POLINOMIOS. se denominan coeficientes.

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2 POLINOMIOS Polinomios. Generliddes Llmremos polinomios de grdo n en l vrile, tod epresión de l form: tl que: 0... n n 0 R; R; R;... ; n R n 0 siendo n N0 En tl epresión, l letr represent un número rel culquier l denominmos vrile o rgumento del polinomio. Los números 0; ; ;...; n se denominn coeficientes. A los polinomios sí definidos, los notremos con un letr múscul, inmeditmente seguid de un préntesis, dentro del cul colocmos l vrile en l que fue definido el polinomio. En nuestro cso resultrí: P( ) = 0... n n Ejemplos de polinomios en l vrile : A()= polinomio de segundo grdo en, cuos coeficientes son: 0 ; ; B()= π polinomio de quinto grdo en, cuos coeficientes son: ; ; 0; 0; π; Oservciones 0 Todo número rel distinto de cero es un polinomio de grdo cero Sí en l epresión: 0... n todos los coeficientes 0... n 0, tl epresión l denominmos, por convenio, polinomio nulo lo indicremos con el símolo: 0 Por lo tnto el polinomio nulo es el número cero crece de grdo Al conjunto de todos los polinomios posiles, incluido el polinomio nulo, lo notremos con l letr P. De ls oservciones nteriores result: R P donde números reles R P =polinomios n P O L I T E C N I C O

3 Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgerics rcionles Mtemátic Un polinomio se llm ordendo con respecto ls potencis decrecientes (o crecientes) de l vrile, cundo ést figur en cd término elevd un eponente menor (o mor) que en el término nterior. Ejemplos: D() creciente 7 π polinomio de séptimo grdo en ordendo en form C() π polinomio de tercer grdo en ordendo en form decreciente Un polinomio se llm completo con respecto su vrile cundo figurn tods ls potencis de l mism, menores que l de más lto grdo eistente en el polinomio. Ejemplos: D() 7 polinomio de curto grdo en, completo E() según ls potencis crecientes de l vrile polinomio de tercer grdo en, completo ordendo Cd uno de los términos de l sum que define el polinomio se denomin monomio, el grdo de cd monomio es el eponente con el que figur, en él, l vrile. De l definición de monomio, deducimos que puede epresrse como un cso prticulr de polinomio con un único término. Ejemplos: - π es un monomio de tercer grdo es un monomio de segundo grdo es un monomio de grdo cero Dos monomios en l mism vrile se llmn semejntes si son del mismo grdo, o se que solo pueden diferencirse en el coeficiente. P O L I T E C N I C O

4 Ejemplo: ; ; son monomios semejntes Todo polinomio de dos términos se denomin inomio, el de tres términos, trinomio; el de cutro términos, cutrinomio ; de llí en más polinomio de cinco, seis, siete términos,etc. De ello se desprende que un inomio es un polinomio cuos coeficientes son todos nulos ecepto dos, un trinomio es un polinomio cuos coeficientes son todos nulos ecepto tres, sí sucesivmente. Ejemplo A() creciente. es un inomio de curto grdo en no completo ordendo en form El polinomio A() completo ordendo en form decreciente es: A() Polinomios en vris vriles Lo considerdo hst el presente, se etiende l cso en que los polinomios se definn en vris vriles o rgumentos, en cuo cso resultn epresiones del tipo: A ; z z B ;;z El desrrollo más detlldo de estos polinomios en vris vriles no se efecturá en el presente curso. Vlor numérico de un polinomio El vlor numérico de un polinomio, es el número que result de reemplzr l vrile por un número rel culquier. De modo que, ddo el polinomio P() = Su vlor numérico pr = 0 que notremos P(0) es: P(0) = = 0 P O L I T E C N I C O

5 Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgerics rcionles Mtemátic Los vlores numéricos pr: = ; = ; = - son sucesivmente: P() = 8 ; P( ) = 0 ; P(-) = 0 Todo número rel, pr el cul se verifique que P() = 0, recie el nomre de cero del polinomio. En el ejemplo ddo son ceros del polinomio: P() = PRÁCTICA. Indic cuáles de ls siguientes epresiones son polinomios, en tl cso dr su grdo ) ) - c) ( )( ) 6 6 d) e ) f). En centvos por km, el costo de conducir un utomóvil un velocidd v se proim por medio de l función polinómic: C(v) 0,00 v 0,v Cuánto cuest conducir un utomóvil 0 km/h? 80 km/h?. El polinomio P(R,r) (R r ) proporcion el áre de un coron circulr con rdio interior r con rdio eterior R. Clcul el áre de un coron circulr con un rdio eterior de 0 cm uno interior de cm. Iguldd de polinomios Ddos dos polinomios de igul grdo, en l mism vrile, diremos que son igules si los coeficientes de los términos del mismo grdo resultn igules. Simólicmente: P( ) = Q( ) = n 0... n n 0... n Diremos que P( ) = Q( ) i 0;;;,..., n i i P O L I T E C N I C O

6 Operciones con polinomios Notemos que se hn relizdo en otrs ocsiones operciones entre epresiones lgerics, tles como: I. ( ) + (- + ) II. ( + +) ( + ) III. ( ).( + ) Ahor, sólo nos rest efecturls medinte el empleo de un disposición práctic Sum de polinomios Definición: Ddos dos polinomios P( ) = Q( ) = 0 m 0... m n n... Definimos como sum de esos dos polinomios e indicmos P()+Q() otro polinomio S() = c 0 c c... c r con ci i i i ;;;...; r siendo r el grdo del polinomio sum, si este no es nulo en cuo cso crece de grdo. r Ejemplo P() = + Q() = S() = 6 El polinomio S(), sum entre P() Q() es S() = 6 Propieddes:. Eistenci del elemento neutro 0 P / P() P; P() 0 P() ; esto se epres diciendo que el polinomio nulo es elemento neutro respecto de l operción sum.. Eistenci del elemento opuesto R() P Q() P / R() Q() 0 Q() R() P O L I T E C N I C O

7 Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgerics rcionles Mtemátic Rest de polinomios Definición: Ddos P() Q() polinomios del conjunto P: Ejemplo P() Q() P() [ Q()] + P() = + + -Q() = - + D() = Luego result P() Q() = D() Multiplicción de polinomios Definición: Ddos dos polinomios P() Q ( ) llmmos polinomio producto e indicmos M(), l polinomio que es l sum de todos los productos posiles de cd monomio de P() por cd monomio de Q(). Ejemplo: P() = Q() = M() = Luego result P(). Q() = M() Propiedd: Eistenci del elemento neutro P / P() P;P(). P() ; esto se epres diciendo que el número rel es elemento neutro respecto de l operción multiplicción. 6 P O L I T E C N I C O

8 Propieddes Pueden demostrrse ls siguientes propieddes de l sum el producto de polinomios en se ls propieddes de l sum producto de números reles. SUMA El grdo del polinomio sum es menor o igul que el grdo de los polinomios sumndos o crece de grdo. MULTIPLICACIÓN El grdo del polinomio producto es igul l sum de los grdos de cd polinomio o crece de grdo si uno o mos de los polinomios son el polinomio nulo L sum de polinomios cumple con l le de cierre L multiplicción de polinomios cumple con l le de cierre Conmuttiv Asocitiv Eistenci del elemento neutro Eistenci de elemento simétrico Condición de nulción del producto Distriutiv del producto con respecto l sum de polinomios PRÁCTICA. El polinomio A() es de curto grdo el polinomio B() es de segundo grdo ) Cuál es el grdo de A() + B()? ) Cuàl es el grdo de A(). B()?. Ddos los polinomios A() = + + ; B() = C() = + +, resuelve: ) A() + C() d) B().[A() + C()] ) A() + B() + C() e) [A()] + [B()] c) A().B() f) [A() C()] P O L I T E C N I C O 7

9 Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgerics rcionles Mtemátic 6. Clcul los vlores de, c, en cd cso ) ( ) ( c ) 7 ). c) c 8c d) 6 c División de polinomios Como conclusión de los estudios precedentes sore polinomios, podemos firmr que eiste un nlogí entre ls operciones con números enteros ls operciones con polinomios. Continundo con tl prlelismo, diremos que dividir dos polinomios P() Q() (grdo de P() grdo de Q() ), es encontrr dos polinomios C() R() (este último de grdo menor Q() o crente de grdo) tles que verificn l siguiente identidd: P() = C(). Q() + R() donde grdo de C() = grdo de P() grdo de Q() Result demás: P() divisile por Q() R() = 0 Un esquem mu fmilir dividendo P() Q() divisor R() C() cociente resto Pr otener los polinomios cociente C() resto R() se relizn los siguientes psos.. Se coloc el polinomio dividendo completo ordendo en form decreciente el polinomio divisor ordendo de l mism form.. Pr clculr el primer término del cociente, dividimos el monomio de mor grdo del dividendo por el monomio de mor grdo del divisor 8 P O L I T E C N I C O

10 . El monomio otenido en., se multiplic por el divisor, se coloc jo el dividendo se rest, oteniéndose el primer resto. A prtir de quí se repiten los prtdos., hst que el polinomio resto teng grdo menor que el del polinomio divisor o se oteng el polinomio nulo. Ejemplo: Dividmos P() = + + entre Q() = + _ / 6 + _ +8 / _ / C() cociente R() resto PRÁCTICA 7. En un división de polinomios, el dividendo es de grdo siete el divisor de grdo cutro. Cuál es el grdo del cociente?. Y el grdo del resto? 8. Clcul el cociente el resto en: ) ( 8 ) : ( ) ) ( 6 ) : ( + ) 9. Determin si l siguiente proposición es V(verdder) o F(fls).Justific. 7 es el resto de l división ( ) :( ) 0. Anliz l flsedd o vercidd de es un cociente ecto P O L I T E C N I C O 9

11 Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgerics rcionles Mtemátic División de un polinomio de grdo mor o igul por otro de primer grdo Un cso que se present con much frecuenci, es l división de un polinomio P() de grdo n por un inomio de l form + h ( hr), en este cso C() result de grdo n R() es de grdo 0 o crece de grdo; es decir el resto resultrá un número rel (R), que será cero si P() es divisile por + h. Semos que si P() es el dividendo; + h el divisor R el resto, deerá verificrse: P() = C().( + h) + R Teorem del resto El resto R de un división de un polinomio en por un inomio +h ( donde h es un número rel culquier ), es el vlor numérico del polinomio dividendo cundo l vrile sume el vlor (-h) P() +h R C() P(-h) = R Demostrción: Semos que P() = C() (+h) + R P(-h) = C(-h).(-h+h) +R siendo P(-h) el vlor numérico del polinomio P() cundo = -h P(-h) = C(-h).0 +R que (-h + h) = 0 por propiedd de l sum de números opuestos De donde deducimos que: P(-h) = R El resto R de un división de un polinomio en por un inomio + h (donde h es un número rel culquier), es el vlor numérico del polinomio dividendo cundo l vrile sume el vlor (-h). NOTA: Result en consecuenci que: P() es divisile por +h P(-h) =0 0 P O L I T E C N I C O

12 Regl de Ruffini Pr el cálculo efectivo del cociente C(), en el cso de división de polinomios que estmos estudindo, result útil cómodo, utilizr el esquem que completrás como ejemplo con l ud de tu profesor / / 6-6 / ti / 6 PRACTICA. Clcul los cocientes indicdos (P() : Q()) en cd enuncido por plicción de l regl de Ruffini verific el resto otenido, plicndo el teorem del resto ) ( ) :( + ) ) ( ):(- + ) c) ( ) : ( - ) d) ( + ):( + ) e) ( ) : ( ) f) ( 6) : ( + ) P O L I T E C N I C O

13 Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgerics rcionles Mtemátic. Determin m pr que el resto de l división resulte igul 8 m m( ) m : ( ). Dd ( ) ( ) : ( ) ) Clcul de modo que el resto se 8 ) Determin, por Ruffini, el cociente de l división signándole el vlor hlldo en el prtdo nterior.. En cd uno de los siguientes cocientes, determin h de modo que l división pose el resto indicdo en cd cso ) h ( h) (h ) : ( ), el resto se (-) ) h h : ( ), el resto se (-), el resto se c) h (h ) h : ( ). En cd un de ls siguientes divisiones, determin h de modo que l división resulte ect. ) ( + h ): ( ) ) ( h ) : ( - ) c) ( h + h ) : (+) d) ( + h) : ( ) 6. Complet el cudro. A() + 0 ( ) A() es divisile por (-)? A() es divisile por (+)? ( ) P O L I T E C N I C O

14 Ceros de un polinomio su descomposición en fctores Ddo el polinomio A()= +, notemos que A()=0 A()=0 por lo tnto : son ceros de A() en consecuenci A() es divisile por (-) (-). Entonces de cuerdo l lgoritmo de l división result: A()= + = (-)( - --) = (-)(-)( + +) ti En generl diremos que : 0 ( α) A A() A() = (-).C() (*) PRÁCTICA 7. ) Determin el vlor del coeficiente de P() pr que el resto de l división entre p() ( - ) se cero, siendo P()= + 8 Y luego fctorélo pr ese vlor de. ) Encuentr otro cero de P() pr ese vlor de c) Complet l siguiente epresión fctored de P(). P()=(-..)(-..)( ) P O L I T E C N I C O

15 Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgerics rcionles Mtemátic 8. Complet l epresión fctored de los siguientes polinomios ) + = (-)(..) ) -= (-)(.) c) + = (-)(..)(..) Fctorer un polinomio es trnsformrlo en el producto de dos o más polinomios. Pr loclizr los ceros de un polinomio se utiliz l siguiente propiedd: n Si el polinomio P()= 0... n con i Zi n=,dmite l ríz α entonces α es divisor de 0 PRÁCTICA 9. Fctore todo lo posile hll todos los ceros de cd uno de los siguientes polinomios: () = + 0 () = c() = + 6 d() = + 0. Dds ls siguientes epresiones de l form n h n determin los divisores de l form h de modo que l división resulte ect en ese cso escriir n h n como el producto del divisor por el cociente, o se fctoredo: ) + e) + 6 ) 8 f) 7 c) + g) + d) + 6 h) 8 P O L I T E C N I C O

16 . Clcul el vlor de siendo que es un cero del polinomio p() = +. Clcul de modo tl que resulte P()=Q(), siendo P()= -+ Q()=(-)(+)(+). El polinomio P(R;r)= π (R -r ) proporcion el áre de un coron circulr con rdio interior r rdio eterior R. Clcul el áre de un coron circulr con un rdio eterior de 0cm. uno interior de 0cm.. Fctore l fórmul que d el áre A de cd un de ls regiones somreds ) ) c) d) Epresiones lgerics rcionles. Simplificción. Operciones Ddos dos polinomios P() Q() / Q() 0 culquier se l epresión P() T() l denominmos epresión lgeric rcionl donde Q() P() T() Q() numerdor denomindor El vlor numérico de est epresión dependerá del vlor que signemos l vrile pr el cul l mism quede definid,es decir P() T(), R con Q() 0 Q() P O L I T E C N I C O

17 Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgerics rcionles Mtemátic NOTA: En lo sucesivo considerremos que ls epresiones lgerics rcionles P() se encuentrn definids pr todos quellos vlores de pr los cules Q() Q() 0 Oservciones R / Q( ) 0 result: P() ) Si Q()= P() Q() P() Q() ) Si Q()=P() Q() Q() P() 0 c) Si P()= 0 0 Q() Q() Simplificción de epresiones lgerics Dd l epresión A() B() R(). R().Si es posile trnsformrl en P()R() Q()R() A() P()R() P() P() = = =. B() Q()R() Q() Q() en el denomindor, tl operción l denominmos simplificción Ejemplo ( ) ( ) ). ( ) result P() = ; que h un mismo fctor en el numerdor Q() ) 7 7( ) PRÁCTICA. Estlece pr que vlores de l vrile están definids ls siguientes epresiones lgerics rcionles. ) ) c) 9 6 P O L I T E C N I C O

18 6. Une con flechs ls epresiones equivlentes. Justific. 0 ) ) c) d) e) f) ( ) 0 8 ( ) ( ) Operciones con epresiones lgerics Ls operciones con epresiones lgerics rcionles tienen ls misms propieddes que ls operciones con números rcionles. Sum Ejemplo: L sum de epresiones lgerics rcionles puede presentr: I) denomindores igules, en este cso: P() Q() R() Q() P() R(X) Q() P O L I T E C N I C O 7

19 Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgerics rcionles Mtemátic II) denomindores distintos, es decir P() Q() R() S() P().S() Q().S() R().Q() S().Q() P().S() R().Q() Q().S() Un recurso útil será descomponer los denomindores en fctores primos luego determinr el múltiplo común menor de los denomindores como el mecnismo empledo en l determinción del mcm de números enteros. Ejemplo:.( ) ( ).( ) ( ).( ) ( ).( ) ( )( ) Rest Dds dos epresiones lgerics rcionles culesquier llmmos diferenci de ells l epresión lgeric rcionl que se otiene sumndo l primer l opuest de l segund. Ejemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) Multiplicción Dds dos epresiones lgerics rcionles culesquier definimos l multiplicción de ls misms del siguiente modo: P() Q() R() D() P() R(X) Q() D() R / Q() 0 D() 0 Ejemplo:. ( ( )( ) ( )( ) )( ) ( ) ( )( ) 8 P O L I T E C N I C O

20 P O L I T E C N I C O 9 División Dds dos epresiones lgerics rcionles culesquier llmmos cociente entre ells l epresión rcionl que se otiene de multiplicr l primer por el recíproco de l segund. Ejemplo: PRÁCTICA 7. Demuestr ) 9 ) ( 9 ) ) ) ( ( ) ( c) 8 d) e) ) ( f) g) 8 ) ( h) ) ( ) ( 8) ( i) 6 j) k) ) 6( l) ) ) ( ( ) (. m). ) ( ) (. ) ( :

21 Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgerics rcionles Mtemátic P O L I T E C N I C O 0 n). o) ) (. 9 6 p) : q) 6 : 9 9 r) : 8 6 c c s) 8 : 8 t) : u) m m m m m 9 0. v) ) (. w) :. ) : ) : RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PLANTEADOS. Son polinomios, c e. El grdo de es, el grdo de c es el grdo de e es 6.. 9, centvos; centvos.. Áre = 7.. ) grdo [A() + B()] = ) grdo [A().B()] = 6. ) A() + C() = ) A() + B() + C() = c) A().B() = d) B().[A() + C()] = e) A () + B () = + + f) [A() C()] =

22 6. ) = -7 ; = ; c = ) = ; = ; c = c) = 7 ; = ; c = - 9 d) = ; c = 7. grdo del cociente = grdo del resto < ó crece de grdo. 8. ) C() = + R() = - ) C() = + 9 R() = 9. verddero 0. verddero. - C() = R() = = P(-) - C() = R() = - = P() c- C() = 6 R() = = P() d- C() = 8 + R() = -8/ = P(-) e- C() = R() = 0 = P() f- C() = + 8 R() = 0 = P(-). m =. ) = -6 ) C() = ) h = 0 ) h = c) h =. ) h = - ) h = c) h = 7 6. d) h = -7 A() + A() es divisile por (-)? A() es divisile por (+)? Si Si ( ) + Si NO ( ) NO NO 7. = P() = ( ).( + + ) 8. ) + = (-)(-) ) -= (-)(+) c) + = (-) (+) P O L I T E C N I C O

23 Polinomios. Fctoreo. Epresiones lgerics rcionles Mtemátic 9. () = ( )( 6)( ) () = ( )( )( + )( + ) c() = ( )( + )( + ) d() = ( )( + ) 0. - ( )( ) - ( )( + + ) c- ( + )( + +) d- no es posile e- ( + )( + 6) f- ( /)( + / + /9) g- no es posile h- ( )( + )( + 9). =. ( = = -) ( = - = ). Áre = 00. ) (8 ) ) c) ( ) d) ( ). ) ; - ) -/9 c) ) ) c) d) e) f) ( ) ( ) ( ) P O L I T E C N I C O