6 Variables aleatorias independientes

Transcripción

1 6 Variables aleatorias independientes Edgar Acuna ESMA 4 Edgar Acuna

2 Dos variables aleatorias son independientes si para todo a b P[<a, <b]p[<a]p[<b] Si, es un vector aleatorio con uncion de distribucion acumulada F, entonces son independientes si Fa,bF af b para todo a b Si, es un vector aleatorio con uncion de probabilidad conjunta p,, entonces son independientes si pa,bp ap b para todo a b Si, es un vector aleatorio con uncion de densidad conjunta,, entonces son independientes si a,b a b para todo a b ESMA 4 Edgar Acuna

3 Ejemplo 6. Sea, una variable aleatoria bidimensional discreta con uncion de probabilidad conjunta dada en la siguiente tabla de valores 3 P[i] /9 /9 /3 /9 /9 /9 /9 /9 /9 4/9 P[j] /3 /9 4/9 Seran independientes? Solucion: P[i,j}P[i]P[j] solo se cumple para i i, luego no son independentes. ESMA 4 Edgar Acuna 3

4 Ejemplo 6. Sean, un vector aleatorio con uncion de densidad,e para <<, <<, en otro caso. Seran independientes? Solucion: Hallando las marginales de respectivamente se obtiene e e d d e < < > Como, se conclue que son independientes ESMA 4 Edgar Acuna 4

5 Ejemplo 6.3 Sean, un vector aleatorio con uncion de densidad,6 para <<<, en otro caso. Seran independientes? Solucion: Hallando las densidades marginales de se obtiene 6 d 6 6/ + 6 d 6 / 3 < < / 3 < < Como, se conclue que No son independientes ESMA 4 Edgar Acuna 5

6 Propiedad: Si son dos variables aleatorias independientes. Entonces, E[gh]E[g]E[h] Prueba: Consideremos solo el caso continuo. Es decir, que la uncion de densidad conjunta de, satisace, Ejemplo 6.4: Considerando las variables aleatorias del ejemplo 6.. Calcular E[ e / ]. Solucion. Usando la propiedad anterior E[ e / ]E[ ]E[e / ] ] [ ] [, ] [ h E g E d h d g dd h g dd h g h g E / / 4 ] [ / ] [ / d e d e e e E d E Luego E[ e / ] ESMA 4 6 Edgar Acuna

7 6. Covarianza Sea, es una variable aleatoria discreta con uncion de probabilidad conjunta p,, entonces la covarianza de entre se deine por Cov, E µ µ Notar que, Cov,E µ µ + µ µ ]E µ E µ E+ µ µ E EE La covarianza mide el grado de asociacion entre dos variables aleatorias. Ejemplo 6.5: Hallar la covarianza de las variables aleatorias deinidas en el ejemplo 6.3. Solucion: De las densidades marginales podemos hallar E E E E 3 3 d d 3 / d 3 / + 3 / 4 / 4 ESMA 4 Edgar Acuna 7

8 Ejemplo 6.5 cont Por otro lado, 3 E 6 dd 6 d 3 4 d / 5 En consecuencia, Cov,/5 /43/4 /5 3/6/8 Propiedad. Si son Independientes entonces Cov,, el reciproco no es cierto en general. Prueba: Si son Independientes entonces EEE. Luego, Cov,EE EE. Se puede encontrar dos variables cua Cov, pero ellas no son independientes. Propiedad: Var+Var+Var+Cov,. Si son independientes entonces Var+Var+Var. ESMA 4 Edgar Acuna 8

9 6. Correlacion El problema de la Covarianza es que su rango de valores va de a. Una medida de asociacion estandarizada en la escala de a es llamado el coeiciente de correlacion que se deine por ρ Cov, Var Var Recordar que la raiz cuadrada positiva de la varianza es llamada la desviacion estandar. Ejemplo 6.6. Hallar la correlacion de las variables aleatorias en el ejemplo 6.3. Solucion : En el ejemplo 6.5 a se encontro la covarianza. Solo alta calcular la varianza de cada variable aleatoria. E E 3 3 d 3 d 3/ d 3[/ 3 / + / 5] / ESMA 4 Edgar Acuna 9

10 Ejemplo 6.6cont Luego, Var/ /63/8 Var3/5 9/63/8. Por lo tanto, ρ/8/3/8/3 Propiedad: <ρ<. Prueba: Consideremos las variable aleatorias * μ /σ * μ /σ, cuas medias varianzas son respectivamente. Luego, Var* ρ*var* ρcov*,*+ρ Var* ρ >. Luego, ρ <, de donde se obtiene el resultado deseado. Propiedad. Si ρ entonces con probabilidad eisten constantes a> b tal que a+b. Si ρ entonces con probabilidad eisten constantes a< b tal que a+b. ESMA 4 Edgar Acuna