4. Geometría. 4.1 Ángulos. Construir un ángulo igual a otro con el auxilio de un compás. Trazado de la bisectriz de un ángulo utilizando compás.

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1 Ministerio de Educción Universidd Tecnológic Ncionl Fcultd Regionl Rosrio Secretrí cdémic Áre Ingreso RIENTIÓN UNIVERSITRI 4. Geometrí 4.1 Ángulos ángulo convexo (< 180 ) ángulo llno = 180 ángulo cóncvo (> 180 ) NT: Slvo indicción especil, l mencionr un ángulo nos referiremos l ángulo convexo. ángulo gudo < 90 ángulo recto = 90 ángulo otuso > 90 onstruir un ángulo igul otro con el uxilio de un compás. T Q M y M N Trzdo de l isectriz de un ángulo utilizndo compás. Ing. Sndr Silvester ágin 23

2 Ministerio de Educción Universidd Tecnológic Ncionl Fcultd Regionl Rosrio Secretrí cdémic Áre Ingreso RIENTIÓN UNIVERSITRI ÁNGULS MLEMENTRIS ÁNGULS SULEMENTRIS ángulo recto = 90 ángulo llno = 180 δ ÁNGULS DYENTES Y UESTS R EL VÉRTIE γ y γ y δ y y γ γ y δ δ y puestos por el Vértice (son igules) dycentes (son suplementrios) rolem Nº 1: Qué clse de ángulo son los suplementos de un ángulo gudo, un ángulo recto y un ángulo otuso? rolem Nº 2: Hllr el complemento de los ángulos de 20º, 62º y 69º. rolem Nº 3: Hllr el suplemento de los ángulos de 40º, 85º y 163º. rolem Nº 4: El suplemento de un ángulo es el triplo de dicho ángulo, uánto vle éste? rolem Nº 5: ómo son los ángulos dycentes de dos ángulo opuestos por el vértice? rolem Nº 6: Qué ángulo determinn ls isectrices de 2 ángulos dycentes? rolem Nº 7: Qué ángulo determinn ls isectrices de 2 ángulos opuestos por el vértice? rolem Nº 8: Un ángulo es igul l duplo de su dycente. lculr ése ángulo. 4.2 Rects erpendiculres y rlels M N M N Trzr l perpendiculr por un punto exterior l rect (con escudr y con compás) Ing. Sndr Silvester ágin 24

3 Ministerio de Educción Universidd Tecnológic Ncionl Fcultd Regionl Rosrio Secretrí cdémic Áre Ingreso RIENTIÓN UNIVERSITRI Trzdo de rects prlels (con regl y escudr y con regl y compás) = (ver cudro siguiente) 4.3 Ángulos entre dos rlels y un Rect δ γ δ γ c Ángulos determindos por dos rects prlels cortds por un tercer = γ = γ = δ = δ = γ = δ δ = γ = y δ γ y δ y y γ ángulos correspondientes entre prlels (son igules) ángulos lternos internos entre prlels (son igules) ángulos lternos externos entre prlels (son igules) ángulos conjugdos internos entre prlels (son suplementrios) ángulos conjugdos externos entre prlels (son suplementrios) rolem Nº 9: Un rect cort dos prlels formndo un ángulo gudo con ls misms. lculr los 6 ángulos restntes. rolem Nº 10: Un rect, l cortr dos prlels, h formdo dos ángulos conjugdos externos tles que uno de ellos es l quint prte del otro. lculr, en grdos, cd uno de los 8 ángulos formdos. 4.4 Triángulos EQUILÁTER ISÓSELES ESLEN (3 ldos igules) (2 ldos igules) (3 ldos desigules) Ing. Sndr Silvester ágin 25

4 Ministerio de Educción Universidd Tecnológic Ncionl Fcultd Regionl Rosrio Secretrí cdémic Áre Ingreso RIENTIÓN UNIVERSITRI UTÁNGUL TUSÁNGUL RETÁNGUL (3 ángulos gudos) (1 ángulo otuso) (1 ángulo recto) ε L sum de los ángulos interiores de un triángulo es igul γ = 2 rectos L sum de los ángulos exteriores δ γ de un triángulo es igul 360 ϕ δ + ε + ϕ = 4 rectos isectrices m medins m m c c Ls isectrices de un triángulo concurren en un punto que equidist de los ldos del triángulo El punto equidist de los ldos, y c Ls medins de un triángulo concurren en un punto situdo un distnci del vértice igul 2/3 de l medin correspondiente meditrices h lturs h c h Ls meditrices de los ldos de un triángulo concurren en un punto que equidist de los vértices del mismo El punto equidist de, y Ls rects que pertenecen ls lturs de un triángulo concurren en un punto Ing. Sndr Silvester ágin 26

5 Ministerio de Educción Universidd Tecnológic Ncionl Fcultd Regionl Rosrio Secretrí cdémic Áre Ingreso RIENTIÓN UNIVERSITRI TRIÁNGULS SEMEJNTES c c Dos triángulos son semejntes cundo sus ángulos son respectivmente igules y sus ldos homólogos proporcionles rolem Nº 11: Un triángulo tiene un ángulo de 55º y otro de 67º. lculr el tercer ángulo. rolem Nº 12: Un ángulo de un triángulo es de 48º. lculr el ángulo exterior del mismo vértice. rolem Nº 13: orqué l sum de los ángulos exteriores de un triángulo es igul 4 rectos? rolem Nº 14: El ángulo opuesto l se de un triángulo isósceles es de 59º. lculr los otros dos ángulos. rolem Nº 15: En un triángulo isósceles el ángulo exterior dycente uno de los ángulos igules es de 157º. lculr los ángulos del triángulo. rolem Nº 16: En el triángulo MN ls medins se cortn en el punto. lculr el segmento siendo que l medin correspondiente l ldo N es de 18 cm. rolem Nº 17: Diujr el triángulo, tl que el ldo es de 5 cm, l medin correspondiente l ldo es de 6 cm y l correspondiente l ldo de 7,5 cm. rolem Nº 18: Se tienen dos triángulos semejntes y. En el primero = 8 cm y = 5 cm; en el segundo = 4 cm. lculr el ldo del segundo triángulo. rolem Nº 19: En el prolem nterior, l ltur correspondiente l ldo es de 3 cm. lculr l ltur correspondiente l ldo. 4.5 ircunferencis y írculos r r T r r T r r m r s t r n Tngentes Exteriores Tngentes Interiores Secntes Tngentes omunes m y n exteriores s y t interiores Ing. Sndr Silvester ágin 27

6 Ministerio de Educción Universidd Tecnológic Ncionl Fcultd Regionl Rosrio Secretrí cdémic Áre Ingreso RIENTIÓN UNIVERSITRI o * M γ δ D Ángulo entrl ángulo cuyo vértice es el centro del círculo rco de ircunferenci *rco que contiene l punto M rcos,, D y D: 1º, 2º, 3º y 4º cudrntes = = γ = δ = 90º o uerds y el diámetro es un cuerd que ps por el centro m n Sector irculr figur formd por un ángulo centrl y su rco Segmento de írculo cd un de ls dos prtes en que un cuerd divide l círculo Q Q ω l tngente un circunferenci es perpendiculr l rdio que ps por el punto de contcto m rdio m tg en n rdio Q n tg en Q Ángulo Inscripto el ángulo ω está inscripto en el rco QR y rc el rco R que no contiene l punto Q R todo ángulo inscripto en un semicircunferenci es recto = 90º todo triángulo se puede inscriir en un circunferenci por tres puntos no pertenecientes un mism rect ps siempre un circunferenci y sólo un todo ángulo inscripto es igul l mitd del ángulo centrl que rc el mismo rco /2 todos los ángulos inscriptos en un mismo rco de circunferenci son igules = Ing. Sndr Silvester ágin 28

7 Ministerio de Educción Universidd Tecnológic Ncionl Fcultd Regionl Rosrio Secretrí cdémic Áre Ingreso RIENTIÓN UNIVERSITRI rolem Nº 20: Un punto se encuentr 5 cm de un circunferenci de 3 cm de rdio. lculr l distnci entre dicho punto y el de l circunferenci que está más próximo él y entre dicho punto y el de l circunferenci que está más lejdo de él. rolem Nº 21: qué distncis deen estr los centros y de dos circunferencis igules de 4 cm de rdio, pr que resulten: ) tngentes exteriores; ) tngentes interiores; c) secntes? rolem Nº 22: uál es el ángulo centrl correspondiente un semicircunferenci? rolem Nº 23: Qué prte del círculo es el segmento circulr determindo por un diámetro? rolem Nº 24: Mrcr tres puntos no linedos y construir l circunferenci que ps por ellos (ver l pie de l págin 31). rolem Nº 25: lculr el ángulo inscripto que rc un cudrnte. rolem Nº 26: lculr los ángulos centrles correspondientes los siguientes ángulos inscriptos: 47º, 18º, 96º, 107º y 33º. rolem Nº 27: Si dos circunferencis son tngentes exteriores, cuánts tngentes interiores y exteriores tienen? rolem Nº 28: Si dos circunferencis son tngentes interiores, cuánts tngentes interiores y exteriores tienen? 4.6 olígonos Los polígonos son figurs plns cuyo contorno está formdo por trzos rectos. En todo polígono hy por lo menos tres ángulos. Esto justific el nomre de polígono, pues etimológicmente l plr está formd sí: poli muchos; gonos ángulos, es decir, muchos ángulos. Los polígonos se clsificn en dos clses: convexos y cóncvos. Los cutro primeros de l figur nterior son polígonos convexos y los tres últimos polígonos cóncvos. Nosotros veremos los polígonos convexos. Los polígonos convexos recien distintos nomres según el número de ldos: triángulo (3 ldos); cudrilátero (4 ldos); pentágono (5 ldos); hexágono (6 ldos); heptágono (7 ldos); octógono (8 ldos); eneágono (9 ldos); decágono (10 ldos); undecágono (11 ldos); dodecágono (12 ldos). undo el polígono tiene más de 12 ldos, se llm polígono de n ldos. L sum de los ángulos interiores de un polígono es igul 2 rectos por el número de ldos menos dos. Sum ángulos interiores polígono n ldos = 2 rectos (n 2) Ing. Sndr Silvester ágin 29

8 Ministerio de Educción Universidd Tecnológic Ncionl Fcultd Regionl Rosrio Secretrí cdémic Áre Ingreso RIENTIÓN UNIVERSITRI L sum de los ángulos exteriores de un polígono es igul 4 rectos. Sum ángulos exteriores polígono = 4 rectos olígono Regulr: Un polígono convexo se dice regulr cundo tiene todos sus ldos y sus ángulos respectivmente igules. Son polígonos regulres los que precen en l figur siguiente: rlelogrmos: udriláteros que tienen los dos pres de ldos opuestos prlelos. Son prlelogrmos los tres cudriláteros siguientes: ropieddes de los prlelogrmos: ) los ldos opuestos son igules; ) los ángulos opuestos son igules; c) ls digonles se cortn en prtes igules. Romo: rlelogrmo que tiene sus cutro ldos igules. Trpecio: udrilátero que tiene únicmente dos ldos opuestos prlelos. Se clsificn según l figur siguiente: isósceles escleno rectángulo se medi de un trpecio: Es el segmento determindo por los puntos medios de los ldos no prlelos. Es prlel ls ses e igul l semisum de ls misms se medi = ½ (se myor + se menor) Trpezoide: udrilátero que no tiene ningún ldo igul otro Romoide: Trpezoide que tiene dos ldos consecutivos igules y los otros dos distintos los nteriores pero igules entre sí SUERFIIE DE LÍGNS: Ing. Sndr Silvester ágin 30

9 Ministerio de Educción Universidd Tecnológic Ncionl Fcultd Regionl Rosrio Secretrí cdémic Áre Ingreso RIENTIÓN UNIVERSITRI rlelogrmo = se x ltur Triángulo = ½ (se x ltur) Trpecio = ½ (se myor + se menor) x ltur Romo = Romoide = ½ (digonl myor x digonl menor) olígono Regulr = ½ (perímetro x potem) perímetro = longitud de un ldo x nº de ldos potem = distnci de un ldo l centro del polígono rolem Nº 29: lculr l sum de los ángulos interiores: ) de un dodecágono; ) de un hexágono; c) de un decágono; d) de un eneágono. rolem Nº 30: lculr un ángulo interior: ) de un pentágono regulr; ) de un octógono regulr; c) de un decágono regulr. rolem Nº 31: lculr un ángulo exterior de un heptágono regulr. rolem Nº 32: En el cudrilátero D se verific que 114 y. lculr el ángulo exterior dycente D. rolem Nº 33: Un ángulo de un prlelogrmo es de 64º. lculr los otro tres ángulos. rolem Nº 34: Un ángulo exterior de un prlelogrmo es de 108º. lculr los cutro ángulos interiores del prlelogrmo. rolem Nº 35: Un rectángulo tiene un perímetro de 38 cm y l se es de 12 cm. lculr los otros tres ldos. rolem Nº 36: El perímetro de un romo es de 18 cm. lculr el ldo. rolem Nº 37: En el romo D, l trzr l digonl el ángulo es de 29º. lculr los otros tres ángulos del romo. rolem Nº 38: En un trpecio isósceles, un ángulo de l se es de 42º. lculr los otros ángulos. rolem Nº 39: L se myor de un trpecio es de 8 cm y l se medi de 5 cm. lculr l se menor. rolem Nº 40: onstruir un romoide cuy digonl principl es de 12 cm y l otr de 5 cm. L intersección de ls digonles se encuentr, de uno de los vértices extremos de l principl, un distnci igul 1/3 de est últim. rolem Nº 41: Hllr l superficie de un decágono regulr que tiene 5 cm de ldo y 8 cm de potem. 4.7 Tems vrios Trzr l meditriz de un segmento: (con regl y compás) El procedimiento sirve tmién pr hllr el punto medio del segmento. Ing. Sndr Silvester ágin 31

10 Ministerio de Educción Universidd Tecnológic Ncionl Fcultd Regionl Rosrio Secretrí cdémic Áre Ingreso RIENTIÓN UNIVERSITRI Dividir un segmento en prtes proporcionles otros dos segmentos ddos: Ddos los segmentos y, dividir el segmento en dos segmentos x e y, tles que: or M se trz un semirrect que forme un ángulo gudo con. prtir de M se determin = y =. Se une Q con N y por se trz l prlel que cort M en el punto R (que divide y estlece x e y). x R y Segmento medio proporcionl entre dos segmentos: N Q En todo triángulo rectángulo, l ltur correspondiente l hipotenus es el segmento medio proporcionl entre los segmentos que determin sore dich hipotenus. h 2 =. Longitud de un rco de circunferenci: h Longitud rco = π Superficie de un sector circulr: Superficie sector = Teorem de itágors: El cudrdo de l hipotenus es igul l sum de los cudrdos de los ctetos h 2 = h rolem Nº 42: Diujr tres segmentos y dividir cd uno de ellos en prtes proporcionles los otros dos. rolem Nº 43: Hllr el segmento medio proporcionl de dos segmentos de 7 cm y 4 cm, respectivmente. rolem Nº 44: Dd un circunferenci cuyo diámetro es de 10 cm, hllr l longitud del rco correspondiente = 45º. rolem Nº 45: Hllr l superficie del sector circulr correspondiente = 55º, si el rdio del círculo es de 7 cm. rolem Nº 46: Hllr l hipotenus de un triángulo rectángulo cuyos ctetos miden 12 cm y 18 cm, respectivmente. Ing. Sndr Silvester ágin 32

11 Ministerio de Educción Universidd Tecnológic Ncionl Fcultd Regionl Rosrio Secretrí cdémic Áre Ingreso RIENTIÓN UNIVERSITRI 4.8 Funciones Trigonométrics (+) ctg M N ( ) ρ cos sen Q tg (+) ρ = 1 rdio vector hipotenus sen ordend de cteto opuesto cos scis de cteto dycente sen 2 + cos 2 = 1 ( ) 1 sec 1 cos 1 Ls funciones trigonométrics dependen del ángulo l que corresponden. Si se considern ángulos distintos unque se dopten pr ellos rdio vectores igules, ls sciss y ordends resultn, respectivmente, diferentes. En l figur: ero es: l ser distints ls dos sciss y ls dos ordends, ls funciones trigonométrics de estos ángulos son distints. M M M M M r un mismo ángulo, el vlor de cd función trigonométric es único, es decir, independiente del rdio vector elegido. En l figur, los triángulos M, M y M son semejntes y por lo tnto sus ldos homólogos son proporcionles. En consecuenci: Ing. Sndr Silvester ágin 33

12 Ministerio de Educción Universidd Tecnológic Ncionl Fcultd Regionl Rosrio Secretrí cdémic Áre Ingreso RIENTIÓN UNIVERSITRI Equivlenci entre rdines y grdos sexgesimles: 360º = 2 π rdines Longitud rco de circunferenci = rdio x [rdines] Resolución de triángulos rectángulos: ) onocemos l hipotenus y un ángulo gudo: Dtos: = 10 cm ; 33 Solución: c ,545 5, ,839 8,39 ) onocemos un cteto y un ángulo gudo: Dtos: = 5 cm ; 52 Solución: , ,280 6,345 3,905 Triángulos olicuángulos: c Teorem del Seno Teorem del oseno Ing. Sndr Silvester ágin 34

13 Ministerio de Educción Universidd Tecnológic Ncionl Fcultd Regionl Rosrio Secretrí cdémic Áre Ingreso RIENTIÓN UNIVERSITRI Vlores de lguns funciones trigonométrics de ángulos importntes: 0º 90º 180º sen cos tg 0 0 rolem Nº 47: Resolver el triángulo, rectángulo en, siendo que: 1) = 15 cm ; = 30º 2) = 20 cm ; = 42º 3) = 14 cm ; = 65º 4) = 8 cm ; = 35º 5) = 12 cm ; = 42º 6) c = 17 cm ; = 60º Ing. Sndr Silvester ágin 35

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