2. Distancia entre dos puntos. Punto medio de un segmento

Transcripción

1 Geometría 1 Geometría anaĺıtica Una ecuación de primer grado con dos incógnitas x e y tiene infinitas soluciones Por ejemplo x + y = 3 tiene como soluciones (0, 3), (1, ), ( 1, 4), etc Hasta ahora se han estudiado estas ecuaciones formando parte de un sistema, de forma que lo que se busca no es tanto las soluciones de una ecuación sino la solución o las soluciones comunes a todas las ecuaciones del sistema En este tema vamos a abordar el problema desde otro punto de vista Consideraremos las soluciones de la ecuación como coordenadas de puntos relativas a unos ejes Se puede ver que los puntos soluciones de la ecuación forman una línea recta Pueden asociarse así los conceptos básicos de la Geometría, puntos y rectas, con los conceptos fundamentales del Álgebra, números y ecuaciones De forma similar, pueden relacionarse ecuaciones con dos incógnitas no lineales (de grado superior al primero) con curvas en el plano En concreto, las ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas, se corresponden con un tipo de curvas que se denominan cónicas y que serán objeto de estudio en este mismo tema Esta rama de las Matemáticas que relaciona curvas y ecuaciones se llama Geometría analítica Distancia entre dos puntos Punto medio de un segmento P 1(x 1,y 1) d P (x,y ) x x 1 y y 1 P 1(x 1,y 1) P (x 0,y 0 ) x 0 x 1 P (x,y ) x x 0 y 0 y 1 y y 0 La distancia entre dos puntos puede calcularse a partir de sus coordenadas De la figura y del teorema de Pitágoras se desprende que: d = (x x 1 ) + (y y 1 ) También pueden calcularse fácilmente las coordenadas del punto medio de un segmento cuando se conocen las coordenadas de los extremos Sea el segmento definido por los puntos P 1 (x 1, y 1 ) y P (x, y ) Sea P (x 0, y 0 ) el punto medio del segmento P 1 P De la igualdad de los triángulos representados en la figura se deduce que: x 0 x 1 = x x 0 = x y 0 y 1 = y y 0 = x 1 + x ; y 0 = y 1 + y 0 1

2 3 ECUCINES DE L RECT 3 Ecuaciones de la recta B y α x B(0,b) P (x 0,y 0 ) x x 0 (x,y) y y 0 El concepto fundamental para relacionar una recta con una ecuación es el de pendiente m Se llama así el cociente de las variaciones de y y de x entre dos puntos de la recta La pendiente es igual a la tangente del ángulo que forma la recta con la horizontal tomada en el sentido de las x positivas m = y x = tg α La pendiente es positiva si x y y tienen el mismo signo y es negativa en caso contrario Cuando m es positiva, el ángulo α es agudo y cuando m es negativa α es obtuso Todas las rectas paralelas tienen la misma pendiente Por eso, no es suficiente la pendiente para determinar la ecuación de una recta De ser así, a todas las rectas paralelas les correspondería la misma ecuación Vamos a ver que si conocemos la pendiente y un punto de una recta, podemos determinar la ecuación que cumplen las coordenadas de todos sus puntos Sea m la pendiente y P (x 0, y 0 ) un punto de la recta r Sea (x, y) un punto cualquiera de r Veamos qué ecuación cumplen las coordenadas x e y: Según se ha visto, por la definición de pendiente de la recta: m = y y 0 x x 0 de forma que x e y cumplen la siguiente ecuación: y y 0 = m(x x 0 ) que se llama ecuación de la recta en la forma punto-pendiente Si hubiésemos utilizado como punto para definir la recta la intersección de ésta con el eje de ordenadas B(0, b) obtendríamos la ecuación: y = mx + b que se llama ecuación explícita de la recta El término independiente b se llama ordenada en el origen Esta ecuación puede obtenerse despejando y en la ecuación punto-pendiente Casos particulares No todas las rectas pueden escribirse en la forma explícita o punto-pendiente Para las rectas paralelas al eje de ordenadas, x = 0, de forma que la pendiente ( y/ x) no se puede definir Estas rectas tienen la propiedad de que todos sus puntos tienen la misma coordenada x Por ello su ecuación es de la forma x = x 0 Las rectas paralelas al eje de abscisas tienen pendiente cero y su ecuación es del tipo y = y 0 En particular, la ecuación del eje es y = 0 y la ecuación del eje es x = 0 todas las rectas se les puede asociar una ecuación de primer grado de la forma: x + By + C = 0 esta forma de escribir la ecuación se la llama ecuación general o implícita de la recta Se puede cambiar de la forma explícita a la implícita pasando todos los términos a la izquierda del signo igual Se pasa de la forma implícita a la explícita despejando y (siempre que B sea distinto de cero)

3 4 HZ DE RECTS 3 4 Haz de rectas P (x 0,y 0) x=x 0 Se llama haz de rectas correspondiente al punto P al conjunto de la infinitas rectas que se cortan en P Según se ha visto, la ecuación: y y 0 = m(x x 0 ) representa una recta que pasa por el punto P (x 0, y 0 ) y tiene por pendiente el número m Podemos darle otra interpretación a esta ecuación de la manera que vamos a ver a continuación Considerando m variable, a cada valor de m, corresponde una recta que pasa por el punto P Por consiguiente, tomando m como una tercera incógnita, puede considerarse la ecuación anterior como la ecuación del haz de rectas que pasan por P Únicamente hay que tener en cuenta que la recta x = x 0 paralela al eje de ordenadas y para la que no se puede definir la pendiente pertenece al haz pero no está incluida en la ecuación 5 Ángulo de dos rectas ϕ r 1 ϕ ϕ 1 r En el apartado anterior se ha definido la pendiente como la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas en sentido positivo En consecuencia, la pendiente permite conocer el ángulo que forma la recta con la horizontal Vamos a ver cómo se calcula el ángulo que forman dos rectas a partir de sus pendientes Sean las rectas r 1 y r de pendientes m 1 y m y que forman con el eje de abscisas ángulos ϕ 1 y ϕ De la figura se deduce que el ángulo ϕ que forman las dos rectas es: ϕ = ϕ ϕ 1 plicando la fórmula de la tangente de la diferencia de ángulos resulta: tg ϕ = tg(ϕ ϕ 1 ) = tg ϕ tg ϕ tg ϕ tg ϕ 1 Puesto que tg ϕ 1 = m 1 (pendiente de la recta r 1 ) y tg ϕ = m (pendiente de la recta r ), se obtiene finalmente la fórmula: tg ϕ = m m m m 1 El signo de esta expresión puede ser positivo o negativo Si tg ϕ es positivo, ϕ es el ángulo agudo que forman las dos rectas y si es negativo será el ángulo obtuso Si se quiere calcular el ángulo agudo que forman las dos rectas, el segundo miembro habrá que tomarlo en valor absoluto: tg ϕ = m m m m 1

4 6 PRLELISM PERPENDICULRIDD 4 6 Paralelismo y perpendicularidad De la expresión anterior del ángulo de dos rectas podemos deducir las condiciones que deben cumplir las ecuaciones de dos rectas para que éstas sean paralelas o perpendiculares Sean las rectas r 1 : y = m 1 x + b 1 y r : y = m x + b Si las rectas son paralelas, el ángulo que forman es igual a cero: r 1, r paralelas = m m m m 1 = 0 = m 1 = m y confirmamos a partir de la fórmula lo que ya sabíamos, que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente Si las rectas son perpendiculares ϕ = 90 o y tg ϕ no existe Esto sólo puede ocurrir si el denominador en el segundo miembro de la fórmula es igual a cero: r 1, r perpendiculares = 1 + m 1 m = 0 = m 1 m = 1 El producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a 1 Supongamos ahora que las dos rectas están dadas en forma implícita: r 1 : 1 x + B 1 y + C 1 = 0 r : x + B y + C = 0 Las pendientes de estas rectas son: r 1 : 1 x + B 1 y + C 1 = 0 = m 1 = 1 B 1 r : x + B y + C = 0 = m = B Entonces, la condición de paralelismo será: r 1 r = m 1 = m = 1 B 1 = B = 1 = B 1 B y la de perpendicularidad: r 1 r = 1 + m 1 m = 0 = 1 + ( ) ( 1 ) = 0 = 1 + B 1 B = 0 B 1 B 7 Distancia de un punto a una recta r P 1 d P 0 (x 0,y 0 ) La distancia entre el punto P 0 (x 0, y 0 ) y la recta r : x + By + C = 0, es igual a la distancia entre el punto P 0 y el punto P 1 intersección de la recta r con la perpendicular a r por el punto P 0 Para calcular la distancia del punto a la recta se deberían seguir los siguientes pasos:

5 8 MEDITRIZ BISECTRIZ 5 1 Calcular la perpendicular a la recta r por el punto P 0 Hallar el punto de intersección de esta perpendicular con la recta r Esta punto P 1 se llama pie de la perpendicular desde P 0 a r 3 Calcular la distancia entre los dos puntos P 0 y P 1 Puede demostrarse que la distancia entre el punto P 0 (x 0, y 0 ) y la recta r : x + By + C = 0 está dada por la siguiente fórmula: d = x 0 + By 0 + C + B 8 Mediatriz y bisectriz B(x,y ) (x 1,y 1 ) (x,y) r (x,y) r 1 La mediatriz de un segmento es el conjunto de puntos que equidistan de los extremos del segmento También puede definirse como la recta perpendicular al segmento por el punto medio mbas definiciones son equivalentes Vamos a calcular la ecuación de la mediatriz de un segmento a partir de la primera definición: sea el segmento de extremos (x 1, y 1 ) y B(x, y ); sea (x, y) un punto cualquiera de la mediatriz Vamos a obtener la ecuación que deben cumplir las coordenadas x e y: d(, ) = d(, B) = (x x 1 ) + (y y 1 ) = (x x ) + (y y ) y agrupando términos, resulta: = x xx 1 + x 1 + y yy 1 + y 1 = x xx + x + y yy + y x(x x 1 ) + y(y y 1 ) = x x 1 + y y 1 Como se ve, se trata de una ecuación de primer grado en x e y y representa por tanto una recta Puede comprobarse que es perpendicular a la recta B y que pasa por su punto medio La bisectriz de dos rectas es el conjunto de puntos que equidistan de las dos rectas De forma equivalente puede decirse que son las bisectrices de los ángulos que forman las rectas Sean las rectas r 1 : 1 x + B 1 y + C 1 = 0 y r 1 : x + B y + C = 0 Sea P (x, y) un punto cualquiera de la bisectriz; según la definición debe cumplirse que: 1 x + B 1 y + C B 1 d(, r 1 ) = d(, r ) = x + B y + C + B Para que dos números sean iguales en valor absoluto deben, o bien ser iguales, o bien ser iguales pero de signo contrario (opuestos): 1 x + B 1 y + C B 1 = ± x + B y + C + B

6 9 CÓNICS 6 En esta ecuación vemos que la bisectriz está formada por dos rectas, una para el signo + y otra para el signo - Puede comprobarse que las dos rectas son perpendiculares 9 Cónicas Hasta ahora hemos visto que las soluciones de una ecuación e primer grado con dos incógnitas, consideradas como coordenadas, forman una línea recta Las soluciones de las ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas no forman rectas sino un tipo de curvas que se denominan cónicas o secciones cónicas porque se obtienen de la intersección de una superficie cónica con un plano En lo que sigue estudiaremos estas curvas definiéndolas como lugares geométricos, esto es, como conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad 91 Circunferencia y 0 r C P (x,y) x 0 Se llama así al conjunto de puntos que se encuentran a la misma distancia (radio) de un punto dado (centro de la circunferencia) Sea la circunferencia de centro en el punto C(x 0, y 0 ) Para que el punto P (x, y) esté en la circunferencia debe cumplirse que: d(p, C) = r y sustituyendo resulta (x x 0 ) + (y y 0 ) = r 9 Elipse b F ( c,0) c a P (x,y) F (c,0) a Se llama elipse al conjunto de puntos cuya suma de distancias a dos puntos (focos) es constante Una elipse queda definida por los siguientes elementos: El semieje mayor a El semieje menor b

7 9 CÓNICS 7 La semidistancia focal c La excentricidad e Los tres primeros cumplen que a = b + c La excentricidad se define por la fórmula: e = c a La excentricidad es un número comprendido entre 0 y 1 Si la excentricidad es cero la elipse es una circunferencia; si es igual a 1 es un segmento partir de la definición y de las relaciones que hemos visto entre sus elementos puede calcularse la ecuación de una elipse centrada en los ejes (ver figura) La ecuación es: x a + y b = 1 93 Hipérbola F b c a P (x,y) F (c,0) La hipérbola es una curva definida por la propiedad de que la diferencia de distancias de sus puntos a dos puntos (focos) es constante Una hipérbola queda determinada por los siguientes elementos (ver figura): El semieje real a La semidistancia focal c El semieje imaginario b definido por c = a + b La excentricidad e = c a La excentricidad de una hipérbola es siempre mayor o igual a uno La hipérbola de excentricidad 1 está formada por dos semirrectas La ecuación de la hipérbola centrada en los ejes se deduce fácilmente a partir de la definición: x a y b = 1 La hipérbola es una curva con asíntotas Éstas son rectas con la propiedad de que cuando x se hace muy grande (tiende a infinito) su distancia a la hipérbola se hace muy pequeña (tiende a cero) Lo mismo pasa cuando x se hace muy pequeño (tiende a menos infinito) La ecuación de las asíntotas es: y = ± b a x

8 10 EJERCICIS TEÓRICS 8 94 Parábola y= p P (x,y) F ( p,0) p Una parábola está formada por el conjunto de puntos que equidistan de un punto (foco) y una recta (directriz) La parábola viene caracterizada por la distancia entre el foco y la directriz que se denomina parámetro de la parábola Si el foco se encuentra sobre el eje de abscisas, la directriz es paralela al eje de ordenadas y ambos elementos se encuentran a la misma distancia del origen, la ecuación de la parábola es: y = px 10 Ejercicios teóricos 1 Dados dos puntos (x 1, y 1 ) y B(x, y ), calcular los puntos P 1 y P que dividen el segmento B en tres partes iguales Dados dos puntos (x 1, y 1 ) y B(x, y ), calcular los puntos P 1, P,, P n 1 que dividen el segmento B en n partes iguales 3 En un triángulo se llaman medianas a los segmentos que unen los vértices con el punto medio del lado opuesto Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto que se llama baricentro La distancia del baricentro a un vértice es el doble que la distancia al punto medio del lado opuesto partir de estas propiedades determinar el baricentro del triángulo de vértices (x 1, y 1 ), B(x, y ) y C(x 3, y 3 ) 4 Demostrar que si (a, 0) y B(0, b) son los puntos de intersección de una recta con los ejes de coordenadas, la ecuación de la recta se puede escribir en la forma: x a + y b = 1 que se conoce como ecuación canónica o segmentaria de la recta 5 Sean las rectas r 1 : 1 x + B 1 y + C 1 = 0 y r : x + B y + C = 0 Hallar la condición que deben cumplir 1, B 1, y B para que las dos rectas sean: a) Paralelas b) Perpendiculares 6 Sea el triángulo de vértices (x 1, y 1 ), B(x, y ) y C(x 3, y 3 ) Queremos obtener una fórmula que nos permita calcular el área del triángulo BC Para ello: a) Calcular la ecuación de la recta B b) Calcular la longitud del segmento B (base del triángulo) c) Calcular la distancia del vértice C al lado B (altura del triángulo) d) btener a partir de los datos anteriores la fórmula del área Esta fórmula puede recordarse escribiéndola en la forma: S = 1 x x 1 x 3 x 1 y y 1 y 3 y 1 7 Sea el triángulo BC Para calcular la ecuación de la bisectriz correspondiente al vértice, calculamos las bisectrices de las rectas B y C Cómo podremos distinguir (sin hacer una representación gráfica) cuál de ellas es la bisectriz que buscamos? 8 Demostrar el teorema de la altura: en un triángulo rectángulo el cuadrado de la altura correspondiente a la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de los segmentos en que ésta queda dividida por la altura: h = m n

9 10 EJERCICIS TEÓRICS 9 m h n s h n r m 9 Utilizar el teorema anterior para demostrar que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares es igual a 1 10 Deducir la ecuación de la elipse centrada en sus ejes: x a + y b = 1 11 Deducir la ecuación de la hipérbola centrada en sus ejes: x a y b = 1 1 Deducir la ecuación de la parábola y = px