr tmbién H(, b) K(, b) y comprobr clculndo l derivd K (, b). () Tenemos I(ε) bε Como f es continu, I tmbién, luego (b) Por un ldo: ε b lím I(ε) I() ε ε cos cos b e e b d f(u) du u {u εt} b f() dt t f() b dt t d f(εt) dt t f() log f() d { u} f(u) du u integrl que eiste porque eiste f(u) du u. Análogmente: ε ε f(b) d f(u) du u bε ( ) b

37 .7. PROBLEMAS 37 luego J(ε) ε f(u) du u f(u) du bε u f(u) du u I(ε) es decir, I(ε) J(ε), luego lím ε J(ε) lím ε I(ε), y por tnto: bε f() f(b) ε d f() log ( ) b (.7) (c) En este prtdo, f() cos. Pr poder plicr (.7) nuestro cso, hy que demostrr que cos d converge, lo cul es inmedito, y que: f() cos d g () cos sen sen + d g() sen f () y est últim es evidente que converge, debido l desiguldd sen luego plicndo (.7), result H(, b) log ( ) b (d) En este prtdo, f() e. Hy que comprobr que inmedito plicndo el criterio IV de comprción.5.8, luego ( ) ( ) b b K(, b) f() log log e d converge, lo cul es Comprobemos esto último, derivndo respecto los prámetros y b. En efecto: K e d Análogmente K b. Integrndo est últim con respecto b, b K(, b) log b + g() siendo g() un función rbitrri de. Ahor bien: K g () g() log K(, b) log ( ) b + C siendo C un constnte culquier. Hciendo tender b K(, ) C, como pretendímos.

38 38 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS Problem.4 () Utilizr l identidd trigonométric sen sen cos y l fórmul + sen d π pr clculr l integrl sen cos d π 4 (b) Utilizr l integrción por prtes en () pr deducir l fórmul sen d π (c) Utilizr l identidd sen + cos y l propio tiempo (b) pr obtener (d) Utilizr el resultdo de (c) pr obtener Se I(m, n) () Tenemos sen cos sen 4 d π 4 sen 4 4 d π 3 sen m n d, m, n Z, m, n. Dmos por sbido que I(, ) π. d sen d { t} sen t t dt I(, ) π 4 (b) En primer lugr sen d f() g () sen [ cos g() cos f () ] + + cos d Como cos, cundo, es: cos lím lím / Tmbién cos +, y que cos está cotdo y cundo +. En definitiv: sen + d cos d (.7) L iguldd (.7) es muy interesnte, en concreto, es muy sencillo demostrr l convergenci en + de l integrl result: cos d (en es trivil) y que como cos, cos

39 .7. PROBLEMAS 39 y como d es convergente, cos d tmbién. Sin embrgo, no es tn sencillo demostrr l convergenci en + de sen d, specto que result evidente en (.7). Por otro ldo, (.7) tmbién es modelo l mostrr un iguldd entre un integrl semiconvergente ( sen d) y otr bsolutmente convergente ( cos d). Siguiendo con el problem, y teniendo en cuent que cos sen ( ), result: cos + sen { d d t } sen t dt I(, ) t En definitiv: I(, ) I(, ) π (c) I(4, ) Pero sen 4 + sen ( cos ) + sen cos d d I(, ) d sen cos d sen d { t} sen t dt 4 t I(, ) π 4 (.73) Sustituyendo en l de más rrib: I(4, ) π π 4 π 4 (d) Por último f() sen 4 I(4, 4) sen 4 4 d g () 4 g() 3 3 f () 4 sen 3 cos [ sen ] sen 3 cos 3 Como sen cundo, entonces sen 4 sen lím lím 3 3 Tmbién sen4 +, y que sen 4 está cotdo y cundo +, luego 3 3 Por otro ldo: sen 3 cos 3 d I(4, 4) 4 3 g () 3 f() sen 3 cos g() f () 3 sen cos sen 4 [ ] sen 3 + cos + sen 3 cos 3 d (.74) 3 sen cos sen 4 d d

40 4 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS L epresión entre corchetes vle por rzones precids ls de más rrib, y l epresión integrl que sigue es (por (.73)): sen 3 cos 3 Sustituyendo en (.74) obtenemos como pretendímos. d 3 π 4 I(4, ) 3π 8 π 8 π 4 I(4, 4) π 3 Problem.5 Se f un función integrble en [, ], periódic de período y tl que f() d. Demostrr que l integrl impropi f() s d, converge si s > Indicción: introducir g() f(t) dt y escribir b f() s d b g () s d. Como f es integrble en I [, ], l función F() f(t) dt es continu en I, y por tnto, F está cotd en I, es decir, M, tl que F() M, I (.75) Se g() f(t) dt. Vemos que g es un función cotd en [, + [. En efecto, se rbitrrio, n, n < n + : Por un ldo: g() n f(t) dt n f(t) dt k k+ k f(t) dt + f(t) dt n n f(t) dt {t k u} k f(t) dt + n f(t) dt f(k + u) du (.76) Como f es -periódic y k es entero, es f(k + u) f(u), luego (.76) qued como: En l segund integrl n n n f(t) dt k f(t) dt {t n u} y como n <, por (.75), es En definitiv g() n n n f(u) du k f(n + u) du f(u) du M Estblecido esto, resolvmos el problem de dos forms: n f(u) du f(t) dt M, [, + [ (.77)

41 .7. PROBLEMAS 4. Con l indicción. Tenemos: [ s g() ] s s g() + s g () s g() f() + s+ s y por consiguiente [ g() s ] b b g() b f() s d + d s+ s o bien g(b) b s b g() b f() g() s d + d (.78) s+ s Ahor queremos hcer tender b +. Como g(b) está cotdo y b s b +, pues s >, y g(), result cundo [ ] g(b) lím g() b + b s Por otro ldo: g() s+ M s+ y como y por tnto d converge y que s + >, pues s >, luego s+ d tmbién, y demás f() s g() s+ d converge, f() s g() d s d s+. Por l regl de Abel. En efecto, l función s es positiv, decreciente en [, + [ y s cundo + y que s >. L función f(t) dt está myord por M (independiente de ) según demostrmos ntes, luego l integrl d es convergente, f() s c.q.d.

42 4 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS Problem.6 () Mostrr que, pr todo m R, l integrl I(m) cosmu + u du es convergente, y que l función I : m I(m) es continu y cotd. (b) Mostrr, por un cmbio de vrible, que l integrl f k () coskt + t dt es convergente, culesquier que sen R, > y k R, y que f k () I(k). (c) Fijdo k, mostrr que l función f k : f k () dmite un derivd primer y un derivd segund pr todo >, y probr con l yud de dos integrciones por prtes, que f k verific l ecución diferencil y k y (.79) (d) Demostrr que l ecución (.79) dmite un solución únic cotd sobre R +, con l condición inicil y() π. Deducir l epresión de f k () (suponer en primer lugr k > y deducir después cundo k < ). () Como el integrndo de I(m) es pr, tenemos Se f(m, u) cosmu + u. Entonces: I(m) f(m, u) + u, y cosmu + u du du [rc tg u]+ + u π luego I(m) es normlmente convergente y como f es continu, I(m) tmbién. Además: I(m) luego I está cotd. Finlmente: (b) Se > es decir f k () I() cosmu + u du coskt dt + t du + u π cos(ku) + u du I(k) du + u π coskt dt {t u} + t f k () I(k), >, k R (.8) luego, l eistenci y convergenci de f k se deduce de l de I.

43 .7. PROBLEMAS 43 (c) f(t) + t cos kt g (t) coskt + t dt sen kt [ sen kt g(t) k + t k f t (t) ( + t ) ] + + k t sen kt ( + t ) dt El término entre corchetes vle, luego coskt f k () + t dt 4 k t sen kt dt (.8) ( + t ) Apliquemos otr integrción por prtes l últim integrl de (.8): t f(t) ( + t ) t sen kt g (t) sen kt ( + t ) dt cos kt [ ] + t cos kt + g(t) k ( + t ) k k f (t) 3t ( + t ) 3 Tmbién, el término entre corchetes vle. Sustituyendo en (.8): Por otro ldo f k () ( 3t ) coskt ( + t ) 3 dt f k () 4 ( 3t ) coskt dt (.8) k ( + t ) 3 ( ) + t coskt dt coskt dt + t ( + t ) Otr derivd más [ ] f k () t ( 3t ) coskt coskt dt 4 dt ( + t ) ( + t ) 3 Comprndo con (.8) k f k () f k () es decir, f k verific l ecución diferencil (.79). (d) De (.8) y debido l continuidd de I: f k ( + ) lím f k () lím I(k) I() π > y como I es un función cotd, f k () tmbién, pr >. En fin, resolvmos l ecución diferencil (.79), sometid l condiciones: y() π, y está cotd pr >. Es un >

44 44 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS ecución diferencil con coeficientes constntes, l función crcterístic es m k m ±k, luego es y Ae k + Be k, A, B constntes determinr Como y() está cotd, A, y π y() B y() πe k, y por consiguiente f k () πe k, (.83) Clculemos hor I(k). Supongmos en primer lugr que k. Hgmos en (.8): I(k) f k () {por (.83)} πe k es decir, I(k) πe k, si k. Como I es pr, si k <, es I(k) I( k) πe k, luego I(m) πe m, m R, es decir: Finlmente, como f k () f k () si k <, entonces cos mu + u du π e m, m R (.84) f k () f k () {por (.83)} πe k f k () { πe k, si k < πe k, si k o mejor f k () πe k Problem.7 Demostrr ls siguientes fórmuls, válids pr > y > : () (c) cost t + dt π e ; t sen t t + dt π e ; (b) (d) sen t t(t + ) dt π ( e ) sen t t dt π En primer lugr cost t + dt {t u} cos u + u du {por (.84)} π e Esto demuestr (). Se f(t, ) sen t t(t + ), (t, ) A [, + [ [, + [ L función f es continu en A. L únic dud está en t, pero como sen t t, cundo t, luego f(t, ), cundo t. Así pues, f es continu. Por otro ldo, l integrl f(t, ) dt es convergente pr todo >. En t está clro por l equivlenci nterior, y pr t +, tenemos f(t, ) t(t + ) t3, cundo t +

45 .7. PROBLEMAS 45 lo cul despej l dud. Además y f cost t + cos t dt es normlmente convergente, y que t + cos t t + t +, y dt t + eiste Luego, se cumplen ls condiciones pr poder derivr respecto l prámetro, y si llmmos: sen t + F() t(t + ) dt F cost () t + dt {prtdo nterior} π e Como F(), es F() Esto demuestr (b). En tercer lugr π e t dt π ( ) e dt t + {t u} du + u [rc tg u]+ π Con este resultdo y con el prtdo (): cost + dt t + Tomndo límites cundo cos t t + t + dt dt π lím e cost t + dt π ( ) e π lím π donde hemos usdo l equivlenci e z z cundo z. Tomndo finlmente cost t dt π y teniendo en cuent (.7), hemos demostrdo (d). Por último t(t + ) luego ( t ) t t + sen t t(t + ) dt [ sen t + ] t sen t dt t t + dt (.85) Como sen t t dt {t u} Sustituyendo este resultdo en (.85) y teniendo en cuent (b) sen u u du π π ( ) e π t sen t t + dt

46 46 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS Despejndo l integrl, result (c). Problem.8 Se F() e t cos t dt, con R. Demostrr que F stisfce l ecución diferencil F () + F() y deducir que F() π e Indicción: utilizr (.9). L integrl que define F es trivilmente convergente, y que e t cos t e t, pr todo R y e t dt es convergente. Además G() ( e t cos t ) dt es normlmente convergente. En efecto: te t sen t te t te t sen t dt y ϕ(t) te t dt es convergente, por ejemplo, por el criterio.5.8, con c, o tmbién, clculndo directmente su vlor: ϕ(t) dt te t dt [e t] + luego G() F (). Además f(t) sen t F g (t) te t () te t sen t dt g(t) e t f (t) cos t [ ] + e t sen t e t cos t dt F() y que el término entre corchetes vle. L ecución diferencil resultnte F () F() es de vribles seprds y (.9) nos d l condición inicil F() π, luego F (t) F (t) π t dt t dt [log F()] F(t) F(t) F() e como pretendímos. Problem.9 Consideremos f(, y) dt, (, y) (, ) ( + t )( + y t ) Demostrr con los métodos del cálculo elementl que f(, y) reiterd ( ) f(, y) d dy pr deducir l fórmul π. Clculr l integrl (+y) (rc tg ) d π log (.86)

47 .7. PROBLEMAS 47 No es restricción suponer que, y >. Se y fijo, y ], ], ], ], y sen: Como g(t, ), t [, + [; F() ( + t )( + y t ) + t g(t, ) + y t ϕ(t) g(t, ) dt y como eiste ϕ(t) dt, entonces F() es normlmente convergente pr ], ], luego ( ) ( ) g(t, ) dt d g(t, ) d dt (.87) Clculemos primermente g(t, ) dt. Descomponiendo en frcciones simples: luego g(t, ) ( + t )( + y t ) y + t y y + y t g(t, ) dt y dt + + t y dt (.88) y + y t Como Cmbindo por y dt + t {u t} du + u [rc tg u]+ π dt + y t π y Sustituyendo (.89) y (.9) en (.88) y simplificndo: g(t, ) dt π ( + y) Con estos resultdos, l prte izquierd de (.87) qued como: ( ) π g(t, ) dt d ( + y) d π ( ) y + log y Por otro ldo: g(t, ) d d ( + t )( + y t ) + y t t( + y t ) t con lo cul (.87) qued finlmente como: du rc tg t + u t( + y t ) rc tg t t( + y t ) dt π log Nos qued un pso que dr, sí que, se hor: g(t, y) ( ) y + rc tg t, (t, y) [, + [ ], ] t( + y t ) y d {u t} + t (.89) (.9) (.9) (.9)

48 48 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS En primer lugr tenemos l desiguldd rc tg t t, pr todo t En efecto, plicndo l fórmul del vlor medio l función f() rc tg, con [, t], t > : rc tg t tf (c), < c < t, f (c) + c < luego rc tg t < t pr todo t >, o bien rc tg t t, pr todo t. Por otro ldo, se y >, y < fijo y consideremos y y, y, entonces + y t + y g(t, y) ϕ(t) t + y t y como eiste ϕ(t) dt, entonces rctg t dt es normlmente convergente pr y ]y t(+y t ), ], y como y es rbitrrio (pero > ), l integrl es uniformemente convergente en ], ], luego: Ahor bien ( Como ( ) rc tg t t( + y t ) dt dy ) rc tg t t( + y t ) dt dy {por (.9)} π lím y log y + [ y log ( ) y +, y y ( )] y + + y ( ) rc tg t t( + y t ) dy dt (.93) ( ) y + f(y) log y ( ) y + g (y) log dy y g(y) y f (y) y(y + ) dy + y dy + y [log(y + )] log el corchete es log, y por tnto, l prte izquierd de (.93) es π log. Por otro ldo: rc tg t rc tg t dy rc tg t t du (rc tg t) dy {u yt} t( + y t ) t + y t t + u t Luego l prte derech de (.93) es ( rctg t ) dt. Recopilndo resultdos, obtenemos (.86). t Problem.3 Si f es positiv y decreciente en I [, + [ y si l integrl f() d eiste, demostrr que f() cundo +, y que si eiste f en I, entonces tmbién eiste f () d. Se F() f(t) dt,. Por hipótesis, eiste l lím F() f(t) dt +

49 .7. PROBLEMAS 49 Pr, tenemos f(t) dt F() F() Tmbién, pr todo t, tl que t, por ser f decreciente Integrndo o bien f() dt f() f() f(t) f() f(t) dt Pr > es f(), y que f es positiv, luego f() lím + f(t) dt (.94) f(t) dt f() f(t) dt y como est integrl cundo + (por (.94)), result f() dt lím f() {y } lím y + y + f(y) es decir, lím y + yf(y), como pretendímos. Pr l segund prte [f()] f() + f () [f()] + El corchete es f(), y que lím + f(), luego f () d f() f() d + f() d f () d y l eistenci de l integrl de l izquierd qued grntizd por ls hipótesis del problem. Problem.3 Se f() sen t cost dt. Demostrr con los métodos del cálculo ele- t { π, si < mentl que: f(), si > Clculr l integrl f() d pr deducir l fórmul sen sen d Vemos ntes un pr de resultdos. Se m R, y se F(m) π, si π (.95), si sen mt t dt

50 5 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS Supongmos primero que m >. Medinte el cmbio u mt: Si m >, tmbién: luego F(m) F( m) sen u u du {problem.7, prtdo d)} π sen mt t sen( mt) t sen mt dt dt π t {, si m dt π signo(m), si m (.96) Tmbién, se G(m) sen mt dt. Si m > : t sen u G(m) {u mt} m du {problem.4, prtdo b)} m π u Y si m >, luego G( m) sen ( mt) t dt G(m) sen mt dt π m (.97) t Vemos y l primer prte. Utilizndo l identidd sentcost [sen( + )t + sen( )t], result: f() sen( + )t dt + sen( )t dt t t y según (.96) hemos de distinguir los siguientes csos: f() sen t t dt π signo() π 4. <. En este cso < signo( ), luego f() π signo( + ) + π signo( ) π 4 + π 4 π >. En este cso < signo( ), luego f() π + ( π ) En conclusión Clculemos hor f() d. π, si < π f() 4, si, si >

51 .7. PROBLEMAS 5 luego Si, es: Si >, es: Por otro ldo y como f() d f() d ( ( sen t cost t sen t cost t Sustituyendo en (.99), obtenemos f() d f() d + f() d ) dt ) d π π d f() d π d + d π { π, si π, si > (.98) d {invertimos el orden de integrción} ( ) sen t dt costd dt t [ sen t costd t f() d ] sen t sen t t sen t t que junto con (.98) demuestr (.95). Podemos tmbién resolver el problem directmente. En concreto, se: Ahor bien: F() sen sen [cos( + ) cos( )] dt sen sen d, > (.99) luego [( ) ( )] cos( ) cos( + ) [ ] ( ) ( + ) sen sen ( + ) ( ) sen sen F() π sen (+) + π sen ( ) d {por (.97)} d π ( + ) 4 resultdo más generl que (.95). Tmbién, pr > : F( ) sen( ) sen d sen sen d F()

52 5 CAPÍTULO. INTEGRALES GENERALIZADAS es decir, F es impr, luego fórmul válid pr todo R. Por último: sen sen d π ( + ) (.) 4 Si, es + +,, luego F() π π ( + + ) 4 Si, es + +,, luego F() π 4 ( + + ) π es decir, (.95) es un cso prticulr de (.).

53 Cpítulo Cálculo de integrles por residuos.. Residuos Se D C un bierto del plno complejo y se f un función nlític en el bierto D D T, donde T es un conjunto discreto, constituído por singulriddes de f, en otrs plbrs, cd elemento de T es un singulridd isld pr f, por ejemplo, si T está formdo eclusivmente por polos, se dice que f es meromorf en D. Ddo z T, se llm residuo de f en el punto z y se represent por Res (f(z), z z ) o Res (f, z ), l integrl: πi C f(z) dz donde C es culquier circunferenci centrd en z, contenid en D, y de form que ni C ni su interior conteng ningún elemento de T, ecepción del z. Es sencillo demostrr que Res (f, z ), siendo el coeficiente que compñ l término z z en el desrrollo de Lurent de l función f lrededor de z. Result evidente que conociendo el desrrollo de Lurent de f lrededor de z, se conoce el residuo, hor bien, pr l myorí de los problems prácticos solmente interes conocer el coeficiente y no todos los demás. De tods mners, ls siguientes regls son suficientes pr clculr residuos: Se z un polo de orden k de un función f, nlític en un entorno reducido V (z ) {z } del punto z. Entonces: Res (f(z), z z ) d k [ (z z ) k f(z) ] (k )! dz k zz (.) En prticulr, si z es un polo simple, es decir, de orden k, entonces, (.) se convierte en Res (f(z), z z ) lím (z z )f(z) (.) z z Si f(z) P(z) Q(z), donde P, Q son nlítics en z, P(z ) y z es un cero simple de Q, entonces: Res (f(z), z z ) P(z ) (.3) Q (z ) Si f es nlític en un entorno del punto del infinito, es decir, en un conjunto incluido en un bierto del tipo z > r, se llm residuo de f en el punto del infinito, el número: ( Res (f(z), z ) Res ( ) ) z f, z z 53

54 54 CAPÍTULO. CÁLCULO DE INTEGRALES POR RESIDUOS Si f es un función rcionl, de form que el grdo del denomindor super l menos en dos uniddes l numerdor, entonces: Res (f(z), z ) El siguiente teorem es uno de los más importntes de l vrible complej: Teorem. (de los residuos) Se D un bierto del plno completo C, y se f un función nlític en D, slvo en puntos isldos que son singulres pr f. Si es Γ el borde orientdo de un compcto A contenido en D, de form que Γ no contiene ningún punto singulr de f, ni l punto del infinito, entonces, los puntos singulres z k contenidos en A son en número finito y se cumple: f(z) dz πi Res (f(z), z k ) (.4) Γ k donde l sum está etendid todos los puntos singulres z k A, pudiendo estr incluido el punto del infinito. Corolrio.. En ls condiciones nteriores, si tommos A C, entonces Γ, y por tnto: Res (f(z), z k ) k es decir, l sum de todos los residuos, incluido el punto del infinito es cero... Aplicciones del teorem de los residuos l cálculo de integrles... Cso o Integrles de l form I π R(sen t, cost) dt donde R es un función rcionl en sen t y cost, sin polos sobre l circunferenci unidd z. En ests condiciones: I π ( [ ( Res z R z ), ( z + ) )], z z k (.5) i z i z z k P donde P es el conjunto de los polos de R contenidos en el interior del disco unidd.... Cso o Integrles de l form I R() d donde R es un función rcionl sin polos reles. L condición necesri y suficiente (ver cpítulo nterior) pr que un integrl del tipo nterior se convergente es que el grdo del denomindor se l menos dos uniddes superior l del numerdor. En ests circunstncis, result: I πi z k S Res (R(z), z z k )