Diagonalización de matrices

Transcripción

1 Dgolzcó de mtrces L tldd de l dgolzcó de mtrces se obser e: Forms cdrátcs Sstems dámcos leles Aálss mltrdo E térmos geerles cosste e obteer mtrz dgol D prtr de mtrz A de tl mer qe D cosere ls propeddes de A. L mtrz D se obtee prtr del estdo de los lores y ectores propos. Exste mtrces qe o pede ser redcds form dgol pero sí otros tpos como so ls mtrces trglres y ls forms cócs de Jord. Los tems qe prtr de cá mos desrrollr so: Vlores y ectores propos Dgolzcó de mtrces Dgolzcó de mtrces smétrcs Mtrces trglres Forms cócs de Jord Vlores y ectores propos Vmos recordr prmero lgos coceptos Espco ectorl: U cojto V o cío tee estrctr de espco ectorl sobre cerpo K (cerpo de esclres) y lo deotmos por V(K) s se h defdo dos leyes de composcó: ) Ley de composcó ter (smbolzd por ) : VxV V tl qe pr cd pr de elemetos ( x y) VxV le hcemos correspoder elemeto de V qe escrbremos x y y sobre el qe se erfc l: Propedd Asoct: ( x y) z x ( y z) x y z V Exstec de Elemeto Netro: V / x V V x x V Exstec de Elemeto Smétrco: x V ( x) / x ( x) Propedd Comtt: x y y x x y V Co ests ctro propeddes el cojto V co l Ley de composcó ( V ) posee estrctr de grpo comtto. V

2 b) Ley de composcó exter (smbolzd por ) : KxV V tl qe pr cd pr ( α x) ( α K) ( x V ) le hcemos correspoder elemeto de V qe escrbremos α x erfcdo ls sgetes propeddes Sedo socts: α β K x V α( βx) ( αβ ) x Dstrbt respecto de esclres: α β K x V ( α β ) x αx βx Dstrbt de ectores: α K x y V α( x y) αx αy Elemeto etro: x V x x E geerl todo elemeto de espco ectorl se deom ector. El espco ectorl más tlzdo es el de R. Se R el cerpo de úmeros reles. El prodcto crteso de RxRxRxL xr ( eces) org R. U elemeto de este cojto será x ( x x L ) R dode x R. x R tee estrctr de espco ectorl s se cmple: ) L ley de composcó ter : R xr R ( x y) x y b) L ley de composcó exter : R xr R α R x R α α x x L x ) ( αx αx L x ) R ( α Se espco ectorl V(K) de dmesó ft. Se f edomorfsmo sobre V(K) f : V ( K) V ( K) Dremos qe el esclr K es lor propo o tolor del edomorfsmo f s exste l meos ector V (K) tl qe: f S deotmos l edomorfsmo f por l mtrz A es A Los ectores qe erfc o se llm toectores o ectores propos socdos L expresó se pede expresr [ ] A es sstem homogéeo pr qe teg solcó debemos desrrollr el [ A ] Det Al desrrollr el determte e obtedremos polomo crcterístco p ( ) L gldo cero el polomo tedremos l eccó crcterístc L Aplccó lel del espco ectorl e sí msmo

3 L solcó de l eccó crcterístc permte ecotrr los lores de qe hce qe p ( ). Estos lores de so los lores propos qe ssttdos e permte hllr los ectores propos. El polomo p () tedrá ríces (reles o mgrs) y por tto lores propos co lo cl el úmero de tolores cocde co el orde de l mtrz. Ejemplo Determr los lores y ectores propos socdos l mtrz A 8 A Debemos hllr el Det[ A ] qe drá orge l p () prtr del qe hllmos ls ríces crcterístcs de ls cles los tolores qe permtrá hllr los toectores p( ) ( )( b) L ( k) b L k L 8 A Det 8 [ A ] ( )( )( ) [ 8( ) ( ) 8( ) ] [ ] ( 8 )( ) 8 8 [ A ] Det polomo crcterístco de l mtrz A gldo cero el polomo teemos l eccó crcterístc mltplcdo por : pr hllr l solcó de est eccó debo fctorzr de modo qe ( )( )( ) b k ( ) sedo ( ) ríces crcterístcs de l mtrz A y ( ) El orde de l mtrz es el úmero de tolores es. los lores propos de A. Cómo hllr los ectores propos? Debe ssttrse cd lor propo hlldo e el sstem. Recordemos qe er A [ ]

4 8 x Pr 8 x De qí obteemos sstem de eccoes co cógts 8 8 () De l segd eccó obtego () Reemplzo e l tercer 8 Reemplzo este últmo resltdo e. El espco solcó de este sstem será Pr comprobr s estos so los lores del ector propo debe reemplzr los msmos e el sstem (). S se cmple qe tods ls eccoes se l l reemplzr los lores de y etoces este es el ector propo qe srge del tolor y será el prmer toector. Pr 8 x De qí obteemos sstem de eccoes co cógts Recerde qe tolor lor propo y lor crcterístco so sómos. De gl mer lo so toector ector propo y ector crcterístco.

5 8 8 (8) De l tercer eccó obtego (9) Reemplzo e l segd ( ) () Reemplzdo () e (9) ( ) () El espco solcó de este sstem será Pr 8 x De qí obteemos sstem de eccoes co cógts 8 9 () De l segd eccó obtego () Reemplzo e l tercer () co los resltdos de y se costrye el tercer ector propo

6 El espco solcó de este sstem será Obsere qe los lores de los ectores propos reemplzdos e el sstem qe les do orge erfc ls eccoes qe compoe el msmo. E resme los ectores propos so Srgdos de los lores propos perteecetes l mtrz A 8 Codcó ecesr y sfcete pr l dgolzcó Ddo edomorfsmo f sobre V (espco ectorl de dmesó ) s l mtrz qe lo represet e cert bse dgol los lores propos so los elemetos de s dgol prcpl y dch bse está formd por los ectores propos del edomorfsmo. L codcó ecesr y sfcete pr qe mtrz cdrd se dgolzble es qe exst bse del espco ectorl formd por ectores propos del edomorfsmo socdo l mtrz dd. Ddo edomorfsmo de V co mtrz socd A hemos de ecotrr ) Vlores propos de A b) Vectores propos socdos los lores propos Pr determr los tolores de A hemos de clclr ls ríces de l eccó Det A [ ] Pede ocrrr dos csos ) Vlores propos co orde de mltplcdd. Todos los lores propos so dsttos L. De este modo los sbespcos de ectores socdos cd lor propo so de dmesó y ddo qe los ectores propos L so depedetes formrá bse co lo qe l mtrz A es dgolzble. Orde de mltplcdd es l ctdd de eces qe el lor de lor propo se repte.

7 E coclsó: S ls ríces crcterístcs de mtrz A so tods dstts exste mtrz reglr P tl qe P AP es mtrz dgol D formd por los lores propos de A ) Vlores propos por orde de mltplcdd myor qe. Se los lores propos del edomorfsmo f sobre espco ectorl V(C) de cerpo C represetdo por l mtrz A e l bse B co orde de mltplcdd r dode p r co orde de mltplcdd r M co orde de mltplcdd M co orde de mltplcdd r p p () Ls dmesoes de los sbespcos socdos cd lor propo (deomdo erfc qe d r () Necestmos qe exst bse formd por ectores propos pr lo cl y debdo y l codcó ecesr y sfcete pr qe exst es qe d r L p () es decr l dmesó del sbespco debe cocdr co el orde de mltplcdd del lor propo. Pero los ectores propos socdos l tolor A so los qe erfc el sstem: [ A ] (8) y es edete qe pr qe l dmesó del sbespco socdo de ectores propos se r h de exstr r prámetros (cógts secdrs) e el sstem 8 co lo qe Rgo [ A ] r (9) por lo qe coclmos qe: L codcó ecesr y sfcete pr qe mtrz A se dgolzble es qe pr cd lor propo de orde de mltplcdd r se erfc qe Rgo[ A ] r L p () d ) j Por ejemplo l mtrz M tee tolores. El orde de mltplcdd pr el tolor es. Metrs qe el orde de mltplcdd pr el tolor es porqe exste dos tolores de gl lor. Vemos qe ps co el Rgo[ M ] pr y.

8 8 S M dode el rgo es porqe ( ) es decr dos colms de l mtrz so lelmete depedetes. El orde de l mtrz () (porqe es mtrz de x) El orde de mltplcdd e (r) r (porqe o hy otro tolor gl ) Etoces -r- Coclmos qe Rgo[ A ] r () S M dode el rgo es porqe l prmer y segd fl de l mtrz so gles co lo cl so lelmete depedetes. El orde de l mtrz () (porqe es mtrz de x) El orde de mltplcdd e (r) r (porqe hy otro tolor gl ) Etoces -r- Coclmos qe l gldd Rgo[ A ] r o se cmple porqe () Este últmo resltdo dc qe M o es dgolzble porqe los ectores propos o so Lelmete depedetes. Porqe l ser es decr lelmete depedetes por lo tto o se cmple qe L p S repetmos el procedmeto doptdo pr l mtrz M e l mtrz A defd l comezo eremos qe llegmos l coclsó de qe es dgolzble porqe tee lores propos dsttos etre sí qe d orge ectores propos lelmete depedetes. Dgolzcó de mtrz Dd mtrz A dremos qe es dgolzble s exste mtrz dgol D tl qe A y D se semejtes. Cómo obteemos l mtrz dgol? A y D so semejtes s exste mtrz C tl qe A C DC

9 9 Dd 8 A Co ríces crcterístcs ) ( ) ( ) ( Qe sgfc tolores Qe d orge los ectores propos lelmete depedetes Por lo tto l mtrz A es dgolzble. Debemos hllr AC C D dode C es l mtrz de ectores propos de A qe l dgolz. Dd AdjC C C C El determte de C es gl esto sgfc qe exste l ers de l mtrz C por lo qe podemos psr clclr l djt T T AdjC ) ( AdjC C C El cálclo de l mtrz dgol srge de 8 x x AC C D D x 8 L mtrz D (mtrz dgol de A) tee e l dgol prcpl los lores propos de l mtrz A.

10 Dgolzcó de mtrces smétrcs Hy mchs mtrces reles A qe o so dgolzbles. De hecho lgs de ells pede o teer gú lor propo rel. S A es mtrz rel smétrc. Tod ríz de s polomo crcterístco es rel. Estos d lgr ectores propos o los y ortogoles es decr el prodcto esclr de los ectores se l. De modo qe: se A mtrz rel smétrc exste mtrz ortogol P tl qe D P AP es dgol. Vemos por ejemplo l mtrz A qe tee los lores propos qe d orge los ectores propos Los ectores propos de mtrz smétrc so ortogoles es decr s prodcto esclr es cero. S ormlzmos los ectores propos ortogoles l mtrz dgol será l formd por los lores propos. Normlzr ector cosste e ddr cd elemeto del ector por l orm del ector ˆ l orm de ector es l ríz cdrd del cdrdo del ector. Pr los dos ectores propos hlldos e el ejemplo l orm es Al ormlzr mbos ectores teemos / / ˆ ˆ / / Los ectores propos ortogoles y ormlzdos de A form l mtrz P / / P / / L mtrz dgol de es qell qe srj de hcer P AP / / / / / D P AP x x / / / / Dode D es l mtrz dgol de A obted prtr de l mtrz P. Sedo P l mtrz de trsformcó de A hlld trés de l ormlzcó de ss ectores propos ortogoles.

11 L dferec e dgolzr mtrz A de smétrc es qe l mtrz de ectores propos srgd de smétrc debemos ormlzrlos pr obteer mtrz dgol co elemetos gles los lores propos. Sele ocrrr qe los lores propos o tee orde de mltplcdd gl etoces o tedrímos ectores ortogoles y por ede o hbrí depedec lel etre los ectores propos y o podrímos obteer l dgol. Ate est stcó lores propos co orde de mltplcdd myor qe se tlz el método de Grm-Schmdt pr el cl: s A es smétrc y de elemetos reles co k L ectores propos socdos l msmo lor propo de l mtrz A. Los ectores k k L L so ectores propos de A socdos l msmo lor propo. El método de Grm-Schmdt cosste e exgr los coefcetes k L qe se tles qe se ortogol se ortogol y y sí scesmete Por ejemplo l mtrz A tee los lores propos r r Pr [ ] [ ] x A A De qí obteemos sstem de eccoes co cógts De l prmer eccó obtego () Reemplzdo este resltdo e ls otrs dos eccoes se compreb qe se cmple l gldd de ls eccoes por lo tto est es l úc relcó posble qe solco el sstem de modo qe el espco solcó será β α β α pr clqer lor de β α De qí obteemos dos ectores propos hcedo

12 β α y lego β α Estos dos ectores resele el sstem pero o so ortogoles ddo qe s prodcto esclr o se l. Aplcdo el método de Grm-Schmdt mos determr prtr de otros dos ectores propos y qe se perpedclres etre sí. Pr ello se estblece mpoedo l codcó de qe se perpedclr ( ) s prodcto esclr debe ser cero por lo qe [ ] / ) ( De modo qe s reemplzdo / / / Pr erfcr qe bst co relzr el prodcto esclr Co lo qe coclmos qe y so ortogoles. Pr poder hllr bse ortoorml debemos ormlzrlos hcedo ˆ L orm de û será / / / ( / ) (/ ) Por lo tto / / / / / ˆ

13 ˆ () () ˆ Los ectores propos ortogoles ormlzdos so: ˆ y / / ˆ El tercer ector lo obteemos drectmete porqe el orde de mltplcdd del tolor es tedremos [ ] [ ] x A A De qí obteemos sstem de eccoes co cógts De l tercer eccó obtego () Reemplzdo este resltdo e l segd eccó ) ( Reemplzdo este últmo resltdo e () ) ( El ector propo socdo l tolor será α α α El tercer ector propo es ortogol pero es ecesro qe tmbé se orml por lo qe ˆ sedo L bse ortoorml será l formd por los ectores / / / / / / / / ˆ ˆ P

14 Form cóc de Jord Se U(K) espco ectorl y f edomorfsmo represetdo por l mtrz A e l bse cóc de dcho espco ectorl. Pede ocrrr qe l mtrz A o teg bse de ectores propos por lo tto o es semejte mtrz dgol pero pede serlo form cóc de Jord qe pede cosderrse cs como dgol. Etre l mtrz dgol y l form cóc de Jord se stú otro tpo de mtrces qe so ls trglres. Mtrces Trglres Se U(K) y A l mtrz de edomorfsmo e dcho espco ectorl. A es semejte mtrz trglr sí y solo s posee tolores e K. Pr obteer mtrz trglr se prte de mtrz de orde de l cl se obtee scess mtrces A de orde qe permte obteer l mtrz de pso P tl qe T P AP. Cómo hcemos? Hllmos el polomo crcterístco de l mtrz A y los tolores qe lo l. Ecotrmos ector propo co el qe rmmos mtrz P [ ] de b modo qe P A P A Lego psmos trbjr co A obteemos lor propo y ector propo socdo ell etoces P se rm co el ector propo y clqer otro úmero de modo qe teg b ers tl qe P A P A Lego se cosder A y se repte l opercó pero co orde meor L mtrz P se determ hcedo P P x x x L P P P L mtrz trglr bscd será T P AP Retomemos l mtrz M pr l cl hbímos hlldo lores propos y sedo el tolor co orde de mltplcdd. Pr costrymos mtrz P tl qe s prmer ector se el ector propo socdo de l mtrz M P

15 A b MP P Tomdo A bscmos los lores y ectores propos qe l crcterz. Co el ector propo rmmos l mtrz P de modo qe A b A P P Ahor estmos e codcoes de clclr P x P P x P L mtrz trglr AP P T T es mtrz trglr speror qe tee e l dgol prcpl los lores propos de l mtrz M y por ecm de l dgol prcpl clqer lor rel. Form Cóc de Jord U form cóc de Jord es mtrz trglr speror tl qe ) todos ss elemetos de l dgol prcpl so gles los lores propos b) todos ss elemetos e l prmer sobredgol so gles o c) todos los demás elemetos so gles cero E deft debemos cotr co mtrz Q tl qe AQ Q J dode J se l mtrz dgol e form cóc de Jord. Cdo podemos teer form cóc de Jord? Cdo teemos tolores co orde de mltplcdd myor qe pr lo cl es ecesro clclr prtr de tolor ector propo hcedo r r r A

16 Lego pr el msmo tolor clclr el sgete ector hcedo rj rj r rj A dode rj es el ector propo qe form prte de l mtrz Q Por ejemplo l mtrz A El polomo crcterístco ) )( )( ( A Pr el ector crcterístco se obtee de hcer [ ] A De l tercer eccó obteemos Reemplzdo e ) ( El ector propo socdo es Pr el ector crcterístco se obtee de hcer [ ] A De l tercer eccó obteemos Reemplzdo e ) ( co lo cl El ector propo socdo es El tee socdo dos ectores propos. Uo de ellos es el otro ) ( srge de hcer A

17 [ ] A De l tercer eccó se obtee E Esto d lgr l ector propo Ahor estmos e codcoes de rmr l mtrz Q de ectores propos [ ] Q Clclmos l ers ) ( T Q Q Adj Q Q AQ J qe tee e s dgol prcpl los lores propos de l mtrz A e l sobredgol o de cerdo s es bloqe o o y ceros los demás elemetos. Pr costtr bloqe de Jord debemos teer: ) e l dgol prcpl el msmo lor propo b) e l sobredgol todos los elemetos gles c) todos los demás elemetos gles cero E l mtrz del ejemplo teemos dos bloqes: o es el formdo por el elemeto el otro bloqe es l sbmtrz de orde qe tee e l dgol prcpl el tolor y e l sobredgol el. E geerl tod mtrz de Jord se prtco e bloqes deomdos bloqes de Jord.