Espacios vectoriales. Vectores del espacio.
|
|
- Esteban Ortega Serrano
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Espacios vectoriales. Vectores del espacio. Consideremos un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo A(1,1,1), B(2,1,1), C(2,4,1) y E(1,2,7). Halla: a) el área de una de las bases; b) el volumen del paralelepípedo; c) la distancia entre las bases. PAU. Dada la base formada por los vectores:, comprueba si es ortogonal y orto normal. PAU. y Dados los puntos A(-4,1,0), B(2,-5,3), C(5,1,1) y D(x,y,z), calcula x,y z para que los vectores AB y CD sean equipolentes. Dados los vectores de R 3 v 1 = (1,1,0), v 2 = (0,1,2), v 3 = (3,2,-2) a) Comprueba que no forman base. b) Expresa uno de ellos como combinación lineal de los otros dos. c) obtén un vector u que, con v 1 y v 2, forme una base de R 3. Dados los vectores de R 3 : (1,0,1), (1,1,0) y (1,1,1) a) Demuestra que forman una base, b) Halla las coordenadas de los vectores de la base canónica respecto de esta base. Dados los vectores libres de V 3 : u = (1,2,5) y v = (1,1,4) : a) Si AB = u v y A(1,1,1), cuál es el extremo B?. b) Qué componentes tiene el vector 2u + v?. c) Qué componentes tiene el vector 3u 2v?. Dados los vectores u = (3,2,1) y v = (1,2,-1), obtén: a) Modulo de u y de v; b)producto vectorial de u y v ; c) vector unitario ortogonal a u y v ; d) área del paralelogramo de lados u y v. Dados los vectores u, v y w tales que, = 3, = 1, = 4 y u + v + w = 0, calcula: u v + v w + u w PAU. 1
2 Dados los vértices A(0,1,3), B(1,0,2) y C(1,0,1) de un triangulo, obtén: a) la clase de triangulo, b) su perímetro, c) sus ángulos, d) el área. Dos vectores unitarios u y v forman un ángulo de 60º. Hallar: a) su producto escalar. b) el vector proyección ortogonal de v sobre u. c) el vector proyección ortogonal de u sobre v. Determina los valores de a para los cuales los vectores de R 3 : (-1, a, a), (a,a,-1) y (a,-1,a) no formen una base y obtén la relación de independencia entre dichos vectores. El vector u = (a,1,b) es perpendicular a los vectores v = (2,1,0) y w = (0,1,-1), cuánto valen a y b?. Calcular el valor de m para que los vectores u = (1,-1,m) y v = (-2,m,m) sean perpendiculares. Encuentra él numero de vectores linealmente independientes que hay en el conjunto de vectores S = { (1,1,1), (0,2,1), (2,0,-3), (-1,1,2) } y contesta: a) Un vector tiene sus tres componentes iguales y distintas de cero, puede escribirse como combinación lineal de los dos primeros vectores de S?. b) Determina un vector que, teniendo sus dos primeras componentes igual a 1, se pueda poner como combinación lineal de los vectores segundo y tercero de S. PAU. En el espacio vectorial R 3 se consideran los vectores u = (1,2,-1), v = (1,-1,1) y w = (2,5a,3a) donde a es un parámetro real. Se pide: a) Determina el valor numérico que debe de tomar el parámetro a para que los vectores u, v y w sean linealmente independientes. b) Determina el valor numérico para el parámetro a de forma que los vectores. c) u, v y w sean linealmente dependientes. PAU. En R 3 determina el valor de a para que los vectores x = (3,0,a), y = (-1,2,1) y z = (2,-1,2) sean linealmente dependientes. Hallar, si existe, el valor de, para que los vectores u y v sean colineales, en los casos: a) u( -1, +6, 3), v(, 8, 12) b) u(5, -2, ), v(10, -1, 7) 2
3 Obtén el producto mixto {u,v,w} sabiendo que u = (1,2,1), v = (-1,0,1) y w es perpendicular a u y v, siendo su modulo 2. Prueba que los vectores (2,3,4), (1,1,1) y (1,2,3) son dependientes en R 3. Puede haber dos vectores u y v tales que u v = -3, u = 1 y v = 2?. Qué se puede decir del ángulo de dos vectores que verifican que u v = u v?. Justifica la respuesta. PAU. Qué ángulo forman los vectores u y v sabiendo que u v = 12, = 2 y = 3?. Cuál es el ángulo si u v = - 6?. Sean los vectores u(2, -1, 6) y v(-1, 5, a). Hallar el valor de a para que: a) u y v sean perpendiculares. b) = 6, cuántos valores hay?. c) El producto escalar u v valga 1. Sean los vectores u(1, 2, 2) y v(-1, 3, -2). Hallar: a). b) Un vector u unitario con la misma dirección y sentido que u. c) La proyección ortogonal de v sobre u. Sean los vectores u(3, 5, 6) y v(-2, 1, 9), hallar: a) el vector u x v, b) el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores u, v y u x v. Sean u, v y w tres vectores linealmente independientes. Indica cual o cuales de los siguientes productos mixtos valen cero: a) {u + w, v, u + v} ; b) {u v, v w, w u} ; c) {u + w, u w, u + v + w} PAU. 3
4 Sean u, v, y w tres vectores cuyas componentes en una base cartesiana directa son: u (-2, 1, 3), v(0, 1, 7) y w(3, -4, 6). Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores a) u, v y w. b) v, u y w. c) u, v y v. Cómo se interpretan los resultados obtenidos en a), b) y c) Sean u, v y w vectores de componentes u(-2, 5, 3), v(6, -4, 0) y w(2, 7, -1), hallar, expresados en componentes, los vectores: a) u 2v + w ; b) 2u 3 (v + w) ; c) u + 2v 3w ; d) (1/2) u 2v ; e) 5u 3v + w ; f) u 2v + 3w Con los mismos vectores, calcular: a) sus módulos, b) el ángulo de los vectores u y v, u y w, v y w. Si (u + v) (u + v) = 36 y (u v) (u v) = 9, Cuál es el producto u v?. 4
5 Rectas y planos. Ecuaciones. Calcula razonadamente el valor de a para que los siguientes cuatro puntos estén en un mismo plano del espacio euclídeo: (a,1,2), (2,1,0), (2,3,1) y (5,1,3). Halla también de una manera razonada, la ecuación del plano que los contiene. Calcular la ecuación del plano que contiene a la recta definida por el punto (1, 1, 1) y el vector (0, -5, 3) y que pasa por el punto P(1, 0, -5). Comprueba si los puntos A(-1,0,1), B(1,-2,1), C(2,-3,-2) y D( 3,1,2) pertenecen al mismo plano. Dada la recta en paramétricas halla: a) Otra ecuación en forma paramétrica, b) una ecuación en forma continua, c) una de sus expresiones implícitas. Dado el tetraedro de vértices A(-1,2,5), B(2,1,6), C(4,1,7) y D(-1,5,6), halla las ecuaciones de los planos que contienen a cada una de sus caras. Determina los valores de m para que los puntos A(m,2,-3), B(2,m,1) y C(5,3,-2) estén alineados y las ecuaciones de la recta que los contiene. Expresa en forma continua las ecuaciones de las rectas que forman las aristas del tetraedro irregular de vértices: A(4,0,0), B(0,3,0), C(0,0,6) y O(0,0,0). Expresa la ecuación de la recta r que pasa por el punto A(-1,0,2) y tiene como vector dirección v = (-2,2,1) : a) En forma vectorial, b) en forma paramétrica, c) en forma continua, d) en forma implícita o cartesiana. 5
6 Expresa la ecuación de la recta r que pasa por los puntos A(1,3,-1) y B(0,-2,3) en forma de: a) vectorial, b) paramétrica, c) continua, d) cartesiana. Halla la ecuación del plano determinado por la recta de ecuación: y un punto A(2,-3,1) exterior a ella. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto P(2,-1,0) y cuyo vector normal es n = (1,-3,2). Halla la ecuación del plano que pasa por el punto A(1,0,1) y contiene a la recta dada por Halla la ecuación en todas sus formas posibles del plano que pasa por el punto A(1,1,0) y tiene como vectores directores: u = (2,-1,2) y v(1,-1,2). Halla la ecuación del plano determinado por la recta de ecuación: y un punto A(2,-3,1) exterior a ella. Halla las coordenadas del punto común al plano de ecuación 2x + 3y z = 0 y a la recta determinada por el punto A(2,-1,3) y el vector u = (-2,3,1). Hallar la ecuación de un plano paralelo a : 5x y + 3z 1 = 0 que pase por el punto Q(-12, 1, 4). Hallar la ecuación general del plano que: a) Pasa por el punto A(2, 3, -4) y es paralelo a los vectores u(1, -2, 1) y v(3, -2, 0). b) Pasa por los puntos A(-1, 1, 2), B(0, 5, 9) y C(-3, 1, 6). c) Pasa por el punto P(3, 3, -2) y contiene a la recta r de. d) Pasa por P(-2, 1, 0) y es perpendicular al vector 6
7 Hallar las ecuaciones de las caras y de las aristas del cubo de arista la unidad. Hallar las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por el punto P(3, 2, 1) y contiene a la recta x = y = z + 6 La ecuación en forma continua de una recta es:. Determina a) su vector dirección, b) su ecuación en forma paramétrica, c) Un punto P cualquiera de ella cuya segunda coordenada sea 5. Para que los puntos A(2,2,2), B(2,0,2), C(2,2,0) y D(a,b,c) sean coplanarios, qué valores deben de tomar a,b y c?. Para que los puntos A(m,n,0), B(1,-1,3), C(-1,1,2) y D(1,-2,3) pertenezcan a un mismo plano, qué valores deben tomar m y n?. Sabiendo que un plano corta a los ejes coordenados en los puntos A(-2,0,0), B(0,3,0) y C(0,0,4), halla su ecuación en forma segmentaria. Sea el plano de ecuación 3x 2y + 4z 7 = 0. Halla las distancias al origen de los puntos en los que el citado plano corta a los ejes coordenados. Sea el triángulo de vértices A(1, 0, 1) ; B(1, 1, 0) ; C(0, 1, 1). Hallar las ecuaciones de los tres lados y la ecuación del plano que determinan. Se consideran cinco puntos cuyas coordenadas son: P 1 (1, -1, 2) ; P 2 (-2, 2, 3) ; P 3 (-3, 3, 3) ; P 4 (-3, 3, 0) ; P 5 (-3, 4, 3). Contesta de forma razonada a la siguiente pregunta: forman parte de un mismo plano?. Una recta r pasa por A(5, -5, 7) y por el origen. Hallar las ecuaciones de una recta paralela a ella por el punto P(1, 1, -1). 7
8 8
9 Rectas y planos. Posiciones relativas. Considera la recta Determinar a para que el plano, de ecuación 2x + y + az = b sea paralelo a r. Determinar para que valor de b, la recta está contenida en el plano. Considera las rectas a) determinar m para que las rectas se corten. b) Hallar el punto de corte. Dada la recta y el plano : x + y + z = 0, hallar un plano que contenga la recta r y corte al plano en una recta paralela al plano OXY. Dadas las rectas posición relativa estudia su PAU). Dados los planos: Determina los valores de a para los cuales: a) los planos se cortan en un solo punto, b) se cortan en una recta. Dados los planos 1 : 3x + 4y + 5z = 0, 2 : 2x + y + z = 0 y el punto A(-1,2,1) halla el plano que pasa por A y por la recta intersección de 1 y 2. Deduce una ecuación para el plano 1 que es perpendicular a los planos 2 : 2x + 3y + z = 1 y 3 : 6x + 3y + 2z = 3 y que pasa por el punto A(4,1,2). 9
10 Discutir, según los valores de m, la posición relativa de los planos, indicando las figuras geométricas que determinan: Encontrar la ecuación del plano que contiene a los puntos P(1, 2, 1) y Q(1, 2, 3) y al punto S, intersección de la recta r y el plano, cuyas ecuaciones son: Encontrar la recta que pasa por el punto (1, 0, -1) y corta a las rectas L 1 y L 2 : : Estudia en función de los valores de a la posición relativa de las rectas: Estudia la posición relativa de las rectas: y halla la ecuación del plano que las contenga. PAU). Estudia, según los valores de k, la posición relativa de los planos: Estudiar la posición relativa de la recta con respecto a cada uno de los ejes coordenados. Hallar, en su caso, los puntos de corte. 10
11 Estudiar la posición relativa de las rectas r y s, según los valores de b: Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas. Hallar, en su caso, el punto de intersección. Halla la ecuación continua de la proyección ortogonal de la recta r : (x,y,z) = (2,1,1) + t(-1,0,2) sobre el plano : 2x + y z = 0 Halla la recta que pasa por el punto P(1,2,1) y corta perpendicularmente a la recta: Hallar la ecuación de una recta que pasa por P(0, 0, 2) y corta a las rectas Nos dan la recta r determinada por los puntos A(1, 1, 1) y B(3, 1, 2), y la recta a) Averiguar su posición relativa. b) Si existe, hallar la ecuación general del plano que las contiene. Responde a las siguientes cuestiones: a) Estudia si la recta y el plano : x + y + z = 4 son o no paralelos. b) Encuentra la ecuación general del plano que contiene a r y es perpendicular a. Hallar la posición relativa de la recta. En su caso hallar el punto de corte. y el plano 11
12 Sabemos que las siguientes rectas se cortan en un punto. Calcula el valor de m y el punto de corte. Se consideran las rectas r y s dadas por: encuentra la ecuación del plano que contiene a la recta r y al punto de intersección de s con el plano : x 3y 2z + 7 = 0 Se consideran las rectas: Prueba que para ningún valor de a, las rectas r y s pueden ser paralelas y averigua el único valor para el que se cortan. Para este valor de a se pide: a) Calcula el punto de intersección de r y s y la ecuación del plano que las contiene, b) Determina la ecuación de la recta I que está contenida en y es perpendicular a r en el punto P. Escribe la ecuación de otras rectas que sean perpendiculares a r por el punto P. Se sabe que la recta r: (x,y,z) = (-1,b,0) + t(2,-10,1) y el plano : 2x + ay + z = 2 se cortan perpendicularmente y que la recta pasa por el punto (-1,1,-1). Calcula a y b y el punto de corte. 12
13 Problemas métricos en el espacio. Calcula el punto R de la recta s dada por: que equidiste de los puntos P(1,0,-1) y Q(2,1,1). Halla el área del triangulo determinado por los puntos P, Q y R. Calcula la ecuación de la recta r que pasa por P(-1,2,3) y Q(3,5,0). Halla los puntos de r cuya distancia al punto C(-1,0,1) es de 12 unidades Calcular la distancia del punto P(1, 3, 2) a la recta: Considera el punto P(-1,2,1). a) Determina el punto Q del plano : - 3x + y + z + 5 = 0, de forma que el vector PQ sea perpendicular al plano. b) Determina el punto M de la recta forma que el vector MP sea paralelo al plano. c) Calcula el área del triangulo MPQ. de Considera la recta a) De todos los planos que se pueden representar por una ecuación de la forma 5x + my 2z + 1 = 0, prueba que hay uno solamente que es paralelo a r. b) Comprueba si el plano obtenido contiene o no a la recta r, y en caso negativo, determina el plano 1 que es paralelo a y contiene a r, así como la distancia entre r y. c) Obtén la ecuación de la recta contenida en 1 que sea perpendicular a r. Cuántas hay?. Considera las rectas Comprueba que los puntos O(0,0,0) y A(1,1,1) pertenecen a r, y que los puntos B(0,5,0) y C(10,5,0) pertenecen a r. Obtén la distancia entre esas dos rectas. 13
14 Dada la recta, se pide: a) Ecuación de la recta s que pasa por el punto P(2,-1,0) y corta perpendicularmente a r. b) Punto de intersección de r y s y punto simétrico de P respecto de r. c) Una recta paralela a s que cruce con r. PAU). Dadas las rectas Halla los puntos de ambas rectas que están a una distancia mínima y determina la ecuación de la perpendicular común a ambas rectas. Dados los puntos A(1, -3, 1), B(2, 3, 1) y C(1, 3, -1), se pide: a) obtener la ecuación del plano que los contiene. b) Calcular la distancia del origen de coordenadas al plano. c) Determinar el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, C y el origen de coordenadas. Determina el conjunto de puntos que están a la misma a la misma distancia de los puntos P(-1,2,5) y Q(-3,4,1). Qué figura geométrica forman?. Dos vértices consecutivos de un paralelogramo son A(1,1,1) y B(0,2,0). Si el centro del paralelogramo es O(0,0,1), se pide: a) Las coordenadas de los otros dos vértices. b) Ecuación del plano que contiene al paralelogramo. c) área del paralelogramo. Encuentra la ecuación de la perpendicular común a las rectas: Halla el punto Q simétrico de P(2,0,1) respecto de la recta que pasa por el punto A(0,3,2) y es paralela a la recta s de ecuaciones: 14
15 Halla el volumen del paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo A(1,0,0), B(2,3,0), C(4,0,5) y E(7,6,3). Halla las coordenadas de los restantes vértices. Halla la ecuación de la recta r que pasa por P(1,2,3) y es paralela a la recta Determina la distancia entre r y s. Hallar a) la proyección ortogonal r 1, de la recta sobre el plano : x + y + z = 2. b) el ángulo que forman r y r 1. c) el ángulo que forman r y. Comparar los resultados obtenidos en b) y en c). Hallar el ángulo formado por la recta plano : x + 4y + z 6 = 0 y el Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de A(2, -4, 7) y B(0, 3, -1). Qué figura forman?. Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los planos de ecuaciones 3x 4y + 5 = 0 y 2x - 2y + z + 9 = 0. b) Qué puntos del eje OY equidistan de ambos planos?. Hallar el simétrico del punto B(5, 0, 9) respecto a la recta 15
16 Hallar la ecuación del plano que es perpendicular a : 5x y + z 1 = 0 y contiene a la recta Hallar la ecuación de un plano que pasa por el punto P(4, 0, -2) y es perpendicular a la recta. Calcular el punto de intersección. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto P(2, 0, -1) y corta perpendicularmente a Hallar la ecuación de una recta r que pasa por el punto P(1, -1, 1) y es paralela a los planos : 2x + y z = 0 ; : 3x + y 2z + 5 = 0 Hallar la ecuación general del plano determinado por los puntos: A(1, 1, 1) ; B(-2, 0, 1) y C(1, -2, 0). Calcular el volumen del tetraedro que limita con los ejes coordenados. Hallar las ecuaciones de una recta perpendicular al plano : 9x 4y + 2z = 1 pasando por el punto Q(-1, 1, 0). Calcular el punto de intersección de ambos. Hallar un punto de la recta que equidista del eje OX y del eje OY. Los puntos P(0,1,0) y Q(-1,1,1) son dos vértices de un triangulo y el tercero S pertenece a la recta La recta que contiene a P y a S es perpendicular a r. a) Determina las coordenadas de S. b) Calcula el área del triangulo PQS. 16
17 Los puntos P(4, -2, 3) y Q(0, 10, -5) son dos vértices opuestos de un cuadrado contenido en el plano x + y + z = 5. Determinar las coordenadas de los otros dos vértices. Los puntos P(1, -1, 1) y Q(3, -3, 3) son dos vértices opuestos de un cuadrado que está contenido en un plano perpendicular al plano de ecuación x + y = 0. a) Determinar los vértices restantes. b) Calcular la ecuación de la recta que pasa por los vértices calculados. c) Calcular el perímetro del cuadrado construido. Obtén las coordenadas del punto del plano de ecuación x z = 3 que esté más cerca del punto P(3,1,4), así como la distancia entre el punto P y el plano dado. Sea el plano : 2x y + z + 2 = 0 y la recta. Hallar el plano que pasa por A(3, 1, 0), es paralelo a la recta r y es perpendicular al plano. Sean A, B y C los puntos de la recta: que están en los planos coordenados x = 0, y = 0, y z = 0, respectivamente. a) Determinar razonadamente cuál de los tres puntos se encuentra entre los otros dos. b) Siendo D un punto exterior a la recta, indicar razonadamente cuál de los triángulos DAB, DAC o DBC tiene mayor área. Sean las rectas a) Comprobar que se cruzan. b) Hallar la mínima distancia entre ellas. c) Hallar la ecuación de la perpendicular común. Sean los puntos A(5, -1, 2), B(0, 2, -1) y C(2, 3, 0). Hallar la distancia de A a la recta BC. 17
18 Sean los puntos P(5,1,3) y Q(3,7,-1). Por el punto medio del segmento PQ trazamos el plano perpendicular a dicho segmento. Este plano corta a los ejes coordenados en los puntos A, B y C. a) Halla la ecuación del plano. B) Calcula el volumen del tetraedro de vértices O, A, B y C siendo O el origen de coordenadas. Se considera el tetraedro de vértices A(1, -1, 2) ; B(0, 3, 1) ; C(5, 0, -4) y D(2, 2, 0). Hallar: a) las longitudes de las aristas. b) El área de las caras. c) La mínima distancia entre las parejas de aristas que se cruzan. Cuántas hay?. d) El volumen del tetraedro. Un cubo de arista 2 está situado en el primer octante, con un vértice en el origen y apoyado en los ejes coordenados. Hallar la distancia entre: a) Dos aristas que se cruzan. b) Las diagonales de dos cara opuestas. c) una arista y una diagonal de una cara con la que se cruza. Un cubo tiene dos caras opuestas sobre los planos x + y 5z = 6 e x + y 5z = 13. Hallar su volumen. Una recta pasa por A(6, -2, 8) y por el origen. Otra recta esta determinada por B(0, -2, 4) y el vector v(2, -3, 4). Comprobar que se cruzan y hallar la distancia entre ellas. Una recta pasa por P(1, -2, 3) y Q(0, 1, -5). Otra recta pasa por A(4, -2, 0) y B(0, 1, -2). Hallar la ecuación de la perpendicular común a ambas, así como la distancia entre ellas y el ángulo que forman. Una recta r pasa por A(1, 6, 3) con vector director u(2, -1, 1). Otra recta s pasa por B(3, 3, 8) con vector director v(1, 0, 1). Hallar dos puntos P r y Q s tales que el vector PQ sea paralelo a w(1, 1, -1). 18
19 Superficie esférica. Calcula la ecuación de la superficie esférica de centro M(3,-1,2) y que pasa por el punto P(2,3,1). Calcula la ecuación de la superficie esférica de centro M(2,0,-3) y radio r = 4. Dada la superficie esférica de ecuación: 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 + 3x 4y 5z 9 = 0. a) Comprueba que el punto P(1,-1,2) pertenece a la superficie esférica. b) Calcula la ecuación del plano tangente a la superficie esférica en dicho punto. Dada la superficie esférica de ecuación: x 2 + y 2 + z 2 + 3x 4y 5z 9 = 0, Para qué valores de m el plano dado por la ecuación: x 2y + 3z + m = 0 es tangente a la misma?. Determina la posición relativa de cada uno de los planos: respecto de la superficie x 2 + y 2 + z 2 6x 4y + 2z 3 = 0 Halla el centro y el radio de la superficie esférica: 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 + 3x 4y + 5z + 1 = 0 Halla la ecuación de la superficie esférica de centro M(1,-2,3) y radio 5. Halla la intersección de la superficie esférica: x 2 + y 2 + z 2 2x 3y + 6z 2 = 0 y la recta del espacio expresada en paramétricas: 19
20 Halla las coordenadas del centro y la longitud del radio de las superficies: a) x 2 + y 2 + z 2 4x + 6y 3z 2 = 0 b) 2x 2 + 2y 2 + 2z 2 2x + 8y 6z 5 = 0 20
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA
1) Sean las rectas EJERCICIOS DE GEOMETRÍA x 2y 6z 1 r : x y 0 x y 1 s: z 2 a a) Determinar la posición relativa de r y s según los valores de a. b) Calcular la distancia entre las rectas r y s cuando
Más detallesEJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA
EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD DE GEOMETRIA 2003 (4) Ejercicio 1. Considera los vectores u = (1,1,1), v = (2,2,a) y w = (2,0,0), (a) [1'25 puntos] Halla los valores de a para que los vectores u, v y w sean
Más detallesx-z = 0 x+y+2 = [2012] [EXT-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por
x = 1+t 1. [014] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,) y B(1,-1,-) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y
Más detallesx-z = 0 x+y+2 = [2012] [SEP-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por
1. [01] [SEP-B] Halla el punto simétrico del P(,1,-5) respecto de la recta r definida por x-z = 0 x+y+ = 0.. [01] [SEP-A] Sean los puntos A(0,0,1), B(1,0,-1), C(0,1,-) y D(1,,0). a) Halla la ecuación del
Más detalles. Halla los valores de α en cada uno de los siguientes casos: a) (1 punto) u r, v
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (04-M;Jun-A-4) Considera la recta r que pasa por los puntos A (,0, ) y (,,0 ) a) ( punto) Halla la ecuación de la recta s paralela a r que pasa por C (,,) b) (5 puntos)
Más detallesEJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (05-M4;Jun-B-4) Sea el plano π x + y z + 8 a) (5 puntos) Calcula el punto, P simétrico del punto (,,5 ) b) ( punto) Calcula la recta r, simétrica de la recta plano π P
Más detallesGeometría. 2 (el " " representa el producto vectorial)? En caso afirmativo, justifíquese. En caso contrario, póngase un ejemplo que lo confirme.
Geometría 1 (Junio-96 Dados los vectores a,b y c tales que a, b 1 y c 4 y a b c, calcular la siguiente suma de productos escalares: a b b c a c (Sol: -1 (Junio-96 Señalar si las siguientes afirmaciones
Más detallesMatemáticas II. d) Perpendicular al plano π: 2x y + 3z 1 = 0, paralelo a la recta r : x 1 2 = y 3 = z 8
I.E.S. Juan Carlos I Ciempozuelos (Madrid) Matemáticas II * Geometría analítica en R 3 * 1. Determina cuáles de las siguientes ternas de puntos son puntos alineados. Encuentra la ecuación de la recta que
Más detallesGEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1, 0, [1,5 puntos]
Matemáticas II Pruebas de Acceso a la Universidad GEOMETRÍA Junio 94 1 Sin resolver el sistema, determina si la recta x y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia (x 1) (y ) 1 Razónalo
Más detallesBLOQUE II. GEOMETRÍA.
BLOQUE II. GEOMETRÍA. PROBLEMAS SELECTIVIDAD (PAU) CANTABRIA 2000-204 I.E.S. LA MARINA. CURSO 204/205. MATEMÁTICAS II. Condidera el plano y la recta r dados por : ax + 2y 4z 23 = 0, r: 3 a) ( PUNTO) Halla
Más detalles6 Propiedades métricas
6 Propiedades métricas ACTIVIDADES INICIALES 6.I Dados los puntos P(, ) Q(, 5), la recta r :, calcula: a) d(p, Q) b) d(p, r) c) d(q, r) 6.II Se tienen las rectas r :, s : 4 t :. Halla: a) d(r, s) b) d(r,
Más detallesTEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio Matemáticas II - 2º Bachillerato 1 TEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EJERCICIO 1 : Halla el volumen del tetraedro determinado por los ejes
Más detalleshallar; a) Ecuación del plano que pasa por r y por (1, 3, 8) b) Distancia desde el origen al plano anterior
x 1 y 1. Distancia entre la recta = = z y el plano (x, y, z) = (0, 1, 0) + τ(, 5, 1) + λ(1, 0, ) 3 5. Distancia del punto (, 3, 5) a la recta x 1 z = y = x + z y 3. Distancia entre las rectas r = y = y
Más detallesGEOMETRÍA. (x 1) 2 +(y 2) 2 =1. Razónalo. x y + z = 2. :3x 3z +1= 0 es doble de la distancia al plano π 2. : x + y 1= 0. Razónalo.
GEOMETRÍA 1. (Junio, 1994) Sin resolver el sistema, determina si la recta x +3y +1= 0 es exterior, secante o tangente a la circunferencia (x 1) +(y ) =1. Razónalo.. (Junio, 1994) Dadas las ecuaciones de
Más detallesColegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene
Más detallesBLOQUE 2 : GEOMETRÍA
BLOQUE 2 : GEOMETRÍA EJERCICIO 1 Dado el plano Л : x + 2y z = 2, el punto P( 2,3,2) perteneciente al plano Л y la recta r de ecuación:, a) Determina la posición relativa de r y Л. b) Calcula la ecuación
Más detallesx-y+2 = 0 z = [2014] [JUN-A] Sea el plano que pasa por los puntos A(1,-1,1), B(2,3,2), C(3,1,0) y r la recta dada por r x-7 2 = y+6
1. [014] [EXT-A] Sea el punto A(1,1,) y la recta de ecuación r a) Calcular el plano perpendicular a la recta r que pase por A. b) Calcular la distancia del punto A a la recta r. x-y+ = 0 z =.. [014] [EXT-B]
Más detallesRECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 4 6 7 8 9 0 Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P(7,, ) y tiene la dirección del vector k. ACTIVIDADES x 7 y z Halla la ecuación continua
Más detallesejerciciosyexamenes.com GEOMETRIA
GEOMETRIA 1.- Dado el vector AB= (2,-1,3) y el punto B(3,1,2) halla las coordenadas del punto A. Sol: A =(1,2,-1) 2.- Comprobar si los vectores AB y CD son equipolentes, siendo A(1,2,-1), B(0,3,1), C(1,1,1)
Más detallesProblemas de exámenes de Geometría
1 Problemas de exámenes de Geometría 1. Consideramos los planos π 1 : X = P+λ 1 u 1 +λ 2 u 2 y π 2 : X = Q+µ 1 v 1 +µ 2 v 2. Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? a) Si π 1 π 2 Ø, entonces
Más detallesb) Halle el punto de corte del plano π con la recta que pasa por P y P.
GEOMETRÍA 1- Considere los puntos A(1,2,3) y O(0,0,0). a) Dé la ecuación de un plano π 1 que pase por A y O, y sea perpendicular a π 2 : 3x-5y+2z=11. b) Encuentre la distancia del punto medio de A y O
Más detalles7. [2013] [JUN-A] a) Pueden existir vectores u y v tales que u = 2, v = 3 y u v = 8? Justifique la respuesta.
1. [014] [EXT-A] a) Determine el valor o valores de m, si existen, para que la recta r: mx+y = x+ mz = : x-y-z+6 = 0. b) Determine la distancia del punto P= (,1,1) a la recta r cuando m =. sea paralela
Más detallesTEMAS 6 Y 7 GEOMETRÍA EN EL ESPACIO
Ejercicios Selectividad Temas 6 y 7 Geometría en el espacio Mate II 2º Bach. 1 TEMAS 6 Y 7 GEOMETRÍA EN EL ESPACIO EJERCICIO 1 : Julio 11-12. Optativa (3 ptos) Para los puntos A(1,0,2) y B(-1,2,4) y la
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA 1. Se consideran las rectas r x 2 = 0 x 2z = 1, s y + 3 = 0 y + z = 3 a) Estudiar la posición relativa de r y s. b) Hallar la mínima distancia entre ambas. Se pide: Sol: Se cruzan
Más detalles= λ + 1 y el punto A(0, 7, 5)
94 GEOMETRÍA ANALÍTICA DEL ESPACIO en las PAU de Asturias Dados los puntos A(1, 0, 1), B(l, 1, 1) y C(l, 6, a), se pide: a) hallar para qué valores del parámetro a están alineados b) hallar si existen
Más detallesTema 7 Rectas y planos en el espacio Matemáticas II - 2º Bachillerato 1
Tema 7 Rectas y planos en el espacio Matemáticas II - º Bachillerato 1 ÁNGULOS EJERCICIO 33 : Halla el ángulo que forma la recta y el plano π: x y + 4z 0. 3x y z + 1 0 r : x + y 3z 0 EJERCICIO 34 : En
Más detallesTEMA 6. Geometría Analítica(1) Nombre CURSO: 1 BACH CCNN. Vectores (1) y E de los correspondientes extremos.
TEMA 6. Geometría Analítica(1) Nombre CURSO: 1 BACH CCNN Vectores (1) 1.- Sea el vector AB, en el que el punto A(3, 2) es el origen y B(5, 6) el extremo. a) Si cada uno de los puntos C(9, 3), D( 4,4) y
Más detallesIES EL PILES SELECTIVIDAD OVIEDO DPTO. MATEMÁTICAS Geometría
P.A.U. de. (Oviedo). (junio 994) Dados los puntos A (,0, ), B (,, ), C (,6, a), se pide: i) hallar para qué valores del parámetro a están alineados, ii) hallar si existen valores de a para los cuales A,
Más detallesGeometría 3. Ejercicio 2. Dados los puntos = ( 1, 0, 0 ),
Geometría 3 Ejercicio. Sean los puntos P (,, ), Q (,, 3) R (,3,). ) Calcula el punto P que es la proección del punto P sobre la recta que determinan Q R ) Halla la ecuación del lugar geométrico de los
Más detallesGeometría (Selectividad) 1. Dados los puntos A(1,3,5) y B(-2,4,1), hallar las coordenadas del punto C, perteneciente
Geometría (Selectividad) 1. Dados los puntos A(1,3,5) y B(-2,4,1), hallar las coordenadas del punto C, perteneciente al plano OXY de forma que A, B y C estén alineados. Sol: 2. Considera la recta de ecuaciones.
Más detallesJunio Sept R R
Junio 010. Sept 010. R1-010. R - 010. Junio 009. Sept 009. R1-009. R - 009. Junio 008. Sept 008. R1-008. R - 008. Junio 007. Sept 007. R1-007. R - 007. Junio 006. Sept 006. R1-006. R - 006. Junio 005.
Más detallesx = 1-2t 3. [2014] [EXT-B] Dados el plano y la recta r siguentes: 2x-y+2z+3 = 0, r z = 1+t
. [04] [EXT-A] Dados los puntos A(,0,-), B(,-4,-), C(5,4,-) y D(0,,4) a) Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C. b) Calcular el volumen del tetraedro ABCD.. [04] [EXT-A] Dados los planos x-z-
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA
GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA I. VECTORES LIBRES 1. Dada la siguiente figura, calcula gráficamente los siguientes vectores: a. AB BI b. BC EF c. IH 2BC d. AB JF DC e. HG 2CJ 2CB 2. Estudia si las siguientes
Más detallesProblemas Tema 9 Enunciados de problemas sobre geometría tridimensional
página 1/10 Problemas Tema 9 Enunciados de problemas sobre geometría tridimensional Hoja 1 1. Dada la recta r : { 4 x 3 y+4 z= 1 3 x 2 y+ z= 3 a) Calcular a para que la recta y el plano sean paralelos.
Más detalles1. Escribir las ecuaciones paramétricas, reducida y continua de la recta que pasa por los puntos A(2,3,5) y B(-1,0,2).
1. Escribir las ecuaciones paramétricas, reducida y continua de la recta que pasa por los puntos A(,3,5) y B(-1,0,).. Dados los puntos A(,3,-1) y B(-4,1,-), hallar las coordenadas de un punto C perteneciente
Más detallesEJERCICIOS VOLUNTARIOS DE GEOMETRIA CON SOLUCIÓN. 2º BACHILLERATO
EJERCICIOS VOLUNTARIOS DE GEOMETRIA CON SOLUCIÓN. 2º BACHILLERATO ESPACIO AFIN 1.Hallar la ecuación del plano que contenga al punto P(1, 1, 1) y sea paralelo a las rectas: r x 2y = 0 ; y 2z + 4 = 0; s
Más detallesGEOMETRÍA EN EL ESPACIO
GEOMETRÍA EN EL ESPACIO 1. PUNTOS Y VECTORES OPERACIÓN TEORÍA Y FORMULACIÓN EJEMPLO Coordenadas de un punto Punto medio de un segmento Dividir un segmento en n partes iguales Coordenadas de un vector (
Más detallesProfesor: Fernando Ureña Portero
Curso 13-14 1.-Los puntos A(1,3,1) y B(2,1,3) son vértices consecutivos de un cuadrado. Los otros dos vértices pertenecen a una recta r que pasa por el punto P(2,7,0). a) (3p) Hallar la ecuación de la
Más detalles4. [ANDA] [JUN-B] Dados los puntos A(2,1,1) y B(0,0,1), halla los puntos C en el eje OX tales que el área del triángulo de vértices A, B y C es 2.
Selectividad CCNN 008 x-z = -. [ANDA] [SEP-A] Sea la recta dada por y+z = a) Halla la ecuación del plano que es paralelo a la recta s y contiene a la recta r, dada por x- = -y+ = z-. b) Estudia la posición
Más detallessea paralela al plano
x = 1+2t 1. [ANDA] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,2) y B(1,-1,-2) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por
Más detallesBLOQUE II : GEOMETRIA EN EL ESPACIO.
MATEMÁTICAS : 2º Curso PROBLEMAS : Bloque II 1 BLOQUE II : GEOMETRIA EN EL ESPACIO. 1.- Sea ABCDA'B'C'D' un cubo.: a) Hállense las coordenadas del centro de la cara CDD'C' en el sistema de referencia R=
Más detallesTEMA 6. ANALÍTICA DE LA RECTA
TEMA 6. ANALÍTICA DE LA RECTA = 2 + 5t 1. Dadas las rectas r: = 4 3t cada una de ellas. = 1 + 9t y s: = 8 6t, indicar tres vectores directores y tres puntos de 2. Dada la recta 2x 3y + 8 = 0, encontrar
Más detallesa) La ecuación del plano que pasa por el punto ( 1, 1, 0 ). (3 puntos) b) La ecuación del plano que es paralelo a la recta r.
PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. BLOQUE GEOMETRÍA 1. En el espacio se dan las rectas Obtener a) El valor de para el que las rectas r y s están contenidas en un plano. (4 puntos) b) La ecuación del plano que
Más detallesRELACION DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA. Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 1996/97.
RELACION DE PROBLEMAS DE GEOMETRIA Problemas propuestos para la prueba de acceso del curso 996/97. º. - Explica cómo se puede hallar el área de un triángulo, a partir de sus coordenadas, en el espacio
Más detallesEJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (00-M-A-4) (5 puntos) Determina el centro y el radio de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en el semieje positivo de abscisas y es
Más detallesESPACIO AFÍN REAL TRIDIMENSIONAL. Sistema de referencia (E3, V3, f). Coordenadas cartesianas.
1. Puntos y Vectores. ESPACIO AFÍN REAL TRIDIMENSIONAL Sistema de referencia (E3, V3, f). Coordenadas cartesianas. 2. Primeros resultados analíticos. Vector que une dos puntos. Punto medio de un segmento.
Más detallesGeometría 2. Halla a y b sabiendo que la recta que pasa por A y B corta perpendicularmente a la recta que pasa por C y D.
Geometría Ejercicio. Considera el plano π la recta r dados por π a 4 b r. 4 4 a) Halla los valores de a b para los que r está contenida en π. b) Eiste algún valor de a algún valor de b para los que la
Más detallesMatemáticas II Hoja 7: Problemas métricos
Profesor: Miguel Ángel Baeza Alba (º Bachillerato) Matemáticas II Hoja 7: Problemas métricos Ejercicio : Se dan la recta r y el plano, mediante: x 4 y z x + y z 7 3 Obtener los puntos de la recta cuya
Más detalles4 Vectores en el espacio
4 Vectores en el espacio ACTIVIDADES INICIALES 4.I. Efectúa las siguientes operaciones en R³ a) 1 + 1 5,, 4, 7, 2 2 3 b) 3 3 2, 1, c) 6(2, 3, 1) + 4(1, 5, 2) 4 4.II. Calcula los valores de a, b y c para
Más detallesx = - y = 1+2 z = -2+2 y s:
1. [ANDA] [EXT-A] Considera el plano de ecuación 2x+y+3z-6 = 0. a) Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos de corte del plano con los ejes coordenados. b) Calcula el volumen del tetraedro
Más detallesPROFR.: JULIO C. JIMÉNEZ RAMÍREZ GRUPOS: TODOS LOS ALUMNOS IRREGULARES EPOEM No.16 TRUNO: VESPETINO
Ecuación vectorial de la recta Ecuaciones paramétricas de la recta Ecuación continua de la recta Pendiente Ecuación punto-pendiente de la recta Ecuación general de la recta Ecuación explícita de la recta
Más detalles1. Distancia entre puntos y rectas en el espacio. 3. Calcula la distancia existente entre las rectas: Solución: d(r, s) =
7 Espacio métrico. Distancia entre puntos y rectas en el espacio Piensa y calcula Dados los puntos A, 4, ) y B5,, 4), halla las coordenadas del vector: AB AB,5,) Aplica la teoría. Calcula la distancia
Más detallesEJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA
EJERCICIOS BLOQUE III: GEOMETRÍA (00-M-A-4) (5 puntos) Determina el centro y el radio de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas, tiene su centro en el semieje positivo de abscisas y es
Más detalles102 EJERCICIOS de RECTAS y PLANOS 2º BACH.
102 EJERCICIOS de RECTAS y PLANOS 2º BACH. NOTA: En los ejercicios de Geometría se recomienda comenzar, antes de nada, por: Imaginarse la situación; podemos ayudarnos, para ello, de bolígrafos (para representar
Más detalles1. [2014] [EXT-B] a) Estudia, en función del valor del parámetro a, la posición relativa de los planos:
1. [014] [EXT-B] a) Estudia, en función del valor del parámetro a, la posición relativa de los planos: 1 x+y-z = ; x-y+az = -1 ; ax+y-z = 5 b) Calcula, en función del parámetro a, la distancia entre los
Más detallesGEOMETRIA 1 + = c) 4. d) e) 1 = 2. f) = 3 = g) 2 1 = h) 1. 6)Consideramos la recta r de ecuación 2
GEOMETRIA )Dados el punto A(l,-,) el vector v(,,-), escribe las ecuaciones paramétricas continua de la recta cua determinación lineal es (A,v). )Escribe las ecuaciones paramétricas continua de la recta
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2008 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 008 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio
Más detalles58 EJERCICIOS de RECTAS y PLANOS 2º BACH.
58 EJERCICIOS de RECTAS y PLANOS 2º BACH. NOTA: En los ejercicios de Geometría se recomienda comenzar, antes de nada, por: Imaginarse la situación; podemos ayudarnos, para ello, de bolígrafos (para representar
Más detallesGEOMETRÍA ANALÍTICA - Ejercicios de Selectividad
GEOMETRÍA ANALÍTICA - Ejercicios de Selectividad 1 Se sabe que los puntos A (1,0,-1), B (3,, 1) y C (-7, 1, 5) son los vértices consecutivos de un paralelogramo ABCD. (a) Calcula las coordenadas del punto
Más detallesRESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES
RESOLUCIÓN DE ACTIVIDADES Actividades iniciales. Dada la recta del plano de ecuación x 6y + = 0, escríbela en forma continua, paramétrica, vectorial y explícita. La recta x 6y + = 0 pasa por el punto (0,
Más detallesVECTORES EN EL ESPACIO
VECTORES EN EL ESPACIO ACTIVIDADES 1 Dados los puntos del espacio: 7 Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los P(1, 1, ) siguientes puntos: A(1, 0, ), B(,, ) y C(, 1, ) 6 Q(,,) R(, 0, 1) S(,,
Más detallesESPACIO AFÍN EUCLÍDEO
ESPACIO AFÍN EUCLÍDEO Producto escalar Distancia 1 Sean los vectores x1, 5,, y 3, 4, 1, 6,3, 5 y w4, 6, 6 Halla los siguientes productos escalares: x y, x, ww y w Calcula la distancia entre los puntos
Más detallesGEOMETRÍA (Selectividad 2016) 1 ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 2016
GEOMETRÍA (Selectividad 6) ALGUNOS PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PROPUESTOS EN LAS PRUEBAS DE SELECTIVIDAD DE 6 Aragón, junio 6 ( puntos) a) ( punto) a) (,5 puntos) Si los vectores w y s verifican que w = s =,
Más detallesTEMA 4. Vectores en el espacio Problemas Resueltos
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 4 5 Vectores TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas Resueltos Para a = (,, ) y b = (,, 4), halla: a) a b b) a b c)
Más detallesTEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA.
TEMA 5. RECTAS Y PLANOS. INCIDENCIA. SISTEMA DE REFERENCIA EN EL ESPACIO. Un sistema de referencia en el espacio está formado por un punto y tres vectores linealmente independientes. A partir de ahora
Más detalles5 = z. 2. Hallar el valor de m para que los puntos A(3,m,1), B(1,1,-1) y C(-2,10,-4) pertenezcan a la misma recta.
. Expresar en forma paramétrica y reducida la recta x+ 3 = y- 5 = z -. Hallar el valor de m para que los puntos A(3,m,), B(,,-) y C(-,0,-4) pertenezcan a la misma recta. 3. Probar que todos los planos
Más detallesDepartamento de matemáticas
Geometría con solución Problema 1: Sea r y s las rectas dadas por: a) Hállese el valor de m para que ambas rectas se corten. b) Para m = 1, hállese la ecuación del plano que contiene a r y s Problema 2:
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2012 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 01 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detalles1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2)
1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2) 2. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que es paralela a y=2x-3 y pasa por el punto (1,3). 3. Halla la ecuación de la recta
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 8 MATEMÁTICAS II TEMA : ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,
Más detallesGEOMETRIA EUCLIDEA. 3.-Determinar m para que el producto escalar de u=(m,5) y v=(2,-3) sea la unidad.
PRODUCTO ESCALAR GEOMETRIA EUCLIDEA 1.-Dados los vectores u,v y w tales que u*v=7 y u*w=8, calcular: u*(v+w); u*(2v+w); u*(v+2w) 2.-Sea {a,b} una base de vectores unitarios que forman un ángulo de 60.
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2016 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesUnidad 7 Producto vectorial y mixto. Aplicaciones.
Unidad 7 Producto vectorial y mixto. Aplicaciones. 5 SOLUCIONES 1. Al ser u v =(,5,11), se tiene que ( u v) w = ( 17,13, 9 ). Como v w =( 3,, 7), por tanto u ( v w) = ( 19,11, 5).. Se tiene que: 3. Queda:
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2007 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesEspacio vectorial MATEMÁTICAS II 1
Espacio vectorial MATEMÁTICAS II 1 1 VECTORES EN EL ESPACIO. ESPACIO VECTORIAL V 3 1.1. VECTORES FIJOS Definición: Un vector fijo es un segmento orientado determinado por dos puntos. El primero de sus
Más detalles023 calcula la ecuación general de los planos que contienen a dos de los ejes coordenados. Eje X y eje Y: Eje X y eje Z: Eje Y y eje Z:
Solucionario 3 calcula la ecuación general de los planos que contienen a dos de los ejes coordenados. Eje X y eje Y: Eje X y eje Z: Eje Y y eje Z: x y z x y z x y z = z = = y = = x = Determina la posición
Más detallesMATEMÁTICAS II TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas resueltos
Geometría del espacio: Vectores; producto escalar, vectorial y mixto Aplicaciones MATEMÁTICAS II TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas resueltos Vectores Para a = (,, ) y b = (,, 4), halla: a) a + b
Más detallesResuelve. Unidad 4. Vectores en el espacio. BACHILLERATO Matemáticas II. Diagonal de un ortoedro y volumen de un paralelepípedo.
Resuelve Página Diagonal de un ortoedro y volumen de un paralelepípedo. Expresa la diagonal de un ortoedro en función de sus dimensiones, a, b y c. c b a c c b b a Diagonal = a + b + c. Calcula el volumen
Más detallesTEMA 4. Vectores en el espacio Problemas Resueltos
Matemáticas II (Bachillerato de Ciencias) Soluciones de los problemas propuestos Tema 4 5 Vectores TEMA 4 Vectores en el espacio Problemas Resueltos Para a = (,, ) y b = (,, 4), halla: a) a + b b) a b
Más detallesa) Como mucho puede haber 3 vectores linealmente independientes. 1 2 = 3 x = 1, y = 2 3 No tiene solución, luego no se puede.
Ejercicios y problemas propuestos Página Para practicar Dependencia e independencia lineal. Base y coordenadas Dados estos vectores: u(,, ), v (,, ), w (,, ), z (,, ) a) Cuántos de ellos son linealmente
Más detallesÁLGEBRA LINEAL II Práctica
ÁLGEBRA LINEAL II Práctica 3.1-3.2 Geometría afín. (Curso 2016 2017) 1. En el espacio afín IR 3 se considera la referencia canónica R y la referencia R = {(1, 0, 1); (1, 1, 0), (1, 1, 1), (1, 0, 0)}. Denotamos
Más detallesEjercicio 8. a) Halla el punto C que es la proyección ortogonal del punto B = (2,1,1) sobre el plano
Ejercicio 8. a) Halla el punto C que es la proección ortogonal del punto B (2,1,1) sobre el plano π : 2 x 2z 6 b) Halla el punto A que esté sobre el eje OX tal que el área del triángulo ABC valga 6. Cuántas
Más detallesMATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PAU ANDALUCÍA
1 MATEMÁTICAS II PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PAU ANDALUCÍA Ejercicio 1. (Junio 2006-A) Considera el plano π de ecuación 2x + y z + 2 = 0 y la recta r de ecuación x 5 z 6 = y =. 2 m (a) [1 punto] Halla la posición
Más detalles2.- (Puntuación máxima 2 puntos). Para cada valor del parámetro real a, se consideran los tres planos siguientes:
1.- (Puntuación máxima 3 puntos). Se consideran las rectas: a) (1 punto) Calcular la distancia entre r y s. b) (1 punto) Hallar unas ecuaciones cartesianas de la recta perpendicular común a r y s y que
Más detallesx+3y = 8 4y+z = 10 ; s: x 7 = y a-4 = z+6 5a-6 b) Para el valor del parámetro a = 4, determine, si es posible, el punto de corte de ambas rectas.
[04] [EXT-A] a) Estudie la posición relativa de las rectas r y s en función del parámetro a: r: x+y = 8 4y+z = 0 ; s: x = y a-4 = z+ 5a- b) Para el valor del parámetro a = 4, determine, si es posible,
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA. 1. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto ( 2, 2) tiene como vector director el vector
EJERCICIOS DE GEOMETRÍA PLANA Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el punto (, ) tiene como vector director el vector v i j A y x a + vt La ecuación paramétrica de una recta es
Más detallesUnidad 8. Geometría analítica. BACHILLERATO Matemáticas I
Unidad 8. Geometría analítica BACHILLERATO Matemáticas I Determina si los puntos A(, ), B (, ) y C (, ) están alineados. AB (, ) (, ) (, ) BC (, ) (, ) ( 8, ) Las coordenadas de AB y BC son proporcionales,
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2010 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 1, Ejercicio
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 7 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFÍN Y EUCLÍDEO Junio, Ejercicio 4, Opción A Junio, Ejercicio 4, Opción B Reserva, Ejercicio 4, Opción A Reserva, Ejercicio 4,
Más detallesProblemas métricos. Ángulo entre rectas y planos
Problemas métricos Ángulo entre rectas y planos Ángulo entre dos rectas El ángulo que forman dos rectas es el ángulo agudo que determinan entre sí sus vectores directores. Dos rectas son perpendiculares
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2000 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO
PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2000 MATEMÁTICAS II TEMA 3: ESPACIO AFIN Y EUCLIDEO Junio, Ejercicio 3, Opción B Reserva 1, Ejercicio 3, Opción B Reserva 1, Ejercicio 4, Opción A Reserva 2,
Más detalles, 2 x+y+z = 2, = z 5 y s: 4x-2y+z = 0. ( ) ( ) y dado el punto P(0,3,-1) exterior a, obtener las ecuaciones en
x+y-z = 0 1. [2014] [EXT-A] Sea P el punto de coordenadas P(1,0,1) y r la recta de ecuación r x-2z = 1. a) Hallar la ecuación en forma continua de una recta que pase por el punto P y sea paralela a la
Más detallesSELECTIVIDAD ESPACIO AFÍN
SELECTIVIDAD ESPACIO AFÍN Junio 2008: Se considera el plano π x + ay + 2az = 4 y la recta r x + y + 2z = 2 x + 2y z = 3 a) Determinar los valores de a para los cuales la recta y el plano son paralelos.
Más detallesProblemas de vectores
Problemas de vectores 1.- Expresa el vector mm = (1, 2, 3) como combinación lineal de los vectores: uu = (1, 0, 1), vv = (1, 1, 0) y ww = (0, 1, 1). 2.- Siendo uu = (1, 0, 1), vv = (1, 1, 0) y ww = (0,
Más detalles