Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I

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1 Técnicas Cuantitativas para el Management y los Negocios I Licenciado en Administración Mag. María del Carmen Romero 2014 romero@econ.unicen.edu.ar Módulo II: ESTADÍSTICA INFERENCIAL Contenidos Módulo II Unidad 4. Probabilidad Conceptos básicos de probabilidad: experimento aleatorio, espacio muestral y evento. Probabilidad. Definición. Enfoques de la probabilidad: clásico, de la frecuencia relativa y subjetivo. Probabilidad simple. Cálculo de probabilidades: regla de la adición y de la multiplicación. Conceptos de exclusión e independencia. Probabilidad condicional. Teorema de Bayes. Unidad 5. Variables Aleatorias Variables aleatorias discretas y continuas. Función de probabilidades. Indicadores de posición y dispersión. Esperanza matemática. Varianza y desviación estándar. Interpretación y aplicaciones de la esperanza y la desviación estándar. Unidad 6. Algunas distribuciones de probabilidad especiales Distribuciones discretas. Ensayos Bernoulli. Distribución Binomial, hipergeométrica y Poisson Distribuciones continuas. Distribución Normal. Distribución estandarizada. Aproximación Normal de las distribuciones Binomial y Poisson. Distribución t de Student, Chi-cuadrado y F de Fisher. Aplicaciones. Unidad 7. y Estimación Nociones básicas de muestreo. Distribuciones muestrales en poblaciones infinitas y finitas. Teorema central del límite. Estimación y estimador. Estimación puntual. Propiedades deseables de los estimadores. Principales estimadores puntuales.. Intervalos de confianza para la media, proporción y varianza. Cálculo del tamaño muestral. Aplicaciones. Unidad 8. Prueba de hipótesis Conceptos básicos. Hipótesis estadística. Hipótesis nula y alternativa. Estadígrafo de contraste. Región crítica y región de aceptación. Error de Tipo I y de Tipo II. Nivel de significación y potencia. Tipo de contraste. p-valor. Contrastes de hipótesis referentes a media, proporción y varianza poblacional. Aplicaciones. Mag. María del Carmen Romero 1

2 y Estimación Contenidos Nociones básicas de muestreo. Distribuciones muestrales en poblaciones infinitas y finitas. Teorema central del límite. Estimación y estimador. Estimación puntual. Propiedades deseables de los estimadores. Principales estimadores puntuales.. Intervalos de confianza para la media, proporción y varianza. Cálculo del tamaño muestral. Aplicaciones. y Estimación Etapas de una investigación Formulación o definición del problema Diseño de la investigación Recolección de los datos Organización y descripción de los datos Decisión o inferencia final Mag. María del Carmen Romero 2

3 y Estimación Decisión o inferencia final Consiste en responder la pregunta original planteada en la formulación del problema (que siempre se refiere a la población). Si se trabajó con toda la población, pueden tomarse decisiones acerca del problema. Si se trabajó con una muestra, es necesario realizar inferencias acerca de la población basándose en la información contenida en una muestra extraída de ella. ESTADÍSTICA INDUCTIVA o INFERENCIAL y Estimación Decisión o inferencia final Se emplean los estadísticos (muestra) para estimar los parámetros (población). ESTIMACIÓN Los datos de la muestra se usan para corroborar o rechazar alguna hipótesis planteada. COMPROBACIÓN DE HIPÓTESIS Mag. María del Carmen Romero 3

4 La inferencia estadística se define como la colección de técnicas que permiten formular inferencias inductivas y que proporcionan una medida del riesgo de éstas. Si se obtiene una muestra técnicamente buena, puede contener información útil con respecto al estado de la naturaleza y a partir de ello se podrán formular inferencias. (se está sujeto a riesgo dado que representan un razonamiento que va de lo particular a lo general) Mag. María del Carmen Romero 4

5 Selección de una muestra Para poder generalizar los valores muestrales a la población, es necesario tener en cuenta: Tamaño de la muestra (n) Método de selección de la muestra Selección de una muestra Buena muestra El proceso proporciona, a cada objeto de la población, una oportunidad igual e independiente de ser incluido en la muestra. Debe asegurar que cada muestra de tamaño n tenga la misma probabilidad de ser seleccionada. Muestra aleatoria simple Mag. María del Carmen Romero 5

6 Situación 1 Población: Constituida por un número infinito de posibles resultados (objetos no tangibles) Variables: nivel de concentración de un contaminante, demanda de un producto, tiempo de espera de un servicio. aleatorio con reemplazo Cada una de las observaciones X 1, X 2,, X n es una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad es igual a la de la población Situación 2 Población: Constituida por un número finito de objetos tangibles (seres humanos, animales, componentes mecánicos o eléctricos, etc.). Variables: opinión de una persona, tiempo de duración de un componente, etc. aleatorio con reemplazo. X 1, X 2,, X n conjunto de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (IID). (la distribución de probabilidad es igual a la de la población) Mag. María del Carmen Romero 6

7 Situación 3 aleatorio sin reemplazo Cada una de las observaciones X 1, X 2,, X n es una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad es igual a la de la población pero no son independientes La Situación 2 es un caso particular de la Situación 1. Si el tamaño de la población es pequeño, puede preferirse el muestreo aleatorio sin reemplazo. Si la población es muy grande, es irrelevante si el muestreo se hace con o sin reemplazo. Mag. María del Carmen Romero 7

8 Muestra aleatoria (base teórica necesaria para la inferencia) Todo muestreo probabilístico (sistemático, estratificado, conglomerados) se basa en el concepto de muestra aleatoria. Parámetro Caracterización numérica de la distribución de la población de manera que describe, parcial o completamente, la función de densidad de la característica de interés (µ, σ 2, σ, p). Estadístico Variable aleatoria. Cualquier función de las variables aleatorias que observaron en la muestra de manera que esta función no contiene cantidades desconocidas (x, s 2, s, proporción estimada). Mag. María del Carmen Romero 8

9 Los parámetros o sus funciones se estiman con base en estadísticos que, a su vez, se obtienen a partir de la información contenida en una muestra aleatoria Muestra de n variables aleatorias IID Función de densidad que depende de un parámetro desconocido θ Estadísticos Si se emplea un estadístico T para estimar un parámetro desconocido θ, T es el estimador de θ y el valor específico de t como un resultado de los datos muestrales es la estimación de θ Mag. María del Carmen Romero 9

10 Ejemplo Duración promedio de cierta clase de batería Idénticos procesos de manufactura y materiales Se seleccionan aleatoriamente cinco pilas diarias durante 20 días Prueba de duración (se registra el tiempo de operación) 20 muestras aleatorias distintas donde cada una contiene 5 variables aleatorias IID (independientes idénticamente distribuidas) Cada muestra diaria proporciona una estimación de la duración promedio de las baterías Estadístico: variable aleatoria Variabilidad Mag. María del Carmen Romero 10

11 La distribución en el muestreo de un estadístico es la distribución de probabilidad del estadístico que puede obtenerse como resultado de un número infinito de muestras aleatorias independientes, cada una de tamaño n, provenientes de la población de interés. Hace posible realizar un análisis de probabilidad para valorar el riesgo inherente cuando se formulan inferencias. Distribución en el muestreo de la media con reemplazo sin reemplazo Mag. María del Carmen Romero 11

12 Distribución en el muestreo de la media Si la distribución de la variable poblacional es normal Distribución normal de las medias muestrales Si no se conoce la distribución de la variable Si n 30 Distribución normal de las medias muestrales Si 15 n < 30 y la distribución es aproximadamente simétrica Si n < 15 Distribución normal de las medias muestrales Teorema central del límite Mag. María del Carmen Romero 12

13 Distribución en el muestreo de la varianza Distribución en el muestreo de la proporción Distribución en el muestreo de la diferencia entre dos medias muestrales Distribución en el muestreo de poblaciones finitas Distribución en el muestreo de la varianza Mag. María del Carmen Romero 13

14 Estimación Estimación Los estadísticos se emplean para estimar los valores de parámetros desconocidos o funciones de éstos. La estimación de un parámetro involucra el uso de los datos muestrales en conjunción con algún estadístico. Estimación puntual Mag. María del Carmen Romero 14

15 Estimación Estimación puntual Cómo seleccionar un buen estimador de θ? Con qué criterios puede decirse si un estimador es bueno o malo? El problema es encontrar una función que proporcione la mejor estimación del parámetro θ El estimador de un parámetro debe tener una distribución de muestreo concentrada alrededor del parámetro y la varianza debe ser la menor posible Estimación puntual Propiedades deseables de los estimadores Insesgado Consistente Es deseable que un estimador tenga una media igual a la del parámetro que se está estimando Es razonable esperar que un buen estimador de un parámetro sea cada vez mejor conforme crece el tamaño de la muestra Insesgado de mínima varianza Eficiente Debe buscarse aquél estimador insesgado con mínima varianza Una estadística suficiente para un parámetro es aquélla que utiliza toda la información contenida en la muestra aleatoria con respecto al parámetro Mag. María del Carmen Romero 15

16 Estimación puntual Algunos métodos de estimación puntual Máxima verosimilitud En general, proporciona estimadores que son funciones de estadísticas suficientes, estimadores eficientes y sesgados. Momentos Mínimos cuadrados Ejemplo Estimación puntual Interesa conocer el ingreso promedio de nuestros potenciales compradores y se toma una muestra de n individuos aletoriamente seleccionados: {X 1,... X n } Dos estimadores de la media podrían ser: ˆ µ 1= x1 ˆ µ 2 n = i= 1 1 Xi n Ambos son insesgados Pero 2 var( ˆ1 µ ) = σ 2 var( ˆ2 µ ) = σ /n El segundo es más eficiente que el primero Mag. María del Carmen Romero 16

17 Estimador de la media poblacional Estimación puntual Sea X una v.a. con E(X)=µ (media poblacional) desconocida µ = i=1 x i p Un estimador de µ es la media muestral (n tamaño muestral, muestra aleatoria IID) i ˆ µ = X = n i= 1 X i 1 n Parámetro? Estadístico? Estimador? Estimación? Estimación puntual Estimador de la varianza poblacional Sea X una v.a. con var(x)=σ 2 (varianza poblacional) desconocida Un estimador de σ 2 es la varianza muestral S= ( Xi X) N 2 i= 1 n 1 2 σ = i= 1 2 ( X i µ ) pi Parámetro? Estadístico? Estimador? Estimación? Por qué el denominador de S es (n-1)? Mag. María del Carmen Romero 17

18 Estimador de la proporción poblacional Estimación puntual Si se tiene una población con Distribución Binomial (1: éxito, 0: fracaso) la probabilidad de éxito puede ser estimada como: # exitos pˆ = n n: tamaño muestral Parámetro? Estadístico? Estimador? Estimación? Problemas de la estimación puntual Estimación puntual El valor obtenido sólo da una idea aproximada del verdadero valor del parámetro a estimar No se conoce el grado de bondad de la aproximación, esto es, en qué medida el valor obtenido se aproxima al verdadero valor del parámetro estimado. Mag. María del Carmen Romero 18

19 Una tienda mantiene muy buenos registros con respecto al número de unidades de cierto producto que vende mensualmente. Para la tienda es muy importante conocer la demanda promedio ya que con base a ésta se lleva a cabo el mantenimiento del inventario. Suponer que la demanda del producto no se ve afectada por fluctuaciones en la temporada. Media muestral de la demanda (calculada en base a los últimos 36 meses) = 200 unidades Implica que la demanda media desconocida no es mayor de 250 ni menor de 150? No se tiene indicación del posible error en el estimador puntual. Para la estimación del intervalo se consideran, tanto el estimador puntual del parámetro como su distribución de muestreo, con el objetivo de determinar un intervalo que con cierta seguridad/confianza (1-α) contiene al parámetro (θ). El intervalo de confianza se construye teniendo en cuenta: Estimador Desviación estándar del estimador Confianza Mag. María del Carmen Romero 19

20 Notación: P (x inf < θ < x sup ) = (1-α) IC (x inf ; x sup ) con una confianza (1-α) El parámetro u es fijo, x inf y x sup son variables aleatorias ICpara µcuando se muestrea de una distribución normal con varianza conocida (distribución normal) Mag. María del Carmen Romero 20

21 P (x inf < θ < x sup ) = (1-α) IC (x inf ; x sup ) con una confianza (1-α) Interpretación La probabilidad de que el intervalo planteado contenga al parámetro θ es (1-α) Si se obtienen muestras aleatorias del mismo tamaño en forma repetida de una población, y cada vez que se seleccionan se calculan los valores específicos, debe esperarse que el (1-α)% contengan el valor del parámetro desconocido. La probabilidad que el parámetro desconocido tome valores entre x inf y x sup es (1-α) Si se repitiera muchas veces el experimento con muestras extraídas al azar, se verificaría que: el 100 (1-α)% de las ocasiones, se obtendrían x inf y x sup de los intervalos de confianza correspondientes que contendrían al verdadero valor del parámetro µ, mientras que el 100α% restante, no lo contendrían Mag. María del Carmen Romero 21

22 Intervalo de confianza para la media µ de una distribución normal de varianza conocida Mag. María del Carmen Romero 22

23 Intervalo de confianza para la media µ de una distribución normal de varianza conocida Intervalo de confianza para la media µ de una distribución desconocida de varianza conocida n es lo suficientemente grande (n 30) Mag. María del Carmen Romero 23

24 Intervalo de confianza para la media µ de una distribución normal de varianza desconocida Si n es lo suficientemente grande (n 30), se aproxima a una distribución normal Intervalo de confianza para la varianza y el desvío estándar de una distribución normal Mag. María del Carmen Romero 24

25 Intervalo de confianza para la proporción Con reemplazo Sin reemplazo IC para la proporción considerando que las proporciones se distribuyen normalmente? ICpara la diferencia de mediascuando se muestrean dos distribuciones normales independientes: con varianzas conocidas (distribución normal) con varianzas desconocidas e iguales (distribución t-student) ICpara el cociente de dos varianzascuando se muestrean dos distribuciones normales independientes (distribución F) Mag. María del Carmen Romero 25

26 Tamaño muestral Cálculo del tamaño muestral Depende de qué parámetro se quiere estimar. Tiene en cuenta el error máximo que se está dispuesto a tolerar, el nivel de confianza y la variabilidad. Estimación de la media (con varianza conocida y distribución normal) Si se quiere estimar la proporción? Ejemplo Mag. María del Carmen Romero 26

27 Problema: El dueño de una librería que está localizada cerca del campus de una universidad quiere iniciar una campaña de marketing. Para ello, necesita conocer el promedio del dinero que gastan anualmente sus clientes en la librería. Se supone, a partir de estudios anteriores, que el desvío estándar de los gastos de los clientes es $11.5 (en cientos). a) Calcular los intervalos de confianza para la media poblacional considerando los siguientes niveles de confianza para un tamaño de muestra de 64 con una media muestral de $28 (en cientos): i ii iii Qué sucede con la amplitud de los intervalos a medida que se incrementa el nivel de confianza? Qué justificación encuentra a esto? Mag. María del Carmen Romero 27

28 Datos: Variable: Gasto mensual de los clientes en la librería Forma de la distribución: desconocida σ = $ 11.5 n = 64 x = $ 28 Estimación de un intervalo de confianza para la media poblacional: Varianza conocida n 30 Por T. Central del Límite: LI = x z σ / n y LS = x + z σ / n c c (1-α) z c LI $ $ $ LS $ $ $ Medias Muestrales Medias Muestrales Medias Muestrales Mag. María del Carmen Romero 28

29 b) Calcular los intervalos de confianza para la media poblacional considerando los siguientes tamaños de muestra para un nivel de confianza del 95% y una media muestral de $28: i. 64 ii. 100 iii Qué sucede con la amplitud de los intervalos a medida que se incrementa el tamaño de muestra?. Qué justificación encuentra a esto?. n z c LI $ $ $ LS $ $ $ Amplitud del interv. $ 5.64 $ 4.5 $ 0.72 Mag. María del Carmen Romero 29

30 c) Presentar un informe al dueño de la librería con la estimación de un intervalo de confianza para la media poblacional considerando un riesgo del 5%. En dicho se informe se debe incluir información acerca: Límites del intervalo Tamaño de muestra Nivel de confianza y riesgo Explicación sencilla de los términos anteriores y del método empleado Debido a la cercanía que tiene la librería al campus estatal y a que la mayoría de sus clientes son estudiantes de la universidad, el dueño está pensando en vender CDs educativos relacionados con cursos como estadística, cálculo y contabilidad. Para ello, a los mismos 64 clientes seleccionados, se les preguntó - además del gasto promedio mensual en la librería - si considerarían la compra de dichos CDs (48 de ellos respondieron que sí la considerarían). Estimar un intervalo de confianza del 90% de confianza para la proporción de la población de clientes que considerarían la compra de los CDs. Mag. María del Carmen Romero 30

31 Datos: Variable: Proporción de clientes que tendrían en cuenta la compra de CDs n = 64 ˆp = 48/64 = 0.75 Forma de la distribución: desconocida Estimación de un intervalo de confianza para la proporción poblacional: n 30 Por T. Central del Límite: LI = pˆ z pq ˆ ˆ/ n y LS = pˆ + z pq ˆ ˆ/ n c c Mag. María del Carmen Romero 31

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