MUNICIPIO DE MEDELLÍN GEOMETRÍA ANALÍTICA. 1. Hallar la dirección, la pendiente y los interceptos de una línea recta.

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1 ESTUDIO ANALÍTICO DE LA LÍNEA RECTA Y APLICACIONES PERÍODO II ÁREA MATEMÁTICAS FECHA: Septiembre 26 de 2013 MUNICIPIO DE MEDELLÍN GEOMETRÍA ANALÍTICA LOGROS: 1. Hallar la dirección, la pendiente y los interceptos de una línea recta. 2. Determinar analíticamente cuando dos rectas son paralelas o perpendiculares. 3. Hallar las ecuaciones básica y general de una recta y resolver problemas de aplicación. CONCEPTOS BÁSICOS TAREA: 1. Consultar la biografía de René Descates. 2. Qué es la Geometría Analítica? Cardeño, J. (2012). Función Lineal, Cuadrática y volúmenes. Recuperado el 26 de septiembre de 2013 de: LA RECTA La recta es una sucesión infinita de puntos. Cuando se traza en el plano cartesiano, se genera a partir de la gráfica de una función lineal, la cual relaciona a dos variables, una llamada independiente x y la otra llamada dependiente y. Se llama dependiente a la variable y, porque su existencia depende del valor que tome la variable x. Ejemplo: Grafiquemos la función Solución: Se debe escoger algunos números que representan a la variable x, para obtener el valor de la variable y respectivamente así: El proceso: x y Para x= -2 1

2 ( ) Para x =-1 ( ) Para x = 0 ( ) Para x = 1 ( ) Figura 1: Línea recta Fuente: Diseño del autor Nos genera las siguientes coordenadas: 2, 8, 1, 5, 0, 2 y 1,1. Luego se ubican en el plano cartesiano. NOTA: Es importante que tengas en cuenta que para graficar una línea recta basta con obtener dos puntos de ella y luego con una regla prolongarlos hasta el infinito, si el dominio es el conjunto de los números reales. Distancia entre dos puntos Punto medio de un segmento ( ) Dirección y pendiente de un segmento ( ) ( ) 2

3 Figura 2: Pendiente de una recta Fuente: Diseño del autor En la figura, θ representa la dirección o inclinación de la recta respecto al eje de las x. La razón entre la longitud y se conoce como pendiente de una recta y se simboliza con la letra m. También se debe establecer una relación entre la pendiente m y las razones trigonométricas para triangulo rectángulo: Ecuación de la recta ( ) Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente: Forma simplificada de la ecuación de la recta Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, y y 1 = m(x x 1 ): 3

4 Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos b. También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada. TALLER No Se tiene un par de puntos: Grafíquelos en un plano de coordenadas Determine la distancia entre ellos Obtenga el punto medio del segmento que los une a) (2, 3) y (5, 2) b) (2, -1) y (4, 3) c) (6, -2) y (-1, 3) d) (1, -6) y (-1, -3) e) (3, 4) y (-3, -4) f) (5, 0) y (0, 6) 2. Cuál de los puntos P(1, -2) o (8, 9) está más cerca de A(5, 3)? 3. Demuestre que el cuadrilátero con vértices P(1, 2), Q(4, 4), R(5, 9) y S(2, 7) es un paralelogramo, mostrando que su diagonales se bisecan entre sí. 4. Trace el rectángulo con vértices A(1, 3), B(5, 3), C(3, 6) y D(7, 6) en un plano de coordenadas. Determine el área del mismo. 5. Grafique el paralelogramo de vértices A(1, 2), B(5, 2), C(3, 6) y D(7, 6) en un plano de coordenadas. Determine el área del mismo. 6. Grafique los puntos A(0, 1), B(5, 0), C(4, 3) y D(2, 3) en un plano de coordenadas. Trace los segmentos AB, BC, CD Y DA. Qué clase de cuadrilátero es ABCD y cuál es su área? 7. Grafique los puntos los puntos P(5, 1), Q(0, 6) y R(-5, 1) en un plano de coordenadas. Dónde debe estar el punto S a fin de que el cuadrilátero PQRS sea un cuadrado? Determine el área de éste. 8. Ubicar en el plano cartesiano y determinar que tipo de figura geométrica se genera, a partir de la unión de los vértices que representan los puntos a continuación. Hallar su respectiva área y perímetro. a) A(-8, 8), B(-4, 8), C(-2, 5) y D(-10, 5) b) E(1, 10), F(4, 10), G(4, 5) y H(1, 5) 4

5 c) I(0, 3), J(3, 0), K(0, -3), y L(-3, 0) 9. Cuál de los puntos A(6, 7) o B(-5, 8) está más cerca del origen? 10. Cuál de los puntos C(-6, 3) o D(3, 0) está más cerca de E(-2, 1)? 11. Demuestre que el triángulo de vértices A(0, 2), B(-3, -1) y C(-4, 3) es isósceles. 12. Determine el área del triángulo de vértices A(-2, 1), B(4, 1) y C(7, 4). 13. Demuestre que el triángulo de vértices C(-3, -3), D(3, 1) y E(2, 2) es rectángulo utilizando el recíproco del teorema de Pitágoras. 14. Determine un punto sobre el eje y equidistante de los puntos (5, -5) y (1, 1). 15. Grafique el paralelogramo de vértices A(-2, -1), B(4, 2), C(7, 7) y D(1, 4), obtenga los puntos medios de sus diagonales y concluya que estas se intersectan en su punto medio. 16. Halla el centro y el radio de la circunferencia que pasa por los puntos D(0, 0), E(1, 7) y F(7, -1). Utiliza solo el concepto de distancia entre dos puntos. OD OE OF y Origen O(x, y) 17. Prueba que los triángulos de vértices G(3, 5), H(1, 1), I(-1, 2), y J(0, -1), K(2, 3), L(4, 2) son rectángulos y congruentes. 18. Hallar la ecuación canónica y general de la recta que pasa por el punto (-4, 3) y tiene pendiente 19. Hallar la pendiente m y el intercepto con el eje y de la recta cuya ecuación es 2y-3x=6 20. Halla la distancia entre los puntos A(-1-4) y B(6,-8) P 1 P2 x2 x1 y2 y1 2 RECUERDA QUE: Calcular la distancia de los siguientes pares ordenados: a) P 1 (-3,0) y P 2 (5,0) b) P 1 (1,8) y P 2 (-2,0) c) P 1 (-5,2) y P 2 (5,4) 22. Demostrar que los puntos (3,6), (5,4), (-4,-1) y (-2,-3) son vértices de un rectángulo: calcular luego su perímetro, área y la longitud de cada una de sus distancias. 23. Cuál es el valor de x si la distancia entre P (8, -1) y Q (x, 3) es 4? 5

6 24. Dibuja y halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos P (-2, -1) y Q (3, 5). Señala el ángulo de dirección que se forma entre el eje positivo de las x y la recta, y resuelve las siguientes preguntas: a) La pendiente es positiva, negativa, no definida o es cero. Por qué? b) Cuál es la ecuación de la recta? c) Cuál es el intercepto con el eje x? d) Cuál es el intercepto con el eje y? e) Cuál es el valor del ángulo? RECUERDA QUE: y 2 y1 m, siempre x x que x2 x 1 y y 1 = m(x x 1 ) y m = Tan = x Según la gráfica, la ecuación de la recta es: Figura 3: Ecuación de una línea recta Fuente: Diseño del autor 26. Calcula la amplitud del ángulo que forma la recta r con la dirección positiva del eje x si sabes que pasa por los puntos: a) A(4, 3), B(-1, 4) b) C(2.5, 2), D(1.5, ) c) E(, 2.6), F(, 1.3) d) G(3, 8), H(-3.4, 2 ) 27. Según la siguiente gráfica la ecuación de las rectas es: 6

7 Figura 4: Recta paralela a los ejes Fuente: Diseño del autor 28. Trazar o sombrear la región expresada por el conjunto dado, según el siguiente ejemplo: Figura 5: Semiplano Fuente: Diseño del autor a) {(x, y) / x 1} b) {(x, y) / 0} c) {(x, y) / x=3} d) {(x, y) / y=-2} e) {(x, y) / 1<x<2} f) {(x, y) / 0 } g) {(x, y) / x 1 y <3} 7

8 h) {(x, y) / >1} i) {(x, y) / 1} j) {(x, y) / >2} 29. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (2, 3) y cumple la condición siguiente: a) Es paralela a la recta 2x+37-5=0 b) Es perpendicular a la recta 4x+5y-20=0 30. Hallar la distancia d desde: a) La recta 8x+15y-24=0 al punto (-2, -3) b) La recta 6x-8y+5=0 al punto (-1, 7) 31. Dado el triángulo de vértices A(-2, 1), B(5, 4) y C(2, -3) hallar la longitud de la altura correspondiente al vértice A y el área del mismo. 32. Hallar la distancia d del punto de intersección de las rectas x+3y-4=0, 5x-y+6=0 a la recta 4x-y-3=0 33. Los puntos A(1,1), B(5,3), C(3,7) y D(-1,5), tomados en ese orden, son los vértices de un cuadrado. a) Halla su área b) Halla el centro y el radio de la circunferencia circunscrita. 34. Dado el triángulo cuyos vértices son D(-5,-5), E(1,7) y F(5,1): a) Halla las ecuaciones de las rectas que pasan por sus vértices y son paralelas al lado opuesto, b) Halla las coordenadas del ortocentro, c) Halla las coordenadas del circuncentro. 35. Las ecuaciones de los lados de un triangulo son: 3x -y-7=0, x+y-5=0 y 2x-y-7=0. Halla las coordenadas de sus vértices. 36. Cuál es la ecuación de la recta perpendicular a la recta 2x-3y+7=0 y que pasa por el punto medio del segmento de esta comprendido entre los ejes coordenados? Respuesta: 36x+24y+35=0 37. Los puntos A(1,-1), B(5,1) y C(1,5) son vértices de un triángulo. a) Clasifica dicho triángulo según la longitud de sus lados b) Calcula su área, perímetro y ángulos interiores c) Calcula las coordenadas del circuncentro, del ortocentro y del baricentro Respuestas: a) Escaleno 8

9 2 u b) Area= 12 c) Ángulos interiores: 45, 71.6 y d) Circuncentro: (2,2), Ortocentro: (3,1) y Baricentro:, 3 3 e) La ecuación canónica de la Recta de Euler. PROBLEMAS DE APLICACIÓN 1. Una presa está construida sobre un río para tener un embalse. El nivel de agua w en el embalse está dado por la ecuación: w= 4.5 t +28 donde t es la cantidad de años desde que la presa se construyó y w se mide en pies. a) Trace una gráfica de esta ecuación b) Qué representan la pendiente y la intersección con el eje w de esta gráfica? 2. A medida que el aire seco asciende, se expande y se enfría. Si la temperatura del suelo es de 20 C y la temperatura a una altura de 1 km es de 10 C, exprese la temperatura T (en C) en términos de la altura h (en km). (Suponga que la relación entre T y h es lineal). a) Dibuje la gráfica de la ecuación lineal. Qué representa la pendiente? b) Cuál es la temperatura a una altura de 2.5 km? 3. Si la dosis de un medicamento que se recomienda para un adulto es D en mg, entonces para determinar la dosis aceptable c para un niño de edad a, los farmacéuticos usan la ecuación: c= D(a+1) Suponga que la dosis para un adulto es de 200 mg. a) Determine la pendiente. Qué representa? b) Cuál es la dosis para un recién nacido? 4. Un pequeño fabricante de electrodomésticos observa que si se produce x tostadores en un mes su costo de producción está representado por la ecuación: y= 6x +3000, donde y se mide en euros. a) Trace una gráfica de su ecuación lineal b) Qué representa la pendiente y la ordenada en el origen de la gráfica? Elaboró: Jorge Cardeño Espinosa DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS. CEFA. 9

10 BIBLIOGRAFÍA: Stewart, James. (2007). Precálculo. Thomson. Mexico. Uribe Calad, Julio Alberto. (2011). Matemática Experimental. Uros Editores. Medellín. Referencia electrónica: Ecuación de la recta. Profesor en línea. Recuperado el 12 de septiembre de 2013 de: René Descartes. Recuperado el 12 de septiembre de 2013 de: 10