El espacio R n. Tema El conjunto R n El espacio vectorial R n

Transcripción

1 Tema 1 El espacio R n En este primer tema de la asignatura recordaremos algunos conceptos ya estudiados acerca del conjunto R n y las estructuras sobre él definidas. Se presentarán por tanto bastantes contenidos de una manera muy sintetizada, y por esta razón estas notas serán, para este Tema, especialmente sucintas. 1.1 El conjunto R n R n = R... R = {x 1,..., x n / x i R, i = 1,..., n} El espacio vectorial R n En R n se definen de manera natural las operaciones: Suma: + x 1,..., x n + x 1,..., x n = x 1 + x 1,..., x n + x n Producto por escalares: R λ x 1,..., x n = λx 1,..., λx n Con estas dos definiciones el conjunto: R n, +, R tiene estructura de espacio vectorial real de dimensión n. Por el Teorema de la Base, todas las bases de R n tienen n vectores y todo vector de R n tiene por tanto n coordenadas en cada base. B = { e 1, 2,..., e n } v R n, v = x 1,..., x n v = α 1 e α n e n α 1,..., α n B 1

2 2 CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA 1 En particular se llama base canónica de R n a la única base B c = { u 1,..., u n }, en la que las componentes de cualquier vector de R n coinciden con sus coordenadas con respecto a dicha base: v = x 1,..., x n = x 1 u x n u n x 1,..., x n Bc y en consecuencia, la base canónica está formada por los vectores: u 1 = 1, 0,..., 0,..., u n = 0, 0,..., 0, 1 Ejemplo: Veamos un ejemplo concreto de diferentes bases y fórmulas del cambio de coordenadas para el caso particular del espacio R 2. Considemos la base B y la base canónica B c de R 2 : B = { e 1 = 1, 2, e 2 = 1, 1 }, B c = { u 1 = 1, 0, u 2 = 0, 1} Entonces todo vector v = x 1, x 2 tendrá coordenadas v = y 1 e 1 + y 2 e 2 y 1, y 2 B en la base B y, obviamente, coordenadas x 1, x 2 en la base canónica. Con un breve cálculo se encuentran las fórmulas de cambio de base que relacionana unas coordenadas con las otras: { x 1 = y 1 y 2 x 2 = 2y 1 + y 2 o bien, en forma matricial: y 1 y 2 = x 1 x x 1 x 2 = y 1 y El espacio vectorial euclídeo R n De manera general se define un producto escalar en un espacio vectorial real V como toda aplicación de V V en R que asigna a cada par de vectores v 1, v 2 un número real v 1 v 2, de tal forma que se verifiquen las propiedades: 1. v 1 v 2 = v 2 v 1, v 1, v 2 V. 2. λ v 1 + µ v 2 v 3 = λ v 1 v 3 + µ v 2 v 3, v 1, v 2, v 3 V, λ, µ R 3. v v 0, v V, y v v = 0 v = 0. Un espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial dotado de un producto escalar. Producto escalar en R n En el espacio R n se define el producto escalar estándar de la siguiente forma: v v = x 1,..., x n x 1,..., x n = x 1 x x n x n

3 CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA 1 3 Es evidente que esta definición verifica las propiedades antes comentadas y por tanto R n, +, R, es un espacio vectorial euclídeo. Ortogonalidad. Dos vectores de un espacio vectorial euclídeo son ortogonales si su producto escalar es nulo. v, u, v 0, u 0 : v u = 0 v u Se dice que una base de R n es ortogonal si todos sus vectores son ortogonales dos a dos, es decir: B = { e 1,..., e n }, e i e j = 0, i j El espacio normado R n Es posible definir una norma en R n asociada al producto escalar de la forma: v = x 1,..., x n = + v v = + x x2 n De manera general un espacio normado es un espacio vectorial real V en el que se define una norma, es decir una aplicación de V en R, v v, tal que verifica las propiedades siguientes: v > 0, v 0, v V, y 0 = 0. λ v = λ v, λ R, v V. v 1 + v 2 v 1 + v 2, v 1, v 2 V. En este sentido, la norma asociada a un producto escalar no es más que una de las posibles normas que pueden definirse en un espacio vectorial euclídeo. En definitiva: R n, +, R, es un espacio vectorial normado. El concepto de norma permite definir vector unitario como aquél que tiene norma igual a uno. Se dice que una base de un espacio vectorial es ortonormal si es ortogonal y además todos sus vectores son unitarios. Es evidente que la base canónica de R n es una base ortonormal. Otro concepto que es posible definir a partir de la norma es el de ángulo entre dos vectores, se trata del número real θ [0, π] que verifica la ecuación: v u = v u cos θ Esta fórmula permite interpretar el producto escalar en términos de las proyecciones de un vector sobre otro ver problemas.

4 4 CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA El espacio afín R n Es posible tomar en R n una estructura de espacio afín considerando el propio R n como el conjunto de puntos, y también como el espacio vectorial de direcciones. De manera natural el punto origen será 0 0,..., 0. De esta manera para cada dos puntos P y Q se define de manera única el vector P Q: P x 1,..., x n, Q y 1,..., y n P Q = y 1 x 1,..., y n x n verificándose trivialmente las propiedades que definen la estructura de espacio afín. Lógicamente, estas definiciones permiten la identificación natural entre un punto P x 1,..., x n y el vector OP = x1,..., x n. Consideraremos de manera habitual el sistema de referencia dado en R n por el origen y la base canónica del espacio vectorial R n, es decir: R = {O; B c }, con 0 0,..., 0 y siendo B c la base canónica de R n. Evidentemente se trata de un sistema de referencia ortonormal El espacio euclídeo R n Finalmente dotaremos a R n de una estructura de espacio métrico por mnedio de la definición de una distancia. Distancia Euclídea. Se define la distancia euclíde en el espacio R n como la aplicación que asigna a cada par de puntos P y Q de R n la norma del vector asociado P Q: dp, Q = P Q = x 1 y x n y n 2 Al igual que ocurría con el concepto de norma, es posible dar una definición general de distancia en un conjunto, como toda aplicación d : A A R tal que verifique: 1. dp, Q = dq, P, P, Q A. 2. dp, Q 0, y dp, Q = 0 P = Q. 3. dp, Q + dq, R dp, R. Es trivial comprobar que la definición anterior cumple estas tres propiedades y en consecuencia R n, d es un espacio métrico, al que denominaremos Espacio Euclídeo. 1.2 Algunos sistemas de coordenadas Para finalizar este tema introductorio repasaremos algunos de los sistemas de coordenadas más habituales en los espacios R 2 y R 3.

5 CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA Sistemas de coordenadas en R 2 Usaremos la identificación natural entre los elementos de R 2 y los puntos del plano, fijando para ello unos ejes cartesianos. De esta forma, cada punto del plano queda determinado por sus coordenadas cartesianas o rectangulares x, y. Coordenadas Polares. Las coordenadas polares r, θ de un punto P x, y se definen mediante las fórmulas de transformación: } x = r cos θ r = + } x, 2 + y 2 y = r sen θ θ = arctan y x r 0,, θ [0, 2π. El origen de coordenadas, 0, 0 no está bien definido en coordenadas polares, pues obviamente se corresponde con r = 0, θ. Coordenadas Elípticas. Fijado un número real c > 0, definimos las distancias desde un punto cualquiera P x, y a los puntos c, 0 y c, 0: r 1 = x c 2 + y 2, r 2 = x + c + y 2 Se definen entonces las coordenadas elípticas u, v del punto P mediante las fórmulas: } } u = 1 2 r 1 + r 2 x = 1 v = 1 2 r, c uv 2 r 1 y = ±1 c u 2 c 2 c 2 v 2 u c,, v c, c. Las coordenadas no están bien definidas en v = ±c y en u = c, que se corresponde con el eje de abscisas Sistemas de coordenadas en R 3 Partimos de las coordenadas cartesianas o rectangulares de un punto P x, y, z de R 3, y definiremos sus coordenadas cilíndricas y esféricas de la siguiente forma: Coordenadas Cilíndricas. x = r cos θ y = r sen θ z = z, r = + x 2 + y 2 θ = arctan y x z = z donde las nuevas coordenadas pertenecen a los intervalos siguientes: r 0,, θ [0, 2π, z R.

6 6 CÁLCULO / INGENIERO GEÓLOGO / TEMA 1 Coordenadas Esféricas. x = ρ sen ϕ cos θ y = ρ sen ϕ sen θ z = ρ cos ϕ, ρ = + x 2 + y 2 + z 2 θ = arctan y x z ϕ = arccos x 2 +y 2 +z 2 con ρ 0,, θ [0, 2π, ϕ 0, π. A veces las coordenadas esféricas se definen de forma ligeramente distinta: x = ρ cos ϕ cos θ y = ρ cos ϕ sen θ z = ρ sen ϕ, ρ = + x 2 + y 2 + z 2 θ = arctan y x z ϕ = arcsen x 2 +y 2 +z 2 ρ 0,, θ [0, 2π, ϕ π 2, π 2.