AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO.

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1 AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. LONGITUDES, AREAS Y VOL UMENES. Un trtmiento mlio de l integrl ermite el clculo de longitudes de curvs, res de suercies (lns y lbeds) y de volumenes. Con nuestro conocimiento de l Integrl de Riemnn r funciones de un vrible solo somos cces de clculr res ln de recintos limitdos or grcs. Vmos ir un oco ms ll usndo solo l integrl de Riemnn, unque l justiccion de lo que vmos decir qued fuer de nuestro lcnce (untremos lguns ides en los Aendices siguientes). Longitud de un grc. Vmos dr un formul de l longitud de un grc. Figur. >Como medimos l longitud de un gc?. Teorem.. Dd un funcion f : [; b]! R derivble con derivd f 0 continu en [; b]; l longitud de su grc viene dd or l formul b LongGrff = + f 0 (x)dx: En el Aendice: Longitud de un Curv Prmetric, justicremos de donde sle est formul. Es ms, dremos un denicion de longitud de un curv. Aunque todo ello qued fuer del lcnce de este curso. Ejemlo.. Queremos medir l longitud del rco de rbol f : [0; ]! R; con f (x) = x :

2 C. RUI Demostrcion: L formul nterior nos dice que tenemos que clculr + ( (x ) 0 ) dx = + 4x dx 0 0 Vmos clculr un rimitiv de est funcion. As + 4x dx si hcemos el cmbio de vrible y = x; s dy=dx, tenemos + y dy el cmbio de vrible y = senh u; y s dy = cosh u; tenemos = + senh u cosh udu = cosh udu usndo l relciones de ls funciones hierbolics (ver Artculo: Otrs Tecins de Clculo de Primitvs) = cosh u + du = 8 senh u + 4 u como senhu = coshusenhu = + senh usenhu y u = rcsenhy = 4 ( + y y + rcsenhy) = 4 ( + 4x x + rcsenhx): Luego tenemos que + ( (x ) 0 ) dx = ( 0 4 ( + 4x x + rcsenhx)j 5 0 = + rcsenh 4 Are entre grcs. Sbemos clculr el re or debjo de un grc de un funcion ositiv. Vmos denir el re entre dos grcs. Denicion.. Sen f; g : [; b]! R dos funciones integrbles sobre el intervlo [; b]; Denimos el recinto entre ls dos grcs or A f;g = f (x; y) R : x [; b] y con f (x) y g(x) o g(x) y f (x) g: El siguiente dibujo nos convence de como clculr el re entre dos grcs.

3 APUNTES MMI 3 Figur. Are entre dos grcs. Teorem.. f; g : [; b]! R dos funciones integrbles sobre el intervlo [; b]: El re del recinto entre grcs A f;g viene dd or b j(f g)(x)jdx: Ejemlo.. Vmos clculr el re comrendid entre ls grcs: y = x e y 3 = x : Demostrcion: Reresentmos ls grcs de ls funciones f (x) = x y g(x) = 3 x ; lgo que no es muy comlicdo (observemos que mbs son funciones res). Figur 3. Grcs de ls funciones f y g: A continucion ls sobreonemos mirndo los untos donde se cortn, es decir ls soluciones de x = 3 x, ( x ) 3 = x y ls soluciones son clrmente x = y x = : As tenemos que el re clculr es

4 4 C. RUI Figur 4. Are entre dos grcs. Vemos dems que f (x) = x 3 x r todo x [ ; ]: Luego el re entre grc es j x 3 x jdx = x 3 x dx = (x x 3 3 3x 5=3 j 5 = ( ) = ( 4 5 ) = 5 L circunferenci y el crculo. En el Artculo de Reresentncion de Grcs intmos l elise y = r b ( x ): Cundo = b tenemos un circunferenci de rdio : De l circunferenci de rdio conocemos su longitud y el re del crculo. Figur 5. Are del semicrculo y longitud de l semicircunferenci. >De donde slen estos numeros? Como l funcion f (x) = x es continu en [ ; ]; l siguiente denicion tiene sentido. Denicion.. Llmmos numero (i) l vlor de l integrl x dx: = Ejercicio.. >Cul es l longitud de l semicircunferenci de rdios?

5 Demostrcion: Tenemos l funcion f (x) = APUNTES MMI 5 x : Por l formul del clculo de l longitud de un grcs y como f 0 (x) = r + f 0 x (x)dx = + ( x ) dx = x x ; s r + x x dx x dx = rcsin xj = ( ) = : Observemos que lo que hemos clculdo es un integrl imroi ddo que hemos integrdo un funcion no cotd. De hecho, hemos busdo de l formul de l longitud de un grc. L form corect hubiese sido clculr 0 dx = lm dx + lm x r! + r x s! 0 x dx: El resultdo es el mismo Ejercicio.. >Cul es el re de l semicrculo de rdios R? Demostrcion: Tenemos l funcion f (x) = R x : El re or debjo de un grc es Figur 6. Are del semicrculo de rdio R. R R R r R x dx = R ( x R R ) dx es cmbio de vrible y = x ; y s dy = dx; nos d R R y dy = R = R or l denicion de. Luego nos sle l solucion conocid Observcion.. L denicion que hemos ddo del numero es coherente con lo que sbemos sobre res de crculos y longitudes de circunferencis. Ejercicio. 3. Considermos l semicircunfernci de rdio l unidd f (x) = x : Fijmos un unto sobre l grc (x; y) = (x; x ): Este unto

6 6 C. RUI determin un sector circulr. Lo que vmos robr es que el re del sector circulr es l mitd que l longitud del rco del sector: : Figur 7. Sector circulr. Demostrcion: Se A(x) el re del sector circulr determindo or los untos: (0; 0); (; 0) y (x; x ): As A(x) = s ds x x + : x El segundo sumndo es el re de un tringulo que sum si x > 0 y que rest en otro cso. Se (x) l longitud del rco del sector de rrib. As licndo l formul de l longitud de un grc (x) = s ds x (segun hemos visto l clculr l longitud de l semicircunferenci un oco ms rrib). Lo que queremos robr es que A(x) = (x) r todo x [ ; ]: Considermos l funcion H(x) = A(x) (x): Es clro que H() = 0: Y que es continu en [ ; ] (ejercicio). Por otr rte, usndo el Teorem Fudmentl del Clculo H 0 (x) = A 0 (x) 0 (x) = x + x x x + x = x + x x = 0: Como su derivd es nul, H es constnte y como H(0) = 0; vemos que es un funcion nul Volumen de un solido de revolucion.

7 APUNTES MMI 7 Dd un funcion f : [; b]! R, odemos hcer girr su grc lrededor del eje de bciss (y = 0). Con ello roducimos un solido de revolucion V f = f (x; y; z) R 3 : x [; b] y y + z f (x) g: Figur 8. Volumen de Revolucion. Tenemos un formul r clculr este tio de volumenes. Teorem. 3. Dd un funcion f : [; b]! R continu, entonces el volumen del solido de revolucion que roduce l grc de f l rotr resecto del eje y = 0 es VolV f = b f (x)dx: Observemos que lo que hcemos es integrr ls res de ls secciones circulres del solido. Probr este resultdo no est nuestro lcnce, ues suone conocer l integrl de Riemnn r funciones de vris vribles y el Teorem de Fubinni (l herrmient que ermite clculrls reduciendo el roblem clculr vris integrles de funciones de un vrible). Ejemlo. 3. Vmos clculr el volumen que se roduce l girr, lrededor del eje 0X; el rco de ctenri y = cosh( x ) r [ ; ]: Demostrcion: Tenemos l funcion f (x) = cosh( x ) = ex + e x > 0: Clrmente es un funcion continu. Observemos dems que f (x) = e x + + e x : 4 El volumen del solido de revolucion que gener es, segun l formul de rrib, cosh ( x )dx

8 8 C. RUI usndo ls formuls hierbolics (ver el rtculo Clculo de Primitivs: Otrs Tecnics ) = + cosh( x ) dx = (x + senh(x )j = ( + senh ) = senh = 3 ( + senh ): El clculo nterior tmbien lo odimos hber echo de l form cosh ( x )dx = e x + + e x dx 4 = 4 [ e x + x e x j = 3 ( + senh Referencis ) Dertmento de Anlisis Mtemtico, Fcultd de Mtemtics, Universidd Comlutense, 8040 Mdrid, Sin E-mil ddress : Cesr

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