16 Distribución Muestral de la Proporción

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1 16 Distribució Muestral de la Proporció 16.1 INTRODUCCIÓN E el capítulo aterior hemos estudiado cómo se distribuye la variable aleatoria media aritmética de valores idepedietes. A esta distribució la hemos llamado distribució muestral de la media. De la misma forma, podemos estudiar cómo se distribuye otros estadísticos. E particular, es de gra utilidad coocer cómo se distribuye la variable aleatoria proporció de observacioes idepedietes que cumple ua codició especificada o, lo que es lo mismo, la distribució muestral de la proporció LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y LA PROPORCIÓN DE CASOS Supogamos ua població para la que represetamos por π a la proporció de casos que cumple ua determiada codició, como por ejemplo ser varó, teer abierto u crédito hipotecario u opiar que actualmete el problema más grave que afrota España es el paro. Nos pregutamos cuál sería la proporció de casos (P) que cumpliría esa misma codició e ua muestra de observacioes 1

2 idepedietes extraídas de esa població. Como bie sabemos, la variable aleatoria úmero de casos que cumple ua codició, siedo idepedietes las observacioes, se distribuye B(x;, π). Supogamos, por ejemplo, que el 40% de ua població so favorables a ua determiada proposició (π=0.40). Al ecuestar a ua m.a.s. de 8 persoas el úmero de persoas de la muestra que so favorables puede ser cualquier valor de 0 a 8. Las probabilidades de cada uo de estos valores viee dadas por la distribució biomial. So las siguietes (véase la tabla II del libro): X P(X i =X) E realidad la proporció de favorables e cada caso o es más que el úmero de favorables partido por el úmero de ecuestados (tamaño de la muestra). Dicho e otras palabras, la proporció (P) es ua trasformació lieal del úmero de casos (X), X P = La probabilidad asociada a cada valor de P es la asociada al valor correspodiete de X, X P P(P i =P) Esta es la forma de expresar las probabilidades de que la proporció de casos que e la muestra cumple la codició adopte cada uo de sus valores posibles. E 2

3 otras palabras, expresa la Distribució Muestral de la Proporció para cuado π = 0.40 y = 8. Así, la probabilidad de que la proporció de favorables sea (uo de los ocho) es igual a 0.090, mietras que la de que sea favorables al meos la mitad, P (cuatro o más de los ocho), es la suma de las probabilidades asociadas a 0.500, 0.625, 0.750, y 1; es decir, E cada caso, las probabilidades depederá de dos catidades, el tamaño de la muestra () y la probabilidad (π) de que e cada observació idividual se cumpla la codició, que so los parámetros de la distribució biomial. Resumiedo, Si Etoces (a) La probabilidad de que al hacer ua observació, ésta cumpla ua determiada codició es igual a π, (b) Se realiza de esas observacioes, de forma idepediete, y (c) Se calcula la proporció de esos casos que cumple la codició (P), La variable aleatoria P i se distribuye B(X;, π), co probabilidades correspodietes a X. Respecto a las características de la distribució, coviee recordar que su valor esperado y su variaza so los correspodietes a los de la variable trasformada; aplicado las propiedades del producto de ua costate, 1 1 E(P) = E(X/) = E(X) = π = π 1 1 ( 1 π) π σ ( P) = σ ( X) = π π) = 2 3

4 Es decir, el valor esperado de la proporció es igual al propio parámetro π, mietras que su variaza depede (como e el caso de la media) del tamaño muestral. Como está e el deomiador, a mayor tamaño muestral, meor variabilidad de las proporcioes obteidas e sucesivas muestras. E el cuadro 16.1 se icluye alguos ejemplos de cómo operar co la Distribució Muestral de la Proporció tomado como base la distribució biomial. CUADRO 16.1 Ejemplos de aplicació de la distribució muestral de la proporció E la tarea de las 5 tarjetas, adaptada de la de P. C. Waso, los sujetos debe decidir cuál de las tarjetas levatará como respuesta a la preguta del etrevistador. Supogamos ua muestra de 15 iños participates cuyo ivel de desarrollo cogitivo les impide aalizar correctamete el problema y respode al azar. Obtega las probabilidades de que: (a) o acierte iguo; (b) la proporció de aciertos o llegue a.50, y (c) la proporció de aciertos sea mayor de Las probabilidades asociadas a la variable aleatoria proporció de sujetos que acierta os viee dadas por la distribució biomial co parámetros π=.20 y =15. Por tato, segú la tabla correspodiete, (a) P(P i =0) = P(X i =0) = (b) P(P i <0.50) = P(X i 7) = (c) P(P i >0.20) = P(X i 4) =

5 16.3 LA DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LA PROPORCIÓN CON MUESTRAS GRANDES Tal y como vimos al hablar de la distribució biomial, sus probabilidades se puede obteer por aproximació a la distribució ormal cuado es grade y π o es u valor extremo. Decíamos etoces que, e térmios prácticos, cosideraremos que esto ocurre cuado π 5 y.20 π.80 (auque co suficietemete grade so tolerables valores más extremos de π y, de hecho, los distitos autores propoe diferetes criterios). Por ello, y dado que las proporcioes suele calcularse sobre tamaños moderadamete grades, para obteer probabilidades asociadas a la proporció habitualmete emplearemos la aproximació de la distribució biomial a la ormal. Recuerde el lector que para u correcto uso de esta aproximació se debe emplear la correcció por cotiuidad, auque si la muestra es moderadamete grade la diferecia etre hacerlo y o hacerlo o será apreciable. E la trasformació de X a P el térmio de la correcció queda como 0.5/. E cocreto, ( P P) P i P z ( P ) E( P) σ ( P) = P z ( P ) π π π) E el cuadro 16.2 de la págia siguiete se expoe alguos ejemplos, mietras que e el ejercicio 4 se ilustra el efecto de la o aplicació de la correcció por cotiuidad. 5

6 CUADRO 16.2 Ejemplos de aplicació de la aproximació de la biomial a la ormal e la distribució muestral de la proporció co muestras grades Si e ua població el 25% tiee actualmete la iteció de votar al uevo partido político ABCC y ecuestamos a ua m.a.s. de ciudadaos, obtega las probabilidades de que la proporció muestral de los que tiee esa iteció o se separe de la proporció poblacioal e más de: (a) 3 putos porcetuales, (b) 5 putos porcetuales, y (c) 8 putos porcetuales. E cada uo de estos casos la preguta se puede platear como la probabilidad de que la proporció de favorables esté compredida, respectivamete, etre , etre y etre E todos los casos la distribució es la misma, ua biomial cuyas probabilidades puede obteerse por aproximació a la ormal, siedo π =.25 y = (realizaremos los cálculos si hacer la correcció por cotiuidad): (a) = 0.98 = ).25.25) E la tabla de la ormal obteemos que la probabilidad de obteer u valor compredido etre estos es =.6730 (b) = 1.63 = ).25.25) La probabilidad de obteer u valor compredido etre estos dos es =.8968 (c) = 2.61 = ).25.25) La probabilidad es, e este caso, =

7 16.4 PROBLEMAS Y EJERCICIOS 1. Supogamos que cumple la codició de teer teléfoo móvil el 60% de ua població, pero descoocemos este dato. Cosideramos que ua buea estimació de este valor sería aquella que diera valores que o se aleje más de 10 putos porcetuales de ella. E este caso, que la estimació estuviera etre.50 y.70. Calcule la probabilidad de que la proporció obteida e ua muestra aleatoria simple se salga de estos márgees si el tamaño de la muestra es de: (a) 8, o (b) E ua determiada població el 30% votaría al partido X e caso de que se celebrase mañaa las eleccioes. Si seleccioamos al azar a ua muestra de persoas y las ecuestamos, obtega las probabilidades de que: (a) Las persoas que exprese esa iteció de voto supere el 38% (b) El porcetaje de persoas que exprese esa iteció se separe del porcetaje poblacioal e más del 5%. 3. Supogamos que co ua terapia para tratar el miedo a volar e avió se recupera el 80% de los pacietes. Si seleccioamos al azar 16 pacietes que ha acudido a la cosulta de u psicólogo clíico co este tipo de fobia, cuál es la probabilidad de que al meos 12 se haya recuperado y pueda tomar avioes? (Obtega la solució Biomial y la solució por aproximació a la Normal). 4. U exame de Psicología social costa de 30 pregutas, cada ua de las cuales tiee 4 alterativas de las que sólo ua es correcta. Si sabemos que 80 alumos ha respodido al azar a dichas pregutas. Qué proporció de sujetos cabe esperar que haya cotestado correctamete más de 10 pregutas? (Compruebe la diferecia etre icluir o o icluir la correcció por cotiuidad). 7

8 5. E camios el 90% de los estudiates so varoes, mietras que e psicología lo so el 40%. Teemos u sobre co los cuestioarios ya respodidos por ua m.a.s. de 50 estudiates, pero como se despegó la etiqueta idetificativa o sabemos de cuál de esas facultades procede. Comprobamos al abrirlo que cotiee 25 ecuestas de varoes y 25 de mujeres. Qué argumeto probabilístico se puede emplear para cosiderar de qué cetro procede? 6. Tras varios años examiado a los alumos de la asigatura de Aálisis de Datos I, se ha observado que e la primera covocatoria de exame de la asigatura aprueba el 60% de los alumos. Ates de empezar el curso se toma ua m.a.s. de 10 alumos matriculados e la asigatura. Coteste a las siguietes cuestioes: a) cuál es la probabilidad de que e la muestra apruebe el 20%?, b) cuál es la probabilidad de que más del 50% de la muestra apruebe? y c) cuál es la probabilidad de que suspeda meos del 30% de la muestra? 7. Tras u estudio de habitabilidad de los hogares madrileños, se ha descubierto que el 30% está por debajo del límite de habitabilidad. Se ha tomado ua muestra aleatoria simple de 40 hogares madrileños. Coteste a las siguietes cuestioes (utilizado la correcció por cotiuidad): a) cuál es la probabilidad de que como máximo el 50% esté por debajo del ivel de habitabilidad? ; b) cuál es la probabilidad de que como míimo lo esté el 25%? 8

9 Solucioes 1. (a) (b) (a) (b) Solució Biomial: 0,798 Solució Normal: 0, Co correcció: Si correcció: La proporció de varoes e la muestra es de.25; la probabilidad de obteer e ua m.a.s. ua proporció ta alejada como esa de su parámetro es de si π=0.40, mietras que si π=0.90 la probabilidad es muy pequeña (la asociada a ua z = y por tato i siquiera viee e la tabla del libro). Este es u argumeto probabilístico para apoyar la hipótesis de que la muestra procede de la Facultad de Psicología. 6. (a) (b) (c) (a) (b)