Inyectivas, Suprayectyivas, Biyectivas. Funciones Trigonométricas
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- Adrián Hernández Páez
- hace 7 años
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1 Funciones Trigonométricas Denición 1. Dado un circulo de radio 1 y un punto P sobre el circulo a un ángulo θ, denimos cos θ Abcisa dep sen θ Ordenada dep Si S es el mismo ángulo medido en radianes y S es la longitud del arco ÂP entonces cos S Abcisa dep sen S Ordenada dep La relación entre ángulos y radianes la podemos escribir en términos de las funciones ( ( πx 360x f(x g, g(x f 360 π Ejemplo Tenemos que para un ángulo de 90 se tiene f(90 π( π π Ejemplo Tenemos que para un ángulo de π g 360 ( π 360(π 90 π 4π 1
2 (1 Dado que θ θ se tiene entonces que cos(x cos(x y sen(x sen(x, x consecuentemente cos θ y sen θ son funciones periódicas ( Por denición cos θ Abcisa de P y como 1 Abcisa de P 1 entonces cos θ 1 Por denición sen θ Ordenada de P y como 1 Ordenada de P 1 entonces sen θ 1 (3 Se tiene que cos(x + π cos(x y sen(x + π sen(x, x (4 Por denición cos θ Abcisa de P se tiene entonces cos θ 0 θ ±π
3 (5 Por denición sen θ Ordenada de P se tiene entonces sen θ 0 θ ± π (6 Denimos (7 Si tenemos un circulo de radio c entonces tan θ sen θ cos θ, sec θ 1 cos θ, csc θ 1 sen θ, cos θ cot θ sen θ b + a c b c + a c 1 ( b ( a + 1 c c 3
4 por denición cos θ b c y sen θ a c c cos θ b y c sen θ a Ejemplo Vamos a calcular los valores de 45, en este caso se tiene a b 1 y c 1 cos 45 1, sen 45 1, tan 45 1, cot 45 1, sec 45, csc 45 Ejercicio Según la gura Para P (x, y se tiene que el ángulo es θ por lo que cos θ x, y sen θ y Para el P (y, x se tiene que el ángulo es π θ cos θ y cos θ sen θ sen θ x sen θ cos θ Para P ( y, x se tiene que el ángulo es π + θ cos + θ y cos θ sen θ sen + θ x sen + θ cos θ Para P ( x, y se tiene que el ángulo es π θ cos (π θ x sen (π θ y cos (π θ cos θ sen (π θ sen θ 4
5 Para P ( x, y se tiene que el ángulo es π + θ cos (π + θ x cos (π + θ cos θ sen (π + θ y sen (π + θ sen θ Para P (x, y se tiene que el ángulo es π + θ cos ( θ x cos ( θ cos θ sen ( θ y sen ( θ sen θ de esto último podemos decir que cos θ es una función par de esto último podemos decir que sen θ es una función impar Podemos encontrar ahora el valor de las siguientes funciones trigonométricas tan( θ sen( θ cos( θ sen θ cos θ tan θ cot( θ cos( θ sen( θ cos θ sen θ cot θ tan θ sen cos θ cos θ θ sen θ cot θ cot θ cos θ sen ( sen θ π θ cos θ tan θ tan + θ sen + θ cos cos θ + θ sen θ cot θ cot + θ cos + θ sen ( sen θ π + θ cos θ tan (π θ cot (π θ tan θ sen (π θ cos (π θ sen θ cos θ tan θ cos (π θ sen (π θ cos θ sen θ cot θ 5
6 Teorema Generalizado de Pitagoras Dado un triángulo ABC trazamos la altura CD y formamos dos triángulo rectángulos Para el triángulo CDB se tiene a (c m + h c cm + m + h Para el triángulo ADC se tiene por lo tanto b m + h b m h a c + b cm Ley de Cosenos Dado un triángulo ABC trazamos la altura BD Según el teorema generalizado de pitágoras a b + c bad Por otro lado se tiene cos A AD c c cos A AD por lo tanto a b + c bc cos A Procediendo analogamente se tiene b a + c ac cos B c a + b ab cos C 6
7 cos A cos A cos B+sen sen A sen B+cos B+sen B (cos B cos A + sen A sen B Ahora según la ley de cosenos P Q cos(a B por lo tanto cos(a B (cos B cos A + sen A sen B Según la gura por la fórmula de la distancia P Q (cos A cos B + (sen A sen B simplicando cos(a B cos B cos A + sen A sen B Si en la fórmula anterio sustituimos B por B se tiene cos(a + B cos(a ( B cos( B cos A + sen A sen( B cos B cos A sen A sen B Si en la fórmula anterior sustituimos B por B + π sen(a + B sen A cos B + cos A sen B 7
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