CURSO DE HIDRÁULICA 2010

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1 CURSO DE HIDRÁULICA 2010 LECCIÓN 5. MOVIMIENTO DEL AGUA EN CAUCES ABIERTOS EN RÉGIMEN PERMANENTE NO UNIFORME. ECUACIONES DE APROXIMACIÓN AL MOVIMIENTO: MÉTODO DE ZURICH; MÉTODO GEOMÉTRICO. ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO DEFINIDA CONSIDERANDO LA VARIACIÓN DE LAS FUERZAS VIVAS: OBTENCIÓN DE LA CURVAS DE REMANSO-RESALTO. DISCUSIÓN DE LAS CURVAS DE REMANSO-RESALTO. Introducción En el movimiento permanente y uniforme se supone la invariabilidad de: a) geometría del cauce; b) rugosidad de los contornos; c) pendiente del cauce. Aunque no se complan en sentido estricto las tres condiciones, en la práctica se suele adoptar para las situaciones que se aproximan. En el movimiento permanente no uniforme la velocidad en cada punto es constante e independiente del tiempo; pero variable de un punto a otro. Tiene importancia por las consecuencias prácticas con la formación de las curvas de remanso y resalto. Ecuaciones de aproximación al movimiento permanente no uniforme Método de Zurich: Estudio del movimiento permanente no uniforme como una sucesión de movimientos uniformes Este método implica: a) Despreciar las variaciones de las fuerzas vivas del agua, es decir, las debidas a la aceleración de la masa líquida. b) Considerar el rozamiento exactamente igual que cuando se trata de un movimiento uniforme. Si las velocidades no son muy elevadas y la curvatura de la superficie libre es suficientemente ligera, se puede utilizar el método en el supuesto que: 1

2 a) Se conoce el perfil de todo el río. b) Se conoce el nivel del agua en un punto determinado del río. Se opera como sigue: 1) Conocido el gasto Q y el perfil del lecho. 2) Se divide el perfil longitudinal del lecho en tramos: 0-1; 1-2; 2-3; etc. 3) Se determina la altura h de la lámina de agua sobre el umbral del vertedero (por ejemplo utilizando la ecuación de Cipoletti) Conocidos Q y b: De esta forma queda establecido el punto V o 4) Por el punto V o (definido por h) se traza una horizontal hasta que corte a la vertical que pasa por el punto medio del tramo (0-1) 4 ) Con ello se determina a 1 (en la figura) 4 ) Se toma un valor a 1 > a 1 tal que verifique: Siendo q = Q/b (gasto por unidad de anchura) 5) Se establece la pendiente 2

3 Si la recta que pasa por V con pendiente I 1 pasa por V o, el tanteo resulta el adecuado para el tramo (0-1); en caso contrario se tantea con un nuevo valor de a 1. 5 ) Además se determina V 1. 6) Se opera de igual modo y se hace pasar las nueva recta por V 1 y V y así sucesivamente, hasta finalizar con todos los tramos en los que se ha dividido el río 7) En el segundo tramo la a 2 se determina mediante la intersección de la recta V o V 1 con la perpendicular en el punto medio del tramo (1-2) 7 ) El cálculo de a 2 > a 2 se realiza igual que en el tramo anterior. Método geométrico Es un método aproximado. Se basa en asimilar la curva de remanso a una parábola. Sea BC (de calado d) el nivel de la corriente antes de la construcción del azud. Sea el punto B el de intersección de los niveles del agua antes y después de construir el azud. Experimentalmente se comprueba que: la curva de remanso es una parábola de vértice en V, siendo VA = VC y tangente en el punto B al nivel del agua BC. Teniendo en cuenta los ejes XY adoptados en la figura 1) Expresando la tangencia de la parábola a la recta BC en el punto B resulta: Donde I es la pendiente del tramo. 2) Por geometría en la figura se verifica 3

4 Sustituyendo el valor de x en (3) en la ecuación (2) y el valor de λ en la ecuación (2) en la ecuación (1) resulta: Finalmente La altura h (lámina vertiente) se puede determinar por cualquier fórmula que esté verificada, por ejemplo la de Cipoletti. 5) El método permite determinar también la altura del azud Ecuación del movimiento permanente no uniforme definida considerando la variación de las fuerzas vivas Se tiene un movimiento permanente y uniforme en la sección I I y se produce una variación del movimiento en permanente no uniforme en la sección II II Aislemos la longitud x del canal donde se produce dicha variación. Se verifica que: Donde: h o, es el calado del agua en movimiento uniforme I, la pendiente del canal I = tg α x, la distancia entre las secciones I I y II II h, el calado en la sección II II (permanente no uniforme) z, diferencia en el nivel del agua 4

5 Dado que el ángulo α es pequeño, cos α = 1, esto permite considerar como ejes de coordenadas: - La solera del canal, eje OX - Una perpendicular a la solera del canal, eje OY El líquido queda delimitado entre las secciones I I y II II y los contornos AB y CD donde - AB = h o área S o velocidad - CD = h área S velocidad Inicialmente el volumen es ABCD. Al cabo de un tiempo dt pasa a ser A B C D ; donde las secciones dejarán de ser planas, a causa de la diferencia de velocidad de las líneas de corriente que atraviesan las secciones originales AB y CD. La ecuación de continuidad en el movimiento verifica (constancia de la masa) Donde: γ, peso específico del líquido Q, caudal que atraviesa a ambas secciones AB y CD El incremento de la fuerza viva, es decir el incremento de la energía cinética Por el teorema de las fuerzas vivas, el incremento de la energía cinética se debe a la suma de los trabajos de todas las fuerzas, exteriores como interiores, que actúan sobre el líquido en el tiempo dt. Trabajo de las fuerzas que actúan sobre el líquido: 5

6 a) Debido a las fuerzas de presión: b) debido a la acción de la gravedad: Como el centro de gravedad recorre (z+y-z o ), el trabajo desarrollado por la masa líquida es: c) Debido a las fuerzas de rozamiento: Se supone el movimiento descompuesto en elementos uniformes, a los que se aplica La fuerza de rozamiento para todo el tramo valdrá: Aplicando el teorema de las fuerzas vivas: Operando y simplificando: Ecuación del movimiento permanente no uniforme en cauces abiertos. Ecuación de las curvas de remanso-resalto Derivando respecto de x la ecuación (5) 6

7 Derivando respecto de x la ecuación (8) resulta Sustituyendo el valor de dz/dx de la ecuación (9) en la ecuación (10) resulta: Además, por la ecuación de continuidad se tiene: Sustituyendo los valores obtenidos (12) y (13) en la ecuación (11) resulta: Y llamando Resulta finalmente Operando Ecuación diferencial de la curva de remanso-resalto. 7

8 La integración de la curva de remanso-resalto presenta la ecuación La expresión En consecuencia Que al tratarse de un canal rectangular representa el calado crítico Discusión de las curvas de remanso-resalto Partiendo de la curva de remanso-resalto (13), derivando Derivando de nuevo A partir de la ecuación (13) se puede determinar la concavidad de la ecuación dependiendo de los valores que toman k (calado crítico) y h o (calado en movimiento permanente y uniforme) Si k = h o, entonces d 2 x/dh 2 = 0, y existe un punto de inflexión. Además 8

9 Cuando k < h o ; d 2 x/dh 2 < 0, y existe un máximo y la pendiente del cauce I < 5 %o, se trata de una pendiente suave (caso río). Cuando k > h o ; d 2 x/dh 2 > 0, y existe un mínimo y la pendiente del cauce I > 5 %o, se trata de una pendiente fuerte (caso torrente). Pendiente suave: Caso río. K < h o Se analizan tres ramas: - Cuando h < k hasta h = k, intervalo a - Desde h = k hasta h = h o, intervalo b - Cuando h >> h o, intervalo c La ecuación (13) se puede escribir como Intervalo a, h < k < h o 9

10 Concavidad positiva, luego la pendiente crece hasta h = k Cuando h = k La curva es perpendicular a la solera. Además h = k = h crítico y por tanto F = 1 Intervalo b, k < h < h o Concavidad negativa, luego la pendiente de la curva decrece de h = k hasta h = h o En h = k la curva es perpendicular a la solera, como ya se ha visto. En h = h o La curva tiende a la asíndota h = h o Intervalo c, k < h o << h En esta situación, en la ecuación (13), el término Y la ecuación (13) queda definida por: Cuando 10

11 Luego la ecuación (15) queda de la forma: La curva tiende a crecer e identificarse con la horizontal. Además la curva siempre es creciente: Presenta concavidad positiva, luego la curva es siempre creciente. La curva comienza siendo asíndota a h = h o y termina adoptando la pendiente I (respecto al sistema de ejes establecido), luego la recta I x = h f es también una asíndota de la curva. Representaciones gráficas de las situaciones reales a las que corresponden las distintas ramas analizadas. Intervalo a. Desagüe violento por un orificio de fondo situado aguas arriba. Intervalo b. Depresión o resalto por un escalón aguas abajo. Intervalo c. Remanso de elevación por un obstáculo sumergido agua abajo. 11

12 Pendiente fuerte: Caso torrente k > h o Se analizan tres ramas: - Cuando h < h o hasta h = h o, intervalo a - Desde h = h o hasta h = k, intervalo b - Cuando h >> k, intervalo c La ecuación (13) se puede escribir como Intervalo a, h < h o < k Concavidad positiva, luego la pendiente de la curva crece hasta h = h o Cuando h = h o, la curva se acerca asintóticamente a la recta h = h o Intervalo b, h o < h < k 12

13 La concavidad es negativa, luego la pendiente de la curva decrece hasta h = k Cuando h = k La curva es perpendicular a la solera Como h = k = h crítico, al este punto le corresponde F = 1 Intervalo c, h o < k << h En esta situación el término Y la ecuación (13) queda definida por Cuando La ecuación (15) queda de la forma Además la curva es siempre creciente: 13

14 Al ser la concavidad es positiva. La curva tiende a identificarse con la horizontal. La rama comienza en h = k (calado crítico) y termina acercándose asintóticamente a la recta h = I x f Representaciones gráficas de las situaciones reales a las que corresponden las distintas ramas analizadas. Intervalo a. Desagüe violento por un orificio de fondo situado aguas arriba. Intervalo b. Salida de un depósito o de un tramo anterior de menor pendiente. Intervalo c. Remanso de elevación por un obstáculo sumergido aguas abajo. 14