LECTURA 08 : MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y MEDIDAS DE FORMA (PARTE I) MEDIDAS DE DISPERSIÓN TEMA 18: MEDIDAS DE DISPERSION

Transcripción

1 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote LECTURA 08 : MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y MEDIDAS DE FORMA (PARTE I) MEDIDAS DE DISPERSIÓN TEMA 8: MEDIDAS DE DISPERSION. DEFINICION La medda de dperón on aquella que cuantfcan el grado de concentracón o de dperón de lo valore de la varable en torno de un valor central, generalmente la meda artmétca. La medda de dperón e utlzan para do propóto báco: a) Para verfcar la confabldad de lo promedo y b) Para que rva como bae para el control de la varacón mma. La medda de dperón que e utlzan con mayor frecuenca on: Varanza. Devacón etándar. Coefcente de varacón... Varanza E una medda que cuantfca el grado de dperón o de varacón de lo valore de una varable cuanttatva con repecto a u meda artmétca. S lo valore tenden a concentrare alrededor de u meda, la varanza erá pequeña. S lo valore tenen a dtrbure lejo de la meda, la varanza erá grande. La varanza calculada a partr de una muetra e denota por y referda a la poblacón e denota por o V [. La varanza e defne como la meda artmétca de lo cuadrado de la devacone de lo dato repecto a u meda artmétca. La varanza e una medda de dperón con undade de medcón al cuadrado: S/., $, km, etc. La varanza empre e potva.... La varanza para dato agrupado: Se utlza la guente fórmula: Para n 30 Fecha : Agoto 00 Verón :

2 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote n ( n ) Para n 30 [varanza de Cochran] n ( ) n Ejemplo : Lo guente dato correponden a una muetra al azar de 8 clente egún u tempo en mnuto que han vtado la págna de Internet Google: X :.3, 4., 4., 3., 4.4,.,.6, 4.3 Calcular e nterpretar la varanza: Solucón: a) Para hallar la varanza prmero debemo hallar el tempo promedo de vta de lo clente: mn uto 8 A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: Tabla N ( ) ( Total ) Fecha : Agoto 00 Verón :

3 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote 8 ( ) 9.80 Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n=8 < ( - ) = 9.80 =.4 mn uto 8-7 Interpretacón: La varabldad de lo tempo de vta de lo clente a la pagna Web Google repecto de u valor central e de.4 mnuto.... La varanza para dato agrupado: Se utlza la guente formula: m (y - y) f = = ; para n ³ 30 n m (y - y) f = = ; para n < 30 (Varanza de Cochran) n - Ejemplo : Lo guente dato de la tabla que e da a contnuacón correponden a 40 trabajadore de una Emprea X egún u número de natenca: N de natenca Calcular e nterpretar la varanza. y Tabla N 6 N de trabajadore Total 40 f 3 Fecha : Agoto 00 Verón :

4 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Solucón: a) Hallando en prmer lugar el número promedo de natenca: y y f = = 7.8 natenca b) A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: Tabla N 7 y f (y - y) (y - y) Total = (y - y) f = 839. (y - y) f Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza para n=40 > 30. (y - y) f 3 4 = (y - y) f + (y - y) f + (y3 - y) f 3 + (y4 - y) f 4 + (y - y) f (y - y) f = (y - y) f = = = (y - y) f 839. = (y - y) f = 4 natenca Fecha : Agoto 00 Verón :

5 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Interpetracón: La varabldad de la natenca e de 4 natenca repecto de u valor central. Ejemplo 3: La guente tabla correponde a 80 trabajadore de una Emprea X egún u edad en año: Tabla N 8 Edad en en año LI - LS Calcular e nterpretar la varanza. N de trabajadore f [ - 30) 40 [30-3) 0 [3-40) 00 [40-4) 0 [4-0) 40 TOTAL 80 Solucón: Hallando en prmer lugar el promedo: y y f = = 37. año A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: Tabla N 9 L - L y f [ - 30) [30-3) [3-40) [40-4) [4-0) Total (y - y) (y - y) (y - y) f = (y - y) f = 000 Fecha : Agoto 00 Verón :

6 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza para n=40 > 30. (y - y) f 3 4 = (y - y) f + (y - y) f + (y3 - y) f 3 + (y4 - y) f 4 + (y - y) f (y - y) f = (y - y) f = (y - y) f = = 000 = (y - y) f = 37. año 80 Interpetracón: La varabldad de la edade de lo trabajadore e de 37. año repecto de u valor central... La devacón etándar o típca Se defne como la raíz cuadrada potva de la varanza: var anza E uno de lo etadígrafo de dperón de mayor uo, la cual e eprea en undade reale de la varable, e decr ya no etán elevada al cuadrado. La devacón etándar, al gual que la varanza, e no negatva ( 0), pueto que e la raíz potva de la varanza. A mayor dperón le correponderá una mayor devacón etándar. 6 Fecha : Agoto 00 Verón :

7 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Ejemplo 4: Calcular e nterpretar la devacón etándar de lo dato del Ejemplo. Solucón: =.4 =. mn uto Interpretacón: Lo tempo de vta de lo clente e alejan en promedo de u valor central en.9 punto. Ejemplo : Calcular e nterpretar la devacón del Ejemplo : Solucón: = 3. natenca. Interpretacón: La atenca de lo trabajadore e dperan o e alejan en promedo de u valor central en natenca. Ejemplo 6 : Calcular e nterpretar la devacón del Ejemplo 3: Solucón: = 37. = 6. año. Interpretacón: La edade de lo trabajadore e dperan o e alejan en promedo de u valor central en 6. año..3. El coefcente de varacón E una medda de dperón relatva eenta de undade y epreada en porcentaje, e utlzan para comparar la varacón de do dtrbucone empre que la varable e epreen en la mma undade de medda y ean apromadamente del mmo tamaño promedo. Sn embargo, a vece e necearo comparar do conjunto de dato epreado en undade dferente (tale como ole y 7 Fecha : Agoto 00 Verón :

8 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote klogramo). En eto cao la medda de dperón aboluta no on comparable y deben utlzare medda de dperón relatva. El coefcente de varacón de un conjunto de dato e denota por c.v. como: y e eprea c.v. 00 y Devacón etándar y Meda artmétca S c.v. %, lo dato on homogéneo, e decr tenen una baja varabldad. S c.v. > %, lo dato on heterogéneo, e decr tenen una alta varabldad. Ejemplo 7: Calcular e nterpretar el coefcente de varacón de lo dato del Ejemplo : Solucón: c.v % % 3.3 Interpretacón: La dperóne de lo tempo utlzado por lo clente en vtar la págna Google repecto de u valor central on heterogéneo. Ejemplo 8: Calcular e nterpretar el coefcente de varacón de lo dato del Ejemplo : Solucón:.87 c. v. = 00 = 4.67% > % Fecha : Agoto 00 Verón :

9 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Interpretacón: La dperone de la natenca de lo trabajadore repecto de u valor central on heterogéneo. Ejemplo 9: Calcular e nterpretar el coefcente de varacón de lo dato del Ejemplo 3: Solucón: 6. c. v. = 00 = 6.3% > % 37. Interpretacón: La dperone de la edade de lo trabajadore repecto de u valor central on heterogéneo. Ejemplo 0: Lo guente dato correponden a una muetra aleatora de lo gato menuale en ole de 7 etudante de admntracón: X : 00, 0, 0, 400, 70, 300, 40 a) Cuánto e la dperón de lo gato menuale repecto de u valor central? b) Son lo gato menuale homogéneo? Solucón: a) Hallando en prmer lugar el promedo: = = 98.7 ole. b) A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: Tabla N 0 ( ) ( ) Total Fecha : Agoto 00 Verón :

10 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote 7 ( - ) = = Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n=7 < ( - ) = = ole. 7-6 c) Hallando la devacón etándar : = = 8.94 ole. d) Hallando el coefcente de varacón: De acuerdo a la operacone realzada tenemo: = 98.7 ole. = 8.94 ole. entonce: 6. c. v. = 00 = 00 = 6.3% > % 37. Lo gato menuale de lo etudante no on homogéneo. Ejemplo : Lo guente dato correponden a una muetra aleatora de lo ahorro menuale en dólare de clente del Banco de Crédto del Perú: X : 00, 0, 0, 340, 80 El gerente del Banco pena hacer un aumento en la taa de nteré olo lo ahorro menuale on regulare. Qué decón tomará el gerente del Banco. (Hallar coefcente de varacón). 0 Fecha : Agoto 00 Verón :

11 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Solucón: a) Hallando en prmer lugar el ahorro menual promedo: 790 = = 38dólare. b) A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: Tabla N ( - ) = = ( ) ( ) Total Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n= < 30. ( - ) = = 700 dólare. - 4 c) Hallando la devacón etándar : = 700 = dólare. d) Hallando el coefcente de varacón: De acuerdo a la operacone realzada tenemo: = 38 dólare. = dólare. Fecha : Agoto 00 Verón :

12 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote entonce: c. v. 00 = 4.9% > % 38 Lo ahorro menuale de lo clente on heterogéneo; e decr no on regulare. Por lo tanto el gerente del banco no ubrá la taa de nteré. El gerente no ubrá la taa de nteré ya que lo ahorro menuale no on regulare. Ejemplo : Lo guente dato correponden a una muetra aleatora de lo ahorro menuale en dólare de do grupo de clente del Banco Contnental : Tabla N GRUPO En que grupo lo ahorro on má etable? (Hallar coefcente de varacón) Solucón: Llevando acabo todo el proceo de cálculo del coefcente de varacón para cada uno de lo grupo e obtene lo guente reultado: Para el Grupo a) Hallando el ahorro menual promedo para el Grupo : = = 3.67ole. b) Hallando la varanza: Tabla N 3 ( - ) ( - ) Total Fecha : Agoto 00 Verón :

13 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote 6 ( - ) = = Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n=6 < ( - ) = = ole. 6 - c) Luego hallamo la devacón etándar : = = 9.4 ole. d) Fnalmente hallamo el coefcente de varacón: c v = 3.6% < % 3.67 Para el Grupo a) Hallando el ahorro menual promedo para el Grupo : = = 4ole b) Hallando la varanza: 6 ( - ) = 30 = Tabla N 4 ( - ) ( - ) Total Fecha : Agoto 00 Verón :

14 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza de Cochran ya que n=6 < ( - ) = 30 = 070 ole. 6 - c) Luego hallamo la devacón etándar : = 070 = 3.7 ole. d) Fnalmente hallamo el coefcente de varacón: c v = 7.9% < % 4 La guente tabla muetra lo reultado obtendo en forma reumda: Tabla N GRUPO c.v % < % % <% Hacendo la comparacone repectva de lo coefcente de varacón obtendo, e oberva que en el Grupo lo ahorro on má etable. Ejemplo 3: Lo guente dato correponden a do muetra aleatora de do grupo de trabajdore egún u ueldo menual en ole: Sueldo menual en ole LI - LS Tabla N 6 - GRUPO N de trabajadore f [0-60) 40 [60-70) 60 [70-80) 00 [80-90) 40 [90-00) 0 Total 60 4 Fecha : Agoto 00 Verón :

15 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Sueldo menual en ole LI - LS Tabla N 7 - GRUPO N de trabajadore f [70-80) 30 [80-90) 0 [90-00) 80 [00-0) 40 [0-0) 0 TOTAL 0 Qué grupo tene ueldo menuale má homogéneo? Solucón: Llevando acabo todo el proceo de cálculo del coefcente de varacón para cada uno de lo grupo e obtene lo guente reultado: Para el Grupo a) Hallando en prmer lugar el promedo: y y f = = ole b) A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: Tabla N 8 L - L y f [0-60) [60-70) [70-80) [80-90) [90-00) Total (y - y) (y - y) (y - y) f Fecha : Agoto 00 Verón :

16 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote = (y - y) f = Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza para n=60 > 30. (y - y) f 3 4 = (y - y) f + (y - y) f + (y3 - y) f 3 + (y4 - y) f 4 + (y - y) f (y - y) f = (y - y) f = (y - y) f = (y - y) f = 44.38ole 60 c) Hallando la devacón etándar: = =.00 ole. d) Hallando el coefcente de varacón:.00 c.v 00 = 4.4% < % y Fecha : Agoto 00 Verón :

17 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote Para el Grupo a) Hallando en prmer lugar el promedo: y y f = = ole b) A contnuacón contruremo una tabla de trabajo para calcular la varanza: L - L y f Tabla N 9 [ 70-80) [ 80-90) [ 90-00) [00-0) [0-0) Total (y - y) (y - y) (y - y) f = (y - y) f = Reemplazando dcho valor en la formula de la varanza para n=0 > Fecha : Agoto 00 Verón :

18 Unverdad Católca Lo Ángele de Chmbote (y - y) f 3 4 = (y - y) f + (y - y) f + (y3 - y) f 3 + (y4 - y) f 4 + (y - y) f (y - y) f = (y - y) f = (y - y) f = (y - y) f = ole 0 c) Hallando la devacón etándar: = = ole. d) Hallando el coefcente de varacón: c.v 00 = 0.9% < % y Llevando acabo todo el proceo de cálculo del coefcente de varacón para cada uno de lo grupo e obtene lo guente reultado: Tabla N 30 GRUPO c.v % < % % <% Hacendo la comparacone repectva de lo coefcente de varacón obtendo, e oberva que en el Grupo lo ueldo menuale on má homogéneo. 8 Fecha : Agoto 00 Verón :