Hoja 1. Trigonometría.doc Hoja 2. Resolución de triángulos.doc Hoja 3. Geometría analítica.doc Hoja 4. Cónicas.doc Hoja 5. Funciones, límites y
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- Andrea Benítez Navarrete
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1 Hoja Trigonomtríadoc Hoja Rsolución d triángulosdoc Hoja Gomtría analíticadoc Hoja Cónicasdoc Hoja Funcions, límits continuidaddoc Hoja 6 Drivadasdoc Hoja 7 Aplicacions d la drivadadoc Hoja 8 Optimizacióndoc Hoja 9 Intgral indinidadoc Hoja Intgral dinida Árasdoc
2 Pndints d Matmáticas I Hoja TRIGONOMETRÍA º Sabindo qu cot g, halla l rsto d razons trigonométricas d n utilizar la calculadora º Sabindo qu cosc, halla l rsto d razons trigonométricas d n utilizar la calculadora º Suponindo qu sn º, calcula l sno, cosno tangnt d 7º, º, 6º, º, º, 7º º Suponindo qu tg º, calcula l sno, cosno tangnt d º,º, º, º, º, º º Calcula razonadamnt las razons trigonométricas d 7º, º, º º 6º Dmustra qu: sn sn sn sn 7º Simpliica la prón: sn sn cos cos 8º Dmustra qu: tgº tgº tg 9º Calcula l valor d: a sn7º snº b cos7º cosº º Rsulv las guints cuacions trigonométricas: a sn j sn b sn cos cos c sn cos k cot g cos d cos sn cos sn cos l tg tg sn cosc g sn cos m cos sn sn cos cos cos h tg cos tg i cos tg n
3 Pndints d Matmáticas I Hoja HOJA Nº RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS º Rsulv los guints triángulos: a a= m, B=º, C=º b a= m, b=6 m, C=7º c a=7 m, b= m, c= m d a=8 m, b= m, A=7º a= m, b= m, c=m a= m, B=º, C=º g b= cm, c= cm, A=º h a=8 6 m, b= m, A=9º º Halla l ára d un pntágono rgular d 8 m d lado º Un punto dista cm dl cntro d una circunrncia d cm d lado Halla l ángulo qu orman las dos tangnts trazadas dsd s punto a la circunrncia º Un avión vula ntr dos ciudads, A B, qu distan 8 km Las visuals dsd l avión a A a B orman ángulos d º º con la horizontal, rspctivamnt A qué altura stá l avión? º Un barco B pid socorro s rcibn sus sñals n dos stacions d radio, A C, qu distan ntr sí km Dsd las stacions s midn los ángulos B AC ˆ 6º B CA ˆ º A qué distancia d cada stación s ncuntra l barco? 6º Uno d los lados d un triángulo s dobl dl otro l ángulo comprndido mid 6º Halla los otros ángulos 7º En un ntrnaminto d útbol s coloca l balón n un punto tuado a m 8 m d cada uno d los posts d la portría, cuo ancho s d 7 m Bajo qué ángulo s v la portría dsd s punto? 8º Las diagonals d un parallogramo midn 6 cm cm orman un ángulo d 7º Halla los lados los ángulos dl parallogramo
4 Pndints d Matmáticas I Hoja GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA º Dtrmina son bass los guints conjuntos:, ;, a B b B, ;, º Halla l punto mdio dl sgmnto d trmos P(-, Q(, º Divid l sgmnto PQ antrior n trs parts iguals º El punto mdio dl sgmnto AB s M(, l trmo B(, Halla las coordnadas d A º Halla las coordnadas dl baricntro dl triángulo d vértics A(,-, B(, C(,7 6º Da las cuacions d las guints rctas: a r pasa por A(, B(,- v c Ejs d coordnadas d r pasa por A(,- orma un ángulo d º con l smij OX potivo b r pasa por A(,- su vctor dirctor s, 7º Dada la rcta r 6 a Halla dos puntos dos vctors dirctors b Cuál s su pndint? Halla los puntos d cort con los js 8º Halla a para qu la rcta a a pas por l punto P(,- 9º Halla l valor d k para qu la rcta r k sa paralla a s º Halla l valor d k para qu la rcta r k k sa paralla a s 7 º a Halla la cuación d la rcta qu pasa por A(,- s paralla a r 6 b Halla la cuación d la rcta qu pasa por l punto d intrscción d las rctas r ; s s paralla a la dtrminada por los puntos A(, B(,- º Dado l triángulo d vértics A(,, B(, C(,, halla: a La cuación d la mdiana corrspondint a A b La longitud dl lado AB c Coordnadas dl baricntro d Ecuacions d dos alturas coordnadas dl ortocntro Ecuacions d dos mdiatrics coordnadas dl circuncntro Longitud d la altura corrspondint a A g El ángulo qu orman los lados AC BC h El ára dl triángulo º Trs vértics conscutivos d un parallogramo son los puntos A(,, B(, C(-,8; halla l cuarto vértic º Halla l valor d k para qu A(,, B(-, C(k,7 stén alinados º Dtrmina los puntos d cort con los js d r
5 Pndints d Matmáticas I Hoja 6º Dados, v u tal qu u 8, sabindo qu los dos vctors orman un ángulo d 6º, calcula su producto scalar 7º San u 6, v,, halla su producto scalar l ángulo qu orman v, v 8º Calcula l producto scalar d u v sabindo qu u u, v 6 9º Halla l ángulo qu orman las rctas r s 9 u º Halla la cuación d las rctas qu pasan por l punto P(, orman un ángulo d º con la rcta d cuación r 6 º Halla la prpndicular a la rcta AB trazada por l punto A ndo A(, B(,- º Halla la cuación d la rcta qu pasa por l punto P(, s prpndicular a la rcta r 6 º Halla la distancia dl punto d intrscción d las rctas r 6 ; s, a la rcta qu corta a los js n A(, B(,- º Halla las cuacions d las bisctrics d los ángulos dtrminados por las rctas: r s º Un parallogramo tin un vértic n A(,- dos d sus lados son las rctas r 7 s Halla las coordnadas d los otros vértics calcula l ára 6º Halla la cuación d las rctas qu son parallas a r distan unidads dl punto A(, 7º Dado l punto A(, a Calcula l métrico d A rspcto d B(, b Calcula l métrico d A rspcto d la rcta r 8º Dados los puntos A(,- B(, Halla las coordnadas d un punto P d la rcta r tal qu las rctas PA PB san prpndiculars 9º Dadas r m m m m s a Halla m para qu san prpndiculars n st caso halla su punto d intrscción b Halla m para qu san parallas n st caso halla la distancia ntr llas º Los puntos A(-,- C(, son vértics opustos d un rombo El vértic B stá n l j d ordnadas Calcula los vértics l ára º Dados los puntos A(, B(7,8 Halla un punto P d la rcta r qu quidist d ambos
6 Pndints d Matmáticas I Hoja CÓNICAS º Halla la cuación d la circunrncia d cntro (,- radio (Solución: º Calcula la cuación d la circunrncia cuo cntro s C(,- qu pasa por l punto P(, (Solución: º Calcula las coordnadas dl cntro l radio d la circunrncia: 6 66 (Solución: C(-,, r º Calcula la cuación d la circunrncia d cntro l orign radio º Calcula la cuación d la circunrncia qu pasa por los puntos P(,, Q(, S(-, (Solución: 7 6º Dada la circunrncia 6 7, calcula la cuación d otra concéntrica con ésta qu: a Tnga radio (Solución: 6 b Pas por l punto P(,-7 (Solución: 6 8 7º Halla la poción rlativa d la rcta circunrncia guints, calcula sus puntos d cort, istn: r (Solución: son scants 8 Los puntos d cort son: P,, Q(, 8º Estudia la cuación 8 corrspond a una circunrncia (Solución: no 9º Halla la cuación d una circunrncia sabindo qu uno d sus diámtros tin 7 como trmos los puntos A(, B(-, (Solución: º Escrib la cuación d la circunrncia cuo cntro s l punto C(, qu s tangnt a la rcta r (Solución: º Avrigua la cuación d la circunrncia qu pasa por l punto P(,-, cuo radio s cuo cntro s halla n la bisctriz dl primr trcr cuadrants (Solución: ; º Calcula la cuación d la tangnt a la circunrncia d cuación 6 por l punto P(, (Solución: r
7 Pndints d Matmáticas I Hoja º Halla la cuación d la tangnt a la circunrncia n l punto P, (Solución: º Dtrmina la cuación d una lips d j maor vrtical cntrada n l punto P(,- d js 8 (Solución: Cuál sría la cuación 6 8 su j maor horizontal? (Solución: 8 6 º Calcula la cuación d una lips cntrada n l orign, d smij maor cm distancia ocal cm (Solucións: 6 ; 6 6º Calcula la cuación d una lips d cntricidad smidistancia ocal (Solución: No s la única solución pobl 7º Halla la cntricidad d la lips d cuación (Solución: 8 8º Calcula l j maor, l j mnor, las coordnadas d los vértics, d los ocos la cntricidad d (Solución: ; 8; (,; (-,; (,; (,-; F(,; 6 F (-,; 6 9º Halla la cuación d la lips cuos ocos son F(, F (-, tl qu la suma d distancias d un punto cualquira d lla a los ocos s (Solución: 9 º Halla la cuación d una lips con ocos n l j d abscisas qu pasa por l punto P(,- cua cntricidad s (Solución: º Calcula la cuación d la hipérbola cuos ocos son F(, F (-, tal qu la dirncia d distancias d un punto cualquira d lla a los ocos s 8 (Solución: 6 9 º Halla las asíntotas d la hipérbola: 8 (Solución: 9 º Calcula la cuación d una hipérbola cntrada n l orign, d j ral cm distancia ocal cm (Solución: No s la única solución pobl 6
8 Pndints d Matmáticas I Hoja º Calcula la cuación d una hipérbola d cntricidad smidistancia ocal 7 (Solución: No s la única solución pobl º Calcula la cntricidad d: (Solución: 8 6º La hipérbola d smij ral distancia ocal, s quilátra? (Solución: sí 7º Calcula los ocos los vértics d la hipérbola F, ;, V ;, V (Solución:, F ; 8º calcula la cuación d una parábola d dirctriz la rcta d cuación oco F(,- (Solución: º Calcula l lugar gométrico d los puntos dl plano qu quidistan d la rcta dl punto P(, (Solución: 6 6 º Calcula la cuación d la parábola d oco F(,- dirctriz l j d abscisas (Solución: º Halla la cuación d una parábola qu tin l vértic n l punto V(,, dirctriz horizontal n la qu p (Solución: 6
9 Pndints d Matmáticas I Hoja FUNCIONES LÍMITES Y CONTINUIDAD º Halla l dominio d las guints uncions: 8 a (Sol d b (Sol,, (Sol (, ] [, c log 9 [,,, (Sol,, (Sol (Sol º San las uncions a Halla g (Sol 7 g b Calcula g (Sol º Halla los guints límits: a lim b lim (Sol: -7 c lim (Sol: d lim (Sol: lim ; (Sol: lim lim (Sol: (Sol: g lim h lim (Sol: (Sol: lim i j k 6 lim 6 (Sol: No ist 7 lim (Sol: lim l lim (Sol: (Sol: m lim (Sol:
10 Pndints d Matmáticas I Hoja º Estudia la continuidad d las guints uncions: a b 7 8 c d log 6 º Calcula k para qu las guints uncions san continuas: a k b 6 k c k 6º Calcula las asíntotas d: a A O AV b (No tin c A H AV d A O AV A H AV, A H AV g A H AV h ( ( izda dcha A H AV i A H AV j A O AV
11 Pndints d Matmáticas I Hoja 6 DERIVADAS cos sn sn sn sn sn 6 lnln 7 cos cos arctg arctg ln sn 8 9 sn ln sn cos 7 sn sn 8 logsn arcsn 9 sn
12 Pndints d Matmáticas I Hoja 6 SOLUCIONES cos sn sn sn cos cos cos sn 6 ln 7 cos sn 8 9 g cot cos sn sn sn sn cos cos 7 sn cos 6 cos 8 ln cot g 9 ln ln sn ln cos
13 Pndints d Matmáticas I Hoja 7 APLICACIONES DE LA DERIVADA º Estudia la drivabilidad d (Sol: no s drivabl n, º Halla a b para qu sa drivabl: (Sol: b, a º Estudia la drivabilidad d a b (Sol: no drivabl n a º Halla la cuación d la rcta tangnt a la curva (Sol: n l punto d abscisa º Halla la cuación d la rcta tangnt a la curva n l punto d ordnada abscisa ngativa (Sol: 7 6º Dada la curva la rcta n, dtrmina n para qu la rcta sa tangnt a la curva (Sol: n 7º Sa la unción Halla las cuacions d la rcta tangnt d la rcta normal a su gráica n l punto d abscisa (Sol: t 8, n 7 8º Sa la unción Halla la rcta tangnt a su gráica qu tin pndint igual a (Sol: 9º La rcta 7 s tangnt a la gráica d la unción a b n l punto d abscisa Calcula a b (Sol: a 7, b º En qué puntos d la curva 6 7 la tangnt s paralla al j d abscisas? (Sol:,, º Halla c para qu l valor mínimo d c sa igual a 8 (Sol: c 9 º Halla b c para qu b c alcanc un mínimo n, (Sol: b, c P
14 Pndints d Matmáticas I Hoja 8 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN º Halla dos númros cua suma sa, sabindo qu su producto s máimo (Sol: º Halla las dimnons d un campo rctangular d 6 m d suprici para podr crcarlo mdiant una valla d longitud mínima (Sol: cuadrado d lado 6 m º D todos los triángulos isóscls d cm d prímtro, halla las dimnons d los lados dl qu tnga ára máima (Sol: triángulo quilátro d lado cm º S dsa construir una lata d consrvas n orma d cilindro circular rcto d ára total cm volumn máimo Halla sus dimnons (Sol: r cm, h cm º Calcula las dimnons dl rctángulo d maor ára d prímtro constant igual a 8 m (Sol: cuadrado d lado m 6º Dsd una cas tuada n l punto (7, s quir hacr un camino rcto para conctarla con una carrtra cuo trazado vin dado por la cuación Con qué punto d la carrtra concta l camino más corto pobl? (Sol:, 7º Halla dos númros potivos cua suma s 8, sabindo qu l producto d uno d llos por l cuadrado dl otro ha d sr máimo (Sol: 6 8º Calcula la longitud qu dbn tnr los lados d un rctángulo inscrito n una circunrncia d radio m para qu l ára sa máima (Sol: cuadrado d lado 9º Dscompón 98 n dos sumandos tals qu la suma d sus raícs cuadradas sa máima (Sol: 9 9 º D todos los conos d rvolución d gnratriz cm, cuál s l d volumn máimo? Nota: V r h GRÁFICAS Rprsnta gráicamnt: ln ln
15 Pndints d Matmáticas I Hoja 9 INTEGRAL INDEFINIDA º sn d º cos º d º d º d 6º d 7º cos d 8º ln d d º d 9 º d 7 tg º d cos º d º d 6º d 9 7º cos sn d 9º d º d cos º cos K º sn K º K º K º K 6 6º K 6 7º sn K SOLUCIONES ln 8º K 9º K ln º tg K º ln 9 K º K º 7 tg K º arcsn K
16 Pndints d Matmáticas I Hoja 9 º ln arctg K 6º arctg K 7º sn K
17 Pndints d Matmáticas I Hoja º Calcula: a d b c 6 d d 8 7 d d ln cos d sn d g sn cos d h d INTEGRAL DEFINIDA ÁREAS i sn cos d j d 9 d k l sc d º Halla l ára limitada por las rctas,, 7 l j d abscisas 6 ( u º Halla l ára dl rcinto comprndido ntr l j d abscisas, l j d ordnadas la 9 rcta qu pasa por l punto P, tin por pndint - ( u º Halla l ára limitada por la curva 9 l j d abscisas ( 6 u º Ára d la rgión limitada por la curva 7 6, l j d abscisas las rctas 7 6 ( u 6º Ára d la rgión limitada por la curva 6 8 l j OX ( 8 u 7º Ára limitada por la curva 6, l j d abscisas las rctas ( 7 ln u 8º Ára limitada por las rctas, 6 l j OX Dibuja la gráica ( u
18 Pndints d Matmáticas I Hoja 9º Halla l ára limitada por las curvas, ( la rcta u º Halla l ára limitada por las curvas ( u, las rctas º Halla l ára d la rgión limitada por las curvas 6 6 ( u º Halla l ára d la rgión limitada por las curvas 9 ( u º Halla l ára d la rgión limitada por las curvas ( u
c) Expresar en radianes los siguientes ángulos : 30º, 60º, 75º, 225º, 315º, 330º 5 ; rad 3
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lm í d x = lm í ln x + x 1 H = lm í x + e x 2
Autovaluación Página 8 Calcula los siguints límits: a) lm í c m b) lm í ccotg m c) lm í sn d) lm í ( ) / 8 ln 8 8 ln ( cos ) 8 a) lm í 8 c ln ln H ( / ) lm í ( )ln 8 ln m lm í 8 H lm í / 8 b) lm í 8 dcotg
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