IES Fco Ayala de Granada Junio de 2016 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. a g(x)

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "IES Fco Ayala de Granada Junio de 2016 (Modelo 2) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. a g(x)"

Transcripción

1 IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio opción A, modelo Junio 06 ln( + ) - a sen() + cos(3) ['5 puntos] Sabiendo que lim es finito, calcula a y el valor del límite (ln 0 denota logaritmo neperiano) ln( + ) - a sen() + cos(3) Sabiendo que lim es finito, calcula a y el valor del límite (ln denota logaritmo 0 neperiano) ln( + ) - a sen() + cos(3) ln() - a sen(0) + 0 cos(0) lim 0/0 0 0 Le aplicamos la regla de L Hôpital (L H) (si f y g son funciones continuas en [a -δ, a + δ], derivables en f() 0 f '() (a -δ, a + δ), verificando que f g 0 y lim, entonces si eiste lim se verifica que a g() 0 a g '() f '() f() lim lim La regla es válida si tenemos /, y también si ), con lo cual tenemos a g '() a g() - a cos() + cos(3) + (-sen(3)) 3 ln( + ) - a sen() + cos(3) lim (0/0;L H) lim a cos() + cos(3) - 3 sen(3) - a cos(0) + cos(0) - 0 sen(0) lim a a 0 0 Como me dicen que el límite es finito, el numerador ha de ser cero, para poder seguir aplicándole la regla de L Hôpital puesto que el límite es un número, es decir - a 0, de donde a Volviéndole a aplicar la regla de L Hôpital, con a, tenemos: - cos() + cos(3) - 3 sen(3) lim + (0/0;L H) (-sen()) - sen(3) 3 - ( 3 sen(3) + 3 cos(3) 3 ) ( + ) lim (-sen(0)) - sen(0) 3 - ( 3 sen(0) + 0 cos(0) 3 ) () ( 0 + 0) -/ Resumiendo el valor de a es y el valor del límite es -/ Ejercicio opción A, modelo Junio 06 ['5 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f en el punto de abscisa ( - ) sabiendo que f(0) 0 y f () para > - + Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función f en el punto de abscisa sabiendo ( - ) que f(0) 0 y f () + para > - Sabemos por el Teorema Fundamental del Cálculo Integral que f() f ()d La recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa es y f() f () ( ) ( - ) De f () +, tenemos f () ( - ) + 0 Nos falta determina f() para lo cual primero tenemos que calcular f() f ()d, con f(0) 0 ( - ) - + Empezamos: f() f ()d d d + + Observamos que es una integral racional con el numerador de grado mayor o igual que el denominador, por tanto antes hay re realizar la división entera

2 IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna La integral pedida es una integral racional, y como el grado del numerador y el denominador son iguales, efectuamos la división entera antes Resto Recordamos que f() Cociente + d divisor d + / ln + + K, donde ln es el logaritmo neperiano Como f(0) 0, tenemos 0 / ln K 0, es decir 0 + ln() + K 0, de donde K 0 La función es f() / ln +, y f() / 3() + 4 ln + -5/ + 4 ln() La recta tangente pedida es: y - (-5/ + 4 ln()) 0 ( ), es decir y -5/ + 4 ln() Ejercicio 3 opción A, modelo Junio Considera las matrices A 0 0 y B [ 75 puntos] Halla la matriz X que verifica AX + B A [0 75 puntos] Calcula B y B Considera las matrices A 0 0 y B Halla la matriz X que verifica AX + B A - Adjuntos Como det(a) A 0 0 segunda - fila (- +) 0, eiste la matriz inversa A - Adj(A t ) De AX + B A, tenemos AX A - B Multiplicando ambos miembros por la izquierda por A - tenemos: A - AX A - A - A - B I X I - A - B X I - A - B Calculamos A - t Adj(A ) A ; A t A ; Adj(A t ) 0 0, por tanto la matriz inversa es A - t Adj(A ) 0 0 A La matriz es X I - A - B Calcula B y B 06 A B B B B 06 (B ) 008 (I3) 008 I I 3

3 IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Ejercicio 4 opción A, modelo Junio 06 y + z 0 Considera el punto P(,0,5) y la recta r dada por [ punto] Determina la ecuación del plano que pasa por P y es perpendicular a r (b) [ 5 puntos] Calcula la distancia de P a la recta r y el punto simétrico de P respecto a r y + z 0 Considera el punto P(,0,5) y la recta r dada por Determina la ecuación del plano π que pasa por P y es perpendicular a r Preparamos una figura para los dos apartados: Ponemos la recta r y + z 0 en paramétricas r y -a, con a R z a Un punto de la recta es el A(,0,0) y un vector director es u (0,-,) El plano π que pasa por el punto P(,0,5) y es perpendicular a la recta r, tiene por vector normal n, el vector director de la recta, el u n (0,-,) El plano π tiene de ecuación PX n 0, donde X(,y,z) es un punto genérico del plano y es el producto escalar de dos vectores: π PX n 0 ( -,y - 0,z - 5) (0,-,) -y + z - 5 -y + z (b) Calcula la distancia de P a la recta r y el punto simétrico de P respecto a r Empezamos calculando el simétrico P de P respecto de r Cuando calculemos el punto M proyección ortogonal de P sobre r, por definición la distancia de P a r será el módulo del vector PM Antes hemos puesto la recta r en paramétricas y -a, con a R z a Un punto genérico de la recta es X(,y,z) (,-a,a) En el apartado hemos calculado plano que pasa por P y es perpendicular a r La proyección M de P sobre r, se obtiene como el punto de corte M del plano π con la recta r Sustituyendo el punto genérico de la recta r en el plano π -y + z - 5 0, calculando el valor del parámetro a y sustituyendo de nuevo en la recta -(-a) a a 5/5 El punto M es M(,-(),()) M(,-,) (Recuerdo que teníamos punto P(,0,5)) La distancia de P a r será el módulo del vector PM ( -, - - 0, - 5) (0,-,-4) Luego d(p;r) PM ( ) u (0) u (5) u 3

4 IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna El punto simétrico P (,y,z) se calcula sabiendo que el punto M es el punto medio del segmento PP (,-,) ( (+)/,(y+0)/,(z+5)/), de donde: (+)/ - y/ y -4 (z+5)/ z -3 El simétrico P de P respecto a la recta r es P (,-4,-3) Opción B Ejercicio opción B, modelo Junio 06 Sea f: R R la función definida por f() + a) [0 75 puntos] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de f b) [ 5 puntos] Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos de f (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) c) [0 5 puntos] Esboza la gráfica de f Sea f: R R la función definida por f() + a) Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f Calcula los puntos de corte de dichas asíntotas con la gráfica de f Como el denominador no se anula nunca, y tenemos un cociente de polinomios, f() no tiene asíntotas verticales Sabemos que en un cociente de polinomios si el grado del denominador es mayor que el del numerador tenemos una asíntota horizontal, y es la misma en ± De lim lim lim /+ 0, la recta y 0 es una asíntota horizontal ± + Como hay asíntota horizontal en ±, no hay asíntotas oblicuas en ± Como lim ( f() 0) 0 -, la gráfica de f está por debajo de la recta y 0 en - Como lim + ( f() 0) 0 +, la gráfica de f está por encima de la recta y 0 en + Veamos los corte de la gráfica de f con la recta y 0 Igualando 0, de donde 0, luego la gráfica de f corta a la asíntota horizontal y 0 en el + punto (0,f(0)) (0,0) b) Halla los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los etremos relativos (abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan) de f Me piden la monotonía Estudio de f () f() + ; f () ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) De f () 0, tenemos + 0, es decir y las soluciones son ±, que serán los posibles etremos relativos -(-) + -3 Como f (-) < 0 < 0, f es estrictamente decreciente ( ց ) en (-,-) ((-) + ) Como f (0) (0 + ) Como f () > 0 < 0, f es estrictamente creciente ( ր ) en (-,) -() + -3 < 0 < 0, f es estrictamente decreciente ( ց ) en (,+ ) (() + ) 5 4

5 IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna - Por definición - es un mínimo relativo y vale f(-) (-) + -/ Por definición es un máimo relativo y vale f() () + / c) Esboza la gráfica de f Teniendo en cuenta lo anterior un esbozo de la gráfica es: Ejercicio opción B, modelo Junio 06 Sea f: (0,+ ) R la función dada por f() ln() (ln representa logaritmo neperiano) [0 5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa (b) [ puntos] Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de f, la recta y - y la recta 3 Calcula su área Sea f: (0,+ ) R la función dada por f() ln() (ln representa logaritmo neperiano) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa Recta tangente en es y - f() f ()) ( - ) f() ln(); luego f() ln() 0 f () /, luego f () / La recta tangente pedida es y - 0 ( - ), luego la recta tangente pedida es y - (b) Esboza el recinto comprendido entre la gráfica de f, la recta y - y la recta 3 Calcula su área Sabemos que la gráfica de ln() es estrictamente creciente y que en 0 + es asíntota vertical, porque lim ln() ln(0 + ) -, y además lim ln() ln(+ ) También sabemos que ln() 0, ln(e) La recta y -, la dibujamos con dos puntos, el (0,-) y el (,0) La recta 3 es una recta vertical Teniendo en cuenta lo anterior un esbozo de las gráficas pedidas es: Lo relleno de color, es el área que piden Recordamos que ln()d ln() -, pues es una integral por partes ( u dv uv - v du ) ln()d { u ln() du d/; dv v d } ln() - d/ ln() - d ln() - Área 3 ( - - ln())d [ / - - ln() + ] 3 [ / - ln()] 3 [ (3 / - 3 ln(3)) ( / - ln())] 9/ / - 3 ln(3) 4-3 ln(3) u u Ejercicio 3 opción B, modelo Junio 06 5

6 IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna (3 α - ) + y 5 - α Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales α + y, 3α + 3y α + 5 a) [ 5 puntos] Discútelo según los valores del parámetro α b) [ punto] Resuélvelo para α y determina en dicho caso, si eiste alguna solución donde 4 Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales a) Discútelo según los valores del parámetro α (3 α - ) + y 5 - α α + y, 3α + 3y α + 5 Observamos que es un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas 3 α - La matriz de los coeficientes del sistema es A α y la matriz ampliada 3α 3 3 α α * A α 3α 3 α + 5 La matriz cuadrada de 33 es la ampliada A* Si det(a*) A* 0, rango(a * ) 3 rango(a), pues como máimo rango(a) El sistema será incompatible 3 α α Adjuntos A* α primera 3α 3 α + 5 fila (3α-)(α+5-6) ()(α +5α-6α) + (5-α)(3α-3α) (3α-)(α-) () α (α-) + (5-α)(0) (α-) (3α--α) (α-) (α-) De A* 0, tenemos (α-) (α-) 0 y la solución es α (doble) Si α, det(a*) A* 0, rango(a * ) 3 rango(a), pues como máimo rango(a) El sistema será incompatible 3 α - En A α vemos que la segunda y tercera fila son proporcionales Podemos suprimir la tercera 3α 3 e intercambiamos segunda con primera 3 α - 3 α - F -3F - - A α α α 3α 3 F3-3F Observamos que si α, las dos filas son proporcionales y rango (A) Veamos el rango(a*) para α Si α, 4 F -F 0 0 0, luego rango (A*), pues tenemos una fila solamente con F -3F * A números distinto de cero 3 Resumiendo: Si α, det(a*) A* 0, rango(a * ) 3 rango(a), pues como máimo rango(a) El sistema será incompatible Si α, rango(a) rango(a * ) < nº de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones 6

7 IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna b) Resuélvelo para α y determina en dicho caso, si eiste alguna solución donde 4 Hemos visto en el apartado anterior que si α, rango(a) rango(a * ) < nº de incógnitas, el sistema es compatible e indeterminado y tiene infinitas soluciones Como el rango es, sólo necesitamos una ecuación Tomo la segunda: + y Tomo a R, de donde y a (Es la ecuación de una recta en el plano) (,y) (a, a) con a R Si tomamos 4 a, tenemos y 4 - (,y) (4,-) Ejercicio 4 opción B, modelo Junio 06 + λ Considera las rectas r y s dadas por: r y - λ y s + y - z - z [ 5 puntos] Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuación del plano que las contiene (b) [ punto] Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas r y s, calcula su área + λ Considera las rectas r y s dadas por: r y - λ y s + y - z - z Comprueba que ambas rectas son coplanarias y halla la ecuación del plano que las contiene Ponemos la recta s + y b en paramétricas s y b, con b R z - z - De la recta r tenemos el punto A(,,) y un vector director u (-,,0) De la recta s tenemos el punto B(-,0,-) y un vector director v (-,,0) Sabemos que dos rectas determinan un plano si son paralelas y distintas o bien si se cortan en un punto En nuestro caso vemos que los vectores u y v son iguales, por tanto son paralelas Para ver que son distintas vemos que el vector u no es proporcional al vector AB AB (-,-,-) Como -/- /-, u no es proporcional al vector AB y las rectas r y s son paralelas y distintas Me piden el plano π que determinan las rectas r y s De la recta r tomo el punto A(,,) y su vector director u (-,,0) El otro vector es el AB (-,-,-) - y- z- Adjuntos π det(ax,u,ab) 0-0 primera fila (-)(--0) - (y-)(4-0) + (z-)(+) y z y + 4z y + z + 0 (b) Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado están en las rectas r y s, calcula su área Si observamos la figura el lado del cuadrado es la distancia entre las rectas y su área es el lado al cuadrado 7

8 IES Fco Ayala de Granada Junio de 06 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Como ya sabemos que las rectas son paralelas, vamos a calcular la distancia entre ellas como el área de un paralelogramo Es la altura del paralelogramo Nos sirve la figura anterior Dada la recta r conocemos el punto A(,,) y su vector director u (-,,0) De la recta s sólo tomamos el punto B(-,0,-) El área del paralelogramo determinado por los vectores u y AB es ABu base altura u h, pero la altura h es d(s,r) d(b;r), luego d(b;r) ( ABu ) / ( u ) i j k AB (-,-,-); uab u ( + +0 ) (5) Luego d(s,r) d(b;r) ( ACu ) / ( u ) 6/ (5) u El área del cuadrado es [6/ (5)] 36/5 u i(--0) - j(4-0) + k(+) (-,-4,4); uab ( ) (36) 6 8

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 5 Septiembre Reserva_ tan(x) - sen(x) [2 5 puntos] Calcula lim

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 5 Septiembre Reserva_ tan(x) - sen(x) [2 5 puntos] Calcula lim IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 014 Reserva 1 (Modelo 5) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 5 Septiembre Reserva_1 014 tan(x) - sen(x) [ 5 puntos] Calcula lim

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2017 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2017 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 07 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio opción A, Septiembre 07 (modelo 6) [ 5 puntos] Una imprenta recibe el encargo de realizar una

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2015 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2015 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 05 (Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio opción A, modelo del 05 [ 5 puntos] Sea f : R R la función dada por f(x) = ax 3 + bx + cx + d Halla

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Común Modelo ) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 común Sea f : R R la función definida como f(x) = e x.(x ). [1 punto]

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2012 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Junio de 01 (Común Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 01 común Sea f : R R la función definida como f(x) = e x.(x ). [1 punto]

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2014 Reserva 2 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2014 Reserva 2 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 Reserva (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 6 Septiembre 01 ['5 puntos] De entre todos los triángulos rectángulos

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO - MATEMÁTICAS II Instrucciones: a) Duración: hora y minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la

Más detalles

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio Incidencias 2014

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio Incidencias 2014 Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio Incidencias 014 Sea f la función definida por f(x) = 1 + ln(x) para x > 0 (ln denota el logaritmo x neperiano). (a) [1 75 puntos] Determina el punto de la gráfica

Más detalles

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Junio Colisiones 2014

Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Junio Colisiones 2014 IES Fco Ayala de Granada Junio de 04 (Colisiones Modelo 3) Soluciones GermánJesús Rubio Luna Opción A Ejercicio opción A, modelo 3 Junio Colisiones 04 a [ 5 puntos] Sabiendo que lim es finito, calcula

Más detalles

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 6 de Solución

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 6 de Solución Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 6 de 2008 Sea f : R R la función definida por f(x) = (3x 2x 2 )e x. [1 5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. [1 punto] Calcula

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio específico de 2010 (Modelo 4) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Junio específico de 2010 (Modelo 4) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Junio específico de 010 (Modelo 4) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 Junio Específico 010 [ 5 puntos] La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2011 (Septiembre Modelo 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 0 (Septiembre Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO 00-0. MATEMÁTICAS II Opción A Ejercicio opción A,

Más detalles

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 1 de Solución

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 1 de Solución Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 1 de 2008 Sean f : R R y g : R R las funciones definidas por f(x) = x 2 -(x + 1) + ax + b y g(x) = ce Se sabe que las gráficas de f y g se cortan en el punto ( 1,

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 4 Especifico 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 4 Especifico 2) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 013 (Modelo 4 Especifico ) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 Septiembre 013 específico [ 5 puntos] Un rectángulo está inscrito en un

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 2011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada Sobrantes de 011 (Modelo 4) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 4 del 011 [ 5 puntos] Queremos hacer junto a la carretera un cercado rectangular

Más detalles

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE Junio 2013 MATEMÁTICAS II. CÓDIGO 158

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE Junio 2013 MATEMÁTICAS II. CÓDIGO 158 PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA ALUMNOS DE BACHILLERATO LOE Junio 2013 MATEMÁTICAS II. CÓDIGO 158 OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una de las opciones

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 2 ) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 01 (Modelo ) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Septiembre 01 ['5 puntos] Un alambre de 10 metros de longitud se divide en dos trozos.

Más detalles

Ejercicio 1 del modelo 2 de la opción A de sobrantes de Solución

Ejercicio 1 del modelo 2 de la opción A de sobrantes de Solución Ejercicio 1 del modelo 2 de la opción A de sobrantes de 2001 Sea f: R R la función dada por f(x) = 8 x 2. (a) [1 punto] Esboza la gráfica y halla los extremos relativos de f (dónde se alcanzan y cuáles

Más detalles

Solución. Restando estas dos últimas ecuaciones tenemos 9a = 9 de donde a = 1

Solución. Restando estas dos últimas ecuaciones tenemos 9a = 9 de donde a = 1 Ejercicio n º 1 de la opción A de junio de 2005 [2'5 puntos] De la función f : R R definida por f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d se sabe que tiene un máximo en x = -1, y que su gráfica corta al eje OX en el

Más detalles

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 5 de Solución

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 5 de Solución Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 5 de 2007 Sea f : R R la función definida por f(x) = (x - 3)e x. [1 punto] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 015 (Modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 3 Septiembre 015 ax + b [ 5 puntos] Halla los valores a, b y c sabiendo que

Más detalles

IES Francisco Ayala Modelo 2 (Septiembre) de 2008 Soluciones Germán Jesús Rubio Luna. Opción A. x - bx - 4 si x > 2

IES Francisco Ayala Modelo 2 (Septiembre) de 2008 Soluciones Germán Jesús Rubio Luna. Opción A. x - bx - 4 si x > 2 IES Francisco Ayala Modelo (Septiembre) de 008 Soluciones Germán Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio n 1 de la opción A de septiembre de 008 ax + x si x Sea f: R R la función definida por: f(x). x - bx

Más detalles

MATEMÁTICAS II 2005 OPCIÓN A

MATEMÁTICAS II 2005 OPCIÓN A MATEMÁTICAS II 2005 OPCIÓN A Ejercicio 1: De la función f : R R definida por f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d se sabe que tiene un máximo en x = -1, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa

Más detalles

Ejercicio n º 1 de la opción A de septiembre de Solución

Ejercicio n º 1 de la opción A de septiembre de Solución Ejercicio n º 1 de la opción A de septiembre de 2006 Sea f : R R la función definida por f(x) = x 2 - x. (a) [0 75 puntos] Estudia la derivabilidad de f. (b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento

Más detalles

Ejercicio 2 opción A, modelo 5 Septiembre 2010

Ejercicio 2 opción A, modelo 5 Septiembre 2010 Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 5 Septiembre 2010 [2 5 puntos] Una hoja de papel tiene que contener 18 cm 2 de texto Los márgenes superior e inferior han de ser de 2 cm cada uno y los laterales 1

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 3 Especifico) Solucíon Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Septiembre de 2013 (Modelo 3 Especifico) Solucíon Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A Opción A Ejercicio opción A, modelo 3 Septiembre 03 específico x Sea f la función definida por f(x) = para x > 0, x (donde ln denota el logaritmo neperiano) ln(x) [ 5 puntos] Estudia y determina las asíntotas

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Modelos del 2010 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Modelos del 2010 (Modelo 1) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A Opción A Ejercicio opción A, modelo de año 200 [2 5 puntos] Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Función a maximizar A (/2)(x)(y)

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2010 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Sobrantes del 2010 (Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo 6 del 010 [ 5 puntos] Dada la función f : R R definida como f(x)= a.sen(x)+ bx + cx + d, determina los valores de las constantes a, b, c y d sabiendo que la gráfica

Más detalles

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 5 de Solución

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 5 de Solución Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 5 de 2005 Se sabe que la gráfica de la función f : R R definida por f (x)= x 3 + ax+ bx + c es la que aparece en el dibujo. (a) [1 25 puntos] Determina f. (b) [1 25

Más detalles

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 4 de Solución

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 4 de Solución Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 4 de 2005 Sea f : R R la función definida por f (x) = (5x + 8) / (x 2 + x + 1). (a) [0 5 puntos] Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados.

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada (Modelo 2 del 2012) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada (Modelo 2 del 2012) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna IES Fco Ayala de Granada (Modelo del 01) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO 011-01 Opción A Ejercicio 1, Opción A, Modelo de 01 Sea la

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 04 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Selectividad Matemáticas II junio 2016, Andalucía (versión 3)

Selectividad Matemáticas II junio 2016, Andalucía (versión 3) Selectividad Matemáticas II junio 06, Andalucía (versión 3) Pedro González Ruiz 5 de junio de 06. Opción A Problema. Sabiendo que l = lím ln(x+) asenx+xcos(3x) x es finito, calcular a y el valor del límite

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II CASTILLA Y LEÓN CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 9 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz Prueba A Problemas a) f(x) x El denominador de f(x) nunca se anula; por

Más detalles

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 3 de Solución

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 3 de Solución Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 3 de 2004 [2 5 puntos] Calcula Para calcular determinamos primero las raíces del denominador, para descomponerlo en producto de factores y aplicarle la técnica de

Más detalles

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 5 de Solución

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 5 de Solución Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 5 de 2004 Sea f : R R la función definida por f(x) = 2 x. x. (a) [0 75 puntos] Esboza la gráfica de f. (b) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0. (c) [0

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO Opción A

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO Opción A IES Fco Ayala de Granada Modelo 1 del 1999. Germán-Jesús Rubio Luna PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO 1998999. Opción A Ejercicio 1, Opción A, Modelo 1 de 1999. x si x

Más detalles

IES Francisco Ayala Modelo 1 (Septiembre) de 2007 Solución Germán Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Francisco Ayala Modelo 1 (Septiembre) de 2007 Solución Germán Jesús Rubio Luna. Opción A IES Francisco Ayala Modelo (Septiembre) de 7 Germán Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio n de la opción A de septiembre, modelo de 7 3x+ Sea f: (,+ ) R la función definida por f(x)= x. [ 5 puntos] Determina

Más detalles

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 6 de Solución

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 6 de Solución Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 6 de 2007 [2 5 puntos] Determina la función f : R R sabiendo que f (x) = x 2 1 y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0 es la recta y

Más detalles

Examen de Junio de 2011 (Común) con soluciones (Modelo )

Examen de Junio de 2011 (Común) con soluciones (Modelo ) Opción A Junio 011 común ejercicio 1 opción A ['5 puntos] Se desea construir un depósito cilíndrico cerrado de área total igual a 54 m. Determina el radio de la base y la altura del cilindro para que éste

Más detalles

Ejercicio nº 1 de la opción A del modelo 1 de Solución

Ejercicio nº 1 de la opción A del modelo 1 de Solución Ejercicio nº 1 de la opción A del modelo 1 de 2001 Se quiere dividir la región encerrada entre la parábola y = x 2 y la recta y = 1 en dos regiones de igual área mediante la recta y = a. Halla el valor

Más detalles

Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: Día: CURSO

Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: Día: CURSO EXAMEN DE MATEMATICAS II ª ENSAYO (ANÁLISIS) Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: Día: CURSO 56 Instrucciones: a) Duración: HORA y MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios

Más detalles

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 6 de Solución

Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 6 de Solución Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 6 de 2003 [2'5 puntos] Sea la función f : R R definida por f(x) = 2x 3-6x + 4. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y su recta tangente en el punto

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD. CURSO SOLUCIONES (Modelo 5)

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD. CURSO SOLUCIONES (Modelo 5) CURSO 04 05 SOLUCIONES (Modelo 5) JUNIO Opción A Ejercicio.- ['5 puntos] Se quiere vallar un campo rectangular que está junto a un camino. Si la valla del lado del camino cuesta 80 euros/metro y la de

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada ( Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna

IES Fco Ayala de Granada ( Modelo 6) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO 011-01 Opción A Ejercicio 1, Opción A, Modelo 6 de 01 a 1+ si x 1 x- ['5 puntos] Se considera la función derivable f : R R definida por

Más detalles

[2 5 puntos] Sea f la función definida, para x 0, por. Determina las asíntotas de la gráfica de f. Solución

[2 5 puntos] Sea f la función definida, para x 0, por. Determina las asíntotas de la gráfica de f. Solución Ejercicio n º 1 de la opción A de junio de 2008 [2 5 puntos] Sea f la función definida, para x 0, por. Determina las asíntotas de la gráfica de f. La recta x = a es una asíntota vertical (A.V.) de la función

Más detalles

Modelo 3. Ejercicio 1 de la Opción A de Sobrantes de 2010

Modelo 3. Ejercicio 1 de la Opción A de Sobrantes de 2010 Modelo 3. Ejercicio 1 de la Opción A de Sobrantes de 2010 [2 5 puntos] Sea la función f : R R dada por f(x) = Calcula las constantes a, b y c sabiendo que f es derivable y que la recta tangente a la gráfica

Más detalles

Selectividad Junio 2007 JUNIO 2007

Selectividad Junio 2007 JUNIO 2007 Selectividad Junio 7 JUNIO 7 PRUEBA A PROBLEMAS 1.- Sea el plano π + y z 5 = y la recta r = y = z. Se pide: a) Calcular la distancia de la recta al plano. b) Hallar un plano que contenga a r y sea perpendicular

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A IES Fco Ayala de Granada Junio de 2011 (Específico Modelo 5) Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio 1 opción A, modelo Junio 2011 específico1 [2'5 puntos] Un alambre de 100 m de longitud se divide

Más detalles

Solución. Como f(2) = 0, tenemos 0 = -3/(2+1) + K = -3/3 + K = -1 + K, de donde K = 1, y la función es

Solución. Como f(2) = 0, tenemos 0 = -3/(2+1) + K = -3/3 + K = -1 + K, de donde K = 1, y la función es Ejercicio n º 1 de la opción A de junio de 2004 (Modelo 6) De la función f : (-1,+ ) R se sabe que f '(x) = 3/(x +1) 2 y que f(2) = 0. (a) [1'25 puntos] Determina f. [1'25 puntos] Halla la primitiva de

Más detalles

Solución. Las dimensiones de la caja para un coste mínimo son x = 4 cm e y = 80/(4 2 ) = 5m

Solución. Las dimensiones de la caja para un coste mínimo son x = 4 cm e y = 80/(4 2 ) = 5m Ejercicio n º 1 de la opción A de septiembre de 2004 [2'5 puntos] Se desea construir una caja de base cuadrada con una capacidad de 80 cm 3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que

Más detalles

Solución. 1/[(1 -x)(1+x)] = A/(1- x) + B/(1+x) = [A(1 +x) + B(1-x)] /[(1-x)(1+x)], de donde igualando los numeradores tenemos

Solución. 1/[(1 -x)(1+x)] = A/(1- x) + B/(1+x) = [A(1 +x) + B(1-x)] /[(1-x)(1+x)], de donde igualando los numeradores tenemos Ejercicio n º 1 de la opción A de junio de 2003 Sea Ln(1 -x 2 ) el logaritmo neperiano de 1 - x 2 y sea f : (-1,1) R la función definida por f(x) = Ln(1 -x 2 ). Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa

Más detalles

S O L U C I O N E S O P C I Ó N A. PR1.- Nos dan 3 planos, dos de ellos determinan la recta. El problema se reduce a interpretar.

S O L U C I O N E S O P C I Ó N A. PR1.- Nos dan 3 planos, dos de ellos determinan la recta. El problema se reduce a interpretar. S O L U C I O N E S O P C I Ó N A PR.- Nos dan planos, dos de ellos determinan la recta. El problema se reduce a interpretar geométricamente las posibles soluciones del sistema m y m my a) Matri de los

Más detalles

Opción de examen n o 1

Opción de examen n o 1 Septiembre-206 PAU Cantabria-Matemáticas II Opción de examen n o. a) Según el enunciado, se tiene: A B = C Ö è Ö è a b 2 c b c a = Ö è 0 Al igualar las matrices obtenidas se llega a: 2 + a + b = 2c + +

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II REGIÓN DE MURCIA CONVOCATORIA SEPTIEMBRE 9 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz Bloque A Para saber si la matriz tiene inversa, el determinante de la

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- Sea la función f: (0,+ ) R definida por f(x) = ln(x), donde ln denota logaritmo x neperiano. a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f. b) [1 5 puntos] Halla

Más detalles

PROPUESTA A., se pide: a) Calcula las asíntotas verticales y oblicuas de f(x). (1,25 puntos)

PROPUESTA A., se pide: a) Calcula las asíntotas verticales y oblicuas de f(x). (1,25 puntos) PROPUEST. Dada la función f ( ), se pide: a) Calcula las asíntotas verticales y oblicuas de f(). (, puntos) b) Coordenadas de los máimos y mínimos relativos de f(). (, puntos). Calcula las siguientes integrales:

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CURSO Opción A Ejercicio 1.- Sea la función f : (0, + ) R definida por f(x) = 1 +ln(x) donde ln denota la función x logaritmo neperiano. (a) [1 75 puntos] Halla los [ extremos ] absolutos de f (abscisas donde

Más detalles

lim x sen(x) Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 23-II-2015 CURSO Instrucciones:

lim x sen(x) Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 23-II-2015 CURSO Instrucciones: EXAMEN DE MATEMATICAS II ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: II5 CURSO 5 Instrucciones: a) Duración: HORA y MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de

Más detalles

Selectividad Matemáticas II septiembre 2016, Andalucía (versión 1)

Selectividad Matemáticas II septiembre 2016, Andalucía (versión 1) Selectividad Matemáticas II septiembre 16, Andalucía (versión 1) Pedro González Ruiz 14 de septiembre de 16 1. Opción A Problema 1.1 Sabiendo que es finito, calcular m y el valor del límite. ( 1 lím x

Más detalles

Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León

Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo

Más detalles

Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 28 - IV 14 CURSO Opción A 1.- Sean las matrices A = , B =

Apellidos: Nombre: Curso: 2º Grupo: A Día: 28 - IV 14 CURSO Opción A 1.- Sean las matrices A = , B = S Instrucciones: EXAMEN DE MATEMATICAS II 3ª EVALUACIÓN Apellidos: Nombre: Curso: º Grupo: A Día: 8 - IV 4 CURSO 03-4 a) Duración: HORA y 30 MINUTOS. b) Debes elegir entre realizar únicamente los cuatro

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2006 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 6 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2014 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 0 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás de mayo de 13 Capítulo 6 Año 5 6.1. Modelo 5 - Opción A Problema 6.1.1 ( puntos) Justificar razonadamente

Más detalles

IES Fco Ayala de Granada Modelo 5 del Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 de la opción A del modelo 5 de 1999.

IES Fco Ayala de Granada Modelo 5 del Solución Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A. Ejercicio 1 de la opción A del modelo 5 de 1999. IES Fco Ayala de Granada Modelo 5 del 999. Germán-Jesús Rubio Luna Opción A Ejercicio de la opción A del modelo 5 de 999. [ 5 puntos] Haciendo el cambio de variable t = e x, calcula Calculamos primero

Más detalles

Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León

Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES:.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger una de las dos opciones, pudiendo

Más detalles

Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León

Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León Selectividad Septiembre 01 Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Entre todos los triángulos rectángulos de 5 metros de hipotenusa, determina los catetos del de área máxima. Ejercicio 2.- [2 5 puntos] Sea f : ( 2, + ) R la función

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A xcos(x)+b sen(x) Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Sabiendo que lím x 0 x 3 es finito, calcula b y el valor del límite. Ejercicio 2.- Sean f : R R y g : R R las funciones definidas mediante f(x) = x(x

Más detalles

Examen de Matemáticas II (Modelo 2015) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos

Examen de Matemáticas II (Modelo 2015) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Eamen de Matemáticas II (Modelo 2015) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos Problema 1 (3 puntos) Dadas las matrices 2 4 2 2 0 A = 1 m m ; B = 0 X = y O = 0 1 2 1 1 z 0 (1 punto). Estudiar el rango

Más detalles

MATEMÁTICAS: PAU 2015 JUNIO CASTILLA Y LEÓN

MATEMÁTICAS: PAU 2015 JUNIO CASTILLA Y LEÓN MATEMÁTICAS: PAU 05 JUNIO CASTILLA Y LEÓN Opción A Ejercicio A m + 0 0 Dada la matriz A = ( 3 m + ), se pide: 0 m a) Hallar los valores de m para que la matriz A 0 tenga inversa. ( 5 puntos) La condición

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO Opción A

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO Opción A IES Fco Ayala de Granada Modelo del 996. Germán-Jesús Rubio Luna PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD MATEMÁTICAS II DE ANDALUCÍA CURSO 996-997. Opción A Modelo Ejercicio opción A sobrantes 996 La capacidad

Más detalles

[Ln(1+x) - senx]/[x.senx], siendo Ln(1+x) el logaritmo neperiano de. Solución

[Ln(1+x) - senx]/[x.senx], siendo Ln(1+x) el logaritmo neperiano de. Solución Ejercicio n º 1 de la opción A de septiembre de 2003 [2'5 puntos] Calcula 1+x [Ln(1+x) - senx]/[x.senx], siendo Ln(1+x) el logaritmo neperiano de [Ln(1+x) - senx]/[x.senx] = [Ln(1+0) - sen0]/[0.sen0] =

Más detalles

Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León

Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León Selectividad Septiembre 011 Pruebas de Acceso a enseñanzas universitarias oficiales de grado Castilla y León MATEMÁTICAS II EJERCICIO Nº páginas: INDICACIONES: 1.- OPTATIVIDAD: El alumno deberá escoger

Más detalles

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

UNIVERSIDADES DE ANDALUCÍA PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- [2 5 puntos] Halla las dimensiones del rectángulo de área máxima inscrito en un triángulo isósceles de 6 metros de base (el lado desigual) y 4 metros de alto. Ejercicio 2.- Sean

Más detalles

OPCIÓN A. Ejercicio 1: Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máximo.

OPCIÓN A. Ejercicio 1: Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máximo. MATEMÁTICAS II 2007 OPCIÓN A Ejercicio 1: Determina dos números reales positivos sabiendo que su suma es 10 y que el producto de sus cuadrados es máximo. Solución: Es un problema de optimización, sean

Más detalles

IES Francisco Ayala Examen Junio de 2009 (modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A

IES Francisco Ayala Examen Junio de 2009 (modelo 3) Soluciones Germán-Jesús Rubio Luna. Opción A Opción A Ejercicio 1 opción A, junio de 009 modelo 3 ['5 puntos] Calcula el siguiente límite (In denota logaritmo neperiano), lim x 1 [ 1/Ln(x) /(x 1) ] Calcula el siguiente límite (In denota logaritmo

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 5 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2011 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2013 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 03 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2015 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 05 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2005 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 005 MATEMÁTICAS II TEMA 4: FUNCIONES Junio, Ejercicio, Opción A Junio, Ejercicio, Opción B Reserva, Ejercicio, Opción A Reserva, Ejercicio, Opción B Reserva,

Más detalles

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos) Isaac Musat Hervás Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid Resueltos Isaac Musat Hervás 22 de mayo de 2013 Capítulo 9 Año 2008 9.1. Modelo 2008 - Opción A Problema 9.1.1 2 puntos Se considera la función

Más detalles

OPCIÓN A. 1.- a) (1,5 puntos) Hallar el rango de la matriz. 2.- (2,5 puntos) Calcular, razonadamente, el valor de a para que:

OPCIÓN A. 1.- a) (1,5 puntos) Hallar el rango de la matriz. 2.- (2,5 puntos) Calcular, razonadamente, el valor de a para que: Nombre: Nota Curso: º Bachillerato Eamen X (Rec º Eval) Fecha: 4 de Marzo de 06 La mala o nula eplicación de cada ejercicio implica una penalización de hasta el 5% de la nota. OPCIÓN.- a) (,5 puntos) Hallar

Más detalles

ANÁLISIS (Selectividad)

ANÁLISIS (Selectividad) ANÁLISIS (Selectividad) 1 Sea f : R R la función definida por f() ln ( +1). (a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los etremos relativos de la función f (puntos donde se alcanzan

Más detalles

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD Opción A Ejercicio 1.- Sea f : (0,+ ) R la función definida por f(x) = 3x + 1 x. (a) [1 5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde

Más detalles

Observaciones del profesor:

Observaciones del profesor: INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN El alumno contestará a los cuatro ejercicios de una de las dos opciones (A o B) que se le ofrecen. Nunca deberá contestar a unos ejercicios de una opción y a otros

Más detalles

PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES. =, para x 0.

PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES. =, para x 0. PROPIEDADES GLOBALES DE LAS FUNCIONES Ejercicio. Sea f: R R la función definida por f ( ) Ln( + ), siendo Ln la función logaritmo neperiano. (a) [ punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento

Más detalles

Examen de Matemáticas II (Junio 2016) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos. ln(1 x) 1 x. si x < 0 f(x) = xe x si x 0

Examen de Matemáticas II (Junio 2016) Selectividad-Opción A Tiempo: 90 minutos. ln(1 x) 1 x. si x < 0 f(x) = xe x si x 0 Examen de Matemáticas II (Junio 16) Selectividad-Opción A Tiempo: 9 minutos Problema 1 (3 puntos) Dada la función: ln(1 x) si x < f(x) = 1 x xe x si x se pide: a) (1 punto). Estudiar la continuidad de

Más detalles

M a t e m á t i c a s I I 1

M a t e m á t i c a s I I 1 Matemáticas II Matemáticas II ANDALUCÍA MODELO CURSO 009-00 SOLUCIÓN DE LA PRUEBA DE ACCESO AUTOR: José Luis Pérez Sanz Opción A El punto de infleión es aquel en el que la derivada segunda se anula. Calculamos

Más detalles

Ejercicio 3 de la Opción A del modelo 1 de 2008.

Ejercicio 3 de la Opción A del modelo 1 de 2008. Ejercicio 3 de la Opción A del modelo 1 de 2008. Dado el sistema de ecuaciones lineales x + λy z = 0 2x + y + λz = 0 x + 5y λz = λ +1 [1 5 puntos] Clasifícalo según los valores del parámetro λ. (b) [1

Más detalles

OPCIÓN A. rga < rga S. I. rga = m 0 m m = 0 Habrá que estudiarlo. rga. z

OPCIÓN A. rga < rga S. I. rga = m 0 m m = 0 Habrá que estudiarlo. rga. z San Blas, 4, entreplanta. 98 0 70 54 OPCIÓN A m + y + z = 0 E.-a) Discutir, en función del valor de m, el sistema de ecuaciones y my + mz = resolverlo para m = b) Para m = añadir una ecuación al sistema

Más detalles