Lección 5. Punto flotante

Transcripción

1 Lección 5. Punto flotante MIGUEL ANGEL UH ZAPATA 1 Análisis Numérico I Facultad de Matemáticas, UADY Agosto Centro de Investigación en Matemáticas, Unidad Mérida

2 En esta lección aprenderemos lo que es la representación de un número en formato punto flotante. El porqué de su definición. Su formato para números en sistemas decimal y binario. La definición de precisión y el épsilon de la máquina, así como la representación de un número en punto flotante con precisión simple y doble IEEE.

3 Análisis Numérico Punto Flotante La aritmética que se realiza en una calculadora o en una computadora es distinta a la aritmética de nuestros cursos de Álgebra o Cálculo. Uno pensaría que siempre se tuviera como enunciados verdaderos operaciones como = 4, 4 4 = 16, ( 3) 2, sin embargo, la tercera no siempre se da. En nuestro mundo matemático tradicional permitimos que existan números con una cantidad infinita de cifras. Sin embargo, en el mundo de las computadoras, cada número representable tiene sólo un número finito de cifras. Esto significa que sólo los números enteros y algunos numéros racionales se pueden presentar con exactitud. Puesto que 3 no es racional, se da una representación aproximada, uno cuyo cuadrado no es 3, aunque si lo bastante cercano a 3 para que sea aceptable en la mayor parte de las situaciones. 1. Números punto flotante Todos los números deben ser guardados en la computadora y además operaciones aritméticas deben ser ejecutadas con estos números. La mayoría de las computadoras tiene dos maneras de guardar estos números: en formato de enteros y en formato de punto flotante. Los enteros son relativamente directos y no los vamos a considerar aquí. El formato punto flotante es una forma más general permitiendo almacenar números que no son enteros, y en esta sección definiremos el formato punto flotante. A continuación discutiremos el formato más popular usado actualmente por las computadoras en binario, pero empezaremos con el formato punto flotante para números decimales Formato punto flotante para números decimales Para simplificar la explicación de punto flotante de un número, consideremos un número diferente a cero x escrito en el sistema decimal. Un número x puede ser escrito de manera única como x = σ x 10 e (1) donde σ = +1 o 1, e es un entero, y 1 x 10. Estos tres números son llamados signo, exponente (también llamado característica) y significante de la representación (1) respectivamente. El significante también es llamado mantisa en muchos libros de texto. Consideremos el número = (1.2462) 10 2, con el signo σ = +1, el exponente e = 2, y el significante x = El formato (1) es usualmente llamado notación científica en libros de texto de matemáticas de nivel básico o en otras ciencias. La representación de punto flotante de números decimales está básicamente dada por (1), con limitaciones en el número de dígitos en x y en el tamaño de e. Supongamos que limitamos el número de dígitos de x a cuatro y el tamaño de e entre 99 a 99. Decimos que una computadora con tal representación tiene una aritmética de cuatro dígitos decimales punto flotante. OBSERVACIÓN: Punto flotante 3

4 1.2 Formato punto flotante en binario Análisis Numérico Como un corolario a las limitaciones de la longitud de x, nosotros no podemos garantizar que guardaremos de manera precisa (exacta) más que los primeros 4 dígitos de un número, y más aún los cuatro dígitos necesitan ser cambiados por redondeo (el cual definiremos más precisamente más adelante). Porque la aritmética decimal es más intuitiva para la mayoría de las personas, ocasionalmente ilustraremos varias ideas usando aritmética de punto flotante decimal más que aritmética de punto flotante binaria Formato punto flotante en binario Iniciemos dando una breve introducción al sistema de números binarios y su conversión al sistema decimal. El sistema binario representa todos los números como una suma de múltiplos de enteros potencias de 2. Hay únicamente dos dígitos: 0 y 1; y 2 es la base del sistema binario. El siguiente número x en el sistema binario tiene el valor ( ) 2 = (2) en el sistema decimal. Por claridad cuando discutimos un número con respecto a diferente base, nosotros encerramos el número entre paréntesis y escribimos la base con subíndice. En este caso, OBSERVACIONES: ( ) 2 = (13.75) 10 Normalmente un número sin paréntesis es un número en base 1. En general, para convertir un número binario a su equivalente en sistema decimal procedemos de manera similar a la hecha en (2). Ahora consideremos un número x escrito en forma binaria. Análogamente con (1), podemos escribir x = σ x 2 e (3) donde σ = +1 o 1, e es un entero, y x es una fracción binaria satisfaciendo En decimal 1 x 2. Consideremos (1) 2 x (10) 2. x = ( ) 2 = ( ) 2 2 4, entonces σ = +1, e = 4 = (100) 2 y x = ( ) 2. OBSERVACIÓN: Notar que para todo número x 0 el primer dígito de la izquierda del punto en x es siempre 1. La representación de punto flotante de un número binario x consiste de (3) con una restricción en el número de dígitos binarios en x y en el tamaño de e. Punto flotante 4

5 Análisis Numérico 2. Precisión El número permitido de dígitos binarios en x es llamado precisión de la representación de punto flotante binario. El épsilon de la máquina (cero de la máquina) es una manera de medir que tan preciso puede ser guardado un número en la representación de punto flotante utilizada. El épsilon de la máquina consiste de la diferencia entre el 1 y el siguiente número más grande que puede ser guardado en ese formato. En las siguientes subsecciones veremos unos ejemplos. El estándar IEEE para la aritmética en punto flotante es el formato para números puntos flotante usado casi en todas las computadoras actuales. Por ejemplo, todos los procesadores Intel usan este formato. A continuación presentaremos dos formatos estándar IEEE: simple y doble Precisión simple En este estándar, la representación de punto flotante de precisión simple IEEE de un número x tiene una presición de 24 dígitos binarios y el exponente es limitado a 126 e 127: En binario, x = σ (1.a 1 a 2 a 3 a 22 a 23 ) 2 e (4) ( ) 2 e ( ) 2 este formato usa 4 bytes (32 bits) y el esquema de guardado esta bosquejado en la siguiente tabla b 1 σ b 2 b 3 b 9 E b 10 b 11 b 32 x El signo σ es guardado en un bit b 1 (b 1 = 0 para σ = +1 y b 1 = 1 para σ = 1). Definimos E = e como el valor del exponente desplazado 127 lugares. Más que e, se guarda el entero binario positivo E en los bits de b 2 a b 9. El número binario a 1 a 2 a 23 son guardados en los bits de b 10 a b 32. El primer dígito binario 1 de x no es guardado en la representación de punto flotante cuando el número es guardado en la memoria, pero este dígito es insertado en x cuando un número en punto flotante es llamado de la memoria para ejecutar alguna operación aritmética. Necesitamos una representación especial del número x = 0, este es guardado como E = 0 con σ = 0 y b 1 b 2 b 32 = (00 0) 2. En precisión simple, el número 1 es representado por y el siguiente número binario más grande es con el dígito final binario 1 en la posición 23 a la parte derecha del punto. Así el épsilon de la máquina es Entonces , , así decimos que el formato IEEE de precisión simple puede ser usado para aproximar de 7 dígitos decimales de un número x cuando es escrito en su formato decimal. Punto flotante 5

6 2.2 Precisión doble Análisis Numérico 2.2. Precisión doble La representación de punto flotante de precisión doble IEEE de un número x tiene una precisión de 53 dígitos binarios y el exponente es limitado a 1022 e 1023: x = σ (1.a 1 a 2 a 3 a 51 a 52 ) 2 e. (5) La precisión doble utiliza 8 bytes (32 bits) y los números son guardados siguiendo el esquema de la siguiente tabla b 1 σ b 2 b 3 b 12 E b 13 b 14 b 64 x Los bits son guardados de manera análoga a la precisión simple pero con E = e El épsilon de la máquina en precisión doble es , Así el formato en doble precisión puede ser usado para guardar aproximadamente 16 dígitos de un número x. En Matlab, el épsilon de la máquina es disponible con el comando llamado eps. Punto flotante 6