INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA FÍSICA ESTADÍSTICA

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1 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA DIPLOMA DE ESPECIALIZACIÓN EN FÍSICA (ANEP UDELAR) FÍSICA ESTADÍSTICA Curso 013 Práctico II Fundamentos de Probabilidad y Estadística. Fecha de Entrega: 13 de Mayo de Parte A: Ejercicios de Probabilidad: Ejercicio N o 1 5 de Oro: a) Cuál es la probabilidad de sacar el 5 de Oro? Es decir, acertar 5 números sacados aleatoriamente en 44. b) Cuál es el número de jugadas posibles en el 5 de Oro? Ejercicio N o Coeficiente Binomial C N (N ) por Inducción Completa: El número de modos posibles en que pueden distribuirse N elementos de forma que haya N de un tipo y N de otro: C N ( N ) = N! N =! N!( N N )! será utilizado varias veces en los primeros prácticos del curso. Por ello en este Ejercicio se comprobará este resultado de una nueva forma: a) erifique que la relación es válida para N = 1,, 3 y 4 con N tomando todos los valores posibles en cada caso. SUGERENCIA: Realice tablas con todas las ordenaciones posibles en cada caso, y verifique dicha relación contando el resultado que se obtiene. b) Asumiendo la relación es válida para N (con N de un tipo y N de otro). erifique que entonces también será válida para N 1 (con N 1 de un tipo y N de otro). Es decir: C N 1 ( N 1) = ( N 1 )! ( N 1 )! N! 1 - La entrega mínima debe contener los ejercicios marcados con asterisco, que en este repartido son: Ejercicios N o 4, 6, 8 y 9. II 1/6

2 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA FÍSICA ESTADÍSTICA Curso 013 SUGERENCIA: Observe que las únicas dos formas de obtener N 1 elementos (con N 1 de un tipo y N de otro) es tener N (con N de un tipo y N de otro) y agregar uno del primer tipo; o tener N (con N 1 de un tipo y N 1 de otro) y agregar uno del segundo tipo. Ejercicio N o 3 (Reif Berkeley.6) El Ejercicio del Borracho: Un borracho parte de un farol en el centro de una calle, dando pasos de igual longitud a la derecha o a la izquierda con igual probabilidad. Cuál es la probabilidad de que esté nuevamente en el farol después de dar N pasos si: i. N es par, ii. N es impar? Ejercicio N o 4 (*) (Reif Berkeley.4) 3 Ruleta Rusa: En el juego de la ruleta rusa (no recomendado por Reif) se introduce un cartucho en el tambor de un revolver, dejando libre las otras cinco cámaras. Se hace girar el tambor, se apoya el cañón en la sien y se aprieta el gatillo. a) Cuál es la probabilidad de estar con vida después de jugar: i. una vez, ii. dos veces, iii. N veces? b) Cuál es la probabilidad de sobrevivir a N 1 jugadas, produciendo el disparo la N-sima vez que se aprieta el gatillo? c) Cuál es el número medio de veces que un jugador tiene oportunidad de apretar el gatillo en este macabro juego? Ejercicio N o 5: Considere una sociedad en dónde las familias tienen hijos hasta el nacimiento de la primera hija. Calcule en número medio de hijos por familia, el número medio de hijos varones y mujeres, y la fracción de hijos hombres sobre hijas mujeres en esa sociedad. Ejercicio N o 6 (*) (Reif Fundamentos 1.9 y 1.10) Distribución de Poisson: La probabilidad ( n) W de que un suceso, caracterizado por una probabilidad p ocurra n veces en N experimentos viene dada por la distribución binomial: W ( n) n = p 1 n! ( N n) II /6! N n ( p) Considere una situación en que la probabilidad p es pequeña (p << 1) y el número de W n se hace muy pequeña si n N, a experimentos muy grande (N >> 1). Note que ( ) - er también Reif Fundamentos er también Reif Fundamentos 1.5.

3 Práctico II Fundamentos de Probabilidad y Estadística. causa de la pequeñez del factor p n. En consecuencia, W ( n) es solo apreciable cuando n << N. En este caso pueden hacerse algunas aproximaciones para reducir W ( n) a una forma más sencilla. N n a) Demuestre que ( 1 p) exp( Np) utilizando que ln( p) p N n! n b) Demuestre que N ( ) c) Utilizando los resultados anteriores concluya que: W. n λ n! ( n) = exp( λ). 1. siendo λ Np el número medio de sucesos. Esta distribución se llama Distribución de Poisson. d) Demuestre que la distribución de Poisson está adecuadamente normalizada, o sea que: N n= 0 W ( n) = 1 NOTA: La suma anterior puede extenderse hasta infinito porque ( n) despreciable si n N. e) Use la distribución de Poisson para calcular n. f) Use la distribución de Poisson para calcular ( n) ( n n ). W es g) (Opcional) Demuestre que en el caso en que n >> 1 la distribución de Poisson tiende a una distribución gaussiana. 1 n SUGERENCIA: Use la aproximación de Stirling: n! = ( n) n exp( n) expanda ln W ( n) en potencias de n n n << n. π y n, y suponiendo Ejercicio N o 7: Una fábrica produce piezas con una probabilidad p = 0.0 de que una de ellas sea defectuosa. a) Calcule la probabilidad de que un lote de 100 piezas no tenga ninguna defectuosa. b) Haga el mismo cálculo pero con 3 piezas defectuosas. c) Repita los cálculos anteriores pero usando la aproximación de Poisson (ver Ejercicio N o 6) y calcule el error cometido en la aproximación. II 3/6

4 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA FÍSICA ESTADÍSTICA Curso 013 Ejercicio N o 8 (*) (Reif Berkeley.15) 4 Gas Ideal: Considere un gas ideal de N 0 moléculas (sin interacciones mutuas) en equilibrio en un recipiente de volumen 0. Enfoque la atención en un subvolumen cualquier de este recipiente y designe N el número de moléculas contenidas en este subvolumen. Cada molécula tiene la misma probabilidad de encontrarse en un punto cualquiera del recipiente; en consecuencia, la probabilidad de que una molécula esté situada dentro del subvolumen es p =. 0 a) Cuál es el número medio N de moléculas dentro de? Exprese la respuesta en función de N 0, 0 y. b) Determine la dispersión relativa ( N N ) N en el número de moléculas situadas dentro de. Exprese el resultado en función de N 0, 0 y. c) Cuál será la respuesta a la parte anterior si << 0? d) Qué valor tomará la dispersión ( N N ) si 0? Está de acuerdo la respuesta a la parte b con esta presunción? e) Si 0 << << 1, cuál es la probabilidad de que el número de moléculas que 0 hay en este volumen esté entre N y N dn? Ejercicio N o 9 (*) (Salinas 1.6) Distribución Exponencial: Una variable aleatoria x, que varía desde 0 a, está asociada a una densidad de probabilidad exponencial p(x) = A exp( x/λ). a) Encuentre A para que la densidad esté normalizada. b) Calcule <x>, el valor esperado de x, y su dispersión <( x) >. c) Se eligen dos valores x 1 y x en forma independiente. Encuentre <x 1 x > y <x 1 x >. d) Cuál es la densidad de probabilidad de la variable y = x 1 x? Ejercicio N o 10 (Reif Fundamentos 1. y 1.3) ariables Aleatorias: Considere el problema del camino aleatorio para una partícula en una dimensión. Suponga que en cada paso su desplazamiento es siempre positivo y que tiene la misma probabilidad de estar en cualquier sitio dentro del intervalo entre l b y l b, siendo b < l. Después de N pasos: a) Cuál es el desplazamiento medio x? 4 - er también Reif Fundamentos 1.16 y II 4/6

5 Práctico II Fundamentos de Probabilidad y Estadística. b) Cuál es la dispersión ( x x )? c) Repita las partes anteriores si la probabilidad de un desplazamiento entre s y s ds es gaussiana con valor medio l y dispersión σ. Ejercicio N o 11 (Reif Berkeley.15) 5 Cálculo de un alor Cuadrático Medio: Una batería de potencial está conectada a una resistencia R. En consecuencia se disipa una potencia P = en dicha resistencia. La batería está formada por N R celdas individuales conectadas en serie de forma que es la suma de los potenciales de todas las celdas. La batería es vieja de forma que no todas las celdas están en perfectas condiciones. Por lo tanto, existe una probabilidad p de que el potencial de cualquier celda individual tenga su valor nominal v; y una probabilidad 1 p de que el potencial de cualquier celda individual sea cero por cortocircuito interno. Las celdas individuales son estadísticamente independientes entre sí. Bajo estas condiciones calcule la potencia media P disipada en la resistencia, expresando el resultado en función de N, v, p y R. Ejercicio N o 1 Difusión en una dimensión: El objetivo del presente ejercicio es entender como la naturaleza difusiva del movimiento de un sistema de partículas está asociada a que la dispersión ( x) = Dt donde D es el coeficiente de difusión y t es el tiempo. El coeficiente de difusión está definido por la ley de Fick que establece que para el transporte en régimen difusivo en un sistema unidimensional: j x ( x, t) ( x, t) n = D x donde j x es la componente del flujo de partículas en la dirección creciente de la coordenada x de un sistema unidimensional, y n es la concentración o densidad de partículas (no uniforme, y por lo tanto que evoluciona en el tiempo). Estas cantidades se encuentran vinculadas además por la ecuación de continuidad que asegura la conservación del número de partículas: ( x, t) n( x, t) j x = 0. x t a) Eliminando el flujo de partículas obtenga una ecuación diferencial en derivadas parciales para la concentración n(x,t). b) Asuma esta densidad obedece una distribución gaussiana de valor esperado nulo pero desviación estándar dependiente del tiempo, es decir: σ ( t) = ( x). Escriba esta densidad en forma exacta en función de x, σ y el número de partículas totales N er también Reif Fundamentos II 5/6

6 INSTITUTO DE FÍSICA FACULTAD DE INGENIERÍA FÍSICA ESTADÍSTICA Curso 013 NOTA: A diferencia de una densidad de probabilidad la densidad de partículas está normalizada de forma que su integral de elnúmero de partículas totales N 0. c) Sustituyendo la concentración anterior en la ecuación diferencial de la parte a), encuentre una ecuación que dé la evolución temporal de σ. d) erifique que como consecuencia de la ecuación anterior ( ) = Dt x. e) incule el resultado con la caminata al azar unidimensional en el caso de un régimen completamente aleatorio (p = q = ½) para tiempos grandes (muchos pasos). II 6/6