1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA. LA BINOMIAL

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1 Estadístca y probabldad 1 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DE VARIABLE DISCRETA. LA BINOMIAL 1.1 DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS Se usa dagramas de barras, dode la altura de éstas represeta la recueca de cada varable, para varables dscretas. Para varables cotuas se usa hstogramas, que so dagramas e que la recueca vee determada por rectágulos que ocupa todo el tervalo Cálculo de los parámetros meda y varaza Meda: Varaza: Desvacó típca: x s x ( x x) s x x 1. CÁCLULO DE PROBABILIDADES x x 1..1 Sucesos aleatoros So los que depede del azar. La proporcó de veces que ocurre u suceso S es la recueca relatva: r(s) (S)/N 1.. Probabldad [ ] lm r(s) P S N S todos los sucesos so equprobables, podemos aplcar la Ley de Laplace: P [ S ] º de sucesos º total elemetales de sucesos de que costa elemetales S 1

2 Estadístca y probabldad 1..3 Experecas compuestas Hay dos tpos: Extraccoes co reemplazameto: cada extraccó se realza e las msmas codcoes que la ateror. Extraccoes s reemplazameto: las codcoes de cada extraccó so dsttas y depede de cuál sea el elemeto extraído aterormete. So experecas depedetes s el resultado de ua de ellas o luye e el resultado de las posterores, y so depedetes s el resultado de ua luye e las sguetes Cálculo de probabldades e experecas compuestas Los descompoemos e sucesos smples Experecas depedetes P[S 1 e 1ª y S e ª] P[S 1 e 1ª] P[S e ª] Experecas depedetes P[S 1 e 1ª y S e ª] P[S 1 e 1ª] P[S e ª/S 1 e 1ª] 1.3 NÚMEROS COMBINATORIOS (probabldad de S codcoada a S 1 ) El úmero de combacoes de m elemetos tomados e grupos de es ( m ) y se puede obteer por el trágulo de Tartagla (que o veremos aquí) o por la sguete órmula: ( m m (m 1) (m )... (m +1) ) ( 1) ( ) ( m ) m!! (m )! 1.4 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD Es el resultado de asgar a cada valor de la varable su probabldad. Es ua dealzacó de las dstrbucoes de recuecas relatvas. Cada p es u úmero compreddo etre 0 y 1 (clusve). La suma de todas las p es 1.

3 Estadístca y probabldad Parámetros e ua dstrbucó de probabldad Meda: Varaza: µ p x ) σ ( Desvacó típca: σ p x p ( x µ ) ( p x ) µ ( µ) 1.5 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL. DESCRIPCIÓN Ua expereca dcotómca es ua expereca aleatora e que prestamos atecó a s ocurre u suceso A (éxto) o su cotraro A. P[A] p P[A ] 1 p q Dstrbucó bomal (B(, p)) es la dstrbucó de probabldad de ua repetcó veces de ua expereca dcotómca dode aalzamos el úmero de éxtos Cálculo de probabldades e ua dstrbucó bomal S x es ua varable que sgue ua dstrbucó B(, p), la probabldad de obteer k éxtos es: P[xk] ( k) pk q -k Meda: Desvacó típca: µ p σ p q 1.5. Ajuste de u cojuto de datos a ua dstrbucó bomal Para aceptar que u cojuto de datos empírcos se dstrbuye segú ua bomal B(, p), haremos lo sguete: Igualamos la meda de los datos obtedos a la meda de la teórca bomal. Así obteemos el valor de p. Hallamos las probabldades P[xk] para cada valor de k, y lo multplcamos por para ver cómo se repartría los dvduos e la dstrbucó teórca. Segú que la mayor dereca etre el valor empírco y el teórco sea sucetemete pequeña, aceptamos o rechazamos la hpótess de que los datos provega de ua bomal. 3

4 Estadístca y probabldad DISTRIBUCIONES DE VARIABLE CONTINUA.1 FUNCIONES DE PROBABILIDAD (x) es ua ucó de desdad o ucó de probabldad de ua varable aleatora s: x 0 x El área bajo la curva y (x) es gual a 1 P [a x b] área bajo la curva e el tervalo [a, b] La probabldad de sucesos putuales es cero, así que: P [a x b] P[a < x < b] Meda (µ): Cetro de gravedad de la dstrbucó Desvacó típca (σ): Medda de la dspersó (o las calcularemos).1.1 Fucó de dstrbucó Fucó de dstrbucó de ua varable aleatora t es la ucó F(x) que descrbe los valores que toma la probabldad acumulada hasta la abscsa x: F x P [t x ] F x 0 lm x lm x F x 1 S sólo toma valores o ulos e u tervalo [a, b], etoces F(x) 0 para x a y F(x) 1 para x b.. DISTRIBUCIÓN NORMAL La curva ormal, o campaa de Gauss es ua ucó de probabldad cotua y smétrca cuyo máxmo cocde co la meda µ...1 Dstrbucó de probabldades bajo ua curva ormal P[µ σ < x < µ+σ] 0,686 P[µ σ < x < µ+σ] 0,9544 P[µ 3σ < x < µ+3σ] 0,9974 4

5 Estadístca y probabldad.. Cálculo de probabldades de ua dstrbucó N(0, 1) TABLA S k 0. P[z < k] Φ(k) P[z > k] 1 - P[z < k] 1 Φ(k) S k < 0. P[z < -k] 1 Φ(k)..3 Cálculo de probabldades de ua dstrbucó N(µ, σ ) P [h x m]p [ h μ z m μ σ σ ] Cambo m μ k σ Esto se llama tpcacó de la varable (ahora sgue ua dstrbucó N(0, 1)).3 LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL SE APROXIMA A LA NORMAL E ua bomal B(, p), cuado p y q so ambos mayores que 3, la aproxmacó es bastate buea, s so mayores que 5, es cas perecta. Se aproxma a ua ormal N(p, pq ). Como e ua ormal la probabldad de u valor putual es cero, y e ua bomal sólo hay valores dscretos, para calcular las probabldades de ua bomal usado la tabla de la ormal, asocamos a cada valor putual de x u terrvalo cetrado e k y de rado 0,5. Para ajustar u cojuto de datos a ua ormal procedemos gual que co la bomal. 5

6 Estadístca y probabldad 3 DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES 3.1 NUBES DE PUNTOS. CORRELACIÓN S estudamos dos varables x, y e u cojuto de dvduo: Dstrbucó bdmesoal es el cojuto de pares de valores (x 1, y 1 ), (x, y ),, (x, y ). Nube de putos o dagrama de dspersó es la represetacó de esos pares de valores como putos e u eje de coordeadas. La correlacó es la relacó etre ambas varables para los dvduos. Puede ser más o meos uerte segú lo que se aproxme a ua recta que marca la tedeca (recta de regresó). La correlacó será postva o egatva segú el sgo de la pedete de la recta. 3. MEDIDA DE LA CORRELACIÓN 3..1 Cetro de gravedad de ua dstrbucó bdmesoal Meda de la varable x: x x Meda de la varable y: El puto ( x, y ) es el cetro de gravedad. 3.. Covaraza σ xy (x x)( y y) 3..3 Correlacó r σ xy σ x σ y Propedades: No tee dmesoes y y x y x y sedo σ x x x Está compreddo etre 1 y 1, y r es tato más cercao a 1 cuato más uerte sea la correlacó. 6

7 Estadístca y probabldad 3.3 RECTA DE REGRESIÓN Método de los mímos cuadrados Es la recta e la cual la suma de los cuadrados de las dstacas de todos los putos es míma. Pasa por el cetro de gravedad de la ube de putos. Su ecuacó es: y y+ σ xy σ x ( x x) La pedete σ xy σ x es el coecete de regresó de Y sobre X Recta de regresó de X sobre Y x x σ xy σ y y y El coecete de regresó de Y sobre X, σ xy σ y o es la pedete de esta recta so su versa. Segú el valor de la correlacó, el águlo de ambas rectas de regresó será próxmo a 90º cuado r sea próxmo a 0, y será cas 0 cuado r sea próxmo a TABLAS DE DOBLE ENTRADA Ua etrada so las x y otra las y. E cada caslla se poe la recueca correspodete al par de valores. Para represetarlo grácamete hay varos métodos: Hchado los putos proporcoalmete a su recueca Levatado barras de altura proporcoal a las recuecas de las correspodetes casllas. 7