Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería: Programa y bibliografía

Transcripción

1 Programa I. Preliminares. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería: Programa y bibliografía Ingeniería Técnica en Obras Públicas, esp. Construcciones Civiles Curso I.1 Conjuntos. Conjuntos. Unión, intersección, complementario, producto cartesiano. I.2 Conjuntos numéricos. Números naturales, enteros, racionales, reales, complejos. I.3 Aplicaciones. Aplicaciones. Conjuntos inicial y final. Conjunto imagen. Aplicaciones inyectivas y sobreyectivas. Aplicaciones biyectivas; inversas. Composición de aplicaciones. I.4 El cuerpo de los números complejos. II. Matrices. Los números complejos. Suma y producto. Módulo y argumento; representación gráfica. Fórmula de Euler. Operaciones en forma polar. Raíces n-simas de números complejos. El teorema fundamental del álgebra. II.1 Primeras definiciones. Matrices. Matrices fila, columna, cuadradas, triangulares, diagonales. II.2 Operaciones con matrices. Suma y producto de matrices. Producto de un escalar por una matriz. Trasposición de matrices. Propiedades. II.3 Operaciones elementales de fila y columna. Formas escalonadas. Aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Operaciones elementales de fila y columna. Forma escalonada por filas y forma escalonada reducida por filas de una matriz. Sistemas compatibles determinados. Sistemas compatibles indeterminados. Sistemas incompatibles. Sistemas de Cramer. II.4 Aplicación al cálculo de inversas de matrices. Matrices elementales. Cálculo de la inversa. III. Espacios vectoriales y aplicaciones lineales. III.1 Los espacios K n. Subespacios. Suma de vectores. Producto de un vector por un escalar. Subespacios. Definición general de espacio vectorial. III.2 Combinaciones lineales. Subespacio generado. III.3 Independencia lineal. III.4 Bases. Coordenadas. Dimensión. Cambios de base. III.5 Rango de un conjunto de vectores. 1

2 Definición de rango de un conjunto de vectores. Cálculo del rango por operaciones elementales. III.6 Aplicaciones lineales. Aplicaciones lineales. Matriz de una aplicación lineal. Núcleo e imagen: definición y cálculo. Aplicaciones lineales inyectivas. Fórmula de dimensiones. Composición de aplicaciones lineales. Isomorfismos. Matriz de la aplicación inversa. III.7 Endomorfismos. Endomorfismos. Matriz de un endomorfismo en una base arbitraria. IV. Determinantes. IV.1 Definición y propiedades. Desarrollo por adjuntos. Propiedades básicas del determinante. Determinante del producto de matrices. Determinante de la matriz traspuesta. IV.2 Cálculo efectivo de un determinante. IV.3 Rango de una matriz. Rango de una matriz. Relación con la definición vectorial de rango. V. Autovalores y autovectores. V.1 Autovalores y autovectores: definición, cálculo, propiedades. Autovalores y autovectores de un endomorfismo. Cálculo de los autovalores: polinomio característico. Cálculo de los autovectores: subespacios característicos. Propiedades de autovalores y autovectores. V.2 Multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor. Definición y cálculo de las multiplicidades algebraica y geométrica. Relación entre las multiplicidades algebraica y geométrica de un autovalor. V.3 Endomorfismos diagonalizables. Endomorfismos diagonalizables: definición, condiciones necesarias y/o suficientes. Proceso de diagonalización. V.4 Potencia n-sima de una matriz diagonalizable por semejanza. VI. Formas bilineales y cuadráticas. VI.1 Formas bilineales, formas bilineales simétricas y formas cuadráticas. Formas bilineales. Representación matricial. Cambio de base. Formas bilineales simétricas. Vectores conjugados. Formas cuadráticas. VI.2 Diagonalización de una forma bilineal simétrica. Proceso de diagonalización por congruencia. Ley de inercia de Sylvester. Clasificación. Criterio de Sylvester. VI.3 Producto escalar y definiciones relacionadas. Producto escalar. Norma. Desigualdades de Minkowski y Schwartz. Ángulo entre dos vectores de un espacio euclídeo. VI.4 Ortogonalidad. Bases ortogonales y ortonormales. Método de Gram-Schmidt. VI.5 Diagonalización ortogonal de matrices simétricas. VII. Plano afín y espacio afín. 2

3 Repaso de conceptos básicos. Plano afín y espacio afín. Sistemas de referencia, coordenadas, ecuaciones de rectas y planos. VIII. Los números reales. VIII.1 El cuerpo ordenado de los números racionales. El cuerpo de los números racionales. Representación decimal. Orden en Q: propiedades. VIII.2 El cuerpo ordenado de los números reales. Definición de R. Representación decimal. Cotas. Conjuntos acotados. Números irracionales; propiedades. VIII.3 Valor absoluto. Propiedades. IX. Topología elemental de R y R n. IX.1 Distancia euclídea en R n. Distancia euclídea. Propiedades. Bolas abiertas y cerradas. IX.2 Puntos interiores, adherentes, de acumulación, aislados y frontera de un conjunto. IX.3 Conjuntos abiertos, cerrados, acotados, compactos. X. Límites y continuidad de funciones. X.1 Generalidades sobre funciones reales de variable real. Restricciones. Funciones monótonas. Funciones inyectivas y sobreyectivas. Funciones inversas. Funciones polinómicas, exponenciales, logarítmicas, circulares. X.2 Límites. Definición de límite. Límites laterales. Límites infinitos y límites en el infinito. Unicidad del límite. Acotación en un entorno. Límite de la suma y el producto de dos funciones. Límites potenciales exponenciales. Conservación del signo en un entorno; límite de la función 1/f. Existencia del límite por monotonía y acotación. Conservación de desigualdades en el paso al límite. Límites de algunas funciones elementales. Indeterminaciones; ejemplos. X.3 Continuidad. Definición de función continua. Propiedades de las funciones continuas. Teorema de Bolzano. Teorema de los valores intermedios. Conservación de la compacidad. X.4 Límites y continuidad en varias variables. Funciones reales de variable vectorial, vectoriales de variable real, vectoriales de variable vectorial. Límites y continuidad. Límites por subconjuntos. Paso a coordenadas polares. XI. Cálculo diferencial en una variable. XI.1 La derivada: definición y primeras propiedades. Definición de derivada. Derivadas laterales. Continuidad y derivabilidad. Operaciones con funciones derivables. Función derivada. Derivadas de las funciones elementales. XI.2 Derivación de funciones compuestas e inversas. XI.3 Teoremas del valor medio y regla de L Hôpital. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio de Lagrange. Aplicaciones. Regla de L Hôpital. XI.4 Derivadas sucesivas. Fórmula de Taylor. Derivadas sucesivas. Fórmula de Taylor. Resto de Lagrange. XI.5 Cálculo de extremos. 3

4 Extremos relativos y absolutos. Cálculo. Ejemplos. XII. Cálculo diferencial en varias variables. XII.1 Derivadas según un vector. Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. Derivadas según un vector. Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. Funciones de clase r, r N. Permutación en el orden de derivación. XII.2 Funciones diferenciables. Matriz jacobiana. Regla de la cadena. Funciones diferenciables. Matriz jacobiana. Diferenciabilidad y continuidad. Diferenciabilidad y derivabilidad. Vector gradiente. Condición suficiente de diferenciabilidad. Funciones diferenciables con valores en R m. Regla de la cadena. XII.3 Cálculo de extremos de funciones reales de varias variables. Puntos críticos. Matriz hessiana. Cálculo de extremos absolutos y relativos; ejemplos. XIII. Cálculo integral en una variable. XIII.1 Integral de Riemann: definición y propiedades básicas. Particiones. Sumas superiores e inferiores. Funciones continuas a trozos. Funciones integrables. Propiedades básicas de la integral. Teorema del valor medio del Cálculo Integral. XIII.2 Teorema fundamental del Cálculo y resultados relacionados. Primitiva de una función en un intervalo. Teorema fundamental del Cálculo. Regla de Barrow. Integración por partes. Integración por cambio de variable. XIII.3 Técnicas elementales de cálculo de primitivas. Primitivas inmediatas. Cálculo de primitivas por partes y por cambio de variable. Primitivas de funciones racionales. XIII.4 Aplicaciones geométricas de la integral. Volúmenes y áreas de revolución. Longitud de una curva. XIII.5 Integración sobre intervalos no compactos. Criterios elementales de convergencia. Funciones impropiamente integrables. Convergencia a cero del integrando. Convergencia en valor absoluto. Criterios de convergencia para funciones no negativas: mayoración/minoración, comparación por cociente. XIV. Sucesiones y series de números reales. XIV.1 Sucesiones. Sucesiones convergentes. Sucesiones. Sucesiones monótonas. Sucesiones acotadas. Subsucesiones. Límites. Propiedades de las sucesiones convergentes. Convergencia y acotación. Límites infinitos. Operaciones y transformaciones con sucesiones convergentes. Indeterminaciones. Criterio de Stolz. XIV.6 Series de números reales: primeras definiciones y propiedades básicas. Series. Series convergentes. Término general de una serie convergente. Serie armónica generalizada. Serie geométrica. XIV.7 Series de términos positivos. Criterios de convergencia para series de términos positivos: mayoración/minoración, comparación por cociente, criterios del cociente y de la raíz, criterio de la serie condensada. XIV.8 Series con infinitos términos positivos y negativos. Series absolutamente convergentes. Series alternadas: criterio de Leibniz. XV. Introducción a MATLAB. Comandos básicos de MATLAB. Operaciones con matrices. Gráficas en MATLAB. Programación: los scripts y las functions. 4

5 Bibliografía básica, apuntes y material pedagógico En la página web de la asignatura se publicarán diversos materiales de apoyo, incluyendo apuntes de algunos temas, resúmenes teóricos, prácticas propuestas durante el curso, exámenes de este curso y de los anteriores con sus soluciones, y apuntes completos de las prácticas de MATLAB, con las explicaciones teóricas y las soluciones a los ejercicios propuestos. Las referencias que se recomiendan para posibles consultas son las siguientes: Hernández, E.: Álgebra y geometría (2 a ed.) Addison-Wesley / Universidad Autónoma de Madrid, Burgos, J. de: Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería; Fundamentos de Álgebra: 65 problemas útiles; Álgebra lineal: Definiciones, Teoremas y Resultados; Álgebra lineal: 80 problemas útiles Ed. García Maroto, Lipschutz, S.: Álgebra lineal (2 a ed.). McGraw-Hill, (Col. Schaum.) Williams, G.: Álgebra lineal con aplicaciones (4 a ed.) McGraw-Hill, García Cabello, J. : Álgebra lineal. Sus aplicaciones en economía, ingeniería y otras ciencias. Delta Publicaciones, Merino González, L. M., Santos Aláez, E.: Álgebra lineal con métodos elementales. Merino- Santos, Sanz, P. y otros: Problemas de álgebra lineal. Prentice Hall, de la Villa, A.: Problemas de álgebra. CLAGSA, Larson, R. y otros: Cálculo I. (8 a ed.) Ed. Pirámide, Spivak, M.: Cálculo infinitesimal. Reverté, Burgos, J. de: Cálculo infinitesimal de una variable. McGraw-Hill, Ortega, J. M.: Introducción al análisis matemático. Universidad Autónoma de Barcelona, Larson, R. y otros: Cálculo II. (7 a ed.) McGraw Hill, Burgos, J. de: Cálculo infinitesimal de varias variables. McGraw-Hill, Franco, J. R.: Introducción al cálculo. Problemas y ejercicios resueltos. Prentice-Hall. Madrid, Besada, M. y otros: Cálculo de varias variables. Problemas y ejercicios resueltos. Prentice-Hall. Madrid, García de Jalón, J. y otros: Aprenda MATLAB 7.0 como si estuviera en primero. Pratap, R.: Getting started with MATLAB Oxford University Press,