TEOREMA DE LA ALTURA SOBRE LA HIPOTENUSA

Transcripción

1 TEOREM DE L LTUR SOBRE L HIPOTENUS Ejemplos 1. Si en un triángulo rectángulo sus catetos miden 8m y 15 m respectivamente, calcular las longitudes de: a) La ipotenusa. b) La proyección del cateto menor sobre la ipotenusa. c) La proyección del cateto mayor sobre la ipotenusa. d) La altura sobre la ipotenusa. Solución B Sea c la longitud de la ipotenusa, para calcularla se aplica el teorema de Pitágoras: 8 15 c 89 c c La ipotenusa mide m. Sea x la longitud de la proyección del cateto menor sobre la ipotenusa, para calcularla se aplica el teorema del cateto: 8 x 64 x 64 x La proyección del cateto menor sobre la ipotenusa mide 64 m. C Sea y la longitud de la proyección del cateto mayor sobre la ipotenusa, para calcularla se aplica el teorema del cateto:

2 15 y 5 y 5 y La proyección del cateto mayor sobre la ipotenusa mide 5 m. D Sea la longitud de la altura sobre la ipotenusa, para calcularla se aplica el teorema de la altura sobre la ipotenusa: La altura sobre la ipotenusa mide 10 m.. Los lados de un triángulo rectángulo miden 48 cm, 55 cm, 73 cm respectivamente. Calcule la longitud de la altura sobre la ipotenusa. Solución Sea x la longitud de la proyección del cateto menor sobre la ipotenusa. Sea y la longitud de la proyección del cateto mayor sobre la ipotenusa. Sea la longitud de la altura sobre la ipotenusa. B Se calcula la longitud de x x 73 x 73 C Se calcula la longitud de y x 73 x 73

3 D Se calcula la longitud de D La altura sobre la ipotenusa mide 640 cm En un triángulo rectángulo cuya ipotenusa mide 37 cm y su cateto menor 1 cm, calcule la longitud de la altura sobre la ipotenusa. Solución Sea x la longitud de la proyección del cateto menor sobre la ipotenusa, para calcularla se aplica el teorema del cateto. 1 x x 37 B C ora se calcula la proyección del otro cateto. Finalmente se calcula la longitud de la altura sobre la ipotenusa x E La altura sobre la ipotenusa mide 40 cm. 37

4 Ejercicios 1. En la columna de la izquierda de la tabla que aparece a continuación, encontrará ternas pitagóricas correspondientes a las longitudes de los lados de diferentes triángulos rectángulos. Usted debe asociar cada uno de estos triángulos rectángulos con la longitud de la altura sobre la ipotenusa en la columna de la dereca, escribiendo la letra correspondiente dentro del paréntesis que considera correcto. Todas las medidas están dadas en centímetros. 65,7,97 B 11,60,61 C 0,48,5 D 36,77,85 E 14,48, Si en un triángulo rectángulo sus catetos miden 10 m y 4 m respectivamente, calcular las longitudes de: a) La ipotenusa. b) La proyección del cateto menor sobre la ipotenusa. c) La proyección del cateto mayor sobre la ipotenusa. d) La altura sobre la ipotenusa. 3. Si en un triángulo rectángulo la altura sobre la ipotenusa mide 6 cm y la proyección del cateto menor sobre la ipotenusa mide 3 cm calcular las longitudes respectivas de: a) La proyección del cateto mayor sobre la ipotenusa. b) El cateto mayor.

5 c) La ipotenusa. d) El cateto menor. Soluciones 1. En todos los casos se considera que: x es la longitud de la proyección del cateto menor sobre la ipotenusa. y es la longitud de la proyección del cateto mayor sobre la ipotenusa. es la longitud de la altura sobre la ipotenusa. 65,7,97 65 x 97 x 7 y 97 y B 11,60,61 11 x 61 x 60 y 61 y C 0,48,5 0 x 5 x 48 y 5 y D 36,77,85 B C 40 E

6 36 x 85 x 77 y 85 y E 14,48,50 14 x 50 x 48 y 50 y D B Sea c la longitud de la ipotenusa, para calcularla se aplica el teorema de Pitágoras: 10 4 c 676 c 6 c La ipotenusa mide 6 m. Sea x la longitud de la proyección del cateto menor sobre la ipotenusa, para calcularla se aplica el teorema del cateto: 10 x x 6 50 x La proyección del cateto menor sobre la ipotenusa mide 50 m.

7 C Sea y la longitud de la proyección del cateto mayor sobre la ipotenusa, para calcularla se aplica el teorema del cateto: 4 y y 6 88 y La proyección del cateto mayor sobre la ipotenusa mide 88 m. D Sea la longitud de la altura sobre la ipotenusa, para calcularla se aplica el teorema de la altura sobre la ipotenusa: La altura sobre la ipotenusa mide 10 m. 3. Sea y la longitud de la proyección del cateto mayor sobre la ipotenusa, para calcularla se aplica el teorema de la altura sobre la ipotenusa: 6 3 y 1 y La proyección del cateto mayor sobre la ipotenusa mide 1 cm.

8 B C D Sea b la longitud del cateto mayor, para calcularla se aplica el teorema de Pitágoras: b 6 1 b 180 b 6 5 El cateto mayor mide 6 5 cm. Sea c la longitud de la ipotenusa, para calcularla basta con sumar las dos proyecciones de los catetos sobre ella: c 3 1 c 15 La ipotenusa mide 15 cm. Sea a la longitud del cateto menor, para calcularla se aplica el teorema de Pitágoras: a 3 6 a 45 a 3 5 El cateto menor mide 3 5 cm.