PRÁCTICA 9: PROPIEDADES DESEABLES DE LOS ESTIMADORES

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1 PRÁCTICA 9: PROPIEDADES DESEABLES DE LOS ESTIMADORES EJERCICIO Rcordmos prmro la sgut dfcó: U stmador T s dc ssgado rspcto a u parámtro μ ET μ a E T laldad d la spraza [ EX + EX ] + [ EX3 + EX ] 6 3 μ + μ + μ + μ μ. Y por lo tato, s ssgado. 6 3 E T laldad 5 [ EX + EX + 3 EX 3 + EX ] 5 μ μ. E st caso o s ssgado. c E T 3 [ EX + EX + EX 3 + EX ] μ, co lo cual s ssgado. Osérvs qu T 3 X, s dcr l promdo d las cuatro osrvacos. d E T [ EX + EX ] μ, co lo cual s ssgado. a VT dpdca V [ 6 X + X ] + V [ 3 X3 + X ] [ VX + VX ] + 3 [ VX3 + VX ] VT 3 V X. 6 d VT V [ X + X ] [ VX + VX ].. Por lo tato, T 3 X s l stmador ssgado d varaza más pquña. Rcordmos qu u stmador T s más fct qu otro T amos ssgados s VT < VT. Y la fcca rlatva s md mdat l coct d las varazas. E ustro caso la fcca rlatva d T rspcto d T 3 stmador ssgado qu t la mor varaza s: V T 3 V T ,5 8 lo qu sgfca qu la varaza d T 3 s ta solo l,5% d la varaza d T ; y la fcca rlatva d T rspcto d T 3 stmador ssgado qu t la mor varaza s: V T3 6 V T 6 8

2 EJERCICIO ET E a laldad d la spraza a EX a μ μ μ X s la suma d los a s gual a la udad. VT V a dpdca V a X a V X X a +, qu s mímo cuado a ya qu la xprsó d la sumatora s postva o cro y por llo su mímo s alcaza cuado lla s ula. Osrvacó: Nóts qu lo dmostrado mplca qu T s X X. 3 El Error Cuadrátco Mdo d u stmador T rspcto a u parámtro s df como E [ T ]. S pud dmostrar fáclmt admás qu: ECM T VT + [ SsgoT ] dod SsgoT ET Osrvacó: s T s ssgado, tocs ECMT VT ET μ, qu s dduc d pus:, +, +, +,3 ECMT s tocs VT: VT dpdca, VX +, VX +, VX 3 +,3 VX,3 s EX μ, tocs VX EX E X μ μ μ Por lo tato: ECMT VT,3 μ Por otra part l ECMT* VT* + [ SsgoT* ] + [ SsgoT* ] μ ECMT < ECMT*,3 μ < μ,7 μ μ + > μ <,9 ó μ >,. E otras palaras, cuado μ stá rlatvamt crca d tr,9 y,, T* s más fct qu T. a a EJERCICIO 3 x x + Para qu sa ua dsdad s csaro qu k dx k k. + EX x dx x +. x x + x dx T. D óds + x dx EX x x x dx x VX EX E X x x dx + EX Como Z mí X,..., X, por l Ejrcco 8, Práctca saíamos qu: f Z z [ F X z ] - f X z Calculmos pus F X : F X z s z <

3 3 F X z x x z dx z, s z z Por lo tato: f Z z, s z < f Z z [ z ] - z [ z ] z, s z x x + EZ x dx x 5 E* EZ EZ + x x + dx. Por tato, * s ssgado d. + 6 E* y E** E X E X EX +. Por lo tato amos stmadors so ssgados. E cuato a la varaza: VX V* VZ VZ y V** V X V X. Coclumos, tocs, qu * s más fct qu **, ya qu amos so ssgados pro V* < V** la varaza d * td más rápdamt a cro qu **, pus s u ftésmo ord s, mtras qu l ord d * s. EJERCICIO ECMT ECM X V X + [ Ssgo X ]. Pro: + E X EX E X Ssgo X VX V X V X ECMT. Para calcular ECMT s csaro rsolvr la part. 3 Por l Ejrcco 8, Práctca dducmos qu: ET E T VT t t dt Por lo tato: t f T t F tf t X X, otro caso t t dt + + ECMT + + t dt + t t + dt t +, para t Coclumos, tocs qu s T s ssgado, T s astótcamt ssgado, sto s, ET. Admás, la VT y l ECMT so ftésmos d ord uo, y como VT y l ECMT lo so d ord, rsulta más covt, para u tamaño d mustra sufctmt grad, l stmador T. S s calcula l coct d los rrors cuadrátcos mdos, s cutra qu para y amos stmadors so gualmt fcts, mtras qu para 3 s más fct T.

4 3 Vmos atrormt qu: ET E X y VT. Y como X cumpl las 3 hpótss dl Torma dl Límt Ctral, s dcr, EX y VX so amas ftas, podmos coclur qu: T d N, + 3 Hacr ua rprstacó gráfca d la dstrucó xacta otda y la dstrucó aproxmada otda 3. A mayor, amas dsdads s coctra cada vz más. Rflxoar sor la vlocdad d covrgca. EJERCICIO 5 CANAVOS 8.7. La Dsgualdad d Cramr-Rao os plata ua cota para la varaza d los stmadors ssgados smpr qu su fucó d proaldad cotua, dscrta o mxta sa rgular. S ˆ s u stmador ssgado, tocs: ˆ V L f X, E Admás, s xst u stmador ˆ qu alcaza la cota, ést s dc fct. E ustro caso: Por lo tato: f X, X L fx, E L [f X, ] L [ ] X E V ˆ X L [ fx, ] EX VX + X. Rcordmos qu: Etocs stmar. E X μ st caso y V X X s ssgado y alcaza la cota d Cramr-Rao y por llo s fct para EJERCICIO 6 Osérvs prmr lugar qu l vctor Y, Y,, Y s ua trasformacó dl vctor X, X,, X dod cada Y dpd xclusvamt dl corrspodt X. Por lo vsto l curso tórco, la dpdca d las X mplca tamé la dpdca d las Y. Calculmos tocs la spraza y varaza d Y, para los tals qu : EY.PX +.PX. + E.PX +.PX. + Y VY E Y E Y Osrvmos qu las varals Y t, tocs, dstrucó Broull para,,..,.

5 5 Por lo tato: E* E Y E Y gual dstr.. V* V Y V Y dp. V Y gual dstr. Ecotrmos ahora la Cota d Cramr-Rao para los stmadors ssgados d. Para llo utlzarmos las Y, dado qu s X,..., X so dpdts détcamt dstrudas, tamé los so Y,..., Y. Icluso, por lo vsto osrvamos qu cada Y s dstruy Broull y por lo tato: p Y, Y Y [ py, ] L Y + Y L [p Y, ] Y L + Y L Y [ ] L py, E E Y VY V ˆ, por lo qu * s d míma varaza. 3 Como * s d míma varaza, tocs s fct y, por lo tato, astótcamt fct. Admás, aplcado l Torma dl Límt Ctral, como { Y } s ua M.A.S. c/r, dod cada Y Broull s t qu: Y * N, EJERCICIO 7 NOVALES 9.8 U stadístco U s dc sufct para stmar u parámtro Torma d Factorzacó, s dada ua mustra X,..., X, la fucó d proaldad cojuta mustral L pud dscompors como l producto d ua fucó φ dl stadístco por otra fucó h, dpdt dl parámtro. Esto s: S tmos ua M.A.S. c/r tocs: Lx,..., x ; φ [ ux,..., x ; ] hx,..., x Lx,..., x ; La dmostracó s complta osrvado qu: φ [ ux,..., x ; ] X x x x y hx,..., x ; dod ux,..., x x EJERCICIO 8 NOVALES 9. E st caso: Etocs tomado: Lx,..., x ; λ λ x λ x! x λ λ x! λ X λ x!

6 6 φ [ ux,..., x ; λ ] quda dmostrado l jrcco. λ λ X y hx,..., x x! EJERCICIO 9 NOVALES 9. La formacó d Fshr s l vrso d la Cota d Cramr-Rao para las fucos d proaldad qu satsfac alguas codcos d rgulardad y s dota I. E ustro caso: f X, μ [ fx, μ ] L μ xμ π L [f X, μ ] L [ ] X μ L fx, μ E μ π EX μ X μ VX Y por lo tato: Iμ EJERCICIO Estudmos la fcca dl stmador mdtat la Cota d Cramr-Rao:. L f X, E S f X, μ [ fx, μ ] L μ xμ π L [f X, μ ] L [ ] X μ L fx, μ E μ π EX μ X μ VX Etocs, la Cota d Cramr Rao s /. Por otra part, ya haíamos vsto qu X s ssgado y qu V X, co lo qu dducmos qu X s u stmador d míma varaza para μ, y por lo tato s fct. Lx,..., x ; μ f x, μ x μ π π μ x π + μ x x x x x π π μ + μ x x x x x x x + x μ x π osrvar qu x x x μ

7 7 Ahora s tomamos: x μ φ [ ux,..., x ; μ ] ; hx,..., x π x x, co ux,..., x x quda complta la dmostracó. 3 Para l caso d X 3 la factorzacó s la msma, la fucó h tamé y sólo varía φ mímamt: 3 x 3 μ φ [ ux,..., x ; μ ] ; co ux,..., x x 3 Cuado tomamos como stadístco X y llvamos a cao l msmo procdmto qu para X 3 l prolma surg co las dos raícs ua postva y otra gatva d X. Osrvamos qu: Lx,..., x ; f x, x π π x π π S + x x x + x π x x + x, co lo cual o s pud factorzar como la dfcó. S cocluy qu S o s sufct para stmar. S margo, s dfmos u uvo stmador S* Lx,..., x ; X, tocs sgudo l msmo razoamto qu arra otmos qu: π x π x π S* Por lo qu tomado: φ [ ux,..., x ; ] S* ; hx,..., x quda dmostrado qu st sí s u stmador sufct. π, co ux,..., x S* EJERCICIO NOVALES 9.3 p X + Rcordmos, prvamt, qu u stmador X d s cosstt. Asmsmo la Dsgualdad d Chychv dc qu dada ua v.a. X, co EX μ < y VX <, tocs s cumpl qu: VX P X μ ε ε Sa, lugo, u stmador X d, astótcamt ssgado, sto s: EX p + VX. Dmos proar qu X, s dcr qu: P X ε. p + y co

8 8 ECMX VX + [SsgoX ], ya qu VX y X s astótcamt ssgado rspcto d y por lo tato SsgoX. Pro como ECMX E [X ] E [X ] + E [X ε ] < ε amas xprsos so postvas E [X X X ε X ] ε E [ ] ε ε P [X ε ] ε P X ε, pus ECMX. Por lo tato coclumos qu: EJERCICIO P X ε y qu P X ε p + a Osrvmos qu X Broullp s u caso partcular d X F X x co μ y ftas. Notmos ahora qu cumpl las codcos dl jrcco atror: Ya samos qu E X μ y V X. Falmt, s X s ssgado rspcto d μ, tamé s astótcamt ssgado y por lo tato s cosstt como stmador d μ. X EJERCICIO F *a s u stadístco pus s ua varal alatora qu sólo dpd d la mustra, s a s ua costat coocda, y l tamaño d la mustra fjo. F *a s llama fucó d dstrucó mpírca d la mustra pus proporcoa la frcuca acumulada hasta a. E F *a E { X a } laldad E { dstrucó PX a PX a p. X a } PX a V F *a V { X a } dpdca V { X a}. X a [ { X a } ] P X a Pro V { } E gual E [ { a } ] E [ { X a } ] E [ { a } ] PX a gual dstrucó p p Falmt: V F *a V { X a} p p X p p 3 F *a s cosstt por l Ej., ya qu E F *a p y V F *a p p X.