Espacios vectoriales. Vectores del espacio.

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Espacios vectoriales. Vectores del espacio."

Transcripción

1 Espacios vectoriales. Vectores del espacio. Consideremos un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo A(1,1,1), B(2,1,1), C(2,4,1) y E(1,2,7). Halla: a) el área de una de las bases; b) el volumen del paralelepípedo; c) la distancia entre las bases. PAU. Dada la base formada por los vectores:, comprueba si es ortogonal y orto normal. PAU. y Dados los puntos A(-4,1,0), B(2,-5,3), C(5,1,1) y D(x,y,z), calcula x,y z para que los vectores AB y CD sean equipolentes. Dados los vectores de R 3 v 1 = (1,1,0), v 2 = (0,1,2), v 3 = (3,2,-2) a) Comprueba que no forman base. b) Expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos. c) obtén un vector u que, con v 1 y v 2, forme una base de R 3. Dados los vectores de R 3 : (1,0,1), (1,1,0) y (1,1,1) a) Demuestra que forman una base, b) Halla las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de esta base. Dados los vectores libres de V 3 : u = (1,2,5) y v = (1,1,4) : a) Si AB = u v y A(1,1,1), cuál es el extremo B?. b) Qué componentes tiene el vector 2u + v?. c) Qué componentes tiene el vector 3u 2v?. Dados los vectores u = (3,2,1) y v = (1,2,-1), obtén: a) Modulo de u y de v; b)producto vectorial de u y v ; c) vector unitario ortogonal a u y v ; d) área del paralelogramo de lados u y v. Dados los vectores u, v y w tales que, = 3, = 1, = 4 y u + v + w = 0, calcula: u v + v w + u w PAU. 1

2 Dados los vértices A(0,1,3), B(1,0,2) y C(1,0,1) de un triangulo, obtén: a) la clase de triangulo, b) su perímetro, c) sus ángulos, d) el área. Dos vectores unitarios u y v forman un ángulo de 60º. Hallar: a) su producto escalar. b) el vector proyección ortogonal de v sobre u. c) el vector proyección ortogonal de u sobre v. Determina los valores de a para los cuales los vectores de R 3 : (-1, a, a), (a,a,-1) y (a,-1,a) no formen una base y obtén la relación de independencia entre dichos vectores. El vector u = (a,1,b) es perpendicular a los vectores v = (2,1,0) y w = (0,1,-1), cuánto valen a y b?. Calcular el valor de m para que los vectores u = (1,-1,m) y v = (-2,m,m) sean perpendiculares. Encuentra él numero de vectores linealmente independientes que hay en el conjunto de vectores S = { (1,1,1), (0,2,1), (2,0,-3), (-1,1,2) } y contesta: a) Un vector tiene sus tres componentes iguales y distintas de cero, puede escribirse como combinación lineal de los dos primeros vectores de S?. b) Determina un vector que, teniendo sus dos primeras componentes igual a 1, se pueda poner como combinación lineal de los vectores segundo y tercero de S. PAU. En el espacio vectorial R 3 se consideran los vectores u = (1,2,-1), v = (1,-1,1) y w = (2,5a,3a) donde a es un parámetro real. Se pide: a) Determina el valor numérico que debe de tomar el parámetro a para que los vectores u, v y w sean linealmente independientes. b) Determina el valor numérico para el parámetro a de forma que los vectores. c) u, v y w sean linealmente dependientes. PAU. En R 3 determina el valor de a para que los vectores x = (3,0,a), y = (-1,2,1) y z = (2,-1,2) sean linealmente dependientes. Hallar, si existe, el valor de, para que los vectores u y v sean colineales, en los casos: a) u( -1, +6, 3), v(, 8, 12) b) u(5, -2, ), v(10, -1, 7) 2

3 Obtén el producto mixto {u,v,w} sabiendo que u = (1,2,1), v = (-1,0,1) y w es perpendicular a u y v, siendo su modulo 2. Prueba que los vectores (2,3,4), (1,1,1) y (1,2,3) son dependientes en R 3. Puede haber dos vectores u y v tales que u v = -3, u = 1 y v = 2?. Qué se puede decir del ángulo de dos vectores que verifican que u v = u v?. Justifica la respuesta. PAU. Qué ángulo forman los vectores u y v sabiendo que u v = 12, = 2 y = 3?. Cuál es el ángulo si u v = - 6?. Sean los vectores u(2, -1, 6) y v(-1, 5, a). Hallar el valor de a para que: a) u y v sean perpendiculares. b) = 6, cuántos valores hay?. c) El producto escalar u v valga 1. Sean los vectores u(1, 2, 2) y v(-1, 3, -2). Hallar: a). b) Un vector u unitario con la misma dirección y sentido que u. c) La proyección ortogonal de v sobre u. Sean los vectores u(3, 5, 6) y v(-2, 1, 9), hallar: a) el vector u x v, b) el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores u, v y u x v. Sean u, v y w tres vectores linealmente independientes. Indica cual o cuales de los siguientes productos mixtos valen cero: a) {u + w, v, u + v} ; b) {u v, v w, w u} ; c) {u + w, u w, u + v + w} PAU. 3

4 Sean u, v, y w tres vectores cuyas componentes en una base cartesiana directa son: u (-2, 1, 3), v(0, 1, 7) y w(3, -4, 6). Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a) u, v y w. b) v, u y w. c) u, v y v. Cómo se interpretan los resultados obtenidos en a), b) y c) Sean u, v y w vectores de componentes u(-2, 5, 3), v(6, -4, 0) y w(2, 7, -1), hallar, expresados en componentes, los vectores: a) u 2v + w ; b) 2u 3 (v + w) ; c) u + 2v 3w ; d) (1/2) u 2v ; e) 5u 3v + w ; f) u 2v + 3w Con los mismos vectores, calcular: a) sus módulos, b) el ángulo de los vectores u y v, u y w, v y w. Si (u + v) (u + v) = 36 y (u v) (u v) = 9, Cuál es el producto u v?. 4

5 Rectas y planos. Ecuaciones. Calcula razonadamente el valor de a para que los siguientes cuatro puntos estén en un mismo plano del espacio euclídeo: (a,1,2), (2,1,0), (2,3,1) y (5,1,3). Halla también de una manera razonada, la ecuación del plano que los contiene. Calcular la ecuación del plano que contiene a la recta definida por el punto (1, 1, 1) y el vector (0, -5, 3) y que pasa por el punto P(1, 0, -5). Comprueba si los puntos A(-1,0,1), B(1,-2,1), C(2,-3,-2) y D( 3,1,2) pertenecen al mismo plano. Dada la recta en paramétricas halla: a) Otra ecuación en forma paramétrica, b) una ecuación en forma continua, c) una de sus expresiones implícitas. Dado el tetraedro de vértices A(-1,2,5), B(2,1,6), C(4,1,7) y D(-1,5,6), halla las ecuaciones de los planos que contienen a cada una de sus caras. Determina los valores de m para que los puntos A(m,2,-3), B(2,m,1) y C(5,3,-2) estén alineados y las ecuaciones de la recta que los contiene. Expresa en forma continua las ecuaciones de las rectas que forman las aristas del tetraedro irregular de vértices: A(4,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6) y O(0,0,0). Expresa la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(-1,0,2) y tiene como vector dirección v = (-2,2,1) : a) En forma vectorial, b) en forma paramétrica, c) en forma continua, d) en forma implícita o cartesiana. 5

6 Expresa la ecuación de la recta r que pasa por los puntos A(1,3,-1) y B(0,-2,3) en forma de: a) vectorial, b) paramétrica, c) continua, d) cartesiana. Halla la ecuación del plano determinado por la recta de ecuación: y un punto A(2,-3,1) exterior a ella. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,-1,0) y cuyo vector normal es n = (1,-3,2). Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,0,1) y contiene a la recta dada por Halla la ecuación en todas sus formas posibles del plano que pasa por el punto A(1,1,0) y tiene como vectores directores: u = (2,-1,2) y v(1,-1,2). Halla la ecuación del plano determinado por la recta de ecuación: y un punto A(2,-3,1) exterior a ella. Halla las coordenadas del punto común al plano de ecuación 2x + 3y z = 0 y a la recta determinada por el punto A(2,-1,3) y el vector u = (-2,3,1). Hallar la ecuación de un plano paralelo a : 5x y + 3z 1 = 0 que pase por el punto Q(-12, 1, 4). Hallar la ecuación general del plano que: a) Pasa por el punto A(2, 3, -4) y es paralelo a los vectores u(1, -2, 1) y v(3, -2, 0). b) Pasa por los puntos A(-1, 1, 2), B(0, 5, 9) y C(-3, 1, 6). c) Pasa por el punto P(3, 3, -2) y contiene a la recta r de. d) Pasa por P(-2, 1, 0) y es perpendicular al vector 6

7 Hallar las ecuaciones de las caras y de las aristas del cubo de arista la unidad. Hallar las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por el punto P(3, 2, 1) y contiene a la recta x = y = z + 6 La ecuación en forma continua de una recta es:. Determina a) su vector dirección, b) su ecuación en forma paramétrica, c) Un punto P cualquiera de ella cuya segunda coordenada sea 5. Para que los puntos A(2,2,2), B(2,0,2), C(2,2,0) y D(a,b,c) sean coplanarios, qué valores deben de tomar a,b y c?. Para que los puntos A(m,n,0), B(1,-1,3), C(-1,1,2) y D(1,-2,3) pertenezcan a un mismo plano, qué valores deben tomar m y n?. Sabiendo que un plano corta a los ejes coordenados en los puntos A(-2,0,0), B(0,3,0) y C(0,0,4), halla su ecuación en forma segmentaria. Sea el plano de ecuación 3x 2y + 4z 7 = 0. Halla las distancias al origen de los puntos en los que el citado plano corta a los ejes coordenados. Sea el triángulo de vértices A(1, 0, 1) ; B(1, 1, 0) ; C(0, 1, 1). Hallar las ecuaciones de los tres lados y la ecuación del plano que determinan. Se consideran cinco puntos cuyas coordenadas son: P 1 (1, -1, 2) ; P 2 (-2, 2, 3) ; P 3 (-3, 3, 3) ; P 4 (-3, 3, 0) ; P 5 (-3, 4, 3). Contesta de forma razonada a la siguiente pregunta: forman parte de un mismo plano?. Una recta r pasa por A(5, -5, 7) y por el origen. Hallar las ecuaciones de una recta paralela a ella por el punto P(1, 1, -1). 7

8 8

9 Rectas y planos. Posiciones relativas. Considera la recta Determinar a para que el plano, de ecuación 2x + y + az = b sea paralelo a r. Determinar para que valor de b, la recta está contenida en el plano. Considera las rectas a) determinar m para que las rectas se corten. b) Hallar el punto de corte. Dada la recta y el plano : x + y + z = 0, hallar un plano que contenga la recta r y corte al plano en una recta paralela al plano OXY. Dadas las rectas posición relativa estudia su PAU). Dados los planos: Determina los valores de a para los cuales: a) los planos se cortan en un solo punto, b) se cortan en una recta. Dados los planos 1 : 3x + 4y + 5z = 0, 2 : 2x + y + z = 0 y el punto A(-1,2,1) halla el plano que pasa por A y por la recta intersección de 1 y 2. Deduce una ecuación para el plano 1 que es perpendicular a los planos 2 : 2x + 3y + z = 1 y 3 : 6x + 3y + 2z = 3 y que pasa por el punto A(4,1,2). 9

10 Discutir, según los valores de m, la posición relativa de los planos, indicando las figuras geométricas que determinan: Encontrar la ecuación del plano que contiene a los puntos P(1, 2, 1) y Q(1, 2, 3) y al punto S, intersección de la recta r y el plano, cuyas ecuaciones son: Encontrar la recta que pasa por el punto (1, 0, -1) y corta a las rectas L 1 y L 2 : : Estudia en función de los valores de a la posición relativa de las rectas: Estudia la posición relativa de las rectas: y halla la ecuación del plano que las contenga. PAU). Estudia, según los valores de k, la posición relativa de los planos: Estudiar la posición relativa de la recta con respecto a cada uno de los ejes coordenados. Hallar, en su caso, los puntos de corte. 10

11 Estudiar la posición relativa de las rectas r y s, según los valores de b: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas. Hallar, en su caso, el punto de intersección. Halla la ecuación continua de la proyección ortogonal de la recta r : (x,y,z) = (2,1,1) + t(-1,0,2) sobre el plano : 2x + y z = 0 Halla la recta que pasa por el punto P(1,2,1) y corta perpendicularmente a la recta: Hallar la ecuación de una recta que pasa por P(0, 0, 2) y corta a las rectas Nos dan la recta r determinada por los puntos A(1, 1, 1) y B(3, 1, 2), y la recta a) Averiguar su posición relativa. b) Si existe, hallar la ecuación general del plano que las contiene. Responde a las siguientes cuestiones: a) Estudia si la recta y el plano : x + y + z = 4 son o no paralelos. b) Encuentra la ecuación general del plano que contiene a r y es perpendicular a. Hallar la posición relativa de la recta. En su caso hallar el punto de corte. y el plano 11

12 Sabemos que las siguientes rectas se cortan en un punto. Calcula el valor de m y el punto de corte. Se consideran las rectas r y s dadas por: encuentra la ecuación del plano que contiene a la recta r y al punto de intersección de s con el plano : x 3y 2z + 7 = 0 Se consideran las rectas: Prueba que para ningún valor de a, las rectas r y s pueden ser paralelas y averigua el único valor para el que se cortan. Para este valor de a se pide: a) Calcula el punto de intersección de r y s y la ecuación del plano que las contiene, b) Determina la ecuación de la recta I que está contenida en y es perpendicular a r en el punto P. Escribe la ecuación de otras rectas que sean perpendiculares a r por el punto P. Se sabe que la recta r: (x,y,z) = (-1,b,0) + t(2,-10,1) y el plano : 2x + ay + z = 2 se cortan perpendicularmente y que la recta pasa por el punto (-1,1,-1). Calcula a y b y el punto de corte. 12

13 Problemas métricos en el espacio. Calcula el punto R de la recta s dada por: que equidiste de los puntos P(1,0,-1) y Q(2,1,1). Halla el área del triangulo determinado por los puntos P, Q y R. Calcula la ecuación de la recta r que pasa por P(-1,2,3) y Q(3,5,0). Halla los puntos de r cuya distancia al punto C(-1,0,1) es de 12 unidades Calcular la distancia del punto P(1, 3, 2) a la recta: Considera el punto P(-1,2,1). a) Determina el punto Q del plano : - 3x + y + z + 5 = 0, de forma que el vector PQ sea perpendicular al plano. b) Determina el punto M de la recta forma que el vector MP sea paralelo al plano. c) Calcula el área del triangulo MPQ. de Considera la recta a) De todos los planos que se pueden representar por una ecuación de la forma 5x + my 2z + 1 = 0, prueba que hay uno solamente que es paralelo a r. b) Comprueba si el plano obtenido contiene o no a la recta r, y en caso negativo, determina el plano 1 que es paralelo a y contiene a r, así como la distancia entre r y. c) Obtén la ecuación de la recta contenida en 1 que sea perpendicular a r. Cuántas hay?. Considera las rectas Comprueba que los puntos O(0,0,0) y A(1,1,1) pertenecen a r, y que los puntos B(0,5,0) y C(10,5,0) pertenecen a r. Obtén la distancia entre esas dos rectas. 13

14 Dada la recta, se pide: a) Ecuación de la recta s que pasa por el punto P(2,-1,0) y corta perpendicularmente a r. b) Punto de intersección de r y s y punto simétrico de P respecto de r. c) Una recta paralela a s que cruce con r. PAU). Dadas las rectas Halla los puntos de ambas rectas que están a una distancia mínima y determina la ecuación de la perpendicular común a ambas rectas. Dados los puntos A(1, -3, 1), B(2, 3, 1) y C(1, 3, -1), se pide: a) obtener la ecuación del plano que los contiene. b) Calcular la distancia del origen de coordenadas al plano. c) Determinar el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, C y el origen de coordenadas. Determina el conjunto de puntos que están a la misma a la misma distancia de los puntos P(-1,2,5) y Q(-3,4,1). Qué figura geométrica forman?. Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1,1,1) y B(0,2,0). Si el centro del paralelogramo es O(0,0,1), se pide: a) Las coordenadas de los otros dos vértices. b) Ecuación del plano que contiene al paralelogramo. c) área del paralelogramo. Encuentra la ecuación de la perpendicular común a las rectas: Halla el punto Q simétrico de P(2,0,1) respecto de la recta que pasa por el punto A(0,3,2) y es paralela a la recta s de ecuaciones: 14

15 Halla el volumen del paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo A(1,0,0), B(2,3,0), C(4,0,5) y E(7,6,3). Halla las coordenadas de los restantes vértices. Halla la ecuación de la recta r que pasa por P(1,2,3) y es paralela a la recta Determina la distancia entre r y s. Hallar a) la proyección ortogonal r 1, de la recta sobre el plano : x + y + z = 2. b) el ángulo que forman r y r 1. c) el ángulo que forman r y. Comparar los resultados obtenidos en b) y en c). Hallar el ángulo formado por la recta plano : x + 4y + z 6 = 0 y el Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de A(2, -4, 7) y B(0, 3, -1). Qué figura forman?. Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos de ecuaciones 3x 4y + 5 = 0 y 2x - 2y + z + 9 = 0. b) Qué puntos del eje OY equidistan de ambos planos?. Hallar el simétrico del punto B(5, 0, 9) respecto a la recta 15

16 Hallar la ecuación del plano que es perpendicular a : 5x y + z 1 = 0 y contiene a la recta Hallar la ecuación de un plano que pasa por el punto P(4, 0, -2) y es perpendicular a la recta. Calcular el punto de intersección. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto P(2, 0, -1) y corta perpendicularmente a Hallar la ecuación de una recta r que pasa por el punto P(1, -1, 1) y es paralela a los planos : 2x + y z = 0 ; : 3x + y 2z + 5 = 0 Hallar la ecuación general del plano determinado por los puntos: A(1, 1, 1) ; B(-2, 0, 1) y C(1, -2, 0). Calcular el volumen del tetraedro que limita con los ejes coordenados. Hallar las ecuaciones de una recta perpendicular al plano : 9x 4y + 2z = 1 pasando por el punto Q(-1, 1, 0). Calcular el punto de intersección de ambos. Hallar un punto de la recta que equidista del eje OX y del eje OY. Los puntos P(0,1,0) y Q(-1,1,1) son dos vértices de un triangulo y el tercero S pertenece a la recta La recta que contiene a P y a S es perpendicular a r. a) Determina las coordenadas de S. b) Calcula el área del triangulo PQS. 16

17 Los puntos P(4, -2, 3) y Q(0, 10, -5) son dos vértices opuestos de un cuadrado contenido en el plano x + y + z = 5. Determinar las coordenadas de los otros dos vértices. Los puntos P(1, -1, 1) y Q(3, -3, 3) son dos vértices opuestos de un cuadrado que está contenido en un plano perpendicular al plano de ecuación x + y = 0. a) Determinar los vértices restantes. b) Calcular la ecuación de la recta que pasa por los vértices calculados. c) Calcular el perímetro del cuadrado construido. Obtén las coordenadas del punto del plano de ecuación x z = 3 que esté más cerca del punto P(3,1,4), así como la distancia entre el punto P y el plano dado. Sea el plano : 2x y + z + 2 = 0 y la recta. Hallar el plano que pasa por A(3, 1, 0), es paralelo a la recta r y es perpendicular al plano. Sean A, B y C los puntos de la recta: que están en los planos coordenados x = 0, y = 0, y z = 0, respectivamente. a) Determinar razonadamente cuál de los tres puntos se encuentra entre los otros dos. b) Siendo D un punto exterior a la recta, indicar razonadamente cuál de los triángulos DAB, DAC o DBC tiene mayor área. Sean las rectas a) Comprobar que se cruzan. b) Hallar la mínima distancia entre ellas. c) Hallar la ecuación de la perpendicular común. Sean los puntos A(5, -1, 2), B(0, 2, -1) y C(2, 3, 0). Hallar la distancia de A a la recta BC. 17

18 Sean los puntos P(5,1,3) y Q(3,7,-1). Por el punto medio del segmento PQ trazamos el plano perpendicular a dicho segmento. Este plano corta a los ejes coordenados en los puntos A, B y C. a) Halla la ecuación del plano. B) Calcula el volumen del tetraedro de vértices O, A, B y C siendo O el origen de coordenadas. Se considera el tetraedro de vértices A(1, -1, 2) ; B(0, 3, 1) ; C(5, 0, -4) y D(2, 2, 0). Hallar: a) las longitudes de las aristas. b) El área de las caras. c) La mínima distancia entre las parejas de aristas que se cruzan. Cuántas hay?. d) El volumen del tetraedro. Un cubo de arista 2 está situado en el primer octante, con un vértice en el origen y apoyado en los ejes coordenados. Hallar la distancia entre: a) Dos aristas que se cruzan. b) Las diagonales de dos cara opuestas. c) una arista y una diagonal de una cara con la que se cruza. Un cubo tiene dos caras opuestas sobre los planos x + y 5z = 6 e x + y 5z = 13. Hallar su volumen. Una recta pasa por A(6, -2, 8) y por el origen. Otra recta esta determinada por B(0, -2, 4) y el vector v(2, -3, 4). Comprobar que se cruzan y hallar la distancia entre ellas. Una recta pasa por P(1, -2, 3) y Q(0, 1, -5). Otra recta pasa por A(4, -2, 0) y B(0, 1, -2). Hallar la ecuación de la perpendicular común a ambas, así como la distancia entre ellas y el ángulo que forman. Una recta r pasa por A(1, 6, 3) con vector director u(2, -1, 1). Otra recta s pasa por B(3, 3, 8) con vector director v(1, 0, 1). Hallar dos puntos P r y Q s tales que el vector PQ sea paralelo a w(1, 1, -1). 18

19 Superficie esférica. Calcula la ecuación de la superficie esférica de centro M(3,-1,2) y que pasa por el punto P(2,3,1). Calcula la ecuación de la superficie esférica de centro M(2,0,-3) y radio r = 4. Dada la superficie esférica de ecuación: 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 + 3x 4y 5z 9 = 0. a) Comprueba que el punto P(1,-1,2) pertenece a la superficie esférica. b) Calcula la ecuación del plano tangente a la superficie esférica en dicho punto. Dada la superficie esférica de ecuación: x 2 + y 2 + z 2 + 3x 4y 5z 9 = 0, Para qué valores de m el plano dado por la ecuación: x 2y + 3z + m = 0 es tangente a la misma?. Determina la posición relativa de cada uno de los planos: respecto de la superficie x 2 + y 2 + z 2 6x 4y + 2z 3 = 0 Halla el centro y el radio de la superficie esférica: 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 + 3x 4y + 5z + 1 = 0 Halla la ecuación de la superficie esférica de centro M(1,-2,3) y radio 5. Halla la intersección de la superficie esférica: x 2 + y 2 + z 2 2x 3y + 6z 2 = 0 y la recta del espacio expresada en paramétricas: 19

20 Halla las coordenadas del centro y la longitud del radio de las superficies: a) x 2 + y 2 + z 2 4x + 6y 3z 2 = 0 b) 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 2x + 8y 6z 5 = 0 20

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1) Sean las rectas EJERCICIOS DE GEOMETRÍA x 2y 6z 1 r : x y 0 x y 1 s: z 2 a a) Determinar la posición relativa de r y s según los valores de a. b) Calcular la distancia entre las rectas r y s cuando

Más detalles

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA 2003 (4) Ejercicio 1. Considera los vectores u = (1,1,1), v = (2,2,a) y w = (2,0,0), (a) [1'25 puntos] Halla los valores de a para que los vectores u, v y w sean

Más detalles

x-z = 0 x+y+2 = [2012] [EXT-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por

x-z = 0 x+y+2 = [2012] [EXT-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por x = 1+t 1. [014] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,) y B(1,-1,-) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y

Más detalles

x-z = 0 x+y+2 = [2012] [SEP-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por

x-z = 0 x+y+2 = [2012] [SEP-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por 1. [01] [SEP-B] Halla el punto simétrico del P(,1,-5) respecto de la recta r definida por x-z = 0 x+y+ = 0.. [01] [SEP-A] Sean los puntos A(0,0,1), B(1,0,-1), C(0,1,-) y D(1,,0). a) Halla la ecuación del

Más detalles

. Halla los valores de α en cada uno de los siguientes casos: a) (1 punto) u r, v

. Halla los valores de α en cada uno de los siguientes casos: a) (1 punto) u r, v EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (04-M;Jun-A-4) Considera la recta r que pasa por los puntos A (,0, ) y (,,0 ) a) ( punto) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por C (,,) b) (5 puntos)

Más detalles

EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA

EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (05-M4;Jun-B-4) Sea el plano π x + y z + 8 a) (5 puntos) Calcula el punto, P simétrico del punto (,,5 ) b) ( punto) Calcula la recta r, simétrica de la recta plano π P

Más detalles

Geometría. 2 (el " " representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.

Geometría. 2 (el   representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme. Geometría 1 (Junio-96 Dados los vectores a,b y c tales que a, b 1 y c 4 y a b c, calcular la siguiente suma de productos escalares: a b b c a c (Sol: -1 (Junio-96 Señalar si las siguientes afirmaciones

Más detalles

Matemáticas II. d) Perpendicular al plano π: 2x y + 3z 1 = 0, paralelo a la recta r : x 1 2 = y 3 = z 8

Matemáticas II. d) Perpendicular al plano π: 2x y + 3z 1 = 0, paralelo a la recta r : x 1 2 = y 3 = z 8 I.E.S. Juan Carlos I Ciempozuelos (Madrid) Matemáticas II * Geometría analítica en R 3 * 1. Determina cuáles de las siguientes ternas de puntos son puntos alineados. Encuentra la ecuación de la recta que

Más detalles

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1, 0, [1,5 puntos]

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1, 0, [1,5 puntos] Matemáticas II Pruebas de Acceso a la Universidad GEOMETRÍA Junio 94 1 Sin resolver el sistema, determina si la recta x y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia (x 1) (y ) 1 Razónalo

Más detalles

BLOQUE II. GEOMETRÍA.

BLOQUE II. GEOMETRÍA. BLOQUE II. GEOMETRÍA. PROBLEMAS SELECTIVIDAD (PAU) CANTABRIA 2000-204 I.E.S. LA MARINA. CURSO 204/205. MATEMÁTICAS II. Condidera el plano y la recta r dados por : ax + 2y 4z 23 = 0, r: 3 a) ( PUNTO) Halla

Más detalles

6 Propiedades métricas

6 Propiedades métricas 6 Propiedades métricas ACTIVIDADES INICIALES 6.I Dados los puntos P(, ) Q(, 5), la recta r :, calcula: a) d(p, Q) b) d(p, r) c) d(q, r) 6.II Se tienen las rectas r :, s : 4 t :. Halla: a) d(r, s) b) d(r,

Más detalles

TEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

TEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio Matemáticas II - 2º Bachillerato 1 TEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EJERCICIO 1 : Halla el volumen del tetraedro determinado por los ejes

Más detalles

hallar; a) Ecuación del plano que pasa por r y por (1, 3, 8) b) Distancia desde el origen al plano anterior

hallar; a) Ecuación del plano que pasa por r y por (1, 3, 8) b) Distancia desde el origen al plano anterior x 1 y 1. Distancia entre la recta = = z y el plano (x, y, z) = (0, 1, 0) + τ(, 5, 1) + λ(1, 0, ) 3 5. Distancia del punto (, 3, 5) a la recta x 1 z = y = x + z y 3. Distancia entre las rectas r = y = y

Más detalles

GEOMETRÍA. (x 1) 2 +(y 2) 2 =1. Razónalo. x y + z = 2. :3x 3z +1= 0 es doble de la distancia al plano π 2. : x + y 1= 0. Razónalo.

GEOMETRÍA. (x 1) 2 +(y 2) 2 =1. Razónalo. x y + z = 2. :3x 3z +1= 0 es doble de la distancia al plano π 2. : x + y 1= 0. Razónalo. GEOMETRÍA 1. (Junio, 1994) Sin resolver el sistema, determina si la recta x +3y +1= 0 es exterior, secante o tangente a la circunferencia (x 1) +(y ) =1. Razónalo.. (Junio, 1994) Dadas las ecuaciones de

Más detalles

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas

Colegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene

Más detalles

BLOQUE 2 : GEOMETRÍA

BLOQUE 2 : GEOMETRÍA BLOQUE 2 : GEOMETRÍA EJERCICIO 1 Dado el plano Л : x + 2y z = 2, el punto P( 2,3,2) perteneciente al plano Л y la recta r de ecuación:, a) Determina la posición relativa de r y Л. b) Calcula la ecuación

Más detalles

x-y+2 = 0 z = [2014] [JUN-A] Sea el plano que pasa por los puntos A(1,-1,1), B(2,3,2), C(3,1,0) y r la recta dada por r x-7 2 = y+6

x-y+2 = 0 z = [2014] [JUN-A] Sea el plano que pasa por los puntos A(1,-1,1), B(2,3,2), C(3,1,0) y r la recta dada por r x-7 2 = y+6 1. [014] [EXT-A] Sea el punto A(1,1,) y la recta de ecuación r a) Calcular el plano perpendicular a la recta r que pase por A. b) Calcular la distancia del punto A a la recta r. x-y+ = 0 z =.. [014] [EXT-B]

Más detalles

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 4 6 7 8 9 0 Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P(7,, ) y tiene la dirección del vector k. ACTIVIDADES x 7 y z Halla la ecuación continua

Más detalles

ejerciciosyexamenes.com GEOMETRIA

ejerciciosyexamenes.com GEOMETRIA GEOMETRIA 1.- Dado el vector AB= (2,-1,3) y el punto B(3,1,2) halla las coordenadas del punto A. Sol: A =(1,2,-1) 2.- Comprobar si los vectores AB y CD son equipolentes, siendo A(1,2,-1), B(0,3,1), C(1,1,1)

Más detalles

Problemas de exámenes de Geometría

Problemas de exámenes de Geometría 1 Problemas de exámenes de Geometría 1. Consideramos los planos π 1 : X = P+λ 1 u 1 +λ 2 u 2 y π 2 : X = Q+µ 1 v 1 +µ 2 v 2. Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? a) Si π 1 π 2 Ø, entonces

Más detalles

b) Halle el punto de corte del plano π con la recta que pasa por P y P.

b) Halle el punto de corte del plano π con la recta que pasa por P y P. GEOMETRÍA 1- Considere los puntos A(1,2,3) y O(0,0,0). a) Dé la ecuación de un plano π 1 que pase por A y O, y sea perpendicular a π 2 : 3x-5y+2z=11. b) Encuentre la distancia del punto medio de A y O

Más detalles

7. [2013] [JUN-A] a) Pueden existir vectores u y v tales que u = 2, v = 3 y u v = 8? Justifique la respuesta.

7. [2013] [JUN-A] a) Pueden existir vectores u y v tales que u = 2, v = 3 y u v = 8? Justifique la respuesta. 1. [014] [EXT-A] a) Determine el valor o valores de m, si existen, para que la recta r: mx+y = x+ mz = : x-y-z+6 = 0. b) Determine la distancia del punto P= (,1,1) a la recta r cuando m =. sea paralela

Más detalles

TEMAS 6 Y 7 GEOMETRÍA EN EL ESPACIO

TEMAS 6 Y 7 GEOMETRÍA EN EL ESPACIO Ejercicios Selectividad Temas 6 y 7 Geometría en el espacio Mate II 2º Bach. 1 TEMAS 6 Y 7 GEOMETRÍA EN EL ESPACIO EJERCICIO 1 : Julio 11-12. Optativa (3 ptos) Para los puntos A(1,0,2) y B(-1,2,4) y la

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Se consideran las rectas r x 2 = 0 x 2z = 1, s y + 3 = 0 y + z = 3 a) Estudiar la posición relativa de r y s. b) Hallar la mínima distancia entre ambas. Se pide: Sol: Se cruzan

Más detalles

= λ + 1 y el punto A(0, 7, 5)

= λ + 1 y el punto A(0, 7, 5) 94 GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO en las PAU de Asturias Dados los puntos A(1, 0, 1), B(l, 1, 1) y C(l, 6, a), se pide: a) hallar para qué valores del parámetro a están alineados b) hallar si existen

Más detalles

Tema 7 Rectas y planos en el espacio Matemáticas II - 2º Bachillerato 1

Tema 7 Rectas y planos en el espacio Matemáticas II - 2º Bachillerato 1 Tema 7 Rectas y planos en el espacio Matemáticas II - º Bachillerato 1 ÁNGULOS EJERCICIO 33 : Halla el ángulo que forma la recta y el plano π: x y + 4z 0. 3x y z + 1 0 r : x + y 3z 0 EJERCICIO 34 : En

Más detalles

TEMA 6. Geometría Analítica(1) Nombre CURSO: 1 BACH CCNN. Vectores (1) y E de los correspondientes extremos.

TEMA 6. Geometría Analítica(1) Nombre CURSO: 1 BACH CCNN. Vectores (1) y E de los correspondientes extremos. TEMA 6. Geometría Analítica(1) Nombre CURSO: 1 BACH CCNN Vectores (1) 1.- Sea el vector AB, en el que el punto A(3, 2) es el origen y B(5, 6) el extremo. a) Si cada uno de los puntos C(9, 3), D( 4,4) y

Más detalles

IES EL PILES SELECTIVIDAD OVIEDO DPTO. MATEMÁTICAS Geometría

IES EL PILES SELECTIVIDAD OVIEDO DPTO. MATEMÁTICAS Geometría P.A.U. de. (Oviedo). (junio 994) Dados los puntos A (,0, ), B (,, ), C (,6, a), se pide: i) hallar para qué valores del parámetro a están alineados, ii) hallar si existen valores de a para los cuales A,

Más detalles

Geometría 3. Ejercicio 2. Dados los puntos = ( 1, 0, 0 ),

Geometría 3. Ejercicio 2. Dados los puntos = ( 1, 0, 0 ), Geometría 3 Ejercicio. Sean los puntos P (,, ), Q (,, 3) R (,3,). ) Calcula el punto P que es la proección del punto P sobre la recta que determinan Q R ) Halla la ecuación del lugar geométrico de los

Más detalles

Geometría (Selectividad) 1. Dados los puntos A(1,3,5) y B(-2,4,1), hallar las coordenadas del punto C, perteneciente

Geometría (Selectividad) 1. Dados los puntos A(1,3,5) y B(-2,4,1), hallar las coordenadas del punto C, perteneciente Geometría (Selectividad) 1. Dados los puntos A(1,3,5) y B(-2,4,1), hallar las coordenadas del punto C, perteneciente al plano OXY de forma que A, B y C estén alineados. Sol: 2. Considera la recta de ecuaciones.

Más detalles

Junio Sept R R

Junio Sept R R Junio 010. Sept 010. R1-010. R - 010. Junio 009. Sept 009. R1-009. R - 009. Junio 008. Sept 008. R1-008. R - 008. Junio 007. Sept 007. R1-007. R - 007. Junio 006. Sept 006. R1-006. R - 006. Junio 005.

Más detalles

x = 1-2t 3. [2014] [EXT-B] Dados el plano y la recta r siguentes: 2x-y+2z+3 = 0, r z = 1+t

x = 1-2t 3. [2014] [EXT-B] Dados el plano y la recta r siguentes: 2x-y+2z+3 = 0, r z = 1+t . [04] [EXT-A] Dados los puntos A(,0,-), B(,-4,-), C(5,4,-) y D(0,,4) a) Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C. b) Calcular el volumen del tetraedro ABCD.. [04] [EXT-A] Dados los planos x-z-

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA I. VECTORES LIBRES 1. Dada la siguiente figura, calcula gráficamente los siguientes vectores: a. AB BI b. BC EF c. IH 2BC d. AB JF DC e. HG 2CJ 2CB 2. Estudia si las siguientes

Más detalles

Problemas Tema 9 Enunciados de problemas sobre geometría tridimensional

Problemas Tema 9 Enunciados de problemas sobre geometría tridimensional página 1/10 Problemas Tema 9 Enunciados de problemas sobre geometría tridimensional Hoja 1 1. Dada la recta r : { 4 x 3 y+4 z= 1 3 x 2 y+ z= 3 a) Calcular a para que la recta y el plano sean paralelos.

Más detalles

1. Escribir las ecuaciones paramétricas, reducida y continua de la recta que pasa por los puntos A(2,3,5) y B(-1,0,2).

1. Escribir las ecuaciones paramétricas, reducida y continua de la recta que pasa por los puntos A(2,3,5) y B(-1,0,2). 1. Escribir las ecuaciones paramétricas, reducida y continua de la recta que pasa por los puntos A(,3,5) y B(-1,0,).. Dados los puntos A(,3,-1) y B(-4,1,-), hallar las coordenadas de un punto C perteneciente

Más detalles

EJERCICIOS VOLUNTARIOS DE GEOMETRIA CON SOLUCIÓN. 2º BACHILLERATO

EJERCICIOS VOLUNTARIOS DE GEOMETRIA CON SOLUCIÓN. 2º BACHILLERATO EJERCICIOS VOLUNTARIOS DE GEOMETRIA CON SOLUCIÓN. 2º BACHILLERATO ESPACIO AFIN 1.Hallar la ecuación del plano que contenga al punto P(1, 1, 1) y sea paralelo a las rectas: r x 2y = 0 ; y 2z + 4 = 0; s

Más detalles

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO

GEOMETRÍA EN EL ESPACIO GEOMETRÍA EN EL ESPACIO 1. PUNTOS Y VECTORES OPERACIÓN TEORÍA Y FORMULACIÓN EJEMPLO Coordenadas de un punto Punto medio de un segmento Dividir un segmento en n partes iguales Coordenadas de un vector (

Más detalles

Profesor: Fernando Ureña Portero

Profesor: Fernando Ureña Portero Curso 13-14 1.-Los puntos A(1,3,1) y B(2,1,3) son vértices consecutivos de un cuadrado. Los otros dos vértices pertenecen a una recta r que pasa por el punto P(2,7,0). a) (3p) Hallar la ecuación de la

Más detalles

4. [ANDA] [JUN-B] Dados los puntos A(2,1,1) y B(0,0,1), halla los puntos C en el eje OX tales que el área del triángulo de vértices A, B y C es 2.

4. [ANDA] [JUN-B] Dados los puntos A(2,1,1) y B(0,0,1), halla los puntos C en el eje OX tales que el área del triángulo de vértices A, B y C es 2. Selectividad CCNN 008 x-z = -. [ANDA] [SEP-A] Sea la recta dada por y+z = a) Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta s y contiene a la recta r, dada por x- = -y+ = z-. b) Estudia la posición

Más detalles

sea paralela al plano

sea paralela al plano x = 1+2t 1. [ANDA] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,2) y B(1,-1,-2) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por

Más detalles

BLOQUE II : GEOMETRIA EN EL ESPACIO.

BLOQUE II : GEOMETRIA EN EL ESPACIO. MATEMÁTICAS : 2º Curso PROBLEMAS : Bloque II 1 BLOQUE II : GEOMETRIA EN EL ESPACIO. 1.- Sea ABCDA'B'C'D' un cubo.: a) Hállense las coordenadas del centro de la cara CDD'C' en el sistema de referencia R=

Más detalles

TEMA 6. ANALÍTICA DE LA RECTA

TEMA 6. ANALÍTICA DE LA RECTA TEMA 6. ANALÍTICA DE LA RECTA = 2 + 5t 1. Dadas las rectas r: = 4 3t cada una de ellas. = 1 + 9t y s: = 8 6t, indicar tres vectores directores y tres puntos de 2. Dada la recta 2x 3y + 8 = 0, encontrar

Más detalles

a) La ecuación del plano que pasa por el punto ( 1, 1, 0 ). (3 puntos) b) La ecuación del plano que es paralelo a la recta r.

a) La ecuación del plano que pasa por el punto ( 1, 1, 0 ). (3 puntos) b) La ecuación del plano que es paralelo a la recta r. PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. BLOQUE GEOMETRÍA 1. En el espacio se dan las rectas Obtener a) El valor de para el que las rectas r y s están contenidas en un plano. (4 puntos) b) La ecuación del plano que

Más detalles

RELACION DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/97.

RELACION DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/97. RELACION DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 996/97. º. - Explica cómo se puede hallar el área de un triángulo, a partir de sus coordenadas, en el espacio

Más detalles

EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA

EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (00-M-A-4) (5 puntos) Determina el centro y el radio de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en el semieje positivo de abscisas y es

Más detalles

ESPACIO AFÍN REAL TRIDIMENSIONAL. Sistema de referencia (E3, V3, f). Coordenadas cartesianas.

ESPACIO AFÍN REAL TRIDIMENSIONAL. Sistema de referencia (E3, V3, f). Coordenadas cartesianas. 1. Puntos y Vectores. ESPACIO AFÍN REAL TRIDIMENSIONAL Sistema de referencia (E3, V3, f). Coordenadas cartesianas. 2. Primeros resultados analíticos. Vector que une dos puntos. Punto medio de un segmento.

Más detalles

Geometría 2. Halla a y b sabiendo que la recta que pasa por A y B corta perpendicularmente a la recta que pasa por C y D.

Geometría 2. Halla a y b sabiendo que la recta que pasa por A y B corta perpendicularmente a la recta que pasa por C y D. Geometría Ejercicio. Considera el plano π la recta r dados por π a 4 b r. 4 4 a) Halla los valores de a b para los que r está contenida en π. b) Eiste algún valor de a algún valor de b para los que la

Más detalles

Matemáticas II Hoja 7: Problemas métricos

Matemáticas II Hoja 7: Problemas métricos Profesor: Miguel Ángel Baeza Alba (º Bachillerato) Matemáticas II Hoja 7: Problemas métricos Ejercicio : Se dan la recta r y el plano, mediante: x 4 y z x + y z 7 3 Obtener los puntos de la recta cuya

Más detalles

4 Vectores en el espacio

4 Vectores en el espacio 4 Vectores en el espacio ACTIVIDADES INICIALES 4.I. Efectúa las siguientes operaciones en R³ a) 1 + 1 5,, 4, 7, 2 2 3 b) 3 3 2, 1, c) 6(2, 3, 1) + 4(1, 5, 2) 4 4.II. Calcula los valores de a, b y c para

Más detalles

x = - y = 1+2 z = -2+2 y s:

x = - y = 1+2 z = -2+2 y s: 1. [ANDA] [EXT-A] Considera el plano de ecuación 2x+y+3z-6 = 0. a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano con los ejes coordenados. b) Calcula el volumen del tetraedro

Más detalles

PROFR.: JULIO C. JIMÉNEZ RAMÍREZ GRUPOS: TODOS LOS ALUMNOS IRREGULARES EPOEM No.16 TRUNO: VESPETINO

PROFR.: JULIO C. JIMÉNEZ RAMÍREZ GRUPOS: TODOS LOS ALUMNOS IRREGULARES EPOEM No.16 TRUNO: VESPETINO Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta Ecuación continua de la recta Pendiente Ecuación punto-pendiente de la recta Ecuación general de la recta Ecuación explícita de la recta

Más detalles

1. Distancia entre puntos y rectas en el espacio. 3. Calcula la distancia existente entre las rectas: Solución: d(r, s) =

1. Distancia entre puntos y rectas en el espacio. 3. Calcula la distancia existente entre las rectas: Solución: d(r, s) = 7 Espacio métrico. Distancia entre puntos y rectas en el espacio Piensa y calcula Dados los puntos A, 4, ) y B5,, 4), halla las coordenadas del vector: AB AB,5,) Aplica la teoría. Calcula la distancia

Más detalles

EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA

EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (00-M-A-4) (5 puntos) Determina el centro y el radio de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en el semieje positivo de abscisas y es

Más detalles

102 EJERCICIOS de RECTAS y PLANOS 2º BACH.

102 EJERCICIOS de RECTAS y PLANOS 2º BACH. 102 EJERCICIOS de RECTAS y PLANOS 2º BACH. NOTA: En los ejercicios de Geometría se recomienda comenzar, antes de nada, por: Imaginarse la situación; podemos ayudarnos, para ello, de bolígrafos (para representar

Más detalles

1. [2014] [EXT-B] a) Estudia, en función del valor del parámetro a, la posición relativa de los planos:

1. [2014] [EXT-B] a) Estudia, en función del valor del parámetro a, la posición relativa de los planos: 1. [014] [EXT-B] a) Estudia, en función del valor del parámetro a, la posición relativa de los planos: 1 x+y-z = ; x-y+az = -1 ; ax+y-z = 5 b) Calcula, en función del parámetro a, la distancia entre los

Más detalles

GEOMETRIA 1 + = c) 4. d) e) 1 = 2. f) = 3 = g) 2 1 = h) 1. 6)Consideramos la recta r de ecuación 2

GEOMETRIA 1 + = c) 4. d) e) 1 = 2. f) = 3 = g) 2 1 = h) 1. 6)Consideramos la recta r de ecuación 2 GEOMETRIA )Dados el punto A(l,-,) el vector v(,,-), escribe las ecuaciones paramétricas continua de la recta cua determinación lineal es (A,v). )Escribe las ecuaciones paramétricas continua de la recta

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 008 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio

Más detalles

58 EJERCICIOS de RECTAS y PLANOS 2º BACH.

58 EJERCICIOS de RECTAS y PLANOS 2º BACH. 58 EJERCICIOS de RECTAS y PLANOS 2º BACH. NOTA: En los ejercicios de Geometría se recomienda comenzar, antes de nada, por: Imaginarse la situación; podemos ayudarnos, para ello, de bolígrafos (para representar

Más detalles

GEOMETRÍA ANALÍTICA - Ejercicios de Selectividad

GEOMETRÍA ANALÍTICA - Ejercicios de Selectividad GEOMETRÍA ANALÍTICA - Ejercicios de Selectividad 1 Se sabe que los puntos A (1,0,-1), B (3,, 1) y C (-7, 1, 5) son los vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD. (a) Calcula las coordenadas del punto

Más detalles

RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES

RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES Actividades iniciales. Dada la recta del plano de ecuación x 6y + = 0, escríbela en forma continua, paramétrica, vectorial y explícita. La recta x 6y + = 0 pasa por el punto (0,

Más detalles

VECTORES EN EL ESPACIO

VECTORES EN EL ESPACIO VECTORES EN EL ESPACIO ACTIVIDADES 1 Dados los puntos del espacio: 7 Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los P(1, 1, ) siguientes puntos: A(1, 0, ), B(,, ) y C(, 1, ) 6 Q(,,) R(, 0, 1) S(,,

Más detalles

ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO

ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO Producto escalar Distancia 1 Sean los vectores x1, 5,, y 3, 4, 1, 6,3, 5 y w4, 6, 6 Halla los siguientes productos escalares: x y, x, ww y w Calcula la distancia entre los puntos

Más detalles

GEOMETRÍA (Selectividad 2016) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2016

GEOMETRÍA (Selectividad 2016) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2016 GEOMETRÍA (Selectividad 6) ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 6 Aragón, junio 6 ( puntos) a) ( punto) a) (,5 puntos) Si los vectores w y s verifican que w = s =,

Más detalles

TEMA 4. Vectores en el espacio Problemas Resueltos

TEMA 4. Vectores en el espacio Problemas Resueltos Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 4 5 Vectores TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas Resueltos Para a = (,, ) y b = (,, 4), halla: a) a b b) a b c)

Más detalles

TEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA.

TEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA. TEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA. SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO. Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto y tres vectores linealmente independientes. A partir de ahora

Más detalles

5 = z. 2. Hallar el valor de m para que los puntos A(3,m,1), B(1,1,-1) y C(-2,10,-4) pertenezcan a la misma recta.

5 = z. 2. Hallar el valor de m para que los puntos A(3,m,1), B(1,1,-1) y C(-2,10,-4) pertenezcan a la misma recta. . Expresar en forma paramétrica y reducida la recta x+ 3 = y- 5 = z -. Hallar el valor de m para que los puntos A(3,m,), B(,,-) y C(-,0,-4) pertenezcan a la misma recta. 3. Probar que todos los planos

Más detalles

Departamento de matemáticas

Departamento de matemáticas Geometría con solución Problema 1: Sea r y s las rectas dadas por: a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten. b) Para m = 1, hállese la ecuación del plano que contiene a r y s Problema 2:

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio

Más detalles

1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2)

1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2) 1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2) 2. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que es paralela a y=2x-3 y pasa por el punto (1,3). 3. Halla la ecuación de la recta

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 8 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,

Más detalles

GEOMETRIA EUCLIDEA. 3.-Determinar m para que el producto escalar de u=(m,5) y v=(2,-3) sea la unidad.

GEOMETRIA EUCLIDEA. 3.-Determinar m para que el producto escalar de u=(m,5) y v=(2,-3) sea la unidad. PRODUCTO ESCALAR GEOMETRIA EUCLIDEA 1.-Dados los vectores u,v y w tales que u*v=7 y u*w=8, calcular: u*(v+w); u*(2v+w); u*(v+2w) 2.-Sea {a,b} una base de vectores unitarios que forman un ángulo de 60.

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio

Más detalles

Unidad 7 Producto vectorial y mixto. Aplicaciones.

Unidad 7 Producto vectorial y mixto. Aplicaciones. Unidad 7 Producto vectorial y mixto. Aplicaciones. 5 SOLUCIONES 1. Al ser u v =(,5,11), se tiene que ( u v) w = ( 17,13, 9 ). Como v w =( 3,, 7), por tanto u ( v w) = ( 19,11, 5).. Se tiene que: 3. Queda:

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio

Más detalles

Espacio vectorial MATEMÁTICAS II 1

Espacio vectorial MATEMÁTICAS II 1 Espacio vectorial MATEMÁTICAS II 1 1 VECTORES EN EL ESPACIO. ESPACIO VECTORIAL V 3 1.1. VECTORES FIJOS Definición: Un vector fijo es un segmento orientado determinado por dos puntos. El primero de sus

Más detalles

023 calcula la ecuación general de los planos que contienen a dos de los ejes coordenados. Eje X y eje Y: Eje X y eje Z: Eje Y y eje Z:

023 calcula la ecuación general de los planos que contienen a dos de los ejes coordenados. Eje X y eje Y: Eje X y eje Z: Eje Y y eje Z: Solucionario 3 calcula la ecuación general de los planos que contienen a dos de los ejes coordenados. Eje X y eje Y: Eje X y eje Z: Eje Y y eje Z: x y z x y z x y z = z = = y = = x = Determina la posición

Más detalles

MATEMÁTICAS II TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas resueltos

MATEMÁTICAS II TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas resueltos Geometría del espacio: Vectores; producto escalar, vectorial y mixto Aplicaciones MATEMÁTICAS II TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas resueltos Vectores Para a = (,, ) y b = (,, 4), halla: a) a + b

Más detalles

Resuelve. Unidad 4. Vectores en el espacio. BACHILLERATO Matemáticas II. Diagonal de un ortoedro y volumen de un paralelepípedo.

Resuelve. Unidad 4. Vectores en el espacio. BACHILLERATO Matemáticas II. Diagonal de un ortoedro y volumen de un paralelepípedo. Resuelve Página Diagonal de un ortoedro y volumen de un paralelepípedo. Expresa la diagonal de un ortoedro en función de sus dimensiones, a, b y c. c b a c c b b a Diagonal = a + b + c. Calcula el volumen

Más detalles

TEMA 4. Vectores en el espacio Problemas Resueltos

TEMA 4. Vectores en el espacio Problemas Resueltos Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 4 5 Vectores TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas Resueltos Para a = (,, ) y b = (,, 4), halla: a) a + b b) a b

Más detalles

a) Como mucho puede haber 3 vectores linealmente independientes. 1 2 = 3 x = 1, y = 2 3 No tiene solución, luego no se puede.

a) Como mucho puede haber 3 vectores linealmente independientes. 1 2 = 3 x = 1, y = 2 3 No tiene solución, luego no se puede. Ejercicios y problemas propuestos Página Para practicar Dependencia e independencia lineal. Base y coordenadas Dados estos vectores: u(,, ), v (,, ), w (,, ), z (,, ) a) Cuántos de ellos son linealmente

Más detalles

ÁLGEBRA LINEAL II Práctica

ÁLGEBRA LINEAL II Práctica ÁLGEBRA LINEAL II Práctica 3.1-3.2 Geometría afín. (Curso 2016 2017) 1. En el espacio afín IR 3 se considera la referencia canónica R y la referencia R = {(1, 0, 1); (1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 0, 0)}. Denotamos

Más detalles

Ejercicio 8. a) Halla el punto C que es la proyección ortogonal del punto B = (2,1,1) sobre el plano

Ejercicio 8. a) Halla el punto C que es la proyección ortogonal del punto B = (2,1,1) sobre el plano Ejercicio 8. a) Halla el punto C que es la proección ortogonal del punto B (2,1,1) sobre el plano π : 2 x 2z 6 b) Halla el punto A que esté sobre el eje OX tal que el área del triángulo ABC valga 6. Cuántas

Más detalles

MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PAU ANDALUCÍA

MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PAU ANDALUCÍA 1 MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PAU ANDALUCÍA Ejercicio 1. (Junio 2006-A) Considera el plano π de ecuación 2x + y z + 2 = 0 y la recta r de ecuación x 5 z 6 = y =. 2 m (a) [1 punto] Halla la posición

Más detalles

2.- (Puntuación máxima 2 puntos). Para cada valor del parámetro real a, se consideran los tres planos siguientes:

2.- (Puntuación máxima 2 puntos). Para cada valor del parámetro real a, se consideran los tres planos siguientes: 1.- (Puntuación máxima 3 puntos). Se consideran las rectas: a) (1 punto) Calcular la distancia entre r y s. b) (1 punto) Hallar unas ecuaciones cartesianas de la recta perpendicular común a r y s y que

Más detalles

x+3y = 8 4y+z = 10 ; s: x 7 = y a-4 = z+6 5a-6 b) Para el valor del parámetro a = 4, determine, si es posible, el punto de corte de ambas rectas.

x+3y = 8 4y+z = 10 ; s: x 7 = y a-4 = z+6 5a-6 b) Para el valor del parámetro a = 4, determine, si es posible, el punto de corte de ambas rectas. [04] [EXT-A] a) Estudie la posición relativa de las rectas r y s en función del parámetro a: r: x+y = 8 4y+z = 0 ; s: x = y a-4 = z+ 5a- b) Para el valor del parámetro a = 4, determine, si es posible,

Más detalles

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector

EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es

Más detalles

Unidad 8. Geometría analítica. BACHILLERATO Matemáticas I

Unidad 8. Geometría analítica. BACHILLERATO Matemáticas I Unidad 8. Geometría analítica BACHILLERATO Matemáticas I Determina si los puntos A(, ), B (, ) y C (, ) están alineados. AB (, ) (, ) (, ) BC (, ) (, ) ( 8, ) Las coordenadas de AB y BC son proporcionales,

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 7 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,

Más detalles

Problemas métricos. Ángulo entre rectas y planos

Problemas métricos. Ángulo entre rectas y planos Problemas métricos Ángulo entre rectas y planos Ángulo entre dos rectas El ángulo que forman dos rectas es el ángulo agudo que determinan entre sí sus vectores directores. Dos rectas son perpendiculares

Más detalles

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2000 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO

PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2000 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2000 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 3, Opción B Reserva 1, Ejercicio 3, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 2,

Más detalles

, 2 x+y+z = 2, = z 5 y s: 4x-2y+z = 0. ( ) ( ) y dado el punto P(0,3,-1) exterior a, obtener las ecuaciones en

, 2 x+y+z = 2, = z 5 y s: 4x-2y+z = 0. ( ) ( ) y dado el punto P(0,3,-1) exterior a, obtener las ecuaciones en x+y-z = 0 1. [2014] [EXT-A] Sea P el punto de coordenadas P(1,0,1) y r la recta de ecuación r x-2z = 1. a) Hallar la ecuación en forma continua de una recta que pase por el punto P y sea paralela a la

Más detalles

SELECTIVIDAD ESPACIO AFÍN

SELECTIVIDAD ESPACIO AFÍN SELECTIVIDAD ESPACIO AFÍN Junio 2008: Se considera el plano π x + ay + 2az = 4 y la recta r x + y + 2z = 2 x + 2y z = 3 a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos.

Más detalles

Problemas de vectores

Problemas de vectores Problemas de vectores 1.- Expresa el vector mm = (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores: uu = (1, 0, 1), vv = (1, 1, 0) y ww = (0, 1, 1). 2.- Siendo uu = (1, 0, 1), vv = (1, 1, 0) y ww = (0,

Más detalles