OPCIÓN A. Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera la función f (x, y) = 0,4x + 3,2 y. sujeta a las restricciones: x + 5 y

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1 UNIVERSIDDES PÚBLICS DE L COMUNIDD DE MDRID PRUEB DE CCESO ESTUDIOS UNIVERSITRIOS (LOGSE) JUNIO MTEMÁTICS PLICDS LS CIENCIS SOCILES II Fse generl INSTRUCCIONES: El lumno deerá elegir un de ls dos opciones o B que igurn en el presente emen contestr rondmente los cutro ejercicios de que const dich opción. Pr l relición de est prue puede utilirse clculdor cientíic, empre que no dispong de cpcidd de representción gráic o de cálculo mólico. TIEMPO: 9 minutos. Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Se conder l unción (, ),, OPCIÓN 7 sujet ls restricciones: ) Represéntese l región S del plno determind por el conjunto de restricciones. ) Clcúlense los puntos de l región S donde l unción lcn sus vlores máimo mínimo. c) Clcúlense dichos vlores máimo mínimo.. Se utili como punto de prue el (, ) pr encontrr l región ctile, comprondo que: 7. Se cumple. No se cumple. Se cumple Vértices: : B : 7 C : 7 D : E :. (,) B(, ) C(, 6) D(, ) D(, ) F : F (, ) Vértice F(, ), B 6 C 6, D, E F,6 Máimo en (, 6); Mínimo en (, ) c. Vlor máimo: F (, 6), Vlor mínimo: F (, )

2 Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Se conder el rectángulo (R) de vértices BOC con B(, ), O(, ), (, ), C(, ), >, >, cuo vértice C está tudo en l práol de ecución. ) Pr, determínense ls coordends de los vértices de (R) clcúlese el áre de (R). ) Determínense ls coordends de los vértices de (R) de mner que el áre de (R) se máim. c) Clcúlese el vlor de dich áre máim.. unque no es oligtorio, recomiendo que se diuje el recinto l que hce luón el enuncido. Si Vértices: O (, ); (, ); C (, ) D (, ). El áre del rectángulo viene determind por: Áre Teniendo en cuent que el punto C pertenece l práol, ls coordends del punto deen stiscer l ecución de l práol, iguldd que permite estlecer un relción entre, que llevd l epreón del áre, permitirá epresr el áre en unción de un sol vrile. : ( ) El máimo se encuentr derivndo e igulndo cero. ; ; ; ± ± Teniendo en cuent que ls longitudes solo pueden ser potivs que el enuncido inorm que >, el pole vlor de es. Pr compror se sustitue en l segund derivd. 6 ; 6 Máimo. Conocido el vlor de se clcul el de. Pr que el áre se máim, los vértices de R deen ser: O (, ); (, ); C (, ) D (, ) c. Áre 6 u. Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Un ols contiene die moneds equilirds. Cinco de dichs moneds tienen cr cru, otrs tres son moneds con dos crs ls dos restntes son moneds con dos cruces. Se elige l r un moned de l ols se ln. ) Clcúlese l proilidd de que slg cr en dicho lnmiento. ) Si en el lnmiento h slido cr, cuál es l proilidd de que l moned elegid teng cr cru?. El ejercicio se puede plnter medinte un digrm en árol, pr que resulte más sencillo es conveniente deinir sucesos: Escoger un moned con cr cru. B Escoger un moned con crs D Escoger un moned con dos cruces. C Otener cr en el lnmiento de un moned Dtos: p ; p ( B) ; ( D) p ; p ( C ) ; p ( C ) ; p ( C ) B D

3 p p ( C) p( ( C) ( B C) ( D C) ) p ( C) p( B C) p( D C) p( C ) p( B) p( C ) p( D) p( C ) B D. Proilidd condiciond: p p( C ) p C p C p( C) p ( C) Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Se supone que el peso en ilos de los rollos de cle eléctrico producidos por un ciert empres, se puede proimr por un vrile letori con distriución norml de desvición típic igul, g. Un muestr letori mple de 9 rollos h ddo un peso medio de, g. ) Determínese un intervlo de conin l 9% pr el peso medio de los rollos de cle que produce dich empres. ) Cuál dee ser el tmño muestrl mínimo necesrio pr que el vlor soluto de l dierenci entre l medi muestrl l medi polcionl se menor o igul que, g, con proilidd igul,9?. Peso en g de un rollo de cle eléctrico con distriución N (µ, σ). Se pide estimr l medi polcionl del peso de los rollos (µ) prtir de l medi de un muestr mple de 9 rollos. Si l vrile gue un distriución norml, ls medis de tmño 9 de est vrile tmién guen un distriución: σ, : N µ, N µ, n 9 El intervlo de conin pr l medi polcionl viene ddo por l epreón: σ σ o Zα, o Zα n n El vlor crítico ( Z α ) se otiene prtir del nivel de conin. Nivel de conin,9 α : α, α, Zα φ φ φ,9, Sustituendo los vlores en el intervlo:,,,,6,,, (,;,7) Con un conin del 9% se puede estimr que el peso medio de los rollos de cle eléctrico v estr comprendido entre,, 7 g.

4 . El error máimo dmitido viene ddo por l epreón: σ εmá > Zα n Epreón que permite despejr el tmño muestrl en unción del error máimo dmitido. σ n > Zα ε má El vlor crítico ( Z α ) se otiene prtir del nivel de conin. Nivel de conin,9 α : α, α, Zα φ φ φ,99,, n >,, n,9

5 OPCIÓN B Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Se conder el guiente stem linel de ecuciones, dependiente del prámetro rel : ) Discútse el stem según los dierentes vlores de. ) Resuélvse el stem pr el vlor de pr el cul el stem tiene ininits soluciones. c) Resuélvse el stem pr. l stem lo crcterin l mtri de coeicientes () l mplid ( * ). * rg rg * * ; n Si n rg rg * Sistem comptile determindo. Se discute el tipo de solución pr los vlores del prámetro que nuln el determinnte de l mtri de coeicientes. : : : : Discuón: i. Si, : rg rg * n. Sistem comptile determindo (Crmer). ii. Si : rg, rg. El rngo de l mplid se estudi prtir del menor de orden distinto de cero utilido pr determinr el rngo de l mtri de coeicientes. * De los orldos menores orldos l menor de orden dos del que prtimos, solo qued por estudir el menor de orden tres ormdo por l º, º º column. 9 rg * rg. Sistem incomptile iii. Si : rg, rg. *

6 6 De los menores orldos, solo qued por estudir el ormdo por l ª, ª ª column. rg * rg rg * n. Sistem comptile indetermindo.. Pr, stem comptile indetermindo de rngo, lo cul indic que solo h dos ecuciones linelmente independientes. Se tomn como linelmente independientes ls ecuciones que contienen los términos del menor de orden dos distinto de cero. S': Sistem de dos ecuciones con tres incógnits, pr resolverlo se trnsorm un vrile en prámetro, escogiéndose como prámetro l vrile cuos coeicientes no ormron prte del menor de orden (). S': plicndo el método de Crmer, se otiene l solución. Solución: (,, ) R c. Pr. Sistem comptile determindo. Método de Crmer. S : ; ; ; ; Solución:,,

7 7 Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Se conder l unción rel de vrile rel deinid por: > ) Clcúlense,, pr l unción se continu derivle en. ) Determínese l ecución de l rect tngente l gráic de l unción en el punto. c) Pr,, clcúlese el áre de l región pln cotd limitd por l gráic de el eje OX.. Pr que l unción se continu en se dee cumplir: : Continu : Pr que l unción se derivle en se dee cumplir: Derivd de l unción: > : : Derivle: Ls dos igulddes permiten plnter un stem. :. L ecución de l rect tngente l unción en en orm punto pendiente es: () () Ecc tngente : c. >. unque no es oligtorio, es recomendle hcer l gráic de l unción pr delimitr ms ácilmente el áre que piden. El áre const de dos regiones dierentes, l primer delimitd por l () entre, l segund delimitd por l unción () entre. d d u

8 Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Sen B dos sucesos de un eperimento letorio tles que p(), p(b),. ) Si B son mutumente ecluentes, determínese p( B). Son demás B independientes? Rónese. ) Si B son independientes, clcúlese p( B). Son B demás mutumente ecluentes? Rónese. c) Si p(/b), clcúlese p( B). Son B mutumente ecluentes? Son B independientes? Rónese. d) Si B, clcúlese p( B). Son B independientes? Rónese.. Dos sucesos son mutumente ecluentes l ocurrir uno es impole de que ocurr el otro, por lo tnto no tienen elementos comunes su intersección es el conjunto vcío. p ( B) No son independientes. Pr que dos sucesos sen independientes se dee cumplir: p( B) p p( B) p p B,,, p B. Si son independientes: ( B) p p( B),,, p No son mutumente ecluentes porque l intersección es distint de cero por tnto eisten elementos que cumplen mos sucesos multánemente. c. Según el teorem de Bes: ( p ) ( B) p ( p ) ( B) : ( B) B ( B) p : p B p p ( B) En cso, se cumple lo mismo que en el prtdo, por lo tnto, por ls misms rones, son mutumente ecluentes no son independientes. d. Si B, p ( B) p, No son independientes p p B,,, p B, Ejercicio. (Puntución máim: puntos) Se supone que el precio de un ilo de ptts en un ciert región se puede proimr por un vrile letori con distriución norml de desvición típic igul céntimos de euro. Un muestr letori mple de tmño 6 proporcion un precio medio del ilo de ptts 9 céntimos de euro. ) Determínese un intervlo de conin del 9% pr el precio medio de un ilo de ptts en l región. ) Se dese umentr el nivel de conin l 99% n umentr el error de l estimción. Cuál dee ser el tmño muestrl mínimo que h de oservrse?. precio de un ilo de ptts. Vrile continu con distriución Norml. : N( µ, σ)

9 Si se tomn muestrs de tmño n, ls medis mestrles tmién guen un distriución norml cuos prámetros son: σ : Nµ, n El intervlo de conin pr l medi de polcionl prtir de l medi de un muestr de tmño n viene ddo por l epreón: σ σ o Zα, o Zα n n El vlor crítico de se otiene prtir del nivel de conin (N.C. α). α φ Zα Pr un nivel de conin del 9 %: α.9. : Z φ α φ.97. α. Sustituendo por los dtos del enuncido en el intervlo de conin: 9.96, ( 7.,.) Con un proilidd del 9% se puede estimr que el precio medio del ilo de ptts v h estr comprendido entre 7.. céntimos de euro.. El tmño muestrl se estim prtir del error máimo dmitido. σ εmá > Zα n n > Zα σ ε má El error máimo, se otiene prtir de l mplitud del intervlo (c). c εmá : ε c má L mplitud del intervlo es el vlor soluto de l dierenci de sus etremos. 7.. ε má. El cmio de nivel de conin, cmi el vlor de α.99 : Z α. Z α. φ α. φ (.99), Sustituendo en l epreón se clcul el mínimo tmño muestrl. n >. 6. n 6. 9